2021年新人教版东北育才学校高三一模数学(理)试题及答案

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2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题(解析版)

2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{}21sin ,02A xx B x x x ⎧⎫=>=-<⎨⎬⎩⎭∣∣，则A B =（） A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】先解三角不等式和一元二次不等式求出集合,A B ，再由交集的概念求解即可. 【详解】522,Z ,{01},,1666A xk x k k B x x A B πππππ⎧⎫⎛⎫=+<<+∈=<<⋂=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∣∣. 故选：B.2．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A ．01x ∃≤，200x x -≤ B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，200x x -≤ D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【分析】由全称命题的否定即可选出答案.【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是 “01x ∃>，2000x x -≤”故选：C.3．已知,R a b ∈，则“ln ln a b >"是“22a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件【答案】A【分析】由“ln ln a b >"成立可推出0a b >>即得22a b >，反之，由22a b >推不出ln ln a b >成立，由此可得答案.【详解】由“ln ln a b >"成立可推出0a b >>，继而可得到22a b >；当22a b >时，比如3,2a b =-=-，推不出ln ln a b >成立，故“ln ln a b >"是“22a b >”的充分不必要条件，故选：A4．若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．{}41m m -<<B ．{1m m <-或}4m >C ．{}14m m -<<D ．{0m m <或}3m >【答案】C 【分析】先由()41614161141x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭结合基本不等式求出4161x y ++的最小值，进而得2359m m -+<，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，()()161416141614141614141x y x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫+=+++=+++⎢⎥⎪+++⎝⎭⎣⎦12094⎡≥+=⎢⎢⎣，当且仅当()16141x y x y +=+，即18,33x y ==时取等，又不等式2416351m m x y +>-++恒成立，则不等式2359m m -+<，即 ()()410m m -+<，解得14-<<m . 故选：C.5．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为（）A ．{|11x x -<<或6}x >B ．{|1x x <-或16}x <<C ．{|1x x <-或23}x <<D ．{|12x x -<<或3}x >【答案】A【分析】根据不等式0ax b +>的解集可得,a b 关系，代入不等式2056ax bx x +>--，然后转化为整式不等式求解即可.【详解】解：因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >00a a b >⎧∴⎨+=⎩，则()()()()()()()210006110566161ax b ax a x x x x x x x x x x +-->⇔>⇔>⇔-+->---+-+ 所以不等式的解为11x -<<或6x >. 故选：A. 6．函数cos ()22x xxf x -=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据0x >且趋近0时判断，最后利用()f x 的零点进行判断，即可得到答案【详解】解：因为cos ()22x x x f x -=-，所以220x x--≠，解得0x ≠，则()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，由cos ()22x x x f x -=-可得()cos -cos (-)2222x x x xx xf x --==--，发现()(-)0f x f x +=，故()f x 为奇函数，故B 错误；当0x >且无限接近0时，0cos 0,22x x x ->->，所以此时()0f x >，故A 错误；因为当cos ()022x xx f x -==-即cos 0x =，解得,Z 2x k k ππ=+∈，所以在x 轴正半轴的第一个零点是2π，第二个零点是32π，第三个零点是52π，第四个零点是72π，第五个零点是92π，所以在第四个零点和第五个零点之间不可能一直递增，故C 错误；故选：D7．若π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，则下列结论正确的是（） A ．π2αβ+=B ．π22βα+=C ．π22αβ-= D ．π2αβ-=【答案】C【分析】由π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，及二倍角的余弦公式可得cos (1sin )sin cos αβαβ+=，根据两角差的正弦公式可得()cos sin ααβ=-，由诱导公式及αβ，的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴cos 0α≠.由1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，可得22cos (1sin )2sin cos cos αβααβ+=，即cos (1sin )sin cos αβαβ+=.∴()cos sin cos cos sin sin ααβαβαβ=-=-，∴()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴ππ22αβ-<-<，且ππ022α<-<.由于函数sin y x =在ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，∴π2αβα-=-，即π22αβ-=.故选:C.8．已知不等式ln (1)2ln2++<x x x k x 的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（） A ．340,ln 43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．342ln ,ln 2433⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln ,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题意，设()(1),()ln4ln =+=-f x k x g x x x x ，进而通过数形结合求得答案. 【详解】由ln (ln4)0x x x k k +-+<可得：(1)ln 4ln k x x x x +<-，设()(1),()ln4ln =+=-f x k x g x x x x ，()ln4ln 1=--'g x x ，40,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，4,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，则当4e x =时函数()g x 取得最大值，如示意图：由图可知，当0k ≤时，整数解超过了2个，不满足题意；当0k >时，需满足()()()()2233f g f g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩得：342ln ln 2433≤<k ．故选择：D ．【点睛】本题较难，可却是一道常规题型，一般做法是先对式子进行变形，等号一边为一次函数（通常过定点），另一边的函数较为复杂，然后通过求导的方法作出简图，进而通过“数形结合法”求解.二、多选题9．下列说法正确的有（） A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是 -1 B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3 C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2 D ．若实数x ，y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值是4-【答案】ABD【分析】对于A ，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B ，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C ，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D ，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()()1112211121212112x x x x x x ⎡⎤+=-++=--++⎢⎥---⎣⎦211≤-=-，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，所以1221x x +-的最大值为-1，故A 正确；对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=，所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()4111553313y z x x y z ⎡+⎡⎤+=++≥+=⎢⎢⎥++⎢⎣⎦⎣，当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立，所以411x y z+++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-(舍去)或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-，因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号，所以224442x y s t x y x y t s +=--≤--++ 当且仅当2stts=，即s 时取等号，所以22x y x y x y+++的最大值是4-D 正确，故选：ABD ．10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是0θ（单位：oC ），环境温度是1θ（单位：o C ），其中01θθ>则经过t 分钟后物体的温度θ将满足()()101e (R kt f t k θθθθ-==+-⋅∈且0k >）.现有一杯80C 的热红茶置于20C 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值ln20.7)≈ A ．若()350C f =，则()635C f = B ．若110k =，则红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟 C ．若()35f '=-，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降D ．红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间比从60C 下降到40C 所需的时间多【答案】ABC【分析】由题知()2060e ktf t θ-==+，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．【详解】由题知()2060e ktf t θ-==+，A ：若()350C f =，即3502060e k -=+，所以31e 2k -=，则()()2263162060e2060e206035C 2kkf --⎛⎫=+=+=+⨯= ⎪⎝⎭，A 正确；B ：若110k =，则1102060e 50t -+⋅=，则1101e 2t -=，两边同时取对数得11ln ln2102t -==-，所以10ln27t =≈，所以红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟，B 正确；C ：()3f '表示3t =处的函数值的变化情况，若()350f '=-<，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降，故C 正确；()D:f t 为指数型函数，如图，可得红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间()21t t -比从60C 下降到40C 所需的时间()32t t -少，故D 错误. 故选：ABC ．11．已知函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞，图象关于y 轴对称，导函数为()'f x ，且当0x <时，()()'f x f x x>，设1a >，则下列大小关系正确的是（） A ．()(411a a f a a a ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭B ．()(22f a a a >C ．()()414111af a a a f a a +⎛⎫>+ ⎪++⎝⎭D ．()()42211a f a a f a ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭【答案】AD【分析】构造函数()()f xg x x=，利用导数判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，再由()f x 为偶函数，得()g x 为奇函数，从而判断出()g x 在(0,)+∞上的单调性，再结合选项逐一判断即可.【详解】解：当0x <时，()()'f x f x x >，即()()()()''0f x xf x f x f x x x--=>，所以'()()0xf x f x -<，构造函数()()f x g x x=，则''2()()()0xf x f x g x x -=<， ∴当0x <时，()g x 单调递减，又由题意可得()f x 是偶函数， ∴()g x 是奇函数，则当0x >时，()g x 也单调递减．对于A ，∵1a >，∴401a a <<=+∴(41a g g a ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即4141a f f a a a ⎛⎫⎪+⎝⎭>+∴()(411a a f a ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，故A 正确；对于B ，∵1a>，∴20a >>，∴()(2g a g <，即()22f f aa()(2f a ，故B 错误；对于C ，∵1a >，()2141011a a a a a -+-=>++，即4101a a a +>>+，∴()411a g a g a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，即()411411a f f a a a a a ⎛⎫⎪++⎝⎭<++，∴()()414111af a a a f a a +⎛⎫<+ ⎪++⎝⎭，故C 错误；对于D ，∵1a >，()221422420111a a a a a a a a a a -+--==>+++，∴ 4201a a a >>+， ()421a g a g a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即()421421a f f a a a aa ⎛⎫⎪+⎝⎭<+，∴()()42211a f a a f a ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，故D 正确．故选:AD ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性，难点在于构造函数()g x ，并判断其在定义域上的单调性，属于较难题.12．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有( ) A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】ABD【分析】A ：()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，故203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； B ：求出区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点2x π=，由题可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭知512x π=是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()214k k +∈Z 倍即可求出ω，从而求出其周期； C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，据此即可求ω的范围. 【详解】A ，∵7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，∴203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确； B ，区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点为2x π=，∵203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (x )在75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴512(62322T T ππππω-==⋅为()f x 的最小正周期)，即ω3，又0>ω，∴03ω<.若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于直线512x π=对称，结合203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ，即()42k k ω=+∈Z ，故k ＝0，2,T ωπ==，故B 正确. C ，由03ω<，得23Tπ，∴()f x 在区间[)0,2π上最多有3个完整的周期，而()1f x =在1个完整周期内只有1个解，故关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，结合2T πω=，得81033ω<，又03ω<，∴ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题综合考察()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的()214k k +∈Z 倍.三、填空题13．已知集合02xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{B x y =，()R A B ⋂=______. 【答案】()1,2【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数的定义域求得集合B ，由此求得()R A B ⋂.【详解】因为02xx ≤-，等价于()2020x x x ⎧-≤⎨-≠⎩，解得02x ≤<，由1102x --≥，即121x -≤，即1022x -≤，所以10x -≤，即1x ≤；所以{}0022xA xx x x ⎧⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，{{}1B x y x x ==≤，所以{}R 1B x x =>，因此，()()R 1,2A B ⋂=. 故答案为：()1,214．若π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】-1【分析】利用诱导公式结合二倍角公式化简π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得到πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭或π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，然后结合角的范围分两种情况求解,即可求得答案.【详解】因为π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以ππ5sin 26sin 024αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ10sin cos 6sin 0444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππsin 5cos 3044αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭或π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,当πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3π5π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ4α+=，所以3π4α=，所以3π22α=，所以3πsin 2sin 12α==-. 当π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即()23cos sin 25αα-=-，所以()2219cos sin 2sin cos 225αααα+-=，所以181sin 225α-=，则7sin 225α=.因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2π,2πα∈，所以sin 20α<，故7sin 225α=不符合题意，应舍去，综合以上sin 21α=-，故答案为：-115．设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【答案】4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得14322211,4,4x x x x x x ==-=-，将()2221234x x x x +++转化为关于2x 的代数式，利用换元法，根据2x 的范围结合二次函数的性质即可求解. 【详解】解：∵24x <<时，()()4f x f x =-，∴()f x 在()2,4上的图象与()0,2上的图象关于2x =对称，不妨设1234x x x x <<<,如图：可得14234x x x x +=+=，12ln ln x x .∴121,x x =14322211,4,4x x x x x x ==-=-. ∴()121222222212342342x x x x x x x x x x ++++++=+ ()2222222214421x x x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭+- 22222112830x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,2x ∈.令22152,2t x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则原式化为()252830,2,2h t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，其对称轴为2t =，开口向上，∴()h t 在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.∴()4522,2h t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.∴()2221234x x x x +++的取值范围为4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为:4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.16．已知0a >，若对任意的1[,),e x ∈+∞不等式2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，则实数a 的最小值为_______.【答案】12e【分析】根据式子的结构，把原不等式转化为1[,),ex ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥恒成立.令()ln g x x x =，判断出()g x 的单调性，转化为2e ax x ≥恒成立.利用分离参数法得到ln ln 2x a x -≥，令ln ln 2()x h x x-=，利用导数求出max ()h x ，即可求出实数a 的最小值. 【详解】1[,),e x ∀∈+∞2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，等价于1[,),ex ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥，令()ln g x x x =，则1[,),ex ∀∈+∞(2e )()0ax g g x -≥，则()1ln g x x '=+，所以当1ex ≥时都有()0g x '≥，所以1[,),e x ∈+∞()g x 单调递增.所以不等式转化为2e ax x ≥，即e 2axx ≥，即ln e ln 2axx ≥，即ln 2x ax ≥，即ln ln 2x a x-≥. 令ln ln 2()x h x x-=，则()221ln ln 2ln 2e ln x xh x x x -='-+=. 当1[,2e),ex ∈都有()0h x '>，所以()h x 单调递增；当()2e,+x ∈∞时，都有()0h x '<，所以()h x 单调递减.所以max ln 2e ln 2ln e 1()(2e)2e 2e 2eh x h -==== 所以12ea ≥，即a 的最小值为12e .故答案为：12e. 【点睛】恒成立问题的处理：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究()f x 的单调性及最值.四、解答题17．已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos 2αβ+的值；(2)()tan αβ+的值.【答案】(1)14【分析】（1）先由已知条件判断,22βααβ--的范围，再利用同角三角函数的关系求出sin ,cos 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由cos cos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角差的余弦公式可求得cos2αβ+，（2）由同角三角函数的关系求出sin 2αβ+，从而可求得tan2αβ+的值，再利用正切的二倍角公式可求得()tan αβ+的值. 【详解】(1)因为2απ<<π，02βπ<<，所以42πβαπ<-<，422παπβ-<-<，所以sin 2βα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin .sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12==(2)因为3424παβπ+<<，cos 2αβ+=，所以sin2αβ+==所以sin2tan2cos 2αβαβαβ++==+，所以2222tan 2tan()1tan 12αβαβαβ⎛+⨯ ⎝⎭+===+⎛-- ⎝⎭18．已知曲线()321133y f x x ax bx ==+++在点()()1,1f 处的切线的斜率为3，且当3x =时，函数()f x 取得极值． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[]0,3上的极值和最小值．【答案】(1)()321111513423f x x x x =-++(2)()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，且()34148f x =极大值，13【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值点处导函数为0求解即可；（2）求导分析区间内的单调性，进而求得极值，再与端点值判断大小关系可得最值.【详解】(1)()22f x x ax b '=++，结合题意可得()()1213,3690,'⎧=++=⎪⎨'=++=⎪⎩f a b f a b 解得114152a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()321111513423f x x x x =-++，经检验符合题意.(2)由（1）知()2111522f x x x '=-+．令0fx，解得x ＞3或52x <，令0f x，解得532x <<，故()f x 在50,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，且()5341248f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，又因为()103f =，()85312f =，185312<，故()f x 在[]0,3上的最小值是13．19．已知()()()()sin ,21(0)2f x x g x f x x f x πωωωω⎫⎛⎫==+-+> ⎪⎪⎝⎭⎭.(1)若函数()g x 的最小正周期为π，求ω的值及()g x 的单调递减区间；(2)若0,3πx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，方程()g x =ω的取值范围【答案】(1)1ω=，单调递减区间为：()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2)131544ω<.【分析】（1）利用三角函数恒等变换可得()2sin(2)6f x x πω=+，利用正弦函数的性质即得；（2）由正弦函数的性质可得7283363πωπππ≤+<，进而即得．【详解】(1)因为())π2sin sin 12sin sin 12g x x x x xx x ωωωωωω⎤⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦2cos 2sin 1x x x ωωω=-+cos22sin 2,6x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为最小正周期22T ππω==，又0>ω，所以1ω=，即()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令3222262k x k πππππ+≤+≤+，解得2,Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)因为0,3πx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()22,,6636x f x ππωππω⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦即sin 26x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以7283363πωπππ≤+<，即13215636πωππ≤<，解得131544ω≤<，所以实数ω的取值范围是131544ω≤<. 20．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)ay b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； (3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元 (3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围．【详解】(1)由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠，()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)ay b a x=+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．(2)把()2,102，()6,78，()20,120分别代入2y ax bx c =++，得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得12a =，10b =-，120c = ∴()221110120107022y x x x =-+=-+，,()0x ∈+∞． ∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令()()()1701010210f xg x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+，因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立，则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增，∴ 当10x =+()g x 取得最小值，且最小值为(10g +=，∴k ≥．21．设函数2(1)()x xa t f x a--=(0a >，且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1)求t 和a 的值；(2)若x ∀∈R ，2()(1)0-+-<f kx x f x ，求实数k 的取值范围； (3)是否存在实数m ，使函数22()22()xx g x mf x -=+-在区间2[1,log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2,2t a == (2)31k -<< (3)存在，7324m =【分析】(1)直接利用奇函数(0)0f =可得到t 的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a ；(2)利用奇函数的性质可得2()(1)f kx x f x -<-，再由函数单调性脱去“f ”，转化为二次不等式恒成立求解即可；(3)令 22x x t -=-换元后转化为二次函数有最大值，分类讨论求出最大值得出m 即可. 【详解】(1)∵f （x ）是定义域为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=且(0)0f =，∴1(1)(0)01t f --==， ∴ 2t =，此时()x x f x a a -=-，满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，故2t =符合题意，∵函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴132a a --=，即22320a a --=，解得2a =或12a =-，因为0a >且1a ≠，∴2a =．(2)由（1）知()22x x f x -=-，由2()(1)0-+-<f kx x f x ，得2()(1)-<--f kx x f x ， ∵()f x 为奇函数，∴2()(1)f kx x f x -<-，()22x x f x -=-为R 上的增函数，∴21kx x x -<-对一切x ∈R 恒成立，即2(1)10x k x -++>对一切x ∈R 恒成立，故2(1)40k ∆=+-<，解得31k -<<． (3)由题意22()22(22)x x x x g x m --=+--设22,x x t -=-则22(22)(22)22x x x x m t mt -----+=-+，∵2[1,log 3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记2()2h t t mt =-+，∴函数2()2h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最大值为1，①若对称轴3825232212m t +=>=， ∴max 317313()12426⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭h t h m m ，不合题意．②若对称轴25212m t =≤， ()max2525212736,873241324m m m h t h m ⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故存在实数7324m =，使函数g （x ）在[]21,log 3上的最大值为1． 22．已知函数()()2ln f x ax x x a R =--∈.(1)当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当[]1,2x ∈，求函数()f x 的最大值；(3)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ，证明：()()12122ln f x x x x +>-+. 【答案】(1)21y x =-(2)()max1ln2131ln242ln23a a f x a a ⎧+⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的导函数，分0a ≤、1a ≥和01a <<三种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值；（3）利用分析法可得只需证()()212122+-+>a x x x x ，即证()121212ln ln 2x x x x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，令12(01)x t t x =<<，只需证1ln 21t t t +⋅>-，构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证.【详解】(1)解：当2a =时()22ln f x x x x =--，()141f x x x=--'∴，()12f '∴=，()11f =，∴切线方程为：21y x =-.(2)解：()212121(0)ax x f x ax x x x----'==>，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x ∴在[1，2]单调递减，()max 1f x a ∴=-②当1a ≥时，()()()2121210x x x x f x x x-+-'-≥=≥ ()f x ∴在[]1,2单调递增，()max 42ln2f x a ∴=--③当01a <<时，()01f x x =⇒≥，（i2<即318a <<时，()f x ∴在⎡⎢⎣⎦单调递减，2⎤⎥⎝⎦上递增()()(){}max31ln2183max 1,21ln242ln213a a f x f f a a ⎧+⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭∴==⎨+⎛⎫⎪--≤< ⎪⎪⎝⎭⎩（ii2≥即308a <<时，()f x ∴在[]1,2单调递减，()max 1f x a ∴=-，综上：()max1ln2131ln242ln23a a f x a a ⎧+⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.(3)证明：要证()()12122ln f x x x x +>-+，只需证()()()()212121212ln 2ln a x x x x x x x x +-+-+>-+，只需证()()212122+-+>a x x x x ，因为2111ln 0ax x x --=，2222ln 0ax x x --=，两式相减得：()()()22121212ln ln 0a x x x x x x -----=.整理得()121212ln ln 1x x a x x x x -+=+-.所以只需证()()12121212ln ln 12x x x x x x x x ⎛⎫-++-+> ⎪-⎝⎭，即证()121212ln ln 2x x x x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即1211221ln 21x x x x x x +⋅>-，不妨设120x x <<，令12(01)x t t x =<<，只需证1ln 21t t t +⋅>-，只需证()()1ln 210t t t +--<，设()()()1ln 21n t t t t =+--，只需证当01t <<时，()0n t <即可.()()221111ln 1,0(01)t n t t n t t t t t t'''-=+-=-=<<<，()n t ∴'在()0,1单调递减，第 21 页共 21 页 ∴当01t <<时，()()10n t n ''>=，()n t ∴在()0,1单调递增，当01t <<时()()10n t n <=，∴原不等式得证.【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

辽宁省沈阳市东北育才双语学校2023届高三上学期数学学科第一次模拟测试题

东北育才双语学校2022—2023学年度上学期高三年级数学学科第一次模拟测试题一､单选题（共8小题，每题5分）1.设复数 z 满足()12i z i +=（其中 i 为虚数单位），则下列结论正确的是A.2z =B.z 的虚部为i C.22z = D.z 的共轭复数为1i-【答案】D 【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由()12i z i +=，得()22(1)111(1)i i i z i i i i -===+++-，∴z =，z 的虚部为1，()2212z i i =+=， z 的共轭复数为1i -，故选D．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知平面向量a ，b 满足2= a ，()1,1b = ，a b +=r r ，则a 在b上的投影向量的坐标为（）A.22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.()1,1C.()1,1-- D.,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据a b + 及相关公式可得a b ⋅ ，再根据投影向量的计算公式求解.【详解】a b += b = ，所以2a b ×= 所以a 在b上的投影向量为()1,1a b b b bb⋅⋅==，故选：B.3.已知3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.223-D.223【答案】B 【解析】【分析】利用两角和（差）的余弦公式化简可得3cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即3cos cossin sin 166ππααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即313cos sin 122ααα⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭即33cos sin 122αα-=13cos sin 1223πααα⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 2cos 2662πππαα⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 133ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦212133⎡⎤⎛⎫⎢⎥=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：B 4.函数()2sin 1cos 22x x f x ωω-=+，且102ω<<，若()f x 在()3,4x ππ∈内无零点，则ω的取值范围为（）A.15,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1570,,41616⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C.37,1616⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.3170,16416⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，【答案】D 【解析】【分析】先通过降幂公式及辅助角公式得到2()sin 24f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求出4443,4x πππωωπωπ⎪+∈+⎛⎫ ⎝⎭+，由2342,44k k k πππωπωπππ≤+<+≤+∈Z 或23422,44k k k ππππωπωπππ+≤+<+≤+∈Z 结合102ω<<即可求解.【详解】2sin 1111cos 11()cos sin sin cos 2222222x x x f x x x x ωωωωωω-+=+=-+=+24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()3,4x ππ∈时，4443,4x πππωωπωπ⎪+∈+⎛⎫⎝⎭+，则2342,44k k k πππωπωπππ≤+<+≤+∈Z 或23422,44k k k ππππωπωπππ+≤+<+≤+∈Z ，解得213,312162k k k ω-≤≤+∈Z 或217,34162k k k ω+≤≤+∈Z ，又102ω<<，当213,312162k kk ω-≤≤+∈Z ，令0k =，得131216ω-≤≤，故3016ω<≤；当217,34162k kk ω+≤≤+∈Z ，令0k =，得17416ω≤≤；综上ω∈3170,16416⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，.故选：D.5.a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，若2222022a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+（）A.1011B.2022C.2020D.2021【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理得22021cos 2c C ab =，再由三角恒等变换及正弦定理得22tan tan 2cos tan (tan tan )A B ab CC A B c =+即可求解.【详解】因为2222022a b c +=，由余弦定理得22222021cos 22a b c c C ab ab+-==，2sin sin 2sin sin 2tan tan cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin tan (tan tan )cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B C A B A BC A B C A B C A B C A B ==++⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭()()22sin sin cos 2sin sin cos 2sin sin cos sin sin sin sin sin A B C A B C A B CC A B C C Cπ==⋅+⋅-=，由正弦定理可得22212tan tan 2cos 2tan (ta 20212n 02n ta )2A B ab C ab C A B c c c ab==⋅+=.故选：D.6.已知直线l 是曲线ln y x =与曲线2y x x =+的一条公切线，直线l 与曲线2y x x =+相切于点()2,a a a +，则a 满足的关系式为（）A.()21ln 210a a +-+= B.()21ln 210a a +++=C.()21ln 210a a --+= D.()21ln 210a a -++=【答案】C 【解析】【分析】求导，根据切点处的导数值为切线的斜率，以及由两切点的坐标，根据两点间斜率公式，即可列出方程求解.【详解】记()ln y f x x ==得1()f x x'=,记2()g x x x =+得()21g x x '=+，设直线l 与曲线()ln f x x =相切于点(),ln b b ，由于l 是公切线，故可得()()()()()f b g a g a f b g a a b⎧=⎪⎨-''=-'⎪⎩，即2121ln ()21a b a a b g a a a b ⎧=+⎪⎪⎨+-⎪==+'⎪-⎩化简得()21ln 210a a --+=，故选：C7.已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x m f x ++=有6个不同的实数根，则m的取值范围是（）A.13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭ B.13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D.134,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围，进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点.当2440m ∆=-⨯<，即44m -<<时，不合题意；当2440m ∆=-⨯=，即4m =±时，易得2t =或2t =-，此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点，不合题意；故2440m ∆=-⨯>，4m >或4m <-，设240t mt ++=的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由韦达定理124t t =，且12,2t t ≠.①当12,0t t <时，()1f x t =与()2f x t =均无零点，不合题意；②当12,0t t >时：1.若101t <<，则24t >，此时()1f x t =有4个零点，()2f x t =有2个零点，合题意；2.若112t ≤<，此时()1f x t =有3个零点，则()2f x t =有且仅有3个零点，此时223t <≤，故1423t ≤<；综上可得101t <<或1423t ≤<.又12t t m +=-，故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1，4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数.故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()f x 零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.8.已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足42()e ()0,(1)e ,()x f x f x f f x '+-==为()f x 的导函数，当[0,3)x ∈时，()2()f x f x '>，则不等式24e (2)e x f x -<的解集为（）A.(2,1)-B.(1,5)C.(1,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()2exf xg x =，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】令()()2exf xg x =，所以()()2e xf xg x =，因为()()4e0xf x f x +-=，所以()()242e e e 0x x x g x g x -⋅+⋅-=，化简得()()0g x g x +-=，所以()g x 是()3,3-上的奇函数；()()()()()2242e 2e 2e ex x x xf x f x f x f xg x ''--'==，因为当03x ≤<时，()()2f x f x '>，所以当[)0,3x ∈时，()0g x '>，从而()g x 在[)0,3上单调递增，又()g x 是()3,3-上的奇函数，所以()g x 在()3,3-上单调递增；考虑到()()2221e 11e ef g ===，由()24e 2e x f x -<，得()()2224e e2e x x g x --<，即()()211g x g -<=，由()g x 在()3,3-上单调递增，得323,21,x x -<-<⎧⎨-<⎩解得15x <<，所以不等式()24e 2e xf x -<的解集为()1,5，故选：B.二､多选题（共4小题，每题5分，全部选对得5分，选错0分，部分选对2分）9.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若cos sin a b A B=，则4A π=B.若sin 2sin 2A B =，则此三角形为等腰三角形C.若1a =，2b =，30A =︒，则解此三角形必有两解D.若ABC 是锐角三角形，则sin sin cos cos A B A B +>+【答案】AD 【解析】【分析】由正弦定理可求A ，然后可判断A ；根据角的范围直接求解可判断B ；正弦定理直接求解可判断C ；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.【详解】由正弦定理可知sin sin a bA B =，又cos sin a b A B =，所以cos sin a a A A=，可得tan 1A =，因为(0,)A π∈，所以4A π=，A 正确；因为2(0,2),2(0,2)A B ππ∈∈，且角2A ，2B 最多有一个大于π，所以由sin 2sin 2A B =可知，22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；由正弦定理可得12sin 2sin 11b AB a⨯===，因为(0,)B π∈，所以2B π=，故此三角形有唯一解，C 错误；因为ABC 是锐角三角形，所以2A B π+>，即022A B ππ>>->，又sin y x =在(0,2π上单调递增，所以sin sin()cos 2A B B π>-=，同理sin sin()cos 2B A A π>-=，所以sin sin cos cos A B A B +>+，D 正确.故选：AD10.下列选项中正确的是（）A.若平面向量a ，b满足||2||2b a == ，则|2|a b - 的最大值是5；B.在ABC 中，3AC=，1AB =，O 是ABC 的外心，则BC AO ⋅的值为4；C.函数()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象的对称中心坐标为,062k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭Z k ∈D.已知P 为ABC 内任意一点，若PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则点P 为ABC 的垂心；【答案】ABD 【解析】【分析】利用数量积的运算律及性质计算判断A ；利用三角形外心及数量积计算判断B ；求出函数()f x 的对称中心判断C ；利用数量积运算律及垂直的向量表示判断D 作答.【详解】对于A ，因||2||2b a == ，则|2|5a b -==，当且仅当2b a =-时取等号，A 正确；对于B ，令边AB 的中点为D ，因O 是ABC 的外心，则⊥OD AB ，则211()22AO AB AD DO AB AB ⋅=+⋅== ，同理有21922AO AC AC ⋅== ,所以()4BC AO AC AB AO AC AO AB AO ⋅=-⋅=⋅-⋅=，B 正确；对于C ，由232k x ππ-=，Z k ∈得46k x ππ=+，Z k ∈，因此函数()f x 图象的对称中心为(,0)64k ππ+，Z k ∈，C 不正确；对于D ，点P 在ABC 内，由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得：()0PA PC PB -⋅= ，即0CA PB ⋅=，有PB CA ⊥，由PB PC PA PC ⋅=⋅，同理有PC AB ⊥，因此点P 为ABC 的垂心，D 正确.故选：ABD11.已知函数()11ln x f x x x -=-+，下列结论成立的是（）A.函数()f x 在定义域内无极值B.函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为5ln 282y x =+-C.函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点D.函数()f x 在定义域内有两个零点1x ，2x ，且121x x ⋅=【答案】ABD 【解析】【分析】求出定义域与导函数可判断A ；利用导数的几何意义可判断B ；利用函数单调性以及零点存在性定理可判断C ；根据选项C 可判断D.【详解】A ，函数()11ln x f x x x -=-+定义域为()()0,11,+∞ ，()()()()2211112011x x f x x x x x --+'=-=+>--，()f x ∴在()0,1和()1,+∞上单调递增，则函数()f x 在定义域内无极值，故A 正确；B ，由()()2121f x x x '=+-，则()()212522221f '=+=-，又()212ln 23ln 221f +=-=-+-，∴函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为()53ln 222y x +-=-即5ln 282y x =+-，故B 正确；C ，()f x 在()1,+∞上单调递增，又()112ln 10111e ef e e e e e ++-=-=-=<---，()22222222113ln 20111e ef e e e e e +-=-=-=>---，所以函数()f x 在()2,e e 存在0x ，使()00001ln 01x f x x x +=-=-，又20111e x e <<，即0101x <<，且()0000000011111ln ln 0111x x f x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-，即1x 为函数()f x 的一个零点，所以函数()f x 在定义域内有两个零点,故C 错误.D ，由选项C 可得10201,x x x x ==，所以121x x ⋅=，故D 正确.故选：ABD12.已知函数()2sin sin 2f x x x =，则（）A.函数()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B.()max338f x =C.函数()f x 的最小正周期为2πD.对22223sin sin 2sin 4sin 24nnnn N x x x x +∈⋅⋅⋅≤，【答案】ABD 【解析】【分析】根据二倍角正弦公式化简3()2sin cos f x x x =，求导，判断函数单调区间即可判断A,验证函数周期为π可判断C ，由单调性及周期可判断B ，利用三角函数的最值及有界性可判断D.【详解】()23sin sin 22sin cos f x x x x x == ，()()(22422222()23sin cos sin 2sin 3cos sin 2sin 4cos 1)f x x x x x x x x x ∴=-=-=-',22sin (2cos 1)(2cos 1)x x x =+-()0f x '=在(0,)x π∈上的根为22,33x x ππ==，当(0,(,)33x π2π∈π 时，()0f x '>，当(,)33x π2π∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭和2(,)3ππ上单调递增，在(,)33π2π上单调递减，故A 正确；又[]22()sin ()sin 2()sin sin 2()f x x x x x f x πππ+=++==，故函数是周期为π的函数，故C 错误；所以23333(0)()0,()()3228f f f ππ===⨯=，223333())()3228f π=⨯-=-，故()max8f x =，故B 正确；()3233233222sin sin 2sin 4sin sin sin 2sin 4s 2in 2nnx x x xx x x x ⋅⋅⋅= ()()()2222123[sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2]n n n x x x x x x x x -=⋅⋅32223i sin324883s88n4n n nnnx x⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎫⎢⎥≤⨯≤==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⨯⨯⨯⎣，故D正确.故选：ABD三､填空题（共4道题，每题5分，双填第一空2分，第二空3分）13.若00223a b ab a b>>++=，，，则2+a b的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】根据()2224a bab+≤，结合已知解不等式即可得出答案.【详解】解：因为0,0a b>>，所以()2224a bab+≤，则()222224a bab a b a b+++≤++，所以()22234a ba b+++≥，解得22a b+≥或26a b+≤-，当且仅当2a b=，即11,2a b==时，取等号，所以2+a b的最小值是2.故答案为：2.14.已知函数(1)y f x=+的图象关于直线3x=-对称，且对Rx∀∈都有()()2f x f x+-=，当2(]0,x∈时，()2f x x=+.则(2022)f=___________.【答案】2-【解析】【分析】根据给定条件，推理论证出函数()f x的周期，再利用周期性计算作答.【详解】因函数(1)y f x=+的图象关于直线3x=-对称，而函数(1)y f x=+的图象右移1个单位得()y f x=的图象，则函数()y f x=的图象关于直线2x=-对称，即(4)()f x f x--=，而对Rx∀∈都有()()2f x f x+-=，则(4)()2f x f x --+-=，即R x ∀∈，(4)()2f x f x +=-+，有(8)(4)2f x f x +=-++[()2]2()f x f x =--++=，因此函数()y f x =是周期函数，周期为8，又当2(]0,x ∈时，()2f x x =+，所以(2022)(25382)(2)2(2)242f f f f =⨯-=-=-=-=-.故答案为：2-15.已知函数3()6ln h x x x x =-+图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于m ，则实数m 的取值范围为__________．【答案】8m ≤【解析】【分析】由()()2121h x h x m x x ->-将问题转化为()y h x mx =-在()0,∞+上是增函数，求导后参变分离得2631m x x≤-+，构造函数求出最值即可求解.【详解】假设存在实数m ，使得函数()h x 的图象上任意不同的两点()()()()1122,,,A x h x B x h x 连线的斜率都大于m ，即()()2121h x h x m x x ->-，不妨设210x x >>，则问题可以转化为()()2211h x mx h x mx ->-，∴()y h x mx =-在()0,∞+上是增函数，∴26310y x m x '=-+-≥，即2631m x x ≤-+在()0,∞+上恒成立，设()()26310H x x x x =-+>，由()2660H x x x=->'，得1x >，()0H x '<，得01x <<.可知()H x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数．∴()H x 的最小值为()18H =.∴存在m ，且8m ≤.故答案为：8m ≤.16.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab-+-=，若4C π=，则A =___________；若ABC 为锐角三角形，则2cos ab B的取值范围是___________.【答案】①.58π②.82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式，即可求出()sin 1A B -=，结合34A B π+=，即可得出答案；进而可知()sin 2sin C A B =-，分别讨论2C A B =-或2C A B π+-=，结合题意即可求出64B ππ<<，由正弦定理将2cos a b B化简为22sin 33tan sin cos B B B B =-，代入即可求出答案.【详解】因为2222222cos a b a b c C c ab-+-==，所以222sin sin 2sin cos A B C C -=，()()sin sin sin sin sin 2sin A B A B C C -+=，2sin cos 2sin cos sin 2sin 2222A B A B A B A B C C +--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()sin sin sin 2sin A B A B C C +-=，由A B C π++=，则()sin sin sin 2sin C A B C C -=，即()sin sin 2A B C -=，代入4C π=，可得()sin sin 12A B π-==，则2A B π-=，且34A B π+=，解得58A π=.由()sin sin 2A B C -=，①当2C A B =-时，且A B C π++=，若ABC 是锐角三角形，则2A π<，所以2A C ππ=+<，不成立；②当2C A B π+-=时，且A B C π++=，所以2C B =，代入上式，可得3A B π+=，若ABC 是锐角三角形，则2A π<，所以32B π>，即6B π>，且2222sin sin 3sin cos 2cos sin 2cos sin cos sin cos sin cos a A B B B B Bb B B B B B B B +===()222222sin 2cos 1cos 2sin cos 2cos 12cos 14sin cos cos cos B B B B BB B B BB B-+⋅-+==-22222sin cos 44tan 13tan cos B B B B B +=-=--=-，又3tan ,13B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以282,cos 3a b B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：58π；82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.四､解答题（共6道题，17题10分，其余每题12分）17.在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=.（1）求A ；（2）若D 为BC 的中点，且ABC 的面积为332，AB =2，求AD 的长.【答案】（1）π3A =；（2）2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再切化弦并结合和角的正弦公式化简，即可计算作答.（2）由（1）的结论结合三角形面积定理求出AC ，再借助平面向量求解作答.【小问1详解】在ABC 中，由正弦定理得sin sin c C b B=，因tan 21tan A c B b +=，则sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B +=，即有2sin cos sin cos cos sin sin()sin C A A B A B A B C =+=+=，而0πC <<，sin 0C >，因此，1cos 2A =，而0πA <<，解得π3A =，所以π3A =.【小问2详解】由（1）知，π3A =，而AB =2，则1sin 222ABC S AB AC A AC =⋅== ，解得3AC =，因D 为BC 的中点，则2AB ACAD += ，于是得2222211π19(2)(23223cos )4434AD AB AC AB AC =++⋅=++⨯⨯= ，解得19||2AD = ，所以AD 的长为2.18.已知数列{}n a 是等差数列，23a =，56a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S -=．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）记21n n n n n a c a a b ++=⋅⋅，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12n T <．【答案】（1）1n a n =+，2nn b =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立方程组求首项和公差，求出数列{}n a 通项公式；退位相减求出数列{}n b 的通项公式；（2）对数列{}n c 进行裂项化简，进而通过裂项相消进行求和，即可得证.【小问1详解】由已知得11346a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12,1a d ==，所以1n a n =+，当1n =时，1122b b -=，12b ∴=①，当2n ≥时，112222n n n n b S b S ---=⎧⎨-=⎩，12n n b b -=②，由①②得2nn b =.【小问2详解】由（1）知，所以32(1)(2)n n n c n n +=⋅+⋅+1112(1)2(2)n n n c n n -⇒=-⋅+⋅+011223111111111()()()()2223232424252(1)2(2)1122(2)n n n n nT n n T n -⇒=-+-+-+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⇒=-⋅+12n T ⇒<.19.已知函数2()2cos cos f x x x x a ωωω=++（0>ω，a ∈R ）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 解析式的两个合理条件作为已知，条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-；条件③：()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2.求：（1）求函数()f x 的解析式；并求()f x 的单调递增区间、对称中心坐标；（2）若将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移π12单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]m 上的最小值为(0)g ，求m 的最大值.【答案】（1）π()2sin(2)16f x x =+-；ππ[π,π]36k k -++（Z k ∈）；ππ(,1)122k -+-（Z k ∈）（2）π3【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角将()f x 化为π()2sin(2)16f x x a ω=+++，然后根据函数性质选择条件求出ω和a ，进而得到π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用整体思想和正弦函数的单调性、对称性进行求解；（2）利用函数平移变换得()π2sin 416g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用函数的性质得到π7π4660m m ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩进行求解.【小问1详解】()22cos cos f x x x x aωωω=++πcos212sin 216x x a x a ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，当选条件①时，31a +=，解得2a =-；当选条件②时，πππ20π,Z 1262k k ωω⎛⎫⋅-+=≠+∈ ⎪⎝⎭，显然条件②不合理；当选条件③时，π22T =，即2ππ2T ω==，解得1ω=；综上所述，条件①③能确定函数()f x 解析式，且π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，得ππππ36k x k -+≤≤+，Zk ∈所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -++（Z k ∈）；令π2π6x k +=，得ππ122k x =-+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称中心坐标为π(π,1)12k -+-，Z k ∈；【小问2详解】将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到π2sin(416y x =+-的图象，再向右平移π12单位，得到函数πππ2sin[4(12sin(411266y x x =-+-=--的图象，即()2sin 416g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；因为[]0,x m ∈，所以πππ4,4666x m ⎡⎤-∈--⎢⎣⎦，因为()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，所以π7π4660m m ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得π03m <≤.所以m 的最大值为π3.20.已知函数()2ln x f x e x λ=-.（1）当2λ=时，求()f x 的图象在点1x =处的切线方程；（2）当1λ=时，判断()f x 的零点个数并说明理由；（3）若2()f x x x λ- 恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）222(1)20e x y e ---+=；（2）()f x 无零点，理由见解析；（3）2eλ≥.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求导()2xf x e x'=-，并判断导数的单调性，以及利用零点存在性定理说明存在0x 使()00f x '=，并利用导数判断函数的单调性，证明函数的最小值的正负，说明零点个数；（2）不等式等价于2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，构造函数x y e x =+，利用函数的单调性可知2ln x x λ≥，利用参变分离的方法，求λ的取值范围.【详解】（1）当2λ=时，2()2ln x f x e x =-，2(1)f e =，222()2,(1)22x f x e f e x'='=-∴-，∴切线方程为22(22)(1)y e e x -=--，即222(1)20e x y e ---+=（2）当1λ=时，2()2ln ,()x xf x e x f x e x-='=-，易知'()f x 在()0,∞+单调递增，且()1()40,1202f f e ''=-<=->，'()f x ∴存在唯一零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，002x e x =满足且当()00,x x ∈时，'()0,()f x f x <单调递减，当()0x x ∈+∞，时，'()0,()f x f x >单调递增.对02x e x =两边取对数，得：00ln 2ln x x =-0min 00002()()2ln 22ln 22ln 242ln 20x f x f x e x x x ∴==-=+->=->()f x ∴无零点.（3）由题意得，22ln x e x x x λλ-≥-，即22ln x e x x x λλ+≥+，即2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，易知函数x y e x =+单调递增，2ln x x λ∴≥，x()0,e e(),e +∞'()h x +0-()h x 单调递增极大值单调递减2ln x x λ∴≥，令2ln ()xh x x=，则222ln ()x h x x -'=，令'()0h x =得x e =，列表得，max 22()(),h x h e e eλ∴==∴≥.【点睛】关键点点睛：本题第三问考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键利用不等式22ln x e x x x λλ+≥+等价于2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，并且通过观察不等号两边的形式，构造函数x y e x =+，并判断单调性，根据单调性解不等式，这样问题迎刃而解.21.如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，21cos 7BAD ∠=．（1）求b 边的长度；（2）求ABC 的面积；（3）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且AEF 的面积为ABC 面积的16，求AG EF 的取值范围．【答案】（1）4（2（3）502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出b 和c 的关系式，进而求出b 的长度即可；（2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出cos BAC ∠，进而求出sin BAC ∠，再根据三角形面积公式求出面积即可；（3）首先设k A A D G = ，AB AE λ= ，AC AF μ=（[)1λμ∈+∞，，），根据三点共线公式得到2k λμ+=，再根据面积的倍数关系求出6λμ=，因此求出AG EF的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可．【小问1详解】由已知条件可知：12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C ⋅=⋅-⋅+⋅在ABC 中，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得2212cos 4ac B a b bc ⋅=-+在ABC 中，由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=得2222214a cb a b bc +-=-+4b c ∴=，又14c b =∴= ，【小问2详解】设BAC θ∠= AD为BC 边上中线1122AD AB AC∴=+ 则()21111cos 2cos 2222AB AD AB AB AC AB AB AC θθ=+=+=+178cos 2AD ===7co s AB AB AD BAD AD=∠== ①228cos 8cos 110θθ∴+-=()()12cos 114cos 1102θθθ∴-+=∴=或1114-由①，得1134cos 10cos cos sin 422θθθθ+>∴>-∴=∴=1sin 2ABCS AB AC θ∴=⋅⋅=uuur uuu r △【小问3详解】设AD k AG = ，AB AE λ=，AC AF μ= （[)1λμ∈+∞，，）1AE λ∴= ，4AF μ=1122222AB AC k AG AE AF AG AE D AFk kA λμλμ=+⇒=+⇒=+ 根据三点共线公式，得2kλμ+=()1AG E AD AF AEkF =-()1112AB AC AC AB k μλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2211111cos 2AC AB AB AC k θμλμλ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅+-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1cos 2θ=，θ为∠BAC ）1161222k μλμλ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭36λμλμλμ-=⋅+1sin 2661sin 2ABC AEF AB AC AE AF S S θλμθ⋅⋅==∴=⋅ △△66162AG EF λλλλ-∴⋅=⋅+ 22136λλ-=⋅+27316λ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭[][]2616166742μλλλ=≥⇒≤⇒∈⇒+∈，，217510662AG EF λ⎡⎤⇒≤≤⇒∈⎢⎥+⎣⎦，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域问题，需要一定的分析和解决问题的能力．22.已知函数()()ln 1f x x ax a R =-+∈.（1）函数()0f x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围：（2）求证：当2n N n *∈≥，时，222111111323n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：1221x x a <.【答案】（1）[)1,+∞（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）()0f x ≤在定义域内恒成立只需要()0f x ≤在定义域内满足()()max 0f x ≤，对a 进行分类讨论；（2）取1a =时，ln 1≤-x x ，然后将待证不等式的左边取对数，让左边的式子结构能和ln 1≤-x x 产生联系；（3）由题知12()()0f x f x ==，联立该两个方程，由于待求证表达式不含有a ，故想办法消去参数，只保留12,x x 的关系，然后构造函数进行解决.【小问1详解】函数定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()110f a =->，不满足题设；当0a >时，()0f x '=，1x a =，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()max 11ln 0f x f a a ⎛⎫==≤⎪⎝⎭，解得1a ≥.综上：a 的取值范围是[)1,+∞.【小问2详解】证明：由（1）得，当1a =时ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时等号成立，所以2211ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，结合对数的运算法则可得222222222111111111ln 111ln 1ln 1ln 1232323n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111111122312231n n n n n++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+=-⨯⨯--，所以222111111323e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以222111111323n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】由题意11ln 10x ax -+=，22ln 10x ax -+=，两式相减得()2211ln 0x a x x x --=，即2121ln x x a x x =-，故要证明1221x x a <，即证明()22112221ln x x x x x x -<，即证明()222122111212ln 2x x x x x x x x x x -<=-+，不妨设120x a x <<<，令()()21ln 21g t t t t t =--+>，()22ln 11112ln t g t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()()12ln 1h t t t t t =-+>，()()2210t h t t -'=-<，所以()h t 在()1,+∞上单调递减，()()10h t h <=，所以()g t 在()1,+∞上单调递减，()()10g t g <=，21ln 20t t t--+<在()1,+∞上成立，令21x t x =，得()222122111212ln 2x x x x x x x x x x -<=-+，所以1221x x a <.第24页/共24页。

辽宁省沈阳市东北育才学校2021届高三数学第八次模拟试题理(含解析).doc

东北育才学校高中部2021届高三第八次模拟数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（） A. N M ⊆B. M N ⊆C. M N ⋂=∅D.M N R =【答案】B 【解析】【分析】求解出集合M ，根据子集的判定可得结果.【详解】由题意知：()(){}{}12012M x x x x x =--≤=≤≤，则M N ⊆ 本题正确选项：B【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.2.记复数z 的虚部为Im()z ，已知z 满足12iz i =+，则Im()z 为（） A. 1- B. i -C. 2D. 2i【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算求得z ，从而可得虚部. 【详解】由12iz i =+得：()212122i ii z i i i++===- ()Im 1z ∴=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到z a bi =+的形式.3.已知公比不为1的等比数列{}n a 满足15514620a a a a +=，若210m a =，则m =（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的性质可求得21010a =，从而求得结果.【详解】由等比数列性质得：222155146*********a a a a a a a +=+==21010a ∴= 10m ∴=本题正确选项：B【点睛】本题考查等比数列性质的应用，属于基础题.2=表示的曲线方程为（） A. 221(1)-=≤-x y x B. 221(1)-=≥-x y x C. 221(1)-=≤-y x y D. 221(1)y x y -=≥【答案】C 【解析】【分析】根据方程的几何意义可知已知方程表示的轨迹为双曲线的下半支，从而可根据双曲线的定义求得曲线方程.(),x y 到点(的距离(),x y 到点(0,的距离2=表示动点(),x y 到(和(0,的距离之差为2符合双曲线的定义，且双曲线焦点在y 轴上又动点到(的距离大于到(0,的距离，所以动点(),x y 轨迹为双曲线的下半支则：c =1a = 2221b c a ∴=-=∴曲线方程为：()2211y x y -=≤-本题正确选项：C【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解标准方程的问题，关键是能够明确已知方程的几何意义.5.已知向量()2,1m x =，(),2n x =，命题1:2p x =，命题:q 0,λ∃>使得m n λ=成立，则命题p 是命题q 的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据12x =可知12m n =；若()0m n λλ=>，可知0x =或12x =；综合可得结果.【详解】若12x =，则1,14m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12m n ∴=则命题p 是命题q 的充分条件若()0m n λλ=>，则22x x =，解得：0x =或12x = 则命题p 是命题q 的不必要条件综上所述：命题p 是命题q 的充分不必要条件本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定问题，涉及到向量共线定理的应用.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为( )A. 3B.12x x C. 5D. 2【答案】A 【解析】由三视图可得几何体的直观图如图所示：有：PB ⊥面ABC ，PB 2=，△ABC 中，AB ?AC BC 2==，，BC 边上的高为2，所以AB AC 5,PA 3,PC 2====，该三棱锥最长的棱的棱长为PA 3=. 故选A.点睛; 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.4月30日，庆祝东北育才学校建校70周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学生代表、清华大学校长和北京大学校长各1人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校长不相邻，则不同的安排方法为( ) A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种【答案】C 【解析】【分析】采用插空法即可求得结果.【详解】采用插空法可得安排方法有：323461272A A =⨯=种本题正确选项：C【点睛】本题考查排列问题中的相离问题的求解，常用方法为插空法，属于基础题.8.已知257017(232)(1)+--=++x x x a a x a x ，则0246a a a a +++=( )A. 24B. 48C. 72D. 96【答案】B 【解析】【分析】分别取1x =和1x =-，得到系数间的关系，通过作和可求得结果. 【详解】令1x =，则012345670a a a a a a a a +++++++= 令1x =-，则()5012345673296a a a a a a a a -+-+-+-=-⨯-= 两式作和得：()0246296a a a a +++= 024648a a a a ∴+++= 本题正确选项：B【点睛】本题考查二项式的系数的性质和应用，关键是能够通过赋值法求解出系数之间的关系.9.设3log 6a =，5log 10b =，61log 2=+c ，则（） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数运算将,a b 变形为31log 2+和51log 2+，根据真数相同的对数的大小关系可比较出三个数之间的大小.【详解】()333log 6log 321log 2a ==⨯=+；()555log 10log 521log 2b ==⨯=+ 又356log 2log 2log 2>> c b a ∴<< 本题正确选项：D【点睛】本题考查利用对数函数的图象比较大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式.10.已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值1-，则a 的最大值（） A. 2π-B. 3π-C.4D. 6π-【答案】B 【解析】【分析】根据x 在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上，求内层函数范围，结合余弦函数的性质可得答案. 【详解】函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵,2x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴222,333⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x a πππ ()f x 在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值﹣1，根据余弦函数的性质，可得23-≤-a ππ可得3≤-a π，故选：B ．【点睛】本题主要考查了余弦定理的图象性质的应用，属于基础题．11.已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（） A.1320B.920C.15D.120【答案】C 【解析】【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴==本题正确选项：C【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.12.己知椭圆()222210x y a b a b+=>>直线l 过左焦点且倾斜角为3π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（）A.7【答案】D 【解析】【分析】假设直线方程，求得圆心到直线的距离d ，利用弦长等于,a c 的齐次方程，从而求得离心率.【详解】由题意知，椭圆左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c 设直线l 方程为：()3y x c =+，即330x y c -+= 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a∴圆心到直线l 的距离33c d c ==222232224c ad a c∴=-=-，整理得：2247c a = ∴椭圆的离心率为4277c a ==本题正确选项：D【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用直线被圆截得的弦长构造出关于,a c 的齐次方程.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入288,123==a b 时，输出的a =_____.【答案】3 【解析】【分析】解法一：按照程序框图运行程序，直到r 0=时，输出结果即可；解法二：根据程序框图的功能可直接求解288与123的最大公约数.【详解】解法一：按照程序框图运行程序，输入：288a =，123b = 则42r =，123a =，42b =，不满足r 0=，循环；则39r =，42a =，b 39=，不满足r 0=，循环；则3r =，39a =，3b =，不满足r 0=，循环；则r 0=，3a =，0b =，满足r 0=，输出3a =解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数因为288与123的最大公约数为3 3a =∴ 本题正确结果：3【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果、程序框图的功能问题，属于基础题.14.已知三棱锥P ABC -中，侧棱3PA PB PC ===,当侧面积最大时，三棱锥P ABC -的外接球体积为____【答案】323π 【解析】【分析】当三棱锥侧面积最大时，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，可知以PA ，PB ，PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥P ABC -的外接球，长方体外接球半径为体对角线的一半，从而求得半径，代入球的体积公式得到结果.【详解】三棱锥P ABC -的侧面积为：222APB APC BPC ∠+∠+∠ APB ∠，APC ∠，BPC ∠相互之间没有影响∴当上述三个角均为直角时，三棱锥P ABC -的侧面积最大此时PA ，PB ，PC 两两互相垂直∴以PA ，PB ，PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥P ABC -的外接球∴外接球半径2R ==∴三棱锥P ABC -的外接球的体积：343233V R ππ==本题正确结果：323π 【点睛】本题考查多面体的外接球体积的求解问题，关键是能够通过侧面积最大判断出三条棱之间的关系.15.设函数ln ,0()(1),0xx x f x x e x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 的取值范围是____. 【答案】(0,1] 【解析】【分析】将问题转化为()y f x =与y b =有三个不同的交点；在同一坐标系中画出()y f x =与y b =的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.【详解】函数()()g x f x b =-有三个零点等价于()y f x =与y b =有三个不同的交点当0x ≤时，()()1xf x x e =+，则()()()12x x xf x e x e x e '=++=+()f x ∴在(),2-∞-上单调递减，在(]2,0-上单调递增且()212f e-=-，()01f =，()lim 0x f x →-∞= 从而可得()f x 图象如下图所示：通过图象可知，若()y f x =与y b =有三个不同的交点，则(]0,1b ∈ 本题正确结果：(]0,1【点睛】本题考察根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.16.已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的*,r t N ∈，都有2r t S r S t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n a =_____ 【答案】21n - 【解析】【分析】令r n =，1t n =+，*n N ∈，可知()2211n n S n S n +=+；假设2n S n k =，()211n S n k +=+，利用11a S =可求得k ，得到n S 和1n S +；根据11n n n a S S ++=-可求得1n a +，进而得到n a .【详解】若r n =，1t n =+，*n N ∈，则()2211nn S n S n +=+ 令2n S n k =，()211n S n k +=+则111a S k === 2n S n =∴，()211n S n +=+()()2211121211n n n a S S n n n n ++∴=-=+-=+=+- 21n a n ∴=-经验证，1n =时，满足21n a n =- 综上所述：21n a n =- 本题正确结果：21n -【点睛】本题考查利用数列前n 项和求解数列通项的问题，关键是能够通过赋值的方式得到n S .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC中，a =120A ∠=︒，ABCb c <．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos2B 的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）13 14.【解析】【分析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得,b c的值.（II）利用正弦定理求得sin B的的值，利用二倍角公式求得cos2B的值.【详解】解：（Ⅰ）由已知得2221=2=2120.S bcsinA b c bccos⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c⎧⎨+⎩解得=1,=4b c⎧⎨⎩，或=4,=1.b c⎧⎨⎩因为b c<，所以1b=．（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B=，即sin B=．所以2213cos2=12sin121414B B⎛-=-= ⎝⎭【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.18.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。

2020-2021学年辽宁省高考数学一模试卷（理科）及答案解析

2020-2021学年辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）及答案解析辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．404．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣36．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．27．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20009．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣111．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．112．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为．三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．20．已知中⼼在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离⼼率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三⾓形中⾯积的最⼤值为．（Ⅰ）求椭圆M的标准⽅程；（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另⼀交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求的取值范围．21．已知函数f（x）=2e x﹣（x﹣a）2+3，g（x）=f′（x）．（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯⼀零点；（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．请考⽣在第22、23、24题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：⼏何证明选讲]22．如图，正⽅形ABCD边长为2，以D为圆⼼、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EF?FC的值．[选修4-4：坐标系与参数⽅程]23．在平⾯直⾓坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，直线l 的极坐标⽅程是，圆C的极坐标⽅程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆⼼，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数⽅程是（t 为参数），求a，b的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满⾜a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．参考答案与试题解析⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进⾏求解即可．【解答】解：Q={x|x2﹣2x≥0}={x|x≥2或x≤0}，U Q={x|0＜x＜2}，则P∪?U Q={x|0＜x≤2}，故选：B．2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】把等式z（1+i）=1两边同时乘以，然后利⽤复数的除法运算化简复数z，求出z后可得z的共轭复数．【解答】解：由z（1+i）=1，得，∴=．故选：A．3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．40【考点】等差数列的前n项和．【分析】利⽤等差数列的通项公式及前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，∴{a n}的前5项和：S5====35．故选：C．4．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】直线与圆相交的性质；平⾯向量的基本定理及其意义．【分析】设AB的中点为D，有=+=2，即圆⼼到直线的距离等于半径的⼀半，由点到直线的距离公式列⽅程解出实数k的值．【解答】解：设AB的中点为D，有=+=2，∴||=2||=R=2，∴||=1．由点到直线的距离公式得1=，解得k=0，故选：C．5．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，利⽤⽬标函数的⼏何意义，利⽤数形结合确定z的最⼤值．【解答】解：作出不等式组对应的平⾯区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最⼩，此时z最⼤．由，解得，即C（1，）将C的坐标代⼊⽬标函数z=2x﹣y，得z=2﹣=．即z=2x﹣y的最⼤值为．故选：A．6．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执⾏程序，依次写出前⼏次循环得到的m，i的值，观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得当i=2017时不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．【解答】解：模拟执⾏程序，可得m=2，i=1满⾜条件i≤2016，m=﹣3，i=2满⾜条件i≤2016，m=﹣，i=3满⾜条件i≤2016，m=，i=4满⾜条件i≤2016，m=2，i=5…观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得满⾜条件i≤2016，m=，i=2016满⾜条件i≤2016，m=2，i=2017不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．故选：D．7．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【考点】在实际问题中建⽴三⾓函数模型．【分析】根据选择项设出函数的解析式，利⽤待定系数法结合三⾓函数的图象和性质求出A，ω和φ的值即可．【解答】解：由选项设y=﹣Acos（ωx+φ）+k．摩天轮12分钟旋转⼀周，则函数的周期T=12，即=12，则ω=，排除A，B最⼩值2，最⼤值为36+2=38，即A+k=38，﹣A+k=2，得k=20，A=18，即y=﹣18cos（x+φ）+20，当∠P0OP1=15°，对应的时间x==，函数取得最⼩值2，即﹣18cos（×+φ）+20=2，cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，则φ=2kπ﹣，k∈Z，则当k=0时，φ=﹣，即y=﹣18cos（x﹣）+20=﹣18cos（x﹣）+20，故选：D8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.2000【考点】列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率；正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到⼤于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．【解答】解：∵y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限，∴1﹣a≤﹣1，∴a≥2，随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000，∴P（1＜a＜2）=0.3000，∴P（a＞2）=0.2000，∴函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为=0.2500，故选：C9．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图知该⼏何体⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，由三视图求出⼏何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出⼏何体的体积．【解答】解：由三视图得该⼏何体是⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，其中截⾯是平⾯ABC，且棱柱和棱锥底⾯是俯视图：等腰直⾓三⾓形，两条直⾓边是2，棱柱⾼为2，棱锥的⾼是2，∴底⾯⾯积S=×2×2=2，∴⼏何体的体积V==，故选：C．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数单调性的关系进⾏求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，若函数f（x）为R上的单调减函数，则满⾜当x＞0时，函数为减函数，且当x=0时，﹣1﹣a≤0，此时，即，即﹣1≤a≤0，故选：B11．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．1【考点】点、线、⾯间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆⼼为M，协S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从⽽得到ME=SD=，进⽽求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中⼼的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同⼀球⾯上，点S到平⾯ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆⼼为M，过S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．12．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】由存在x0∈（0，1），使ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴，故a⼤于或等于f′（x），再根据f′（x）的单调递增，且f′（0）=1，从⽽求得a的范围．【解答】解：∵存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，∴≥＞1，∴ax0≥ln（2+x0）﹣ln（2﹣x0），即ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴（0＜x＜1），故直线y=ax不能恒在函数y=f（x）的下⽅，故直线y=ax的斜率a⼤于或等于f′（x）．则f′（x）=+=＞1，f（x）在（0，1）上单调递增．∵x∈（0，1），∴f′（x）是增函数，⼜f′（0）=1，∴f′（x）＞0，故a＞1，故选：B．⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．【考点】⼆倍⾓的正弦．【分析】由条件利⽤半⾓公式求得sin2α的值．【解答】解：∵cos2（α+）==﹣sin2α=，则sin2α=，故答案为：．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．【考点】平⾯向量数量积的运算．【分析】对|λ+|取平⽅，将问题转化为求关于λ的⼆次函数得最值问题解决．【解答】解：=3，=3×2×cos60°=3．∴|λ+|2==9λ2+6λ+4=9（λ+）2+3．∴当时，|λ+|2取得最⼩值3．∴|λ+|的最⼩值为．故答案为：．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三⾓形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2?6a?4a?∴c= a∴=故答案为：．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为12 ．【考点】等⽐数列的前n项和；⼀元⼆次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和．【分析】设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得关于这两个量的⽅程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最⼤为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利⽤正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利⽤⼤边对⼤⾓可得A为锐⾓，可求cosA，利⽤三⾓形内⾓和定理，两⾓和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）设a=2t，b=3t，由已知可求，利⽤余弦定理即可得解cosC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB⼜∵B=60°，代⼊得3sinA=2sin60°，解得．∵a：b=2：3，∴A＜B，即∴．…（Ⅱ）设a=2t，b=3t，则，则．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．【考点】⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法；直线与平⾯垂直的性质．【分析】（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平⾯ABCD，由线⾯垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线⾯垂直的判定定理得到DF⊥平⾯PAF，再由线⾯垂直的性质定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）由PA⊥平⾯ABCD，可得∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的平⾯⾓，解三⾓形MNF可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：连接AF，则，⼜AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF⼜PA⊥平⾯ABCD，∴DF⊥PA，⼜PA∩AF=A，∴（Ⅱ）∵PA⊥平⾯ABCD，∴∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD ﹣F的平⾯⾓∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴，∵，且∠FMN=90°∴，，∴19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．【考点】线性回归⽅程；离散型随机变量的期望与⽅差．【分析】（Ⅰ）根据题意，得出X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望EX；（Ⅱ）计算、，求出、，写出y关于x的线性回归⽅程，得出利润函数L（x）的解析式，利⽤⼆次函数的性质求出L（x）的最⼤值与对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2；满⾜90≤x+y＜100的有3组，所以P（X=0）==，P（X=1）==，。

辽宁东北育才高中部2022届高三第八次模拟考试试题数学(理) Word版含答案

1 2 34 028 02337 1244823东北育才学校高中部2021——2022学年度高三第八次模拟考试理科数学试题使用时间：2022.5.18 命题人：高三数学备课组第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，该茎叶图表示的是北方图书城某台自动售书机连续15天的售书数量(单位：本)，图中的数字7表示的意义是这台自动售书机在这15天中某天的售书数量为A ．7本B ．37本C ．27本D ．2337本 2.命题“若2a b <，则b a b <<-”的逆否命题为A. 若2a b ≥，则a b a b ≥≤-或B. 若2a b >，则a b b ><-或aC. 若a b a b ≥≤-或，则2a b ≥ D.若a b b ><-或a ，则2a b >3.复数i z +=1，则=+z z 11 A.1 B.1- C.i D.i -4.已知集合}1|{2x xy y A +==，)}12ln(|{+==x y x B ，则=B AA.），121(- B.]121(，- C.)21,21(- D.]2121(，-5.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自112×(底面的圆相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V ＝周长的平方×高)．则由此可推得圆周率π的取值为A.3B.14.3C.2.3D.3.3 6.执行如图所示的程序框图，假如输出S=5，那么推断框内应填入的条件是A ．k ≤30B ．k ≤31C ．k ≤32D ．k ≤337.化简=-40sin 125cos 40cosA.1B.2C.3D.28.已知不等式组210x y x y ≤⎧⎪≥⎨-≥⎪⎩的解集记为D ,则对(,)x y D ∀∈使得2z x y =-取最大值时的最优解是A. 3B.4C. (2,2)D. (2,1)9.设21F F 、分别是双曲线154:22=-y x C 的左右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且021=⋅PF PF，则=+||21PF PFA.4B.6C.142D.7410.若()sin()cos()(0)f x x x ωϕωϕω=+++>的最小正周期为π，(0)2f =，则A ．()f x 在(,)44ππ-单调递增 B ．()f x 在(,)44ππ-单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在(0,)2π单调递减 11．假如某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是A ．10B ．11C ．10或11D ．12 12.若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为()(),0m n n <，且(),m n 中只有一个整数，则实数a 的取值范围是A.)21,322e e （B. )21,32[2e eC.)1,322e e （D.)1,32[2e e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知63)(x a x +的开放式中，常数项为40，则=⎰dx x a 1014.某一简洁几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为15.在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且2,3,4===c b a ，若点D 为线段BC 上靠近B 的一个三等分点，则线段AD 的长为16.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线0:=++a y x l 与点)0,2(A ，若直线l 上存在点M 满足||2||MO MA =（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分。

辽宁省大连市2021届高三第一模拟考试数学(理)试题(含答案)

2021年高三第一次模拟考试数学（理科）能力测试第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合{|13}A x x =-<<，集合1{|39}3x B x =<<，则A B = A ．()1,2 B ．()1,2- C ．()1,3 D ．()1,3-2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z ⋅=A ．43i -+B ．43i -C ．34i --D ．34i -3、已知向量(2,1),(0,1)a b =-=，则2a b +=A 5．22．2 D ．44、已知函数()5log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())25f f = A ．4 B ．14 C ．4- D ．14- 5、已知,{1,2,3,4,5,6}x y ∈，且7x y +=，则2x y ≥的概率为 A ．23 B ．13 C ．12 D ．566、已知tan 2,αα=为第一象限角，则sin 2cos αα+的值为A ．5B ．4255+ C ．455+ D ．525- 7、如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点P 是线段CD 中点，则三棱锥11P A B A -的左视图为8、将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为A 3．12 C ．12- D ．39、执行如图所示的程序框图，如果输入110011a =，则输出的结果是A ．51B ．49C ．47D ．4510、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线C 的渐近线相切与双曲线C 在第一象限的交点为M ，且MF 与双曲线C 的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为A 552．2 11、在ABC ∆中，D 是BC 的中点，已知90BAD C ∠+∠=，则ABC ∆的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12、已知偶函数()f x 的定义域为(1,0)(0,1)-，且1()02f =，当01x <<时，不等式()()21()ln(1)2x f x x f x x'-->恒成立，那么不等式()0f x <的解集为 A ．11{|01}22x x x -<<<<或 B ．11{|11}22x x x -<<-<<或 C ．11{|0}22x x x -<<≠且 D ．11{|10}22x x x -<<-<<或第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

辽宁省2021届高三数学下学期一模考试试题理(含解析)

辽宁省2021届高三数学下学期一模考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 1，z 满足z 1＝﹣1﹣i ，z 1z ＝4，则复数z 在复平面内对应点的坐标为（） A. （2，﹣2） B. （﹣2，2）C. （2，2）D. （﹣2，﹣2）【答案】D 【解析】【分析】把z 1＝﹣1﹣i 代到z 1z ＝4变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得z 得答案。

【详解】解：由z 1＝﹣1﹣i ，z 1z ＝4，得z ()()()1414422111i i z i i i -+====-+-----+， ∴22z i =--．则复数z 在复平面内对应点的坐标为（﹣2，﹣2）．故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lgx }，B ＝{x |﹣7＜2+3x ＜5}，则∁U （A ∪B ）＝（） A. {x |0＜x ＜1} B. {x |x ≤0或x ≥1}C. {x |x ≤﹣3}D. {x |x ＞﹣3} 【答案】C 【解析】【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集、补集的运算即可．【详解】解：A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |﹣3＜x ＜1}； ∴A ∪B ＝{x |x ＞﹣3}； ∴∁U （A ∪B ）＝{x |x ≤﹣3}．故选：C ．【点睛】考查描述法的定义，对数函数的定义域，以及并集、补集的运算．3.已知α∈（22ππ-，），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°si n46°，则sinα＝（） A.5 B. 5-C.25D. 25-【答案】A 【解析】【分析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解．【详解】解：由tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin （76°﹣46°）＝sin30°12=，且α∈（22ππ-，），∴α∈（0，2π），联立22121sin cos sin cos αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sinα5=．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题．4.函数f （x ）221x x +=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，函数满足()()22x -x 2x 1(x)2x 1f x f x e e x -+-+-==-=-+，即()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，又由当y FE AE =-22时，()f x 0>恒成立，排除A ，D ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，再利用函数值排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

辽宁省沈阳市东北育才学校2021届高三数学上学期第三次模拟考试试题理.doc

辽宁省沈阳市东北育才学校2021届高三数学上学期第三次模拟考试试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 设集合{|11}A x x =-<，{(,)|13}B x y y x ==-，则A B =（）A.[)0,2B.1(0,)3C.∅D.(2,)+∞2.复数2(i 1)41z i -+=+的虚部为（）A.B.C. D.i -3.已知直线1:70l x my ++=和2:(m 2)320l x y m -++=互相平行，则实数m =（） A.或3 B.C.D.或4.已知向量a )2,1(-=x ，b )1,2(=，则“0x >”是“a 与b 夹角为锐角”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（） A.6 B ．7 C ．10 D ．96.将函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到的新函数的一个对称中心是（） A.(,1)2πB.(,1)9πC.(,0)2πD.(,1)4π7.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A.30(31)mB.120(31)mC.m )12(180-D.240(31)m30 ° ABC75° 60mi 3-8.三个数4.04.01.11.1,1.1log ,4.0大小关系是（）A ．1.10.4＜0.41.1＜log 0.41.1B ．0.41.1＜log 0.41.1＜1.10.4C ．log 0.41.1＜1.10.4＜0.41.1D ．log 0.41.1＜0.41.1＜1.10.49.设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是 ( )A.]6,3[B.]34,3[+C.]6,34[-D.]34,34[+- 10.已知点是内部一点，满足2350OA OB OC ++=，且OAC ∆的面积为1S ，的面积为2S 则12S S =( ) A. 310 B. 38 C. 25 D. 42111. 定义域为R 的函数)(x f y =,若对任意两个不相等的实数21,x x ，都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①13++-=x x y ②)cos (sin 23x x x y --= ③1+=xe y ④1sin x x xy e e π-=+其中为“H 函数”的有（）A.①②B.③④C. ②③D. ①②③12.经过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于,M N 两点，若O 是坐标原点，△OMN的面积是223a ，则该双曲线的离心率是 ( )A.2B.5C.52D.62二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数23()sin 3cos ,(0,)42f x x x x π⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦的最大值是______． 14. 过原点O 作圆0208622=+--+y x y x 的两条切线，设切点分别为Q P 、,则直线PQ 的方程是 ______．15.设定义域为R 的函数()f x 满足'()(),f x f x >则不等式1()(21),x e f x f x -<-解集为______．16. 已知椭圆221164x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在直线:38230l x y -++=上，当12F PF ∠取最大值时，12PF PF =______．三、解答题：本大题共6小题，共70分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a ,,，且0cos cos )2(=+-B a A c b ．（1）求角A ；（2）若52=a ，552cos =B ，求BA 的长度．18.2021年电商“双十一”大战前夕.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对沈阳地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示： (年龄单位：岁)年龄段 [15，25) [25，35) [35, 45) [45，55) [55，65) [65，75] 频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 购物人数828241221(1) 若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2x2列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？(2) 若从年龄在［55， 65)，［65， 75］的样本中各随机选取2 人进行座谈，记选中的 4人中"使用网上购物”的人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据参考公式：19. 四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 面⊥，底面ABCD 为 20. 菱形，且有1=AB ，2=AP ，︒=∠120BAD ，E 为PC 中点．（Ⅰ）证明：BED AC 面⊥；（Ⅱ）求二面角C AB E --的平面角的余弦值． 20.设函数()(m )=-xf x x e（1）求函数()f x 的极值；（2）当0>x 时，()4<+f x x 恒成立，求整数m 的最大值.（参考数值7183.2≈e ，4817.423≈e ）21.已知)0,2(P 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于B A 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线年龄低于45岁年龄不低于45岁总计使用网上购物不使用网上购物总计20()P k k ≥20()P k k ≥0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.8416.6357.87910.828PB PA 、的斜率之积为41-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若MB AM 2=，求OAB ∆面积的最大值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴极坐标，曲线1C 的方程：为参数）ααα(sin 2cos 2⎩⎨⎧+=+=y x ，曲线2C 的方程：)4sin(8πθρ+=．（1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标系方程；（2）从2C 上任意一点P 作曲线1C 的切线，设切点为Q ，求切线长PQ 的最小值及此时点P 的极坐标．23.设函数a x x f -=)(．（1）当2=a 时，解不等式17)(--≥x x f ；（2）若2)(≤x f 的解集为]3,1[-，)0,0(211>>=+n m a nm ，求证：3224+≥+n m ．东北育才学校高中部2021届高三第三次模拟考试试题答案选择题1-12： CBABB DBDAA CC填空题：13.1 14.34200x y +-= 15. 16.31-17.解：（1）△ABC 中，由a cos B ＝（c ﹣b ）cos A ，利用正弦定理可得sin A cos B ＝sin C cos A﹣sin B cos A ，化简可得 sin （A +B ）＝sin C cos A ，即 sin C ＝sin C cos A ，求得cos A ＝，∴A ＝．（2）由cos B ＝，可得sin B ＝，再由正弦定理可得，即，得b ＝22．△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos ∠A ，AB ＝6.18.解：由统计表得，低于45岁的人数为70人，不低于45岁的人数为30人2100(60151015)10014.28610.828703075257⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯k年龄低于45岁年龄不低于45岁总计使用网上购物 60 15 75 不使用网上购物 10 15 25 总计7030100故在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关（2）X 的可能取值为0，1，2，3223222531(X 0)10===C C P C C ，1122132232222253532(X 1)5==+=C C C C C P C C C C11122322222222535313(X 2)30==+=C C C C C P C C C C ，212222531(X 3)15===C C P C CX 的分布列为 X 0123P110 25 1330 115X 的数学期望为0123105301515=⨯+⨯+⨯+⨯=EX19.解：（Ⅰ）设O 为底面ABCD 的中心，连接EO ， ∵底面ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ∵△PAC 中，E 、O 分别是PC 、PA 的中点 ∴EO ∥PA ，又∵PA ⊥面ABCD ，∴EO ⊥面ABCD∵AC ⊂面ABCD ，∴AC ⊥EO 又∵BD 、EO 是平面BED 内的两条相交直线 ∴AC ⊥面BED （6分）（Ⅱ）以A 为原点，AD 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示坐标系，则可得∴（8分）设是平面ABE 一个法向量由，解得，所以取x 1＝1，，，可得，因为PA ⊥平面ABC ，所以向量即为平面ABC 的一个法向量，设＝（10分）∴根据题意可知：二面角E ﹣AB ﹣C 是锐二面角，其余弦值等于|cos ＜n 1，n 2＞|＝∴二面角E ﹣AB ﹣C 的平面角的余弦值为．（12分）20.解：（1）()f x 的定义域为R'()(m 1)=--x f x x e令'()0>f x ，解得1<-x m ；令'()0<f x ，解得1>-x m 当(,1)∈-∞-x m 时，()f x 单调递增，当(1,)∈-+∞x m 时，()f x 单调递减，1()=(1)极大值-∴-=m f x f m e ；无极小值 -----------------------4分（2）()4-<+xm x e x ，因为0x e >，所以4+<+x x m x e（0x >）恒成立设4g()+=+x x x x e，则 33g'()1+--=-+=x x x x e x x e e设h()3=--xx e x 则h'()1=-xx e 0>所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又23(1)40,() 4.4817 4.50,(2)52=-<≈-<=-h e h h e 所以存在03(,2)2∈x 使得0()0=h x ，当0(1,)x x ∈时，()0<h x ；当0(,)x x ∈+∞时，()0>h x所以g()x 在0(1,)x 上单调递减，0(,)x +∞上单调递增所以 00min 04g()+=+x x x x e又0()0=h x ，3=+x e x所以000min 00000441g()133++=+=+=++++x x x x x x x e x x令13t()1,(,2)32=++∈+x x x x 则'()0>t x 0()h x '，所以()t x 在3(,2)2上单调递增所以3()()(2)2<<t t x t ，即min 4916()185<<g x 因为m Z ∈，所以2m ≤，所以m的最大值为 2-------------------------------------1221.解：（1）设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则k PA•k PB＝＝﹣．又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，又a＝2，解得b＝1．∴椭圆C的标准方程为：+y2＝1．（2）设直线AB的方程为：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∵＝2，∴y1＝﹣2y2，∴+＝﹣，代入可得：m2＝．∴△OAB的面积S＝|m（y1﹣y2）|＝|my2|，∴S2＝m2•＝××＝9×．∴S＝＝≤1，当且仅当t2＝时取等号．∴△OAB面积的最大值为1．22.解：（I）曲线C1的方程：（α为参数），可得．由曲线C2的方程：．展开化为，化为x+y ﹣8＝0．（II）根据题意设曲线C1的圆心为M，则|PQ|＝，当|PQ|最短时，|PM|最小，当PM⊥C2时，|PM|最短，此时|PM|＝＝6，此时PM的直线方程为y＝x，可得P．化为极坐标P，|PQ|的最小值＝＝．23.解：（1）当a＝2时，不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，∴①，或②，或③．解①求得x≤﹣2，解②求得x∈∅，解③求得x≥5，∴不等式的解集为（﹣∞﹣2]∪[5，+∞）．（2）f（x）≤2，即|x﹣a|≤2，解得a﹣2≤x≤a+2，而f（x）≤2解集是[﹣1，3]，∴，解得a＝1，∴+＝1 （m＞0，n＞0）．∴m+4n＝（m+4n）•（+）＝3++≥3+2，当且仅当＝，即m＝+1，n ＝时，取等号．。

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开始结束输出是否,0S S k ==?2>S kS S 2-=2+=k k k东北育才学校高中部2017届高三第一次模拟数学试题(理科)考试时间:120分钟试卷满分:150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分. 1.已知集合2{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则 A.AB =∅ B ．B A ⊆C ．{0,1}A B =D ．A B ⊆2.复数ii -1)1(2+等于A ．i +1B ．i --1C ．i -1D ．i +-1 3.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6，则输入的整数0S 的可能值为A.5B.6C.8D.154.已知直线1sin cos :=+θθy x l ,且l OP ⊥于P ,O 为坐标原点, 则点P 的轨迹方程为A ．122=+y xB ．122=-y xC ．1=+y xD ．1=-y x5.函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是A.)1(2-=x e yB.1-=ex yC.)1(-=x e yD.e x y -= 6.“等式)2sin()sin(βγα=+成立”是“γβα、、成等差数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21=a ，542,2,a a a +成等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则=-410S SA.1008B.2016C.2032D.4032 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A ．90 B ．92 C ．98 D ．104 9.半径为4的球面上有D C B A 、、、四点，AD AC AB 、、两两互相垂直，则ADB ACD ABC ∆∆∆、、面积之和的最大值为A ．8B ．16C ．32 D.6410.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,0109<>S S ，则993322122,2,2aa a a ，中最大的是A ．12a B ．552aC ．662aD ．992a11.已知函数)()(()(321x x x x x x x f ---=）(其中321x x x <<)，)12sin(3)(++=x x x g ，且函数)(x f 的两个极值点为）（，βαβα<．设2,23221xx x x +=+=μλ，则A ．)()()()(μβλαg g g g <<<B ．)()()()(μβαλg g g g <<<C ．)()()()(βμαλg g g g <<<D ．)()()()(βμλαg g g g <<<12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点B A ,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若)R OB OA OP ∈+=μλμλ，（，8522=+μλ，则双曲线的离心率为( )A ．332B ．553C ．223D ．89第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题:本大题共4小题，每小题5分．13.若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且762++-=n n S n ，则数列{}n a 的最大项的值为___________.14.设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为___________.15. 已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为___________.16.已知函数xx a x f 22)(1+=+在]3,21[-上单调递增，则实数a 的取值范围_________.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知函数))(12(sin 2)62sin(3)(2R x x x x f ∈-+-=ππ(I)求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ)求使函数)(x f 取得最大值的x 的集合．18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，︒=∠60DAB ，,1,==⊥AD PD ABCD PD 平面点,E F 分别为AB 和PD 中点.(Ⅰ)求证:直线PEC AF 平面//； (Ⅱ)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．(I)若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；(II )以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“极安全”的人数，求X 的分布列及数学期望．20.(本小题满分12分)如图，已知直线1:+=my x l 过椭圆1:2222=+by a x C 的右焦点F ，抛物线:y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于B A 、两点，点B F A 、、在直线4=x g ：上的射影依次为点E K D 、、．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；FE BDCAP(Ⅱ)若直线l 交y 轴于点M ，且BF MB AF MA 21λλ==，，当m 变化时，探求21λλ+的值是否为定值？若是，求出21λλ+的值，否则，说明理由.21.(本小题满分12分)设x m =和x n =是函数21()ln (2)2f x x x a x =+-+的两个极值点,其中 m n <,a R ∈.(Ⅰ) 求()()f m f n +的取值范围; (Ⅱ) 若12a e e≥+-,求()()f n f m -的最大值.22.(本小题满分10分)选修4－1:几何证明选讲如图所示，已知⊙O 的半径长为4，两条弦BD AC ,相交于点E ，若34=BD ，DE BE >，E为AC 的中点，AE AB 2=.(Ⅰ) 求证:AC 平分BCD ∠； (Ⅱ)求ADB ∠的度数.23．(本小题满分10分)选修4－4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x (其中θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为01sin cos =+-θρθρ. (Ⅰ) 分别写出曲线1C 与曲线2C 的普通方程；(Ⅱ)若曲线1C 与曲线2C 交于B A ,两点，求线段AB 的长.24.(本小题满分10分) 选修4－5:不等式选讲已知函数|12|)(-=x x f . (Ⅰ)求不等式2)(<x f 的解集；(Ⅱ)若函数)1()()(-+=x f x f x g 的最小值为a ，且)0,0(>>=+n m a n m ，求nn m m 1222+++的最小值. .ABCDEO东北育才高中部第三次模拟数学(理科)答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.C2.D3.C4.A5.C6.B7.B8.D9.C 10.B 11.D 12.A 二.填空题:本大题共4小题，每小题5分．13.12 14.31280-x 15.525- 16.[﹣1，1]三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12)= 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1= 2sin(2x －π3) +1∴ T=2π2=π(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π2即x=k π+ 5π12(k ∈Z)∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π12 , (k ∈Z)}.18.解:(Ⅰ)证明:作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. …………2分 ∵21=k ，∴FM AB AE ==21， ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ， ……4分 ∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC . ……………6分MFBACDP。