完全平方公式的另类用法
完全平方公式的拓展
完全平方公式的变形一、完全平方公式()b a +2=a 2+b 2+ab 2()b a -2=a 2+b 2—ab 2 二、拓展一1、()b a +2—（b a 22+）= 。
例已知a+b=5,ab= —6，求b a22+的值 2、（b a 22+）—()b a -2= 。
例若x —y=3,xy=10,则y x 22+的值是多少 延伸题：已知x —y=4，y x 22+=20，求xy 的值, 拓展二3、()b a +2—()b a -2== 。
例：已知()y x +2=12，xy= —1求：()y x -2的值 延伸题：例已知()n m +2=11，()n m -2=7，求mn 的值 4、()b a +2+()b a -2= 。
例：()b a +2=15，()b a -2=7求：a 2+b 2的值5、⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 12=x 2+2x x 1.+x 21=x 2+2+x 21=x 2+x 21+2（1）由（1）式变形可以得到x 2+x 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 12—2⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 12=x 2+x 21—2 则⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 12—⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 12= 。
例：如果 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1=3,则x 2+x 21的值是多少： 延伸题：⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1=3 且x>x 1 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 12的值为多少 6、拆项法（一般是拆常数项,来拼凑完全平方公式，进行完全平方公式的逆运用） 例：a 2+b 2+4a —2b+5=0 求a 、b 的值 解：a2+4a+b 2—2b+5=0 a 2+2•a •2+4+b2—2•b •1+1.=0。
在这里将常数项5拆成4和1的和 ()22+a +()12-b =0.。
完全平方公式的逆运用 2+a =0 1-b =0所以a= —2 b=1例：已知y x 22++x 4—y 6+13=0，x,y 都是有理数，求x y 的值 7、如果9x 2—kxy+49y 2是一个完全平方公式，那么k 的值是（ ）A 、42B 、—42C 、21±D 、42±练习：1、如果a —b=8，ab=,20，求b a 22+的值 2、已知：a+b=8 ab=,24求，下列的值b a 22+ ()b a -2 3、如果 是一个完全平方公式，那么a 的值是（ ）．A ．2B ．－2C ．D ．。
完全平方公式的变形与应用
完全平方公式的变形与应用完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形：(1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+(2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+-(3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+ (4) 22221[()()]2a b a b a b +=++- (5) 221[()()]2ab a b a b =+-- (6) 2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-例1 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？解 设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75.由公式(1)，有：α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250.(答略，下同)例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.解 设长方形长为α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64.例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.证明 设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？解 设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64.设两正方形的面积之和为S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116(x 2+y 2) =132[(x+y)2+(x-y)2] =132[642+(x-y)2]. ∵(x-y)2≥0，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.解 设这两数分别为α、b ，则α+b=10，α2+b 2=52.由公式(5)，有：αb=12[(α+b)2-(α2+b 2)] =12(102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.求：α2+b 2+c 2-αb -bc-cα的值.解 由公式(6)有：α2+b 2+c 2-αb -bc-αc=12[(α-b)2+(b-c)2+(c-α)2] =12[(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.。
七下完全平方公式变形
七下完全平方公式变形完全平方公式是数学中一个重要的概念，它在解决一些特定类型的方程时起到了关键的作用。
这个公式的变形有时也能给我们带来一些启示，让我们对数学的世界有更深入的认识。
在我们的日常生活中，有时会遇到一些问题，比如需要求解一个方程，或者计算一个数的平方根。
这时候，完全平方公式就能派上用场。
它的原始形式是这样的：对于任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。
这个公式的应用非常广泛，可以解决各种各样的问题。
但是，我们也可以将完全平方公式进行一些变形，以适应不同的情况。
比如，我们可以将(a+b)²展开为a²+b²+2ab，或者将a²+2ab展开为(a+b)²-b²。
这样的变形虽然看起来很简单，但却能给我们带来一些启示。
通过变形，我们可以更好地理解完全平方公式的本质。
它其实是一种将平方求和的方法，通过将一个数的平方和两倍乘积相加，得到一个完全平方的和。
这个过程既简单又巧妙，让我们能够更好地理解数学的世界。
除了解决方程和计算平方根之外，完全平方公式还可以应用于其他领域。
比如，在几何学中，我们可以利用完全平方公式求解一些与平方有关的问题。
在物理学中，完全平方公式也有广泛的应用，可以帮助我们解决一些复杂的物理方程。
完全平方公式是数学中一个重要的概念，它的变形能够帮助我们更好地理解数学的世界。
通过灵活运用完全平方公式，我们可以解决各种各样的问题，从而更好地应对现实生活中的挑战。
希望大家能够充分理解完全平方公式的变形，将它应用到实际问题中，发现数学的美妙之处。
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
完全平方公式的灵活应用
完全平方公式的灵活应用类型一．已知（a+b ）2和（a ﹣b ）21. 已知（a+b ）2=25，（a ﹣b ）2=9，求ab 与a 2+b 2的值．2. 已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值．类型二．已知x ﹣或x+3. 已知x ﹣=3，求x 2+； 那么如果x+ =3，求x 2+类型三．已知a+b 和ab 类4. 已知a+b=5，ab=6．求下列各式的值：a 2+b 2和（a ﹣b ）2．5. 已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值．6.已知：a +b =3，ab =2，求下列各式的值：（1）a 2b +ab 2 （2）a 2+b 2类型四．已知x +y 与x 2+y 27.已知4=+y x ，1022=+y x ，求下列各式的值：（1）xy （2）y x -8. 已知a+b=3，322=+b a ，求下列各式的值：（1）ab （2）a b -()()()22y x y x y x +-+)3)(3(b a b a +-++平方差公式的灵活应用类型一. 两次以上运用平方差公式（a+b ）(a-b)(a 2+b 2) (a+2)(a-2)(a 2+4)（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）．(a+1)(a-1)(2a +1)(4a +1)(8a +1) (2-1)(2+1)(22+1)+1 (2+1)(22+1)(24+10)(28+1)(216+1)(232+1)+1类型二.需要先变形再用平方差公式(-2x-y)(2x-y) (y-x)(-x-y) (-2x+y)(2x+y) (4a-1)(-4a-1)类型三. 平方差公式的应用和逆用1已知 |x +y +5|+(x -y -9)2=0,求x 2-y 2的值2.已知228,4x y x y -=+=，求x -y 的值 3. 已知x 2-y 2=10,2x+2y=4，求x -y 的值4. 已知4x 2-9y 2=10,2x +3y =4，求2x -3y 的值5. 已知4x 2-9y 2=10,4x +6y =4，求2x -3y 的值大厦巍然屹立，是因为有坚强支柱，理想和信仰就是人生大厦支柱；航船破浪前行，是因为有指示方向罗盘，理想和信仰就是人生航船罗盘；列车奔驰千里，是因为有引导它铁轨，理想和信仰就是人生列车上铁轨。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。
下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。
一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。
例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。
解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。
二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。
例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。
解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。
三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。
例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。
解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。
完全平方公式8种变形
完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。
在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。
下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。
1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。
我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。
2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。
这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。
3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。
变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。
4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。
我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。
5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。
变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。
6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。
变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。
7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。
我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。
完全平方公式的几个拓展应用
完全平方公式的几个拓展应用完全平方公式是任何一个学生学习数学的一个重要部分。
这个公式通常被用于简化在数学中的一些复杂的运算。
然而，除了简化运算，完全平方公式还有许多其他的应用。
在本文中，我们将探讨完全平方公式的几个扩展应用，这些应用可帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学运算的效率。
一、完全平方公式的扩展完全平方公式是指一个二次多项式可以以平方的形式进行展开，这个公式可以表示为：$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$这个公式的意思是，一个数的平方可以分解为两个数的积加上这两个数的平方。
这个公式不仅仅应用于求一个数的平方，也可以用于求两个数字的积。
公式中的$a$和$b$可以取任意实数或复数。
二、完全平方差公式完全平方差公式是指任何二次多项式可以写成两个完全平方的差的形式，这个公式可以表示为：$$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$$这个公式可以帮助我们简化两个数的差的运算，而不是使用大量的减法来实现计算。
例如，假设我们需要计算$8^{2}-6^{2}$，我们可以使用完全平方差公式，将其写成$(8+6)(8-6)$的形式，最终答案为$2\times14=28$。
这在计算中非常有效，可以帮助我们简化运算，提高计算效率。
三、二次多项式的因式分解完全平方公式也可以通过二次多项式的因式分解来应用。
通过考虑二次多项式的因式，我们可以将其分解成可拆分为两个完全平方差的形式。
这个应用可以帮助我们避免使用一些复杂的运算方法，例如配方法。
例如，考虑二次多项式$x^{2}+6x+9$，我们可以将其写成$(x+3)^{2}$的形式，这个公式可以帮助我们更快地对多项式进行计算。
四、三元完全平方公式在三元及更高维的方程组中，也存在一种完全平方公式，称为三元完全平方公式。
这个公式指出，一个三元多项式可以写成三个一次多项式的完全平方差的和的形式。
三元完全平方公式可以表示为：$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^{2}$$这个公式可以帮助我们解决三元及更高维的多项式方程组，从而简化复杂多项式的运算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
完全平方公式的另类用法
江苏省赣榆县沙河中学（222141）张庆华
E-mail：guzqh@
利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，同学们可以进行多项式的计算。
如果将两个式子放到一起观察一下，同学们不难发现，如果将两式相加一下，可以求得a2+b2的值，如果将两式相减一下，可以求得ab的值。
利用这个性质，我们可以解决一些求解题。
【例1】若a+b=4，ab=1，求（a-b）2和a2+b2的值。
解：（a-b）2
=（a+b）2-4ab
=42-4×1
=12
a2+b2
=（a+b）2-2ab
=42-2×1
=14
评析：一般地，知道a+b，ab的值，求（a-b）2和a2+b2的值，需要将（a+b）2减去4ab 得到。
反过来则加上4ab即可。
【例2】若a+b=8，a-b=2求a2+b2和ab的值。
解：因为（a+b）2-（a-b）2=60
a2+2ab+b2-（a2-2ab+b2）=60
4ab=60
ab=15
(a+b）2-（a-b）2=68
a2+2ab+b2+（a2-2ab+b2）=68
a2+b2=34
评析：两个公式的和与差可以直接求得a2+b2和ab的值。