2018-2019学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高一(上)期末数学试卷含精品解析
5.
A.
������ = ������3 ‒ ������
1
B. ������ = ������������������������
C. ������ = 2
������
D. ������ = ������������������������
【答案】A 【解析】解： ������.������( ‒ ������) =‒ ������3 + ������ =‒ ������(������)
则
������(1) = 2
5
，
故选：C． 根据函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可． 本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键． 已知函数������(������) = 1 + ������������������������ + 3 ‒ 3������������������������，则������ = ������(������)的最大值为( ) A. 2 + 3 B. 6 C. 2 2 D. 2
C. {1,2，3}
D. {1,2，3，6}
【解析】解： ∵ ������ = {1,2，3}，������ = {2,3，6}； ∴ ������ ∩ ������ = {2,3}． 故选：B． 进行交集的运算即可． 考查列举法的定义，以及交集的运算． 已知角������的终边经过点������(3, ‒ 4)，则������������������������ = ( )
������ |������������������(2 当
，
+
������ )| 6
=1
时，有最大值，最大值为2 2，
故选：C． 根据二倍角公式和两角和正弦公式和正弦函数的性质即可求出． 本题考查了函数的最值问题，考查了三角函数的化简和计算，属于中档题．
9.
⃗,⃗ | ⃗ | = 1,| ⃗ ⋅ ⃗| ≥ 2 |⃗ ‒ ⃗| ������ ������ 已知向量������ ������满足 ������ ，则 ������ ������ 的最小值是( )
8.
【答案】C 【解析】解： ∵ ������������������������ = 2������������������22 ‒ 1 = 1 ‒ 2������������������22 ‒ 1
������ ������
，
������ ������ = 2|������������������ | + 6|������������������ | ∴ ������(������) = 1 + ������������������������ + 3 ‒ 3������������������������ 2 2 ≥ | 2������������������������ + 6������������������������| = 2 2|������������������(������ + ������)| 2 2 2 6
∴ ⃗ =2 ⃗ +2 ⃗
������������ ������������
1
1
������������．
故选：A． 根据向量加法的平行四边形法则即可得出 2⃗ = ⃗ + ⃗
������������ ������������ ������������，从而得出������������
⃗ =2 ⃗ +2 ⃗
A. ������ < ������ < ������
【答案】B 【解析】解： ������ = ������������������25 > ������������������24 = 2， 0 < ������ = (2)5 < (2)0 = 1 ������������������52 < ������������������51 = 0
������
，������ ∈ ������．
∴ ������ = ������������ ‒ 3
，(������ ∈ ������)，
又 ∵ |������| ≤ ������， ∴ 当������ = 0时，可得：������ =‒ 3，此时，可得：������(������) = 2������������������(2������ ‒ 3). 故选：D． ������( 由������ = ������������������������(������������ + ������)的部分图象可求得 A，T，从而可得������，再由 答案． 本题考查由������ = ������������������������(������������ + ������)的部分图象确定函数解析式，求得������的值是难点，属于中档题． 已知函数������(������)为奇函数，������(������)为偶函数，且2
，可得：
3
������(������) = 2������������������(2������ + ������)
3
，
+ 2
������ 6
) = 2������������������(2 × 12 + ������) = 2
������
3
，
5������ 6
+ ������ = ������������ + 2
，
所以������ ≤‒ 2或������ ≥ 2，
⃗ 即������所对应的点 B 在直线������ =‒ 2的左边区域(含边界)或在直线������ = 2的右边区域(含边界)，
又
|⃗ ‒ ⃗|
������ ������
⃗ ⃗ 的结合意义为������与������所对应的点 A 与 B ������ < ������
C. ������ < ������ < ������
D. ������ < ������ < ������
∵ ������ = ������������������25,������ = (2)5,������ = ������������������52
������ ������ ‒4 3
=‒ 3
4
，
计算求得结果．
3.
⃗ =( 在 △ ������������������中，点 D 为边 AB 的中点，则向量������������ )
A.
1 ⃗ 2������������
+2 ⃗
1
������������
B.
‒2⃗ ‒2 ⃗
������������
A. 4
【答案】D
B. 3
C. 2
D. 1
【解析】 解：不妨设如图所示的直角坐标系，
������
⃗ = (1,0) ⃗ ⋅ ⃗ = ������
⃗ = (������,������) ，������ ，
������ ������
，
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因为
|⃗ ⋅ ⃗| ≥ 2
������ ������
3
2������ 3
������
3
������
+6 2
������
)=2
3
，结合������的范围可求得������，从而可得
7.
������ + 1
= ������(������) + ������(������)，则������(1) = ( )
5
A. 2
【答案】C
B. 2
C. 2
D. 4
【解析】解： ∵ 函数������(������)为奇函数，������(������)为偶函数，且2 ∴ ������(1) + ������(1) = 2
1
1
，
，
，
∴ ������，b，c 的大小关系为������ < ������ < ������． 故选：B． 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题． 下列函数中，既是奇函数又在区间(0, + ∞)上为增函数的是( )
1
1
������������
C.
‒2 ⃗ +2 ⃗
������������
1
1
������������
D.
1 ⃗ 2������������
‒2 ⃗
1
������������
【答案】A 【解析】解：如图， ∵ 点 D 为边 AB 的中点； ∴2 ⃗ = ⃗ + ⃗
������������ ������������ ������������；
2.
A.
‒4
3
B.
‒3
4
4
3
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】解： ∵ 已知角������的终边经过点������(3, ‒ 4)， ∴ ������ = 3，������ =‒ 4，则 ������������������������ = ������ = 故选：B． 根据角������的终边经过点������(3, ‒ 4)，可得������ = 3，������ =‒ 4，再根据 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． ������������������������ = ������
2018-2019 学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学 试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 已知集合������ = {1,2，3}，������ = {2,3，6}，那么������ ∩ ������ = ( )
2019年1月2018~2019学年度浙江省学考选考杭州市下城区浙江省杭州高级中学高一上学期期末数学试卷及参考答案
，
（ 1 ） 若 ，求
．
（ 2 ）若
，求 的取值范围．
或
．
17. 已知向量
，
（ 1 ） 若存在实数 使得
（ 2 ）若
且
，
．
与
垂直，求实数 的取值范围．
，求 ．
18. 某同学用“五点法”画函数 时，列出了如下表格并给出了部分数据：
在某一个周期内的图象
（ 1 ） 请根据上表数据，写出函数 的解析式为
（ 2 ） 求函数 的单调递增区间．
，
，若
，则
， 点坐标是
．
11. 已知函数
是奇函数，则
；若
，则
．
12. 若
，则
，
．
13. 若
，则
．
14. 在平面上，正方形
的边长为 ， 中点为 ，点 满足
，则
最大值
是
．
/
学 中 级 高 州 杭
15. 若存在实数 使得
值范围是
．
成立，则实数 的取
三、解答题（本大题共5小题，共52分）
16. 设
，己知集合
二、填空题（本大题共7小题，共24分）
9. 10. ;
11. ;
12.
;
13. 或 或
14.
15.
三、解答题（本大题共5小题，共52分）
16. （ 1 ）
．
（2）
．
17. （ 1 ） 的取值范围为
．
/
案 答 学 中 级 高 州 杭
（2） 18. （ 1 ）
（2）
（3）
．
，． ．
19. （ 1 ）
．
， 奇偶性．
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题(解析版)
2018-2019学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高一年级数学学科试题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合,且,则实数等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据,以及与的并集,确定出的值即可.【详解】,且，所以，，故选A.【点睛】本题主要考查并集的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.2.下列从集合到集合的对应关系中，其中是的函数的是A. ，对应关系,其中B. ，对应关系,其中C. ,对应关系,其中D. ，对应关系,其中【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义：集合中每一个元素，在集合中都有唯一元素与之对应，逐一判断即可.【详解】对于，中的奇数在中无元素与之对应不是的函数；对于,中每个元素在中都有两个不同元素对之对应，不是的函数；对于,中每个元素在中都有唯一元素与之对应，是的函数；对于,中在中没有元素对应，不是的函数，故选C.【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义域以及对数函数的定义域列不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，必须满足，解得，函数的定义域为，故答案为,故选C.【点睛】本题主要考查幂函数与对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.已知（是个无理数，），则下列不等关系正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性与对数函数的单调性，分别判断的取值范围，然后比较大小即可.【详解】由指数函数的性质可得，，，根据对数函数的性质可得，，，即，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.下列函数中，是奇函数且在区间上是增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义与单调性的定义，分别判断选项中的函数是否是奇函数且在区间上是增函数即可.【详解】对于，在上是减函数，不合题意；对于，是偶函数，不合题意；对于，在上是减函数，不合题意；对于，，是奇函数，，在上递增，合题意，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数） .6.已知实数且，则在同一直角坐标系中，函数的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，函数的图象只有D满足要求，当时，函数的图象，无满足要求的答案，故选D.考点：对数函数、幂函数的图象和性质.7.已知函数，则函数的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则将函数化为，利用配方法可得结果.【详解】化简，即的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.8.定义在上的函数满足:对任意有，则A. 是偶函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是奇函数【答案】D【解析】【分析】设，由，，由特值法求得，令，可得结果.【详解】设，由，可得则，令，得，令，，是奇函数，故选D.【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断与是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(奇函数)或(偶函数)是否成立．9.已知二次函数，分别是函数在区间上的最大值和最小值，则的最小值A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴位置，分别判断二次函数的单调性，利用单调性求出最大值与最小值，分别求出的范围，综合四种情况可得结果.【详解】当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，，综上所述，最小值为1，故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质以及分类讨论思想的应用，属于难题. （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．10.已知实数，实数满足方程，实数满足方程，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为是的解，是的解，所以分别是和与的图象交点的横坐标，可得，根据函数图象关于对称，可得利用基本不等式可得结果.【详解】因为是的解,是的解，所以分别是和与的图象交点的横坐标，可得，的图象与的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，点关于直线对称，设关于直线对称的点与点重合，则，故的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.非选择题部分二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11.已知指数函数，则函数必过定点____【答案】【解析】【分析】由函数恒过点，令函数指数为0 ,可得定点坐标.【详解】由函数恒过点，可得当,即时，恒成立，故函数恒过点,故答案为.【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题.函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.12.计算：_____【答案】【解析】【分析】直接利用对数与幂指数的运算法则求解即可,解答过程注意避免出现计算错误.【详解】，故答案为.【点睛】本题主要考查对数的运算法则、幂指数的运算法则，属于简单题.求解对数、幂指数的化简求值题时，注意两点：一是熟练掌握运算法则；二是注意避免出现计算错误.13.已知函数，那么的值为____【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，从而可得的值.【详解】，且，，，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．14.已知，则_____【答案】【解析】【分析】令得，可得，从而可得到所求的函数解析式.【详解】由题意，得，因为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.15.已知是定义在上的奇函数，对于任意且，都有成立，且，则不等式的解集为_____【答案】【解析】【分析】先判断在上递减，根据奇偶性可得上递减，，分两种情况讨论，解不等式组可得结论.【详解】当，恒成立，；当，恒成立，恒成立，在递减，又在上是奇函数，在和在上递减，由不等式可得，或，不等式的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.16.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，由此列不等式组求解即可.【详解】设，则单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，，解得，即实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.17.已知函数，若恒成立，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】函数写出分段函数的形式，判断在上递减，在上递增，可得的最小值，从而列不等式可得结果.【详解】因为，所以，，可得，，,在上递减，在上递增，，恒成立，或，，故的最小值为2，故答案为2.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.三、解答题（本大题共4小题，共52分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知集合；（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围。
浙江省杭州市塘栖中学2018-2019学年高一上学期期末复习数学试题(精编含解析)
）
D. (e, +¥ )
【答案】A
【解析】
【分析】
( ) ( ) ( ) 根据题意，求出函数的定义域，求导分析可得函数 f
x 在 0, +¥
为增函数，进而求出
f
æççè1e
ö ÷÷ø ，
f
1
，
( ) ( ) f 2 ， f e 的值，由函数零点判定定理，分析可得答案．
( ) ( ) 【详解】根据题意，函数 f x = lnx - 2 ，其定义域为 0, +¥ ， x
=
sin
æ ççè2a
+
p 2
ö ÷÷ø=
2sin
æ ççèa
+
p 4
ö ÷÷øcos
æ ççèa
+
p 4
ö ÷÷ø，所以
cos2a
sin
æççèa
+
p 4
ö ÷÷ø
=
2sin
æ ççèa
+
p 4
ö ÷÷øcos
æ ççèa
sin
æççèa
+
p 4
ö ÷÷ø
+p 4
ö ÷÷ø
=
æ 2cos ççèa
+p 4
ö ÷÷ø=
6 5
，故选
D.
【点睛】本题考查三角函数化简，涉及同角三角函数的基本关系。二倍角公式和诱导公式，注意由角的范 围确定三角函数值的正负。
二、填空题（本大题共 6 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 28 分）
{ } 11.已知集合 A = x | x2 = x ，集合 B ={x |1 < 2x < 4}，则集合 A 的子集个数为
2018-2019学年浙江省杭州市第四中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市第四中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{0,A =2,4,6,8,10},{}4,8B =,则A B =ð（ ） A ．{}4,8 B ．{}0,2,6 C ．{}0,2,6,10 D ．{}0,2,6,8,10【答案】C【解析】根据补集定义，直接求A C B . 【详解】由已知可得：{}0,2,6,10A C B =. 故选：C 【点睛】本题考查补集，属于简单题型.2．角α的终边经过点（2，﹣1），则2sinα+3cosα的值为（ ） A ．5B 5C ．45D 45【答案】D【解析】利用三角函数坐标定义求解sin ,cos αα然后代入表达式即可得出答案. 【详解】由角α的终边经过点(2,-1),可得()225sin 21α==+-,()2225 cos 21α==+-所以525452323sin cos αα⎛+=⨯+= ⎝⎭故选:D. 【点睛】本题考查了三角函数坐标定义的应用,考查了学生的运算能力,属于基础题. 3．函数f （x ）＝3﹣a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点（ ）A ．（﹣1，2）B ．（1，2）C ．（﹣1，1）D ．（0，2）【答案】A【解析】由指数函数y x a =(0a >,且1a ≠)恒过点(0,1),令10x +=,即可求得定点坐标.【详解】令10x +=得1x =-,则()11132f a -+-=-=,得图像恒过定点(-1,2).故选:A. 【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的应用,属于基础题. 4．sin 18°cos 12°+sin 108°sin 12°＝（ ） A ．3B ．12C 3D ．12-【答案】B【解析】先由sin108cos18︒=︒,然后利用两角和的正弦公式化简求解即可得出答案. 【详解】因为()sin108sin 9018cos18︒=︒+︒=︒, 所以()1sin18cos12sin108sin12sin18cos12cos18sin12sin 1812sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式和三角函数和差公式的应用,属于基础题. 5．函数f （x ）＝log a （x 2+2x ﹣3）的定义域是（ ） A ．[﹣3，1]B ．（﹣3，1）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【答案】C【解析】利用对数型函数定义域的要求,转化为求一元二次不等式2230x x +->的解集即可得出答案. 【详解】要使函数()2log (23)a f x x x =+-有意义需:2 230x x +->,解得3x <-或1x >,即定义域为()()31∞-∞-⋃+，，.故选:C. 【点睛】本题考查了定义域的求解问题,属于基础题. 定义域求解问题通常包括以下情况:①若()f x 为整式,则函数的定义域为R;②若()f x 为分式,则分母要求不能为0;③若()f x 为对数式,则要求真数大于0;④若()f x 为根指数是偶数的根式,则要求被开方数非负;⑤若()f x 描述实际问题,要求使实际问题有意义.如果()f x 是由以上几个部分的式子构成的,则常常转化为不等式(组). 6．函数()1sin 4f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭） A ．0x = B ．4πx =-C ．4x π=D ．2x π=【答案】B【解析】先求函数对称轴方程，再判断选择. 【详解】函数()1sin 4f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭3()()424x k k Z x k k Z πππππ-=+∈∴=+∈， 当1k =-时，4πx =-， 故选：B 【点睛】本题考查函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．已知()522019sin cos παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．20142019B 20142019C ．52019D 52019【答案】D【解析】由三角函数诱导公式直接推导求解即可得出答案. 【详解】因为()52019αα-=-=sin sin 所以52019α=sin 由5cos sin 22019παα⎛⎫+=-=⎪⎝⎭. 故选:D. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的应用,属于基础题. 8．据调查，某商品一年内出厂价按月呈()()002f x Asin x b A πωϕωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，根据以上条件可确定f （x ）的解析式为（ ） A ．()()2611244f x sin x x x N ππ+⎛⎫=-+≤≤∈⎪⎝⎭，B ．f （x ）＝9sin （44x ππ-）（1≤x ≤12，x ∈N +）C ．()()2261124f x sin x x x N π+=+≤≤∈，D ．f （x ）＝2sin （44x ππ+）+6（1≤x ≤12，x ∈N +）【答案】A【解析】由3月份最高价和7月份最低价可求得A 和b ,由周期可求得ω,利用最大值或者最小值点可求得φ,进而求得解析式. 【详解】由题意可得:当3x =时,()8maxf x =, 当7x =时,()4min f x =,则得8,4A b A b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,6A b ==;因为函数周期T=2(7-3)=8,所以由T=2πω,解得4πω=;又因当3x =时,函数取最大值,所以3sin 4πϕ⎛⎫+⎪⎝⎭=1,则3242k ππϕπ+=+,由2πϕ<得0,φ4k π==-,所以可得函数解析式为()2sin 644f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,()112，+≤≤∈x x N .故选:A.【点睛】本题考查了正弦型函数的性质以及应用,理解题意并转化题中条件求解参数是解题的关键,属于一般难度的题.9．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x +1）()1f x =-，且在（2，3）上f （x ）＝4x ，则f （2019.5）＝（ ） A ．10 B ．0C ．﹣10D ．﹣20【答案】C【解析】利用题中推导关系式求得函数的周期为2,然后由函数奇偶性和周期推导()()2019.5 2.5f f =-,代入求解即可得出答案.【详解】 由()1(1)+=-f x f x ,得()1()1=--f x f x 则()(1)1+=-f x f x 所以函数()f x 为周期函数且周期为2,所以()()()2019.520200.50.5f f f =-=-又因函数()f x 为奇函数,可得()()()0.50.5 2.5f f f -=-=-,因为在区间(2,3)上函数()4f x x =,所以()2.54 2.510f =⨯=,即()()2019.5 2.510f f =-=-.故选:C. 【点睛】本题考查了函数基本性质的综合应用,属于一般难度的题.10．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）12=（|x ﹣1|+|x ﹣2|﹣3），若x ∈R ，f （x ﹣a ）＜f （x ），则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜3 B ．﹣3＜a ＜3C ．a ＞6D ．﹣6＜a ＜6【答案】C【解析】当0x ≥时,分类讨论求得函数()f x 的解析式,再利用函数在定义R 上的奇函数求出函数()f x 在整个定义域上的解析式并画出图像,然后由条件()(),x R f x a f x ∈-<结合图像转化为33a -+>解得a 的取值范围.【详解】由题意0x ≥时,()()11232f x x x =-+--,当01x ≤≤时,()()11232f x x x x =-+--=-; 当12x <≤时,()()112312f x x x =-+--=-; 当2x >时,()()112332f x x x x =-+--=-, 由因为函数为定义R 上的奇函数,所以可得函数解析式为:(),111,121,213,23,2x x x f x x x x x x --≤≤⎧⎪-<≤⎪⎪=-≤<-⎨⎪->⎪+<-⎪⎩,由此可得图像如图所示:由题意R x ∈时,()()f x a f x -<恒成立,则得函数()y f x a =-的图像恒在函数()y f x =的图像下面, 则由图像可得33a -+>,解得6a >,即满足要求的a 得取值范围为6a >. 故选:C. 【点睛】本题考查了绝对值函数解析式的求解,函数奇偶性的应用,数形结合的思想解决不等式恒成立的问题,属于难题.二、填空题11．计算：sin 150°＝_____． 【答案】12【解析】利用诱导公式直接化简计算即可得出答案. 【详解】sin 150°＝sin （180°﹣30°）＝sin 30°12=. 故答案为：12【点睛】本题考查了诱导公式的应用,属于基础题.12．计算：（2018）0+3×1294-+（）（lg 4+lg 25）的值是_____．【答案】5【解析】利用指数与指数幂的运算和对数的运算直接计算即可得出答案. 【详解】 原式21310012253lg =+⨯+=++=． 故答案为：5. 【点睛】本题考查了指数与指数幂的运算和对数的运算性质的应用,属于基础题. 13．函数2112x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域是_____．【答案】（0，2]【解析】先求出指数的范围,再由指数函数的单调性求值域. 【详解】由211x -≥-,得2111102,22x y --⎛⎫⎛⎫<=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即函数2112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,2. 故答案为:(]0,2. 【点睛】本题考查了指数型函数值域的求解,属于基础题.14．若tanα＝1，tanβ＝2，则tan （α﹣β）的值为_____． 【答案】13-【解析】由两角差的正切公式直接计算即可. 【详解】∵tanα＝1，tanβ＝2，∴tan （α﹣β）12111123tan tan tan tan αβαβ--===-++⨯． 故答案为:13-. 【点睛】本题考查了两角差的正切公式的直接应用,属于基础题.15．函数f （x ）＝Acos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2018）+f （2019）的值为_____．【答案】2【解析】先由图像求得余弦型函数的解析式,然后再由函数的周期性化简()()()()()12320182019f f f f f +++++L ,进而求解.【详解】由图象可得:A ＝2,周期T=4(4-2)=8,∴ω284ππ==,由图象过点(2,2), 即22cos 22sin 4πϕϕ⎛⎫=⨯+=-⎪⎝⎭,得22πϕπ=-+k ,则()2cos 2sin ,424f x x x πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭由T=8,则()()()()()12320182019f f f f f +++++L()()()()()()()()()()()25212345678123f f f f f f f f f f f ⎡⎤=++++++++++⎣⎦,∵()()()()()()()()123456780f f f f f f f f +++++++=, 则()()()()()()()()12320182019123f f f f f f f f +++++=++L=2sin4π+2sin 2π+2sin 34π=2. 故答案为:222+. 【点睛】本题考查了数形结合求余弦型函数解析式,考查了余弦型函数周期性的应用,属于一般难度的题.16．若f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，当0≤x ＜1时，f （x ）＝2x 2+3x ．若f （2a 2﹣1）+f （a ）＜0，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】﹣1＜a ＜0或012a ＜＜【解析】由已知条件求解并判断函数()f x 在定义域(-1,1)上单调递增,然后结合奇函数的性质将()()2210f a f a -+<,转化为21211a a -<-<-<求解即得实数a 的取值范围. 【详解】∵()f x 是定义在(-1,1)上的奇函数,且当0≤x ＜1时，()223f x x x =+单调递增,根据奇函数的对称性可知,(]1,0x ∈-时,函数单调递增,即在(-1,1)上单调递增, 由f （2a 2﹣1）+f （a ）＜0，得f （2a 2﹣1）＜﹣f （a ）＝f （﹣a ），所以可得:2 1211a a -<-<-<,解得:10a -<<或102a <<. 故答案为: 10a -<<或102a <<. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用,考查了利用函数单调性解不等式,属于一般难度的题.三、解答题17．已知一次函数f （x ）满足2f （0）﹣f （﹣1）＝1，f （3）﹣3f （1）＝4． （1）求这个函数的解析式；（2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的零点． 【答案】（1）f （x ）＝3x ﹣2（2）函数的零点为x ＝2或x ＝1【解析】(1)设一次函数表达式()(),0,f x kx b k =+≠由题中条件列式求解参数即可得出解析式.(2)利用零点概念直接求解即可得出答案. 【详解】(1)设()(),0f x kx b k =+≠,由题意得:()21334b k b k b k b +-=⎧⎨+-+=⎩，解得32k b =⎧⎨=-⎩， 故()32f x x =-.(2)由(1)知()232g x x x =--,令()0g x =得2x =或1x =,∴函数的零点为2x =或1x =. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式,考查了零点的求法,属于基础题.18．已知α为第三象限角．()45cos πα+=． （1）由tanα的值；（2）求()()23242sin sin cos cos ππααπαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）34（2）94- 【解析】(1)利用三角函数诱导公式和同角三角函数关系式直接计算即可得出答案; (2)由(1)得34α=tan 然后利用诱导公式直接化简求值即可得出答案. 【详解】（1）∵α为第三象限角,且()45cos πα+=,则4cos 5α-=,4 cos 5α=-, 则sin α2315cos α=--=-,∴34ααα==sin tan cos ; （2）()()3232323239243414414442sin sin sin cos tan cos sin tan cos cos ππαααααπααααα⎛⎫-+-⨯+ ⎪++⎝⎭====---⎛⎫-⨯-++ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式以及同角三角函数公式的应用,属于基础题. 19．已知函数()()121214f x log a x ⎡⎤=+--⎣⎦．（1）若a ＞1，求f （x ）的定义域；（2）若f （x ）＞0在514⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{x |21x a -＞}（2）1317,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】(1)由对数函数定义域的要求直接求解即可得出答案; (2)分类讨论1a >和1a ≤,然后利用复合函数的单调性来求解. 【详解】(1)函数()()121214f x log a x ⎡⎤=+--⎣⎦．由于1,a >所以()210a ->,所以函数()f x 的定义域满足()2140a x -->,整理得()42211＞=--x a a ,所以函数的定义域为2|1x x a ⎧⎫>⎨⎬-⎩⎭. (2)由于函数()()121214f x log a x ⎡⎤=+--⎣⎦．且()0f x >在514⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立,令()()2140g x a x =-->当1a >时,则函数()()214g x a x =--在514⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增, 则得函数()()121214f x log a x ⎡⎤=+--⎣⎦在514⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减,所以()1255131log 042a f x f -⎛⎫⎛⎫≥=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得513022a -<<,解得131755a <<; 当1a ≤时,由51,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则可得()()2140g x a x =--<,此时函数()f x 无意义; 综上所述实数a 的取值范围为1317,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查了对数函数定义域的求解,考查了对数函数单调性的应用,属于一般难度的题. 20．已知()23444x x x f x sin cos cos =+． （1）求f （x ）的单调递减区间；（2）若()32f α=，求23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 的值； （3）将函数y ＝f （x ）的图象向右平移23π个单位得到y ＝g （x ）的图象，若函数y ＝g （x ）﹣k 在703π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有唯一零点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）函数的单调递减区间为[284433k k ππππ++，]（k ∈Z ）;（2）1;（3）102k ≤＜或32k =. 【解析】(1)由正余弦二倍角公式和正弦两角和公式对原式进行化简;然后利用正弦型函数的单调性求解;(2)利用余弦二倍角公式化简2221332ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos ,然后由诱导公式得cos sin 13226πααπ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入计算即可; (3)由图像平移得函数()1sin 262x y g x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭,然后结合数形结合的思想将所求问题转化成函数sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭与12y k =-图像有一个交点来求解参数k 的取值范围. 【详解】(1)由于()23111344422222262x x x x x x f x sincos cos sin cos sin π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 令3222262x k k πππππ+≤+≤+（k ∈Z ）,整理得284433k x k ππππ+≤≤+（k ∈Z ），所以函数的单调递减区间为[284433k k ππππ++，]（k ∈Z ）． (2)由题意()32f α=,则132622απ⎛⎫++= ⎪⎝⎭sin ,即126απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin , 由cos sin 13226πααπ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2221211332ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos (3)由函数()y f x =的图象向右平移23π个单位得到()1sin 262x y g x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象, 由于703x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以266x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，,则函数()y g x k =-在703π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有唯一零点，即得函数sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与12y k =-图像在703π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上只有一个交点,所以当,0266ππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭x 或262x ππ-=时，直线12y k =-与函数sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象只有一个交点,则由)11sin ,02262x k π⎛⎫⎡-=-∈- ⎪⎢⎝⎭⎣或1sin 122k π-==,解得102k ≤＜或32k =, 即当102k ≤＜或32k =时,函数()y g x k =-在703π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有唯一零点.【点睛】本题是一道综合性的试题,考查了正余弦二倍角公式的应用,考查了三角函数和差公式的应用,考查了图像平移以及利用图像解决函数零点的问题,属于中档题.。
2018-2019学年浙江省杭州市高级中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市高级中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|}1Ax x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(,1)-∞-C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(1,)+∞【答案】B【解析】化简集合A ，根据补集与交集的运算，即可求出()R B A I ð． 【详解】集合{}11|{|A x x x x =>=<-或1}x >，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 所以|12R B x x =≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭ð， 所以{|1}R B A x x ⋂=<-ð．故选：B ． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ） A ．1sin y x=B ．||2x y =C ．3cos y x x ＝D ．1ln||y x = 【答案】D【解析】根据题意，可知函数为偶函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案． 【详解】根据题意，函数满足()()0f x f x --=，即()()f x f x -= ，即函数()f x 为偶函数， 据此依次分析选项： 对于A ，1sin y x=，为奇函数，不符合题意； 对于B ，||2x y =，为偶函数，但在区间()0,1上为增函数，不符合题意；对于C ，3cos y x x ＝，为奇函数，不符合题意； 对于D ，1ln ln ||y x x ==-，易得函数为偶函数且在()0,1上单调递减，符合题意. 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3．下列计算正确的是（ ） A ．2()m n m n -=- B ．222log 3log 5log 15⨯= C ．1099222-= D ．2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误． 【详解】对于选项A ，2()m n m n -=-，故A 不正确；对于选项B ，22222log 15log 3log 5log 3log 5=+≠⨯，故B 不正确； 对于选项C ，()10999222212-=-=，故C 正确；对于选项D ，223233125552527339⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 不正确．故选：C ． 【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b rr 表示出c r ，进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=r r r ，又c r = a b r r λ+，所以2λ=.故选D 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(),k k Z θθπ≠∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ）A ．(sin ,cos )θθ-B ．(cos ,sin )θθ-C ．(cos ,sin )θθ-D ．(sin ,cos )θθ-【答案】A【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，可求点B 的坐标． 【详解】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为,2k k Z πθθπ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的横坐标为3cos sin 2πθθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，点B 的纵坐标为3sin cos 2πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故点B 的坐标为()sin ,cos θθ-. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．6．的正三角形ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则2a b b c c a⋅+⋅+⋅r r r r r r 等于（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】直接利用平面向量的数量积公式化简求解即可． 【详解】根据题意，作出正三角形ABC 的草图，则a r与b r 夹角为60︒，b r与c r 夹角为60︒，a r 与c r夹角为120︒， 由正三角形ABC 的边长为2和平面向量的数量积公式，则2cos602cos60cos120a b b c c a a b b c c a ⋅+⋅+⋅=︒+︒+⋅︒r r r r r r r r r r r r111=22222221212222⎛⎫⎪⎝⎭⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯-=+-=．故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，解题过程中注意向量的夹角，属于基础题． 7．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．x 712π=+k π，k ∈Z 为其所有对称轴 C ．7,12x k k Z ππ=+∈为其减区间 D ．()f x 向左移12π可变为偶函数【答案】D【解析】根据函数图像，可求出A 的值，根据周期公式求ω，然后由函数所过的最小值点，求出ϕ，从而可求函数的解析式，即可得出结论． 【详解】由函数图像可知，1A =，又741234T πππ=-=，所以T π=，又2T ωπ=，得2ω= ， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数图象过7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，将其代入()()sin 2f x x ϕ=+，可得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 03πϕπϕ<<∴=Q ，，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴()f x 向左移12π单位为sin 2cos 212123f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 向左移12π单位可变为偶函数．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式，通常是由函数的最值求A ，根据周期公式求ω，根据函数的最值点求ϕ，属于中档题．8．已知函数()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==.若032a bc ++=，则m n -的最小值是（ ）A ．BC D【答案】B【解析】由题意()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==，知方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，进而利用根与系数的关系求解． 【详解】由题意得：方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，由032a b c ++=得c ＝32a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由韦达定理得，m +n ＝b a -，mn ＝c a ，|m ﹣n |3…. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与方程根的关系，韦达定理的应用，属于基础题．二、填空题9．若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____. 【答案】12-【解析】根据任意角三角函数的定义计算sin ,cos αα的值，再求an 2(t )πα+的值．【详解】角α终边上一点的坐标为(1,2)，则sin α==1cos 5α==，所以sin cos 12tan 2sin 2cos 2παπααπαα⎛++====--+⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭． 故答案为：12- ． 【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．10．已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.3(0,)2【解析】由向量的坐标公式，可得()21AB =-u u u r ，，从而可求出AB u u u r的值；再设(),C x y ，从而求出 ()1,2BC x y =+-u u u r ，根据12BC BA =u u u r u u u r ，可得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，根据向量相等的坐标运算公式，可求出,x y 的值，进而求出C 点坐标． 【详解】因为(1,1),(1,2)A B -，所以()21AB =-u u u r ，，可得AB ==u u u r设(),C x y ，则()1,2BC x y =+-u u u r，又12BC BA =u u u r u u u r ，得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，即11?122x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得 0?32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴C点坐标是3 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．30,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数乘运算．11．已知函数2,0()3(),0xxf xg x x⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f-=_____；若()f a=则a=_____.【答案】29-12-【解析】根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得()()22223f f-=-=-，计算可得答案；对于()3f a=-，分0a>与0a<两种情况讨论，求出a的值．【详解】根据题意，函数2,0()3(),0xxf xg x x⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()()2222239f f-=-=-=-；若()3f a=-，当0a>时，()233af a==-，无解；当0a<时，()()233af a f a-=--=-=-，解可得12a=-，故若()f a＝，则12a=-.故答案为：(1).29-；(2).12-．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．12．若827712186x xx x+=+，则x=_____.【答案】±1【解析】直接利用换元法和代数式的化简的应用求出结果．【详解】由于827712186x x x x +=+，设2,3x xa b ==， 所以33227 6a b a b ab +=+，整理得2261360a ab b -+=， 故23a b =或32a b =，所以1123x x ++=或-1-123x x =，解得1x =-或1x =.故答案为：±1． 【点睛】本题考查了换元法的应和用指数幂的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13．在平面上，正方形ABCD 的边长为2，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____. 【答案】4【解析】作出草图，根据题意，点P 位于正方形ABCD 的外接圆圆E 上，当AP AC⋅u u u r u u u r 最大时， AP u u u r 与AC u u u r的夹角为0︒，点P 与点C 重合，再根据数量积公式，即可求出结果． 【详解】如图根据题意，点E 为BD 中点，且||1PE =u u u r；所以点P 在正方形ABCD 的外接圆圆E 上；又cos AP AC AP AC θ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中θ为AP u u u r 与AC 的夹角；所以当0θ=︒时，有最大值，此时点P 与点C 重合；∴()2max4AP ACAC ⋅==u u u r u u u r u u u r .故答案为：4． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，利用数形结合思想，属中档题．三、解答题14．已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r rr r .（1）若存在实数x 使得a b +rr 与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f k α=+且(0,)απ∈，求tan α.【答案】（1）[1,1]-（2）4或4-【解析】（1）根据条件可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即220a b -=u r r ，代入坐标，列方程，整理化简，可得到k 关于x 的函数，根据正弦函数的性质得出k 的范围； （2）根据条件可得1sin 3α=，再根据α的范围求出cos α，从而可得tan α的值． 【详解】（1）∵ a b +r r与a b -r r 垂直，∴()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即22 0a b -=u r r ，∴22sin 11x k +=+有解，又20sin 1x ≤≤，所以201k ≤≤， 故11k -≤≤，即[1,1]k ∈-． （2）因为()f x a b =⋅rr ，所以()sin f x x k =+，故()sin f k αα=+，又1()3f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=，∵(0,)απ∈，所以当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，cos 3α==sin tan cos 4ααα==；当(,)2παπ∈时，cos α==tan 4α=-；所以tan α=或. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角函数的性质，属于基础题．15．某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可） （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦求t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【答案】（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（313【解析】（1）根据表格数据，即可写出()f x 的解析式； （2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）根据函数()g x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值求出t 的值，进而求出最小值即可． 【详解】（1）根据表格可得122236πππω⋅=-，所以2ω=； 根据表格可得262ππϕ⨯+=，又||2ϕπ<，所以6π=ϕ，故函数的解析式为:()2sin(2)6f x x π=+. （2）令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（3）因为02x p -＃，所以52666x πππ-≤+≤，故有11sin(2)62x π-≤+≤. 所以，当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-.当266x ππ+=，即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以t 1，所以函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 【点睛】 本题考查了三角函数的五点法作图和正弦性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用，是中档题.16．已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+-.（1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1233x <<（2）{}8|a a ≥（3）{},1,2 123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦【解析】（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式，即可求得最终结果；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数a 的不等式组，求解不等式组即可；（3）将原问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果．【详解】（1）当2a =时，不等式为:()()23log 320f x x =-+<，可得:0321x <-+<，则不等式解为1233x <<. （2）函数()()2224log (3)4(34)f x x a x x a -=--+-⎡⎤⎣⎦， 设函数()2(3)4(34)y a x x a =--+-的值域为M ，则(0,)M +∞⊆，当30a -=，即3a =时，不满足题意，当30a -≠，即3a ≠时，23016(3)4(3)(34)0a a a a ->⎧⎨∆=----≥⎩，得实数a 的取值范围是{}8|a a ≥.（3）因[]221log (3)(34)log (2)y a x a a x=-+--+有且只有一个零点， 故1(3)(34)2a x a a x-+-=+，原问题等价于方程2(3)(4)10(*)a x a x -+--= 当满足120a x+>时，只有唯一解，方程()化为()–31)10(a x x ⎡⎤+⎣⎦-=， ①当3a =时，解得1x =-，此时1250a x+=>，满足题意； ②当2a =时，两根均为1x =-，此时1230a x +=>也满足； ③当2a ≠且3a ≠时，两根为113x a =-，21x = 当13x a =-时，1233a a x+=-， 当1x =-时，1221a a x+=-， 由题意，()()33210a a --<，解得112a <<， 综上，a 的取值范围是{},1,2123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于难题．17．设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性； （2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p -=最大值是2，求p q +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦【解析】（1）写出函数y 的解析式，分别判断0q =和0q <时，函数y 的奇偶性；（2）利用单调性定义证明即可；（3）化简函数()h x ，利用换元法将其转化为函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，根据二次函数的对称轴，进行分类讨论，从而求得p q +的取值范围．【详解】（1）①当0q =时，由于()()()()––cos sin f x g x p x x f x g x =-=-⋅，从而()()f x g x 为奇函数；②当0q <时，由1()()()662f g p q ππ--=-+，1()()()662f g p q ππ=+， 得()()()()6666f g f g ππππ--≠-，且()()()()6666f g f g ππππ--≠. 故函数()()y f x g x =为非奇非偶函数.（2）当0q =时，函数22()sin ()1sin f x p x y g x x ==-在(,)22ππ-上递增. 理由:任取12,x x ，且2122x x ππ<<-<，则12sin sin 0x x -<，()()()()1212121222221212sin sin 1sin sin sin sin 01sin 1sin 1sin 1sin p x x x x p x p x y y x x x x -+-=-=<----， 故函数2()()f x y g x =在(,)22ππ-上递增. （3）222|()()|()|sin sin |p g x f x h x p x x p q p-==--+-，下面研究函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，①当11122p -≤-≤-，即112p ≤≤时， (1)|1|H q =+，()111H q q -=-=-， 11()24H p q p p-=+-， 所以max 1()(1),(1),() 2H x max H H H p ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，又14p qp+-在112p≤≤时递增，所以151,44p q q qp⎡⎤+-∈--⎢⎥⎣⎦，即有max1()24H x p qp=+-=，可得1224p q pp+=+-，在112p≤≤递增，可得11,24p q⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦；②当112p-<-，即12p<<时，max()max{(1),(1)}12H x H H q=-=-=，即1q=-，可得11(1,)2p q p+=-∈--，综上可得，11,4p q⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了函数最值应用问题，是难题．。
浙江省杭州第二中学(东河校区)2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
2018学年第一学期杭州二中(东河校区)高一年级期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．设，，则为（）A．B．C．D．2．若A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|1≤x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2} B．＜C．＜＜D．{x|x≥2}3．集合{α|kπα≤kπ，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）4．的值等于（）A．B．C．D．5．下列函数中，既是偶函数，又是[0，+∞）上的增函数的是（）A．y＝﹣x2B．y＝log2x C．D．y＝|x|6．将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（）A．y＝sin（2x）B．y＝sin（2x）C．y＝sin2x D．y＝cos2x7．函数f（x）＝x﹣3+e x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）8．设，为两个非零向量，且（x1，y1）（x2，y2），则下列四个等式：（1）•0；（2）x1x2+y1y2＝0；（3）||＝||；（4）22＝（）2其中与等价的等式个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，正方形ABP7P5的边长为2，P1，P4，P6，P2是四边的中点，AB是正方形的其中一条边，P1P6与P2P4相交于点P3，则•（i＝1，2，…，7）的不同值的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．110．已知函数f（x）＝|log2x|，g（x），＜，＞，则方程|f（x）﹣g（x）|＝1的实根个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题有7小题，每空3分，共30分，请将答案填写在答题卷中的横线上）11．计算：，log69+log64＝．12．函数f（x）的定义域为．13．已知单位向量，的夹角为，，，且，则，m＝．14．函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）恒过定点，当a＞1时，f（x2）的单调递增区间为．15．已知sin（x），则sin（x）+sin2（）的值是．16．关于函数，有下列命题①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；③f（x）的最小值是lg2；④f（x）在区间（﹣1，0）、（2，+∞）上是增函数；⑤f（x）无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是．17．已知△ABC中，||＝1，•2，点P为线段BC的动点，动点Q满足，则•的最小值等于．三、解答题（本大题共4小题满分40分，解答应写出文字说明成演算步骤18．已知角α的终边经过点P（m，4），且，（1）求m的值；（2）求的值．19．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC等腰梯形，，，，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点）（1）求∠OCM的余弦值；（2）若OP⊥CM，求的值．20．已知函数其中＞，＞，＜＜，其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为，．（1）求f（x）的解析式和单调递增区间；（2）当，，求f（x）的值域．21．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的θ∈[0，]，f（cos2θ+λsinθ+2）＜0恒成立，求实数λ的取值范围一、1．2．B3．C4．5．D6．B7．A8．9．C10．C二、11．，log69+log64＝log636＝2．12．由函数f（x），＞，得解得x＜2且x≠1，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．13．1×1×cos，∴447，∴||．∵，∴存在实数λ，使得，即λ（3m），∴，解得λ，m＝6．14．函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）中，令2﹣x＝0，解得x＝2，所以y＝f（2）＝1﹣1＝0，所以函数f（x）恒过定点（2，0），当a＞1时，f（x2）1的单调递增区间为（﹣∞，0]．15．∵，则＝sin[]+sin2[]＝sin（x），16．①定义域为R，又满足f（﹣x）＝f（x），所以函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，正确．②令t（x＞0），f（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，不正确．③t2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确．④当﹣1＜x＜0或x＞1时函数t是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确．⑤由③知，不正确．17．以BC所在直线为x轴，以BC边的高为y轴建立平面直角坐标系，如图．∵，∴B（﹣2，0），C（﹣1，0），设P（a，0），A（0，b），则﹣2≤a≤﹣1．∴（﹣a，b），（﹣2﹣a，0），（﹣1﹣a，0）．∴（﹣3﹣3a，b），∴（﹣2﹣a）（﹣3﹣3a）＝3a2+9a+6＝3（a）2．∴当a时，取得最小值．三、18．（1）角α的终边经过点P（m，4），且，可得解得m＝﹣3；（2）由（1）可得sinα，7．19．（1）已知四边形OABC等腰梯形，，，，，点M满足，所以M（3，0），故OM＝3．CM进一步整理得，在△OCM中．故∠OCM的余弦值为．（2）设P（x，），所以，，，，由于OP⊥CM，所以，解得x，所以，，所以．20．（1）函数其中＞，＞，＜＜，其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，所以，所以ω＝2．图象上一个最高点为，．即当x时，函数取最大值3，φ）＝3，由于＜＜，所以φ．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的单调递增区间为[，]（k∈Z）．（2）由于，，所以，，，，故，．21．（1）由题意，定义域为R的函数是奇函数．得f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1），∴b＝1，a＝2，那么f（x），由f（﹣x）f（x），故得b＝1，a＝2；（2）由（1）可得f（x），设x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1），∵x1＜x2，∴＜则f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）；∴函数f（x）在R上是减函数；（3）由＜，即＜，∵f（1），f（x）在R上是减函数；∴cos2θ+λsinθ+2＞1，θ∈[0，]，即2﹣sin2θ+λsinθ＞0，θ∈[0，]恒成立，设sinθ＝t，（0≤t≤1），∴2﹣t2+λt＞0，当t＝0时，2＞0恒成立，当0＜t≤1时，转化为，∵函数y在（0，1]递增，∴，即λ≥﹣1；故得实数λ的取值范围[﹣1，+∞）．。
2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}【答案】A【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】由集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，所以{}|12A B x x =≤<I . 故选：A. 【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．（0，2） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（﹣1，1）【答案】B【解析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 3．若角α的终边与单位圆交于点P （35-，45），则sin （2π+α）＝（ ）A ．35B ．35-C ．45-D ．45【答案】B【解析】利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，再利用诱导公式，即可得到结论. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角函数的定义知3cos 5α=-， 所以3sin cos 25παα⎛⎫+==-⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．5．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 6．已知sinα+cosα12=，α∈（0，π），则11tan tan αα+=-（ ） A．7 B．7-C．3D．3-【答案】B【解析】将等式两边平方，得32sin cos 4αα=-，再利用完全平方公式得sin cos 2αα-=. 【详解】由1sin cos 2αα+=，平方得()21sin cos 12sin cos 4αααα+=+=，即32sin cos 4αα=-，又()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<，所以()237sin cos 12sin cos 144αααα-=-=+=，即7sin cos 2αα-=， 所以1tan sin cos 71tan cos sin αααααα++==---. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.7．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，AB ⊥AD ，点P 满足AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r，且x +2y＝1，点M 在矩形ABCD 内（包含边）运动，且AM AP λ=u u u u r u u u r，则λ的最大值等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，利用横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围. 【详解】 建立如图坐标系：则()2,0AB =uu u r，()0,4AD =u u u r ，()()()2,00,42,4AP xAB yAD x y x y ∴=+=+=u u u r u u u r u u u r， ()2,4AM AP x y λλλ∴==u u u u r u u u r，因M 在矩形ABCD 内， 所以022044x y λλ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即246x y λλ+≤，所以()23x y λ+≤，又21x y +=，所以3λ≤，即λ的最大值为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，不等式性质等基础知识，属于基础题．8．平面向量a r ，b r 满足，2()30a a b -⋅-=rr r ，2b =r ，则a b -r r 最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意设向量()0,2b =r ，(),a x y =r，将方程转化为圆的方程，再利用两点间的距离即可得到结论. 【详解】由题意，设向量()0,2b =r ，(),a x y =r ，则()222ax y =+r，2a b y ⋅=r r，因()230a a b -⋅-=r r r ，即，22230x y y +--=，所以：()2214x y +-=，即向量a r的轨迹是以()0,1为圆心，2r =的圆，又(),2a b x y -=-r r，所以a b -=r r (),x y 与点()0,2之间的距离，又点(),x y 满足()2214x y +-=，所以23a b -==r r.故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，将向量的模转化为两点之间的距离是关键，属于中档题.9．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．函数y x = ）．A ．()1,+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．)1⎡+∞⎣【答案】A【解析】函数y x =，可得y x -=，两边平方，即可求解． 【详解】解：函数y x x =+R ．当1x …时，可知函数y 是递增函数，可得1y +…当1x „时，可得0y x -=， 两边平方， 0y x -Q …，即1y >； 22()y x ∴-=，可得：222223x xy y x x -+=-+，(1)y ≠23122y x y -∴=-„．得y R ∈．由2232302(1)22y y y y x y y y --+-=-=--…， 1y >Q ．2230y y ∴-+… 可得：y R ∈ 综上可得1y >．∴函数y x =(1)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．二、填空题11．已知向量()12a =r ，，()3b x =-r ，，若满足a b r P r ，则x ＝_____，若满足a b⊥r r ，则x ＝_____． 【答案】32-6 【解析】根据平面向量共线与垂直的坐标表示，分别列方程求出x 的值. 【详解】因向量()1,2a =r，(),3b x =-r ，若//a b r r，则()1320x ⨯--=，解得32x =-， 若a b ⊥r r，则()230x +⨯-=，解得6x =.故答案为：32-，6. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，属于基础题.12．函数()f x =________． 【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 13．若5sin()=613πα-，则cos()3πα+=________________ 【答案】513【解析】根据题意cos cos 326πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后根据诱导公式对上式进行变形即可得到cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得答案 【详解】5sin 613Q πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos cos sin 326613ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故答案为513【点睛】本题是一道有关三角函数的题目，解答本题的关键是掌握诱导公式，属于基础题． 14．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝120°，则AO BC ⋅=u u u r u u u r_____． 【答案】8【解析】可画出图形，并将O 和AC 中点D 连接，O 和AB 中点E 连接，从而得到OD AC ⊥，OE AB ⊥，根据数量积的计算公式以及条件即可得出.【详解】如图，AC 中点，AB 中点E ，并连接OD ，OE ，则OD AC ⊥，OE AB ⊥，212AO AC AC ∴⋅=u u u r u u u r u u u r ，212AO AB AB ⋅=u u u r u u u r u u u r ，()222211115382222AO BC AO AC AB AO AC AO AB AC AB ∴⋅=⋅-=⋅-⋅=-=⨯-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为：8. 【点睛】本题考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，三角函数的定义，属于基础题． 15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____． 【答案】163【解析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得， 函数图象关于6324x πππ+==对称，又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值， 可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342T ππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=.故答案为：163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题．16．定义在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上的函数y =的图象与y ＝4tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴交于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为_____．【解析】先将12PP 的长转化为求sin x 的值，再由x 4tan x x =可求出sin x 的值，从而得到结论. 【详解】由题意可得，线段12PP 的长即为点2P 的纵坐标，即sin x 的值，且其中的x 即为P 的横4tan x x =sin 4cos xx x =，24sin 0x x +=，解得sin x =，（舍负）所以线段12PP .. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题． 17．设函数f （x ）＝2ax 2+2bx ，若存在实数x 0∈（0，t ），使得对任意不为零的实数a ，b 均有f （x 0）＝a +b 成立，则t 的取值范围是_____． 【答案】()1,+∞【解析】对任意不为零的实数a ，b 均有()0f x a b =+成立等价于()()22112x b x a -=-，分12x =或12x ≠两种情况讨论，即可求出t 的范围.【详解】f （x ）＝a +b 成立等价于（2x ﹣1）b ＝（1﹣2x 2）a ， 当x 12=时，左边＝0，右边≠0，不成立，当x 12≠时，（2x ﹣1）b ＝（1﹣2x 2）a 等价于21221b x a x -=-， 设k ＝2x ﹣1，则x 12k +=， 则22(1)1211222k b k k a k k +---+===（1k -k ﹣2）， ∵x ∈（0，t ），（t 12＜），或x ∈（0，12）∪（12，t ），（t 12＞）， ∴k ∈（﹣1，2t ﹣1），（t 12＜），或k ∈（﹣1，0）∪（0，2t ﹣1），（t 12＞），（） ∵∀a ，b ∈R ， ∴12b a =（1k -k ﹣2），在（）上恒有解， ∴12（1k-k ﹣2），在（）上的值域为R ， 设g （k ）12=（1k-k ）﹣1，则g （k ）在（﹣1，0），（0，2t-1）上单调递减， 对应值域为(,1),((21),)g t -∞--+∞ 要保证12（1k-k ﹣2）在（）上的值域为R ，则 ∴1122(21)1211t t g t t ⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪-<--⎩⎩＞＞＞， 解得t ＞1，故答案为：()1,+∞.【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，关键是构造函数，属于难题．三、解答题18．计算下列各式的值：（1）27213216-+-（12）﹣2﹣（827）-23 （2）2（）2•lg5【答案】（1）3（2）1【解析】（1）利用指数的运算法则化简求解即可；（2）利用对数的运算法则化简求解即可．【详解】（1）27213216-+-（12）﹣2﹣（827）23-=914+-494-=3； （2）2（）2•lg5=2（）2•lg5+1﹣＝++1﹣＝lg1﹣＝1．【点睛】本题考查指数的运算法则以及对数运算法则的应用，属于基础题．19．（1）已知tanθ＝2，求sin 2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos 2θ+4的值． （2）已知()()()()332sin cos tan f x cos πθπθπθπθ-+-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，求73f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）175；（2【解析】（1）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；（2）利用诱导公式化简变形，代入73πθ=-求解. 【详解】（1）∵tanθ＝2，∴sin 2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos 2θ+4 2222222344sin sin cos cos sin cos sin cos θθθθθθθθ--++=+ 222222525211sin sin cos cos tan tan sin cos tan θθθθθθθθθ-+-+==++ 225222117215⨯-⨯+==+； （2）∵f （θ）()()()332sin cos tan cos πθπθπθπθ-+-=⎛⎫- ⎪⎝⎭()()sin cos tan sin θθθθ⋅-⋅-==--sinθ．∴7733 f sinππ⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin（3π-）＝sin33π=．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．20．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且19BE BC DF DCλλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，．（1）当λ12=，求|AEu u u r|；（2）求AE AF⋅u u u r u u u r的最小值．【答案】（1）13（2）2918【解析】以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算求出AEu u u r，DFu u u r，（1）当12λ=时，73,4AE⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r，即可求出答案；（2）根据向量的数量积和基本不等式即可求出答案.【详解】以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，∵AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴A（﹣1，0），B（1，0），C（123，D（12-3，∴AE AB BE =+=u u u r u u u r u u u r （2，0）+λ（12-=212-λ），（1）当λ12=时，AE =u u u r （74，则|AE u u u r |==（2）∵DE AD DF =+=u u u r u u u r u u u r （12）19λ+（1，0）＝（1129λ+，∴17217189218AE AF λλ⋅=++≥+u u u r u u u r 1722918318=+=，当且仅当λ23=时取得最小值．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值，属于基础题.21．已知函数()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭： （1）若04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求y ＝f （x ）的最大值和最小值，并写出相应的x 值；（2）将函数y ＝f （x ）的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）满足：y ＝g （x ）在[a ，b ]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b ﹣a 的最小值．【答案】（1）x 4π=时，，最小值为12， x 12π=时，最大值为1；（2）283π． 【解析】（1）根据三角函数的单调性的性质；（2）根据三角函数的图象关系，求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行求解即可．【详解】（1）∵04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ∴2x 3π+∈[3π，56π]， ∴12≤sin x （2x 3π+）≤1，即f （x ）∈[12，1]， 当x 4π=时，f （x ）取得最小值，最小值为12， 当x 12=π时，f （x ）取得最大值，最大值为1；（2）函数y ＝f （x ）的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g（x ）的图象， 则g （x ）＝2sin[2（x 12π-）3π+]+1＝2sin （2x 6π+）+1， 令g （x ）＝2sin （2x 6π+）+1＝0，解得x 6π=-+k π或x 2π=+k π，k ∈Z ， 即g （x ）的零点相离间隔依次为3π或23π， 故若y ＝g （x ）在[a ，b ]上至少含有20个零点，则b ﹣a 的最小值为103π⨯+922833ππ⨯=． 【点睛】 本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力，属于基础题．22．已知函数：f （x ）＝x 2﹣mx ﹣n （m, n ∈R ）．（1）若m +n ＝0，解关于x 的不等式f （x ）≥x （结果用含m 式子表示）；（2）若存在实数m ，使得当x ∈[1，2]时，不等式x ≤f （x ）≤4x 恒成立，求实数n 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）[﹣4，8]．【解析】（1）由题意可得()()10x m x +-≥，分类讨论1m <-，1m =-，1m >-，结合二次不等式的解法可得所求解集；（2）由题意可得14n x m x≤++≤对[]1,2x ∈恒成立，即存在实数m ，使得14n n x m x x x --+≤≤--+对[]1,2x ∈恒成立，考虑()n y x n R x=--∈在[]1,2单调性，可得n 的不等式，即可得到n 的取值范围. 【详解】（1）由x ≤x 2+mx ﹣m ，即（x +m ）（x ﹣1）≥0，①m ＝﹣1时，可得x ∈R ；②m ＜﹣1时，﹣m ＞1，可得解集为（﹣∞，1]∪[﹣m ，+∞）；③m ＞﹣1时，﹣m ＜1，可得解集为（﹣∞，﹣m ]∪[1，+∞）；（2）x ∈[1，2]时，x ≤x 2+mx +n ≤4x 恒成立，即为1≤x n x++m ≤4对x ∈[1，2]恒成立， 即存在实数m ，使得﹣x n x -+1≤m ≤﹣x n x-+4对x ∈[1，2]恒成立， ∴（﹣x n x -+1）max ≤（﹣x n x -+4）min ，当0n <时，由n y x x =--在[1，2]递减， ∴﹣n ≤22n -，即n ≥﹣4，40n ∴-≤< 当01n ≤≤时，由n y x x=--在[1，2]递减， ∴﹣n ≤22n -，即n ≥﹣4，01n ∴≤≤ 当4n ≥时，由n y x x=--在[1，2]递增， ∴132n n --≤-， 84n ∴≥≥ 当14n <<时，由n y x x=--在[1，2]先增后减，∴13n -≤-或122n -≤-，14n ∴<< 综上，实数n 的取值范围：[﹣4，8]．【点睛】本题考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.。
杭高2018学年第一学期期末考试高一【数学】
杭高2018学年第一学期期末考试高一（数学）试题卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U R =，集合{}{}1,2,3,4,5,3A B x R x ==∈≥，图中阴影部分所表示的集合为（ ） A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,22．已知α的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．3-D ．33．在ABC ∆中，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ） A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 延长线上C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上4．已知()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，设()()13,,22a f b f c f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b a c >>5．函数cos tan y x x =（22x ππ-<<）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点()()()2,3,5,4,7,10A B C ，有()AP AB AC R λλ=+∈，若点P 在第三象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．3,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,7⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞7．已知实数,a b 满足23,32a b ==，则函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28．若函数()()sin 20,0f x A x A ωω=>>在1x =处取得最大值，则函数()1f x +为（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-的值是（ ）A ．1B ．2425-C ．725D ．725-10．函数()y f x =在区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如y x =是[]2,2-上的“平均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．()2,0-C ．()0,2D ．(二、填空题：（本大题共7个小题，每小题4分，共28分．）11．计算：(22lg5+_________________．12．已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为_________________．13．平面向量()()1,1,1,2AB n =-=，且3n AC ⋅=，则n BC ⋅=_________________．14．平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，则λμ-=_________________．15．已知()()[]3sin 3,0,f x x x φπ=+∈，则()y f x =与2y =的交点个数最多有_________________个．16．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则下列结论中正确的是_________________．（1）a 为单位向量；（2）b 单位向量；（3）a b ⊥；（4）//b BC ；（5）()4a b BC +⊥．17．若函数()22f x x a x =+-在()0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是_________________．三、解答题：（本大题共个5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本大题10分）设全集是实数集R ，{}{}22430,0A x x x B x x a =-+≤=-≤． （1）当4a =时，求AB 和A B ；（2）若R B C A ⊆，求a 的取值范围．19．（本大题10分）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心．20．（本大题10分）已知ABC ∆中，点()()()0,3,0,1,1,1A B C -．（1）以AC 为对角线作正方形AMCN （点,,,A M C N 依次逆时针排列），求出MN 的坐标，并求出点M 的坐标；（2）若E 为BC 的中点，AD BC ⊥于D ，求AD AE ⋅．21．（本大题12分）已知二次函数()216,f x x x k k R =-+∈． （1）若函数()f x 在[],2m m +上单调，求实数m 的取值范围；（2）是否存在常数()010t t ≤<，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间[],a b 且12b a t -=-？ （3）若()f x 在[](),m n n g ≤上的值域为[],m n ，求实数k 的取值范围．。
杭州市名校初中五校联考2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题
杭州市名校初中五校联考2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．设x a 0<<，则下列不等式一定成立的是( ) A ．22x ax a << B ．22x ax a >>C ．22x a ax <<D ．22x a ax >>2．已知集合()()()3{|0},{|1230}1x A x B x x x x x -=≥=-+-≥+，则()R A B ⋂=ð （） A ．[]1,1-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[)1,1- 3．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A.y ＝e x ＋e －x B.y ＝ln(|x|＋1) C.sin xy x=D.1y x x=-4．在直角坐标系xOy 中，一个质点从12(,)A a a 出发沿图中路线依次经过34(,)B a a ，56(,)C a a ，78(,)D a a ，，按此规律一直运动下去，则201520162017a a a ++=（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．10095．命题“0x ∀>，20x x -≤”的否定是（ ）A.00x ∃>，2000x x -≤B.00x ∃>，2000x x ->C.0x ∀>，20x x ->D.0x ∀≤，20x x ->6．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,cos 1cos b a B A ==-，则ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形7．曲线21xy xe x =+-在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．31y x =-B ．31y x =--C ．31y x =+D ．21y x =--8．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ） A ．201520172⨯ B ．201420172⨯ C ．201520162⨯D ．201420162⨯9．两个半径都是()1r r ＞的球1O 和球2O 相切，且均与直二面角l αβ--的两个半平面都相切，另有一个半径为1的小球O 与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球1O 和球2O 都外切，则r 的值为（ ）A 1B 3C ．12D10．对任意，，都有，则实数的最大值为（ ）A ．B ．C ．4D ．11．命题“若a ＞2，则a ＞1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．设函数()lg(1)f x x =-，则函数(())f f x 的定义域为（ ）A ．(9,)-+∞B ．(9,1)-C ．[9,)-+∞D ．[9,1)-二、填空题13．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()U A B =U ð_______。
浙江省杭州二中 2018 学年第一学期高一年级期末考数学试题(解析版)
林老师网络编辑整理浙江省杭州二中 2018 学年第一学期高一年级期末考数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. cos600°=（ ） A. 12B. −12C. √32 D. −√322. 集合A ={-1，0，1}，B ={y |y =sin x ，x ∈R }，则（ ）A. A ∩B =BB. A ∪B =BC. A =BD. ∁R A =B3. 下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. f(x)=x 3−x 2B. f(x)=tanxC. f(x)=lnx −xD. f(x)=xx+1Z4. 将函数y =sin （2x +π3）的图象向右平移π6个单位后，横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，则所得函数的解析式为（ ）A. y =2cos2xB. y =2sin(2x +π6) C. y =12sin2xD. y =2sin2x5. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，且a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为150°，则向量a ⃗ 在向量b ⃗ 的投影为（ ）A. √32B. −√32C. √3D. −√36. 已知函数f （x ）=|x +1|+|x -1|，若f （a ）=f （b ），则下列一定不正确的是（ ）A. ab >1(a ≠b)B. a +b =0C. (1−|a|)(1−|b|)>0D. a =b 7. 已知θ∈[0，π2]，若θ满足不等式sin 3θ−cos 3θ≥ln cosθsinθ，则θ的取值范围是（ ）A. [π4,π2)B. (0,π4]C. [π4,π3]D. [π4,π2]8. 函数f （x ）=ln （1+2sin （π3-2x ））的单调递减区间是（ ）A. (kπ−π12,kπ+512π)，k ∈Z B. ．(kπ+7π12,kπ+1112π)，k ∈Z C. ．[kπ−π12,kπ+π4),k ∈ZD. ．(kπ+5π12,kπ+1112π)，k ∈Z9. 如图，四边形ABCD 满足|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，BA ，CD 的延长线与MN 的延长线相交于P ，Q 两点，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值是（ ） A. 2B. 1C. −2D. −110. 定义M 1是函数f （x ）=e x -e 的零点，M 2=log 427•log 8125•log 6258，M 3=|12sin x 2|（x ≠0），则有（ ）A. M 2<M 1<M 3B. M 1<M 2<M 3C. M 3<M 2<M 1D. M 2<M 3<M 1二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11. 已知向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，3），OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2），OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，-5），若G 是△ABC 的重心，则OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是______ 12. 函数y =sinx−12−sinx 的值域是______．13. 设平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足2a ⃗ +b ⃗ =（3，3），a ⃗ -2b ⃗ =（-1，4），若a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=______ 14. 函数f(x)={−tanx ，−π2＜x ＜0asinx ，0≤x ≤π，若函数g （x ）=f （f （x ））恰有3个不同的零点，则实数a 的取值集合为______15. 边长为2的等边三角形ABC 所在的平面上有点O ，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______ 16. 定义函数f （x ）=13sin 4x +14cos 4x ，若f （θ）=17，则tanθ=______17. 关于x 的不等式x 2-a |x |+4＜0的解集中仅含有4个不同的整数，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）18. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2． （1）在指定的位置用尺规作出向量2a ⃗ -12b ⃗ ； （2）求a ⃗ -b ⃗ 与2a ⃗ +b ⃗ 的夹角的余弦值； （3）求|b ⃗ −λa ⃗ |（λ∈R ）的最小值．19. 定义函数f （x ）=3sin （2x -π3）．（1）求函数y =|f （x ）|的最小正周期；（2）将函数y =f （x ）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到y =g （x ）的图象关于y 轴对称，求φ的最小值；（3）判断方程|f （x ）|=log 2|x |的根的个数（不需要写出解答过程）林老师网络编辑整理20.定义在R上的单调函数f（x）满足：f[f（x）-x|x|]=0．（1）求证：f（x）=x|x|；（2）若f（sinθ）+f（√3cosθ）＜0，求θ的取值范围；（3）对任意的x≥1有不等式f（x+m）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．21.定义函数f（x）=ax2+bx+a．（1）若方程f（x）=x有唯一的根，求a，b满足的关系式；（2）若a=1，b=-3，求函数g（x）=x+√f(x)的值域；]不等式0≤f（x）≤4x恒成立，求实数a+b的取值范（3）若对任意的x∈[1，3+√52围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：cos600°=cos（360°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-，故选：B．利用诱导公式把要求的式子化为-cos60°，从而求得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：B={y|-1≤y≤1}，A={-1，0，1}；∴A∩B=A，A∪B=B．故选：B．可得出B={y|-1≤y≤1}，从而可得出A∩B=A，A∪B=B，从而选B．考查描述法、列举法的定义，正弦函数的值域，以及交集、并集的运算．3.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x3-x2，其导数为f′（x）=3x2-2x=x（3x-2），在（0，）上，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，不符合题意；对于B，f（x）=tanx，为正切函数，在（0，+∞）上不具有单调性，不符合题意；对于C，f（x）=lnx-x，其导数为f′（x）=-1=，在（0，1）上，f′（x）＜0，函数f （x）为减函数，不符合题意；对于D，f（x）==1-，在（0，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．4.【答案】D【解析】林老师网络编辑整理解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位后，可得函数y=sin2x的图象；横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍，可得函数y=2sin2x的图象，故选：D．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵，且，的夹角为150°，∴==-，则向量在向量的投影为=，故选：B．由向量在向量的投影为，代入即可求解．本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用是，属于基础试题．6.【答案】A【解析】解：f（x）=|x+1|+|x-1|=，又f（a）=f（b），①对于选项B，当-1≤a=b≤1时，满足题意，②对于选项C，当a≤-1，b≥1，且a=-b时，满足题意，③对于选项D，当a＜-1，b＞1，且a=-b时，满足题意，④结合①②③得，选项A一定不成立，故选：A．由分段函数的有关知识，进行简单的合情推理，逐一检验可得解．本题考查了分段函数的有关知识，属简单题．7.【答案】A【解析】解：∵，∴=lncosθ-lnsinθ，即sin3θ+lnsinθ≥cos3θ+lncosθ，则sinθ＞0且cosθ＞0．即θ≠0且θ≠，即θ∈（0，），设f（x）=x3+lnx，x＞0，则不等式sin3θ+lnsinθ≥cos3θ+lncosθ等价为f（sinθ）≥f（cosθ）恒成立，函数f′（x）=3x2+，则当x＞0时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在定义域上为增函数，则f（sinθ）≥f（cosθ）等价为sinθ≥cosθ恒成立，∵θ∈（0，），∴≥1，即tanθ≥1，即≤θ＜，即θ的取值范围是[，），故选：A．根据对数的法则，将不等式转化为sin3θ+lnsinθ≥cos3θ+lncosθ，然后构造函数f （x）=x3+lnx，x＞0求函数的导数，研究函数的单调性，进行转化求解即可．本题主要考查不等式恒成立的求解，根据条件转化为同一的形式，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，质量较高．8.【答案】C【解析】解：设t=1+2sin（-2x）=-2sin（2x-）+1，由t=-2sin（2x-）+1＞0，即sin（2x-）＜，林老师网络编辑整理即2kπ-＜2x-＜2kπ+，k∈Z，解得kπ-＜x＜kπ+，k∈Z∵函数等价为y=lnt，∴要求函数f（x）=ln（1-2sin（-2x））的单调递减区间，即求t=1-2sin（-2x）=2sin（2x-）+1的递减区间，解得kπ-＜x＜kπ+，k∈Z．故选：C．根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：如图：因为M，N分别是BC，AD的中点，∴+=，+=，∴=++①，=++②，①+②得2=+=-（+），∴=-（+），∴λ•-λ•=3，∴λ•（-）=3，∴-（+）•（-）=3，∴-（2-2）=3，∴-λ（4-1）=3，∴λ=-2．故选：C．将向量化成和后代入已知运算可解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．10.【答案】C【解析】解：因为M1是函数f（x）=e x-e的零点，所以M1=1，M2=log427•log8125•log6258==，M3=||，即M3＜M2＜M1，故选：C．由函数的零点得：M1=1，由对数的换底公式得：M2=log427•log8125•log6258==，由三角函数的有界性得：M3=||，得解．本题考查了函数的零点，对数的换底公式及三角函数的有界性，属中档题11.【答案】（2，0）3【解析】解：已知向量=（-1，3），=（1，2），=（2，-5），由三角形重心坐标公式得：=（，）=（，0），故答案为：（，0）．由平面向量基本定理求得三角形重心坐标公式，运算可得解．本题考查了三角形重心坐标公式，属简单题．12.【答案】[−2，0]3【解析】解：因为y==，因为1≤2-sinx≤3，所以≤≤1，所以-≤≤0，即函数的值域为：[，0]，故答案为：[，0]由三角函数的有界性及分式函数的值域的求法得：y==，因林老师网络编辑整理为1≤2-sinx≤3，求得≤≤1，即-≤≤0，得解本题考查了三角函数的有界性及分式函数的值域的求法，属中档题13.【答案】-√1010【解析】解：∵2+=（3，3），-2=（-1，4），∴=（1，2），=（1，-1），则cosθ==，故答案为：-．由已知先求出，，然后根据cosθ，即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示的简单应用，属于基础试题．14.【答案】（-∞，0）∪（0，π）【解析】解：设t=f（x），则g（x）=f（t），由g（x）=f（t）=0得，f（t）=0，若-＜x＜0，f（x）=-tanx＞0，此时函数f（x）无零点，若0≤x≤π，由f（x）=asinx=0得a≠0，x=0，或x=π，即函数f（x）有两个零点，0，π，由f（t）=0，得t=0，或t=π，当t=0时，由f（x）=0得x=0，或x=π，此时有两个零点，∵函数g（x）=f（f（x））恰有3个不同的零点，∴等价为当t=π时，由f（x）=π只有一个零点，当-＜x＜0时，f（x）=-tanx=π只有一个零点，此时当0≤x≤π时，f（x）=asinx=π没有零点，即若a＞0，则0＜a＜π，若a＜0，此时asinx=π没有零点恒成立，综上0＜a＜π或a＜0，即实数a的取值集合为（-∞，0）∪（0，π），故答案为：（-∞，0）∪（0，π）设t=f（x），则g（x）=f（t），先根据条件求出函数f（x）的零点，由f（t）=0得t的范围，结合t=f（x），求出x的个数满足的条件即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法先求出函数f（x）的零点以及t 的数值，结合t=f（x）的关系求出x满足的条件是解决本题的关键．15.【答案】[-1.3]【解析】解：建立如图所示直角坐标系：则A（-1，0），B（1，0），C（0，），设O（x，y），•=0⇒x2+y2=1，令x=cosθ，y=sinθ，∴•=（-1-x，-y）•（-x，-y）=x2+x+y2-y=x-+1=cosθ-sinθ+1=2cos（θ+）+1∈[-1，3]，故答案为：[-1，3]．建系后用坐标运算后利用三角换元求最值得取值范围．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．16.【答案】±√32【解析】解：由f（x）=sin4x+cos4x，且f（θ）=，得，∴，即（7cos2θ-4）2=0，解得．∴sin2θ=．林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理则．∴tanθ=．故答案为：．由已知结合平方公式可得sin 2θ，cos 2θ的值，进一步得到tan 2θ，开方得答案． 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．17.【答案】[133，5）【解析】解：当x=0时，不等式等价为4＜0，不成立， 即x≠0，由x 2-a|x|+4＜0得x 2+4＜a|x|， 即a ＞=|x|+，若不等式x 2-a|x|+4＜0的解集中仅含有4个不同的整数，则等价为当x ＞0时，a ＞x+时，有两个整数解即可， ∵x+≥2=4，当且仅当x=，即x=2时，取等号，当x=2时，x+=4， 当x=1时，x+=1+4=5， 当x=3时，x+=3+=，要使a ＞x+时，有两个整数解， 则这两个整数为2，3， 此时a 满足≤a ＜5，即实数a 的取值范围是[，5），故答案为：[，5），利用参数分离法进行转化，结合偶函数的对称性转化为当x ＞0时只有两个整第12页，共15页数，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合基本不等式的性质，利用数形结合是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）已知向量a ⃗ ，b ⃗ ，作有向线段OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12b ⃗ ，连接BA ， 则向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ -b ⃗ ；（2）（a ⃗ -b ⃗ ）•（2a ⃗ +b ⃗ ）=2a ⃗ 2-a ⃗ •b ⃗ -b ⃗ 2=2×1-1×2×cos60°-4=-3， |a ⃗ -b ⃗ |=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√1−2×1×2×12+4=√3， |2a ⃗ +b ⃗ |=√4a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√4+4×1×2×12+4=2√3，所以a ⃗ -b ⃗ 与2a ⃗ +b ⃗ 夹角的余弦值为cosθ=(a ⃗ −b ⃗ )⋅(2a ⃗ +b ⃗ )|a ⃗ −b ⃗ |×|2a ⃗ +b⃗ |=−3√3×2√3=-12； （3）因为(b ⃗ −λa ⃗ )2=b ⃗ 2-2λb⃗ •a ⃗ +λ2a ⃗ 2=4-2λ×2×1×12+λ2×1=λ2-2λ+4=（λ-1）2+3≥3， 当λ=1时取得最小值为3，所以|b ⃗ −λa ⃗ |（λ∈R ）的最小值是√3． 【解析】（1）根据平面向量的线性运算作有=2，=，连接BA 即得=2-；（2）根据平面向量的夹角公式计算即可； （3）求的最小值，即可求得的最小值．本题考查了平面向量的数量积与线性运算问题，是中档题．19.【答案】解：（1）∵函数f （x ）=3sin （2x -π3），∴它的最小正周期为2π2=π，∴函数y =|f（x ）|的最小正周期为π2．（2）将函数y =f （x ）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到y =g （x ）=f （x +φ）=3sin （2x +2φ-π3）的图象，且f （x +φ）的关于y 轴对称，故当φ取最小值时，2φ-π3=π2，求得φ的最小值为π12．林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理（3）方程|f （x ）|=log 2|x |的根的个数，即方程|3sin （2x -π3）|=log 2|x |的根的个数， 即函数y =|3sin （2x -π3）|和函数y =log 2|x |的图象交点的个数，数形结合可得函数y =|3sin （2x -π3）|和函数y =log 2|x |的图象交点的个数为18． 如图：【解析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，得出结论．（2）利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象对称性，求得φ的最小值．（3）本题即求即函数y=|3sin （2x-）|和函数y=log 2|x|的图象交点的个数，数形结合可得结论．本题主要考查正弦函数的周期性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象，属于中档题．20.【答案】（1）证明：设f （x 0）=0，则f （x ）-x |x |=x 0，即f （x ）=x |x |+x 0，∴f （x 0）=x 0|x 0|+x 0=0，∴x 0=0， ∴f （x ）-x |x |=0，即f （x ）=x |x |；（2）解：由（1）知，f （x ）为奇函数，且f （x ）在R 上为增函数，由f （sinθ）+f （√3cosθ）＜0，得f （sinθ）＜-f （√3cosθ）=f （-√3cosθ）， 即sinθ＜-√3cosθ，则sinθ+√3cosθ＜0，∴2sin(θ+π3)＜0，则π+2kπ＜θ+π3＜2π+2kπ，k ∈Z ， 得23π+2kπ＜θ＜53π+2kπ，k ∈Z ；（3）解：当x ≥1时，f （x ）=x 2，由不等式f （x +m ）+mf （x ）＜0恒成立，得（x +m ）2+mx 2＜0对任意x ≥1恒成立． 即（m +1）x 2+2mx +m 2＜0对任意x ≥1恒成立．第14页，共15页当m =-1时，得x ＞12，满足对任意x ≥1恒成立； 当m ≠-1时，需{4m 2−4m 2(m +1)<0m+1<0或{m +1＜0−m m+1≤1m +1+2m +m 2≤0．解得：−3−√52＜m ＜√5−32．综上，实数m 的取值范围是（−3−√52，√5−32）∪{-1}．【解析】（1）设f （x 0）=0，则f （x ）-x|x|=x 0，即f （x ）=x|x|+x 0，由f （x 0）=0求得x 0=0，可得f （x ）=x|x|；（2）解：由（1）知，f （x ）为奇函数，且f （x ）在R 上为增函数，把f （sinθ）+f （cosθ）＜0转化为sinθ+cosθ＜0，求解三角不等式得答案；（3）当x≥1时，f （x ）=x 2，把不等式f （x+m ）+mf （x ）＜0恒成立转化为（x+m ）2+mx 2＜0对任意x≥1恒成立，即（m+1）x 2+2mx+m 2＜0对任意x≥1恒成立，然后分m=-1和m≠-1求解得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，属难题．21.【答案】解：（1）方程f （x ）=x 有唯一的根，即ax 2+（b -1）x +a =0有唯一的根，若a =0，则b ≠1；若a ≠0，则△=（b -1）2-4a 2=0；（2）当a =1，b =-3时，函数g （x ）=x +√f(x)=x +√x 2−3x +1． 由x 2-3x +1≥0，解得x ≤3−√52或x ≥3+√52． g ′（x ）=1+2√x 2−3x+1=2√x2−3x+1+2x−32√x 2−3x+1．当x ≤3−√52时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（-∞，3−√52]上为减函数，g （x ）≥3−√52；当x ≥3+√52时，g ′（x ）＞0，g （x ）在[3+√52，+∞）上为增函数，g （x ）≥3+√52．∴函数g （x ）=x +√f(x)的值域为[3−√52，+∞）；（3）对任意的x ∈[1，3+√52]不等式0≤f （x ）≤4x 恒成立，即0≤ax 2+bx +a ≤4x 恒成立，等价于0≤a （x +1x ）+b ≤4， 令h （x ）=x +1x ，则h （x ）在x ∈[1，3+√52]上为增函数，故h （x ）min =2，h （x ）max =3．林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理若a =0，则0≤b ≤4，此时0≤a +b ≤4；若a ≠0，则{0≤3a +b ≤40≤2a+b≤4，从而a +b =2（2a +b ）-（3a +b ）∈[-4，8]． 综上可得：-4≤a +b ≤8． 【解析】（1）方程f （x ）=x 有唯一的根，即ax 2+（b-1）x+a=0有唯一的根，对a 分类即可得到a ，b 满足的关系式；（2）当a=1，b=-3时，函数g （x ）=x+=x+，求出函数的定义域，利用导数研究函数的单调性，由单调性求值域； （3）对任意的不等式0≤f （x ）≤4x 恒成立，转化为0≤a （x+）+b≤4恒成立，利用单调性求得最值，可得，从而得到a+b 的取值范围．本题考查方程的根与判别式的关系，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属难题．。