高一数学12月月考试题
北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
江苏省苏州市苏苑高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
江苏省苏州市苏苑高级中学2023-2024学年高一上学期
12月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（ ）A ．()00
f =B ．若()f x 在[0,)+¥上有最小值1-，则()f x 在(,0]-¥上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+¥上为增函数，则()f x 在(,1]-¥-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x
=--10．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A ．1
B ．4
C ．2
D ．3
11．在同一直角坐标系中，函数23y x ax a =++-与x y a =的图象可能是（ ）
六、问答题
20．已知函数44()log (1)log (3)f x x x =++-．
(1)求f (x )的定义域及单调区间．
(2)求f (x )的最大值，并求出取得最大值时x 的值．
(3)设函数4
()log [(2)4]g x a x =++，若不等式f (x )£g (x )在(0,3)x Î上恒成立，求实数a。
湖北省武汉市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
武汉2023级高一12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.函数()ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()4,5 B.()5,6 C.()6,7 D.()7,8【答案】C 【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数ln ,8y x y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()6ln620,7ln710f f =-<=->，所以()f x 的零点所在的区间为()6,7.故选：C .2.已知函数()()2,21,23x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则3(1log 5)f -+的值为（）A.115B.53C.15D.23【答案】A 【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】()()()3log 15333311(1log 5)1log 521log 5log 15315f f f f ⎛⎫-+=-++=+===⎪⎝⎭.故选：A ．3.已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系e kx b y +=（y 为保鲜时间，x 为储存温度），若该食品在冰箱中0C ︒的保鲜时间是144小时，在常温20C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40C ︒的保鲜时间是（）A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得20144e 1e 3b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后整体代入计算即可.【详解】由题意，得20144e 48e bk b +⎧=⎨=⎩，即20144e 1e3bk⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当40(C)x =︒时，()2240201e e e 144163k b k b y +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭（小时）.故选：A4.函数()()e e 101x xf x x -+=-的大致图象是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性证明函数()f x 为偶函数；分别求出1()0,(2)02f f <>，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}1x x ≠±，关于原点对称，e e ()()10(1)x xf x f x x -+-==-，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C ；又1122221e e e e (0,(2)0121010(1)2f f --++=<=>-，故排除AB ，D 符合题意.故选：D.5.幂函数()f x 图象过点22⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2y f x f x =+-的定义域为（）A.(0,2) B.(0,2]C.[0,2]D.(2,2)-【答案】A 【解析】【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到020x x >⎧⎨->⎩，解得答案.【详解】设幂函数为()af x x =，则()222af ==，故12a =-，()12f x x -=，则()f x 的定义域为()0,∞+，故()()2y f x f x =+-满足020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<.故选：A6.若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.x z y <<B.y x z<< C.y z x<< D.z y x<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数x y b =以及幂函数b y x =的单调性比较出,,x y z 之间的大小关系.【详解】因为x y b =在()0,+¥上单调递减，所以ab bb >，即y z >，又因为b y x =在()0,+¥上单调递增，所以b b a b <，即x z <，所以x z y <<，故选：A.【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数y x α=当0α>时在()0+∞，上单调递增.7.“2a >”是“函数()()2log 3a f x ax x a =-+在区间(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定a 的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.【详解】由题设易知0a >，且1a ≠，设23t ax x a =-+，则函数23t ax x a =-+开口向上且对称轴为32x a=，所以23t ax x a =-+在3,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，log a y t =为增函数，所以1a >．要使()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(31,,)2a ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭，即312a ≤，所以32a ≤，要使230ax x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，分离参数a 可得，23311x a x x x>=++，因为12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但(1,)x ∈+∞，所以3312x x<+所以32a ≥．综上，32a ≥．所以“2a >”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的充分不必要条件，故选：A ．8.设函数()()2321log 1f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],2-∞ C.35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，从而可得()322log g x x x =+，进而判断函数()g x 的奇偶性与单调性，从而把问题转化为()()12-≤+g ax g x 在(]1,2x ∈上恒成立，结合函数()g x 的奇偶性与单调性可得12ax x -≤+，即212--≤-≤+x ax x ，参变分离后结合最值即可求解.【详解】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，因为()()2321log 1f x x x =-+-，所以()3212log 1f x x x =-+-，所以()322log g x x x =+，定义域为R ，由()()322log g x x x g x -=-+-=，所以函数()y g x =为偶函数，因为当0x >时，()322log g x x x =+为单调递增函数，所以当0x <时，()y g x =为单调递减函数，因为()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以()()12-≤+g ax g x ，根据函数()g x 的奇偶性与单调性得，12ax x -≤+.又因为(]1,2x ∈，所以212--≤-≤+x ax x ，即1311--≤≤+a x x ，即max min1311a x x ⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以当2x =时，max 1312x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，又因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以当2x =时，max 3512⎛⎫+= ⎪⎝⎭x ，所以3522a -≤≤.故选：C.二、多选题9.下列命题中正确的是（）A.方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根B.若函数2()f x x ax b =++，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭C.如果函数1y x x=+在[,]a b 上单调递增，那么它在[,]b a --上单调递减D.若函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称，则函数()y f x a b =+-为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】分析函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上的单调性，结合零点存在定理可判断A 选项的正误；利用作差法可判断B 选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,1上为减函数，函数22y x =在区间()0,1上为增函数，所以，函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上为减函数，021002⎛⎫-> ⎪⎝⎭ ，121102⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以，函数212xy x ⎛⎫⎪⎭-⎝=在区间()0,1上有且只有1个零点，即方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根，A 选项正确；()()()22212121212112222222f x f x a x x x x x x x ax b x ax b f b +++++++++⎛⎫⎛⎫-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222221212121212220444x x x x x x x x x x +-+---===-≤，B 选项正确；对于C 选项，令()1f x x x=+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()1f x x x =+为奇函数，由于该函数在区间[],a b 为增函数，则该函数在区间[],b a --上也为增函数，C 错误；对于D 选项，由函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b ++-=，令()()g x f x a b =+-，定义域为R ，且()()()()220g x g x f x a b f x a b b b -+=-+-++-=-=，即()()g x g x -=-，所以，函数()y f x a b =+-为奇函数，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是结合函数的单调性和零点存在定理，判断函数的零点个数，从而判断方程根的个数；第二问的关键是计算整理的准确性；第三问的关键是求出函数的奇偶性，由奇函数单调性的特点进行判断；第四问的关键是由对称性写出()()2f a x f a x b ++-=.10.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A.xy 最大值为18B.224x y +的最小值为12C.()x x y +最大值为14D.22x yxy+最小值为4【答案】AB 【解析】【分析】选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解.【详解】对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确；对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.已知53a =，85b =，则（）A.a b <B.112a b+> C.11a b a b+<+ D.b aa ab b +<+【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =，∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确；35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b +>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()xg x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．12.已知函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩，若方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A.104k <<B.23e ex << C.121x x +=- D.21234e 04x x x x <<【答案】ACD 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A ；结合对数函数性质可判断B ；结合二次函数图象的性质可判断C ；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩的图像如下：要使方程()(R)f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点，由图象，得104k <<，故A 正确；当0x <时，21()4f x x x =++，则1212()12x x +=⨯-=-，故C 正确；当0e x <<时，令1()4f x =，即11ln 4x -=，解得34e x =，343e e x ∴<<，故B 错误；∵34ln 1ln 1x x -=-，34e x x <<，∴341ln ln 1x x -=-，即4334ln ln 2ln x x x x ==+，则234e x x =，又120x x <<，22121212121()()()()224x x x x x x x x --+=-⋅-<=-=，∵120x x >，∴21234e 04x x x x <<，故D 正确，故选：ACD ．【点睛】方法点睛：将方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点问题转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.三、填空题13.已知1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，7log 4b =，则a ，b 表示49log 48=______．【答案】12a b +【解析】【分析】先根据指数式与对数式的互化求出a ，再根据对数的运算性质计算即可.【详解】由1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1771log log 33a ==，则()()49777771111log 48log 48log 3log 16log 32log 42222a b ==+=+=+.故答案为：12a b +.14.函数()()22log 2log 1f x x x =-+值域为__________.【答案】(],2-∞-【解析】【分析】确定函数定义域为()0,∞+，变换()21log 12f x x x=++，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】函数()()22log 2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，()()()2222221log 2log 1log log log 112xf x x x x x x =-+==≤+++21log 24==-，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故值域为(],2-∞-.故答案为：(],2-∞-.15.已知函数())()()()2ln 4R ,ln log e 5f x x ax a f =++∈=，则()()ln ln2f 的值为__________.【答案】3【解析】【分析】根据条件，构造奇函数())()4lnG x f x x ax =-=+，根据条件，利用换底公式得(ln(ln 2))5f -=，再利用()G x 的奇偶性即可求出结果.2,00,0x x x x x x x ≥⎧+>=+=⎨<⎩0x >恒成立，又())ln 4f x x ax =++，所以())4ln f x x ax -=+，令())()4lnG x f x x ax =-=+，易知()G x 的定义域为R ，又))()22()()ln ln ln 10G x G x x ax x ax x x -+=-++=+-=，所以()G x 为奇函数，又()()21ln log e (ln())(ln(ln 2))5ln 2f f f ==-=，所以(ln(ln 2))(ln(ln 2))4541G f -=--=-=，得到(ln(ln 2))1G =-，又(ln(ln 2))(ln(ln 2))41G f =-=-，所以()()ln ln23f =，故答案为：3.16.对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得7αβ-≤，则称函数()f x 和()g x 互为“零点相伴函数”，若函数()()ln 89f x x x =-+-与()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+互为“零点相伴函数”，则实数a 的取值范围为______.【答案】151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 的单调性结合()90f =，得9α=，则可得216β≤≤，则由已知可得方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t +=+，2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，然后结合对勾函数的性质可求出结果.【详解】因为()()ln 89f x x x =-+-在(8,)+∞上单调递增，且()90f =，所以9α=，由7αβ-≤，得97β-≤，得216β≤≤，所以由题意可知()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+在区间[2,16]上存在零点，即方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，由()()222log 1log 30x a x -+⋅+=，得()22222log 331log log log x a x x x ++==+，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，根据对勾函数的性质可知函数3()h t t t =+在上递减，在4]上递增，因为19(1)4,(4)4h h h ===，所以19()4h t ≤≤，所以1914a ≤+≤，解得1514a ≤≤，即实数a的取值范围为151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于较难题.四、解答题17.（1）若11223x x -+=，求3317x x x x --+++的值.（2）求值：432lg 4lg 9log 9log 2111lg 0.36lg823++⨯++.【答案】（1）23；（2）3.【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质求得17x x -+=，依次求得2247x x -+=、33322x x -+=，即可得结果；（2）根据对数的运算性质化简求值.【详解】（1）因为11223x x -+=，所以21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，得17x x -+=.所以()2122249x xx x --+=++=，得2247x x -+=.所以()()()3312217471322x x x x x x ---+=+-+=⨯-=，所以33132223777x x x x --+==+++.（2）原式()()223232lg 169lg16lg 9log 3log 2log 3log 2lg10lg 0.6lg 2lg 100.62⨯+=+⨯=+⨯++⨯⨯223lg12log 3log 2213lg12=+⨯=+=.18.已知函数()xf x a b =+（0a >，且1a ≠）的部分图象如图示．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()120xx b m a ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()122x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）[)6,+∞．【解析】【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；（2）将问题转化为24x x m +≤在[)1,+∞有解，结合函数的单调性即可得解.【小问1详解】由图象可知函数()x f x a b =+经过点()1,0-和()0,1-，所以1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以函数()f x 的解析式是()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1）知12a=，24b -=，根据题意知240x x m +-≤，即24x x m +≤在[)1,+∞有解，设()24x x g x =+，则()min g x m ≤，因为2x y =和4x y =在[)1,+∞上都是单调递增函数，所以()g x 在[)1,+∞上是单调递增函数，故()()min 16g x g ==，所以6m ≥，实数m 的取值范围是[)6,+∞．19.已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++.（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围.【答案】19.()20,log 3；20.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）由题设()()21230x x --<，利用指数函数性质及指对数关系求解集；（2）由题设得()()212210x x a --+<，进而可得221x a <+在(),0x ∈-∞恒成立求参数范围.【小问1详解】当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；【小问2详解】因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<，当0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，而()211,2x +∈，则21a ≤，解得12a ≤，因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；20.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量M 之间的关系为225log 10M v a b -=+（其中a ，b 是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s .（1）求120202020log a b ++的值；（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位?【答案】（1）12020（2）345【解析】【分析】（1）根据题意列方程求出,a b 的值，代入120202020log a b ++中可求得结果，（2）由题意得2252log 310M v -=-+≥，解不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得,265250log 10a b -=+,化简得20a b +=①,2105251log 10a b -=+,化简得31a b +=②,联立①②,解得2,1a b =-=，所以112020202012020log 2020log 12020a b +-+=+=【小问2详解】由（1）得,2252log 10M v -=-+,根据题意可得,2252log 310M v -=-+≥,即225log 510M -≥，得253210M -≥，解得345M ≥.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于3m/s,则其耗氧量至少要345个单位.21.已知函数()()2log 416(0a f x mx x a =-+>且1)a ≠.（1）若()f x 的值域为R ，求m 的取值范围.（2）试判断是否存在R m ∈，使得()f x 在[]2,4上单调递增，且()f x 在[]2,4上的最大值为1.若存在，求m 的值（用a 表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，根据对数函数定义域和值域的关系，可得()0,D +∞⊆，讨论m 的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分0m <，0m =和0m >三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数m 的值.【小问1详解】设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，因为()f x 的值域为R ，所以()0,D +∞⊆.当0m =时，()416g x x =-+的值域为R ，符合题意.当0m ≠时，由0Δ16640m m >⎧⎨=-≥⎩，解得104m <≤.综上，m 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当0m =时，()416g x x =-+，因为()40g =，所以0m =不符合题意，舍去.当0m <时，()4160g m =<，不符合题意.下面只讨论0m >的情况.若1a >，则()g x 在[]2,4上单调递增，由22m≤，解得m 1≥，此时()()()248160,4log 161a g m f m =-+>==，得116a m =≥，即当16a ≥时，存在16a m =，符合题意，当116a <<时，不存在符合题意的m .若01a <<，则()g x 在[]2,4上单调递减，由24m ≥，解得102m <≤，此时()()()41616160,4log 161a g m f m =-+>==，得16a m =，则当1016201a a ⎧<≤⎪⎨⎪<<⎩，即01a <<时，存在16a m =，符合题意.综上，当16a ≥或01a <<时，存在16a m =，符合题意；当116a <<时，不存在符合题意的m .【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.22.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(]{}1,23,4 （2）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）化简得()1425a a x a x+=-+-，再讨论解集中恰好有一个元素，得到a 的取值范围；（2）由题得()()11f t f t -+≤，即即()2110at a t ++-≥，由二次函数的单调性可得出答案.【小问1详解】由()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦即()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭等价于()()4250101425a x a a x a a x a x⎧⎪-+->⎪⎪+>⎨⎪⎪+=-+-⎪⎩,即()()2451010a x a x a x ⎧-+--=⎪⎨+>⎪⎩当4a =时，=1x -，经检验，满足题意.当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意.当3a ≠且4a ≠时，121211,1,.4x x x x x a ==-≠-是原方程的解当且仅当110a x +>，即22;a x >是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >.于是满足题意的(]1,2a ∈.综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 .【小问2详解】当120x x <<时，2212121111,log log a a a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+>++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +.()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥.。
北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)
北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．已知集合，，则（ ）{}51A x x =-<≤{}29B x x =≤A B ⋃=A ．B ．C ．D ．[)3,1-[]3,1-(]5,3-[]3,3-2．已知函数()3sin 2f x x =，将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π3sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．设0m n <<，则下列不等关系中不能成立的是（ ）A ．m n>B ．33m n<C ．11m n >D ．11m n m>-4．已知函数26()(1)f x x x =+-，则下列区间中含有()f x 的零点的是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（ ）A ．a c b<<B ．a b c <<C ．c<a<b D ．b<c<a 6．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A ．2xy =B ．ln ||y x =C ．3y x =D ．tan y x=7．设x ∈R ，则“()10x x +>”是“01x <<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，又()30f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A ．{30xx -<<∣或3}x >B ．{3xx <-∣或03}x <<C ．{30x x -<<∣或03}x <<D ．或{3xx <-∣3}x >9．已知函数()()1104f x x x x =++>，则（ ）A ．当且仅当12x =，时，()f x 有最小值32B ．当且仅当12x =时，()f x 有最小值2C ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值32D ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值.210．已知函数()y f x =图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表A ．()00f <B ．当2x >时，()0f x >C ．函数()f x 有且仅有一个零点D ．函数()()g x f x x=+可能无零点11．函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．12．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（ ）（参考数据：lg e 0.4343≈）A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.115二、填空题（本大题共6小题）13．命题“0x ∀>，20x>”的否定是．14．已知函数()38log xf x x=+，则13f ⎛⎫=⎪⎝⎭.15．函数()()ln 31x f x x +=+的定义域为.16．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为．17．已知函数21,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，那么((3))f f -= ；当方程()f x a =有且仅有3个不同的根时，实数a 的取值范围是.18．设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则称函数()f x 具有性质τ，给出下列四个结论：①函数()f x x =具有性质τ；②所有奇函数都具有性质τ；③若函数()f x 和函数都具有性质，则函数也具有性质；()g x τ()()f x g x +τ④若函数，具有性质，则.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ2a =-其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题）19．已知全集U =R ，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}250B x x x =-<．(1)当1a =时，求()U A B A B A B ⋂⋃⋂,,ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．20．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边经过点()1,3P -.(1)求sin2cos2tan2ααα、、的值；(2)求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)求sin 2cos 2cos 3sin αααα+-的值.21．设函数()2cos cos (02)f x x x x ωωωω=⋅+<<，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域；(3)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.条件①：函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；条件③：函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2.22．已知函数()24x f x x =+.(1)判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论；(2)判断函数()f x 在()0,2上的单调性，并证明你的结论；(3)若在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，求m 的取值范围.23．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示,已知41πx x -=.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；(3)设0α>,若函数()()g x f x α=+为奇函数,求α的最小值.条件①：1π12x =；条件②：2π6x =；条件③.3π2x =注：如果选择多个条件组合分别解答,则按第一个解答计分.24．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．答案1．【正确答案】C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x-≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．【正确答案】B【分析】根据平移变换的性质即可求解.【详解】将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到ππ33si 2πn 88sin(24f x x x ⎛⎫⎛-=⎫=- ⎪⎪- ⎝⎭⎝⎭，故()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B3．【正确答案】D【分析】利用不等式的性质判断ABC ，举反例判断 D.【详解】对于A ：0m n << ，0m n ∴->->，即m n>，A 正确；对于B ：0m n << ，33m n ∴<，B 正确；对于C ：0m n << ，0mn ∴>，m n mn mn ∴<，即11m n >，C 正确；对于D ：取2,1m n =-=-，满足0m n <<，但11112m n m =-<=--，D 错误.故选：D.4．【正确答案】B 【分析】先判断26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，再根据零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数26(,1)y x x y +==-在(0,)+∞上都递增，所以26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，又因为()260(1)(11)201f f <=+-=-<，()4(3)f f >>26(2)(21)602f =+-=>，所以()1(2)0f f <，所以区间(1,2)含有()f x 的零点，故选：B.5．【正确答案】A【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A6．【正确答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解：对于选项A ，指数函数2xy =是非奇非偶函数，故A 错误；对于选项B ，函数ln ||y x =是偶函数，故B 错误；对于选项C ，幂函数3y x =既是奇函数，又是定义域R 上的增函数，故C 正确；对于选项D ，正切函数tan y x =在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D 错误.故选：C.7．【正确答案】B【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0xx 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B8．【正确答案】D【分析】根据题意，得到函数()f x 在(0,)+∞为减函数，且()30f =，结合不等式()0x f x ⋅<，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，可得函数()f x 在(),0∞-为减函数，又由()30f -=，可得()()330f f =--=，因为不等式()0x f x ⋅<，当0x >时，则()0f x <，解得3x >；当0x <时，则()0f x >，解得3x <-，所以不等式()0x f x ⋅<的解集为{3xx <-∣或3}x >.故选：D.9．【正确答案】B【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0x >，则()11124f x x x =++≥=，当且仅当14x x =时，即12x =时，等号成立，所以当且仅当12x =时，()f x 有最小值 2.故选：B10．【正确答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB ；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以()()010.240f f <=-<，正确；对于B ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以当2x >时，()()2 1.210f x f >=>，正确；对于C ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，()10f <且()20f >，即()()120f f <，所以函数()f x 有且仅有一个在区间()1,2的零点，正确；对于D ，因为函数()()g x f x x=+连续，且()()()()()0010,1110g f f g f =<<=+>，即()()010g g <，所以函数()()g x f x x=+在区间()0,1上一定存在零点，错误，故选：D.11．【正确答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x xa x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴xy a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||x xa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．【正确答案】A【分析】结合题意得到00110lgln 2A A t A A =⨯，再利用换元法与换底公式即可得解.【详解】因为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，1dB =Np(R)t t ∈，所以00110lgln 2A A t A A =⨯，令0A x A =，则110lg ln 2x t x=⨯，所以lg ln e lg e2020lg 20lg 20lg e 200.43438.686ln ln lg x t x x x x x =⋅=⋅=⋅=≈⨯=.故选：A.13．【正确答案】000,20x x ∃>≤【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“0x ∀>，20x>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“000,20x x ∃>≤”故000,20x x ∃>≤14．【正确答案】1【分析】结合指数与对数的运算法则，计算即可.【详解】结合题意.()113333118log 2121133f ⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭故答案为.115．【正确答案】()()3,11,---+∞ 【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零列不等式求解.【详解】由已知得3010x x +>⎧⎨+≠⎩，解得3x >-且1x ≠-，即函数定义域为()()3,11,---+∞ .故答案为.()()3,11,---+∞ 16．【正确答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==.又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =.因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以.π3ϕ=所以，函数的解析式为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17．【正确答案】2[)0,1【分析】入解析式即可求出((3))f f -；方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，结合()y f x =图象，即可得出答案.【详解】因为()21,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，所以()()23363f -=--=，所以()((3))32f f f -==；画出函数()fx 的图象，方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，由图可得.01a ≤<故2；[)0,1.18．【正确答案】①②④【分析】根据函数具有性质τ，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.【详解】由题知，若()f x 满足性质τ即：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则()f x 的值域关于原点对称.对于①，函数()f x x =，值域为R 关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意x 的都有()()f x f x -=-，则值域关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于③，设2()1f x x =-，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，()1g x =+，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，2()()f x g x x +=，x ⎡∈⎣，值域为，不具有性质，故错误；1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦τ对于④，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ()f x 又 ，时，的值域为，2()f x x a =+[2,1]x ∈-()f x [,4]a a +则，解得，故正确.40a a ++=2a =-故答案为:①②④.19．【正确答案】(1){}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，(){}01UA B x x ⋂=<<ð(2)(][),07,-∞+∞ 【分析】（1）代入数据计算得到集合A 和B ，再根据的交并补运算计算得到答案.（2）确定B A ⊆，再根据集合的包含关系计算得到答案.【详解】（1）1a =时，{1A x x =≤-或}1x ≥，{}{}25005B x x x x x =-<=<<，{}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，{}11U A x x =-<<ð，故(){}01UA B x x ⋂=<<ð.（2）A B B = ，则B A ⊆，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}05B x x =<<，则25a -≥或0a ≤，解得0a ≤或7a ≥，即(][),07,a ∈-∞+∞ .20．【正确答案】(1)343sin 2,cos 2,tan 2554ααα=-=-=(2)π1πtan ,tan 2424αα⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)111-【分析】(1)已知角α的终边上一点(),P x y ,则sin αα==再结合二倍角公式代入运算即可;(2)已知角α的终边上一点(),P x y ,则tan ,y x α=再结合正切两角和差公式运算即可;(3)通过sin tan ,cos ααα=构造齐次式分式,再代入正切值运算即可.【详解】（1） 角α的终边经过点()1,3P -,sin αα∴====3sin 22sin cos 2,5ααα⎛∴==⨯=- ⎝224cos 22cos 121,5αα=-=⨯-=-sin 23tan 2.cos 24ααα==（2）由题得3tan 3,1α-==-()πtan 1311tan ,41tan 132ααα+-+⎛⎫∴+===- ⎪---⎝⎭()πtan 131tan 2.41tan 13ααα---⎛⎫-=== ⎪++-⎝⎭（3）由(2)知tan 3,α=-()sin 2cos tan 2321.2cos 3sin 23tan 23311αααααα++-+∴===----⨯-21．【正确答案】(1)()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(3)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++⎪⎝⎭，分别选择条件①，②，③都可得到1ω=，从而可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）通过换元法并结合正弦函数的图象与单调性，求解值域即可.（3）通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【详解】（1）结合题意可得：()211cos cos 2cos 2,22f x x x x x x ωωωωω=⋅+=++所以()π1sin 2,(02)62f x x ωω⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，若选条件①：因为函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π5ππ11sin 21212622f ω⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5ππsin 0sin π66k ω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 66k k ω+=∈，即6155k ω=-，Z k ∈,因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件②：因为函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；所以πππ2π662k ω⨯+=+，Z k ∈,即31k ω=+,Z k ∈，因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件③：因为函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，所以π,22T =即πT =，由周期公式可得2ππ2T ω==，解得,满足题意,1ω=故函数的解析式为.()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ7π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+在上单调递增，在单调递减；1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦当，即时，；π2t =π6x =()max ππ13sin 26622f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭当，即时，.7π6t =π2x =()minππ1sin 20262f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以在上的值域为.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+[]0,πx ∈ππ13π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+①在上单调递增， 1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；πππ2662x ≤+≤π06x ≤≤()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦②在单调递增，1sin 2y t =+3π13π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；63ππ13π262x ≤+≤2ππ3x ££()f x 2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在上的单调递增区间为,.()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)单调递增，证明见解析(3)14m <-【分析】（1）通过判断()(),f x f x -的关系得奇偶性；（2）任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，通过计算()()12f x f x -的正负来确定单调性；（3）将恒成立问题转化为最值问题，利用奇偶性和单调性求出()f x 在区间[]2,0-上的最小值即可.【详解】（1）函数()f x 为奇函数．证明：由已知函数()24xf x x =+的定义域为R ，又()()()2244xxf x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在()0,2上单调递增.证明：任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，因为()12,0,2x x ∈，且12x x >，所以1212400,x x x x <--<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增；（3）在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，即()min f x m >，又由（1）（2）得函数()f x 在[]2,0-上单调递增，故()()min 212444f x f -=-==-+，所以14m <-.23．【正确答案】(1)选择条件①②或者①③或者②③均可求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期π,T =对称轴方程为ππ,Ζ32k x k =+∈(3)π12【分析】（1）根据图像得函数()f x 的一个周期为π,从而求得ω=2,选择两个条件,根据五点法求函数解析式参数的方法代入求解即可.（2）根据函数解析式,代入2π,T ω=求得最小正周期；根据正弦函数的对称轴为ππ,Ζ,2k k +∈代入求得()f x 的对称轴方程.（3）根据()g x 的解析式,结合()11sin sin ,Ζx k x k π+=±∈,可得若()g x 为奇函数,则π2π,Ζ,6k k α'='-∈再进行计算即可.【详解】（1）根据图像和41πx x -=,2ππ,0,2,T ωωω∴==>∴= ()()sin 2.f x A x ϕ∴=+若选条件①②,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件①③,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()3ππsin 21,2,26f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件②③,则当23π23x x x +==时,()f x 取得最大值A ,∴根据五点法得πππ2,,326ϕϕ⨯+=∴=-()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫∴=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）()π2sin 2,6f x x ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭ 最小正周期2ππ.2T ==令ππ2π,Ζ,62x k k -=+∈解得ππ,Ζ,32k x k =+∈∴()f x 的对称轴方程为ππ,Ζ.32k x k =+∈（3）由题得()()()ππ2sin 22sin 22,66g x f x x x ααα⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()g x 为奇函数,π2π,Ζ,6k k α∴'='-∈解得ππ,Ζ.122k k α''=+∈0,α>∴ 当0k '=时,α取得最小值π.1224．【正确答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
2023-2024学年上海市高一上册12月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市高一上册12月月考数学试题一、填空题1．已知集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则A B ⋃=_________.【正确答案】{1,2,3,4}直接根据并集定义得到答案.【详解】集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则{1,2,3,4}A B ⋃=.故答案为.{1,2,3,4}本题考查了并集计算，属于简单题.2．函数()f x _______________.【正确答案】(]3,1-【分析】由根式函数定义域的求法得到103xx-≥+，再转化为()()()310,3x x x +-≤≠-，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为103xx-≥+，所以()()()310,3x x x +-≤≠-，解得31-<≤x ，所以函数()f x =(]3,1-.故(]3,1-本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知幂函数()y f x =的图象经过点()9,3，则()f x 的解析式是______．【正确答案】()12f x x =【分析】先设解析式()f x x α=，再由点()9,3代入求得α，即得结果.【详解】幂函数()y f x =可设为()f x x α=，图象过点()9,3，则()993f α==，则12α=，所以()12f x x =.故答案为.()12f x x =4．函数4()f x x x =+，1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为__________．【正确答案】174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据对勾函数的单调性分析出()f x 的单调性，然后即可求解出()f x 的最值，从而()f x 的值域可确定出.【详解】由对勾函数的单调性可知：4()f x x x =+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]2,4上单调递减，所以()()min 24f x f ==，又()()max 1max ,42f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且11178222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()4415f =+=，所以()max 172f x =，所以()f x 的值域为174,2⎡⎤⎢⎣⎦，故答案为.174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．若函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，则()3f =______.【正确答案】5先利用函数偶函数的定义求得解析式，再求()3f 的值.【详解】因为函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，所以()()11f f -=，即()131a a --=-，解得2a =，所以()3f =5故56．已知()(21)1n f x x =-+，则函数()y f x =的图象恒过的定点P 的坐标为__．【正确答案】(1,2)【分析】令211x -=求解即可.【详解】令211x -=，得1,2x y ==，故函数()f x 图象过定点(1,2)P ，故(1,2)7．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是_________【正确答案】(,2][2,)-∞-+∞ 【分析】利用函数是偶函数得到不等式f （﹣2）≤f （a ）等价为f （2）≤f （|a |），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f （﹣2）≤f （a ）等价为f （2）≤f （|a |），即2≤|a |，∴a ≤﹣2或a ≥2，故(,2][2,)-∞-+∞ ．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f （a ）＝f （|a |）是解决偶函数问题的关键．8．设8log 9a =，3log 5b =，则lg 2=__________．（用a 、b 表示）【正确答案】223ab+【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【详解】由8log 9a =，3log 5b =，则328222log 9log 3log 33a ===即32log 23a=又3332log 10log 2log 53b a=+=+233ab a +=则3lg 323aab =+2lg 33log 3lg 22a==，则lg3lg 232a =32223323a ab a ab =⨯=++，故答案为.223ab+9．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【正确答案】89根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由0∆≥，解得23m ≤，然后由()2212121222x x x x x x ++⋅=-，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m ∆=-+-≥，解得23m ≤，所以112222322,2x x x x m m m +=⋅-=+，则()2212121222x x x x x x ++⋅=-，()22232222m m m +-=-⨯，2232m m =-+，237248m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2212x x +的最小值为2237823489⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故8910．已知函数()e e ,0x xy a b a b -=+>的最小值为2，则a b +的最小值为__．【正确答案】2【分析】利用基本不等式与指数函数的性质求解即可【详解】因为e 0,0,0,e 0x x a b ->>>>，所以e e 2x x y a b -=+≥=，仅当ln ln 2b ax -=时取等号，又e e x x y a b -=+的最小值为2，所以1ab =，所以2a b +≥，当且仅当1a b ==时取等号．故211．若一个非空数集F 满足：对任意,a b F ∈，有a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，有aF b∈，则称F 为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2021F ∈；（3）集合{|3,Z}P x x k k ==∈为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【正确答案】3【分析】根据新定义逐一判断即可求解【详解】（1）当a b =时，0a b -=属于数域，故（1）正确，（2）若数域F 有非零元素，则1bF b=∈，从而112,21,,202012021F F F +=∈+∈+=∈ ，故（2）正确；（3）由集合P 的表示可知得x 是3的倍数，当6,3a b ==时，623a P b==∉，故（3）错误，（4）若F 是有理数集，则当a ，b F ∈，则a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故312．已知函数2(3)1,1()11log ,14a a x a x f x x ax x -+-<⎧⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【正确答案】3(1,]2根据函数()f x ()f x 在R 上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.【详解】解：因为函数()f x 在R 上是增函数，所以(3)1y a x a =-+-在区间(,1)-∞上是增函数且211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上也是增函数，对于函数(3)1y a x a =-+-在(,1)-∞上是增函数，则303a a ->⇒<；①对于函数2[1,11log ,)4a y x ax x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝+∞⎭，（1）当01a <<时，12a<，外函数log a y u =为定义域内的减函数，内函数2221111(424a a u x ax x -=-+=-+在[1,)+∞上是增函数，根据复合函数“同增异减”可得01a <<时函数211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上是减函数，不符合题意，故舍去，（2）当1a >时，外函数log a y u =为定义域内的增函数，要使函数211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上是增函数，则内函数2221111()424a a u x ax x -=-+=-+在[1,)+∞上也是增函数，且对数函数真数大于0，即21104u x ax =-+>在[1,)+∞上也要恒成立，所以2212215111044a a a a a ⎧≤≤⎧⎪⎪⎪⇒⇒≤⎨⎨<⎪⎪-+>⎩⎪⎩，又1a >，所以12a <≤，②又()f x 在R 上是增函数则在衔接点处函数值应满足：22111531log 1044a a a a a a ⎛⎫-+-≤-+⇒+-≤ ⎪⎝⎭，化简得5322a -≤≤，③由①②③得，312a <≤，所以实数a 的取值范围是3(1,]2.故答案为.3(1,]2方法点睛：利用单调性求参数方法如下：（1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；（2）需注意若函数在区间[,]a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；（3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．二、单选题13．若实数a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．1>a b B ．222a b ab +≤C ．2b a a b+≥D ．11a b<【正确答案】B【分析】根据特殊值判断ACD ，由不等式性质判断B.【详解】当2,1a b ==-时，1ab<，故A 错误；因为222()20a b a b ab -=+->，所以222a b ab +<，故B 成立；当1,1a b ==-时，2b aa b+≥不成立，故C 错误；当当2,1a b ==-时，11a b>，故D 错误.故选：B14．函数()222x xx f x -=+的图象大致是（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】根据函数的奇偶性先排除B,D ，再利用特殊值排除选项C ，进而求解.【详解】函数()222x xx f x -=+的定义域为R ，且22()()()2222x x x x x x f x f x ----===++，则函数()f x 为偶函数，故排除选项B,D ；又因为当0x >时，()0f x >，故排除选项C ，故选.A15．在物理中，我们已学习过匀加速直线运动以及如下式子：2001,2t v v at s v t at =+=+，22102v v as -=，现小明以加速度(0)a a ≠做匀加速直线运动，在A 地处的速度为1v ，在B 地处的速度为2v ，则它在A 地和B 地的中点处的速度3v 满足（）A ．123122v v v v v =+B ．1232v v v +=C ．1232v vv +<<D ．3v =【正确答案】D【分析】由匀加速直线运动的公式结合已知条件求解即可【详解】因为匀加速直线运动速度与位移的关系为22102v v as -=，所以由题意得223122s v v a -=⋅，222322s v v a -=⋅，所以3v =A 、B 、C 均错.故选：D.16．命题p ：存在R a ∈且0a ≠，对于任意的x ∈R ，使得()()()f x a f x f a +<+；命题1q ：()f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2q ：()f x 单调递增，存在00x <使得()00f x =，则下列说法正确的是（）A ．只有1q 是p 的充分条件B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件【正确答案】C【分析】对于命题1q ：当0a >时，结合()f x 单调递减可得出()()()()f x a f x f x f a +<<+，对于命题2q ：当00a x =<时，()()00f a f x ==，结合()f x 单调递增可得出()()f x a f x +<，进而可得()()()f x a f x f a +<+，由充分条件的定义可判断1q ，2q ，进而可得正确选项.【详解】对于命题1q ：当0a >时，x a x +>，因为()f x 单调递减，所以()()f x a f x +<，因为()0f x >恒成立，所以()()()f x a f x f a +<+，所以由命题1q 可得出p 成立，所以1q 是p 的充分条件；对于命题2q ：当00a x =<时，x a x +<，()()00f a f x ==，因为()f x 单调递增，所以()()f x a f x +<，所以()()()f x a f x f a +<+，所以由命题2q 可得出p 成立，所以2q 是p 的充分条件；所以1q ，2q 都是p 的充分条件，故选：C.三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}22|440,{||25|3}A x x x a B x x =--+≤=-≥.(1)当3a =时，求A B ⋂；(2)当“x A ∈”是“B R ð”的必要非充分条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[1,1][4,5]- (2)(,2][2,)-∞-+∞ 【分析】（1）将3a =代入，解一元二次不等式以及绝对值不等式求出集合,A B ，再根据集合的交运算即可求解.（2）求出B R ð，根据题意可得()B R ðA ，再由集合的包含关系即可求解.【详解】（1）当3a =时，{}{}{}22244045015A xx x a x x x x x =--+≤=--≤=-≤≤∣，{||253}{|253B x x x x =-≥=-≥∣或253}x -≤-{|4x x =≥或1}x ≤，所以{11A B x x ⋂=-≤≤或}[][]451,14,5x ≤≤=-⋃.（2）由（1）可得()1,4R B =ð，{}()()()(){}22440220A x x x a x x a x a ⎡⎤=--+≤=+--+≤⎣⎦∣∣，当0a >时，{}22A x a x a =-≤≤+，当0a =时，{}2A =，当0a <时，{}22A x a x a =+≤≤-，“x A ∈”是“R x B ∈ð”的必要不充分条件，则()B R ðA ，显然0a =，不成立；当0a >时，2124a a -≤⎧⎨+≥⎩，解不等式可得2a ≥，此时2a ≥；当0a <时，2124a a +≤⎧⎨-≥⎩，解不等式可得2a ≤-，此时2a ≤-，所以实数a 的取值范围为2a ≥或2a ≤-.实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞ .18．已知11()f x a x=-.(1)判断函数()y f x =的奇偶性并说明理由；(2)判断函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性并证明.【正确答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析(2)增函数，证明见解析【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可求解；（2）利用函数单调性的定义即可求解.【详解】（1）函数()y f x =是非奇非偶函数，理由如下：由题意可知，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()1111()f x a x a x -=-=+-，11()f x a x-=-+，所以()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，所以函数()y f x =是非奇非偶函数；（2）函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调递增，证明如下：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，因为120x x <<，所以121212120,00,x x x x x x x x --<<>，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以函数()y f x =在区间(0,)+∞上是增函数.19．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合01()(12)kt m c t kV-=-，其函数图象如图所示，其中V 为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为600)，0m 为药物进入人体时的速率，k 是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合2()2ktc t c -=⋅，其中c为停药时的人体血药浓度．(1)求出函数1()c t 的解析式；(2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）【正确答案】(1)()1411612t c t -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭(2)最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．【分析】（1）根据已知条件及函数的图象，利用点在图象上列方程求解即可；（2）根据已知条件得出最迟停止注射时间，利用函数关系式及对数的运算性质即可求解.【详解】（1）令0m N KV=，则1()(12)kt c t N -=-，由图象可知，图象经过(4,8)，(8,12)两点，则()()481281212k k N N --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1614N k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()1411612t c t -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，所以浓度为15时为最迟停止注射时间，故()141161215t c t -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，解得16t =，浓度从15降到4为最长间隔时间，故142()1524t c t -=⨯=，即144215t -=，两边同时取以2为底的对数，则14224log 2log 15t -=，即221lg(310)lg152log 4log 15224lg 2lg 2t ⨯⨯-=-=-=-lg31lg 20.4810.322 1.93lg 20.3+-+-=-≈-=-，所以 1.9347.7t =⨯≈，所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．20．已知幂函数223()()m m f x x m -++=∈Z 是奇函数，且()f x 在(0,)+∞为严格增函数．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求2212log ()log [2()]y f x f x =-，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，并求出取得最值时的x 取值．【正确答案】（1）0m =，3()f x x =；（2）162x -=时取到最小值为34；2x =时，取得最大值13．（1）由()f x 单调递增得出312m -<<，又m Z ∈，得0m =或1m =，再根据函数奇偶性即可得出结果；（2）化简函数为()222log 13log 9y x x =++，令2log t x =可得213964y t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈，在(0,)+∞为增函数，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f xx x ，显然是偶函数，不符合题意；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log y x x x x =-++=，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2213319649y t t t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭=，所以2193t t y ++=在11,6t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,16⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，当16t =-即21log 6x =-，162x -=时min 34y =；因为1517(1)16666⎛⎫---=<--= ⎪⎝⎭，当1t =时，即2log 1x =，2x =时max 93113y =++=.本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的最值，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质是解题的关键，属于常考题型.21．已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数．(1)当1a =时，解不等式()2f x <的解集；(2)当6a =时，写出函数()y f x =的单调区间；(3)若在[0,2]上存在2021个不同的实数(1,2,,2021)i x i = ，122021x x x <<<L ，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-++-= ，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)(,2)-∞(2)增区间为(,3]-∞和[6,)+∞，减区间为[3,6](3)(,2][6,)-∞-+∞ 【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值号解不等式即可；（2）根据二次函数直接写出函数单调区间即可；（3）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解.【详解】（1）当1a =时，()|1|f x x x =-，当1x >时，2()2f x x x =-<，解得12x -<<，所以12x <<，当1x =时，()02f x =<成立，当1x <时，2()2f x x x =-+<，解得1x <，综上，不等式()2f x <的解集为(,2)-∞；（2）当6a =时，()226,666,6x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，所以由二次函数的单调性知，()f x 的严格增区间为(,3]-∞和[6,)+∞，严格减区间为[3,6]；（3）①当0a ≤时，()()f x x x a =-在[0,2]上严格增，所以12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-++- 20211(()()(2)(0)2(2)f x f x f f a =-≤-=-，所以2(2)8a -≥，解得2a ≤-；②当4a ≥时，()()f x x a x =-在[0,4]上严格增，12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-++- 20211()()(2)(0)2(2)f x f x f f a =-≤-=-，所以2(2)8a -≥，解得6a ≥，③当24a ≤<时，()f x 在[0,]2a 上严格增，在[],22a 上严格减，122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-++- ()()0222a a f f f f ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2224(4)4442a a a a =⨯-+=-+<，不满足条件，④当02a <<时，()f x 不单调，max ()max{(),(2)}42a f x f f =<，122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x-+-++- max 2()8f x ≤<，不满足条件，所以实数a 的取值范围为(,2][6,)-∞-+∞ ．关键点点睛：本题的关键在于求12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 的最大值或利用放缩法求函数的最大值的上界，最大值只需满足不小于8，而最大值的上界小于8不符合题意即可得出参数的取值范围，结合二次函数及绝对值不等式的性质对a 需结合单调性分类讨论.。
四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高一上学期12
月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题A ．[]1,3-B ．3．下列与函数y x =是同一个函数的是（A ．2
x y x
=
B ．4．已知sin 0θ<，tan 0θ<A ．第一象限
B ．第二象限
5．已知p ：12x ->，q ：（
）A ．3
m <B ．6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常
用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数
．已知函数()2f x +是偶函数，当时，()()12f x f x -⎡⎤⎣⎦()1a f =，52b f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，b c 、的大小关系为（
c b a
<<B ．b <<<c a b
D 中国的5G 技术世界领先，
A ．()f x 在()0,2上单调递增
B ．()f x 在()0,2上单调递减
C ．()f x 存在最大值
D ．()f x 图象关于1x =对称
三、单空题
四、填空题
五、计算题
六、问答题
(1)试求()p f t =的函数关系式；
(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
22．已知函数()4x f x m =+(1)若3m =-，解关于x 的不等式(2)若函数()()y f x f x =+-。
12月月考高一数学
高一数学月考试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1、若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y x x上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2、给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45， 腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ） A.2221+B. 22+C. 21+D. 221+ 4、已知函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④12y x =；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②5、已知圆柱的轴截面是边长为4的正方形，则圆柱 的表面积是 （ ）A ．16πB ．8πC ．24πD ． 32π6. 已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为：（ ）A 、7B 、-5C 、3D 、-18、计算3log 213lg lg52+-的结果为(A)2 (B)1 (C)3 (D)-1 9、 设y 1=40.9,y 2=lo 4.3,y 3=()1.5,则( ) A.y 3>y 1>y 2B.y 2>y 1>y 3C.y 1>y 2>y 3D.y 1>y 3>y 210、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β ，有以下四个命题：①α∥β => l ⊥m ②α⊥β => l ∥m ③l ∥m => a ⊥β ④l ⊥m => α∥β其中正确的两个命题是（ ）（A ）①与② B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11、已知矩形的长为a 2，宽为a ，将此矩形卷成一个圆柱，则此圆柱的体积为_________．12.幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞上为增函数,则m =___________.13、一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____．14、 已知长方体的全面积是11，十二条棱长度之和是24，则这个长方体的一条对角线长为 15、A 、B 、C 是球O 上的三点，⊿ABC 是边长为33cm 的正三角形，球O 的半径为4cm,则球心O 到平面ABC 的距离是密 封 线 内 不 准 答 题姓 名 班 级 考三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. （本小题12分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。
福建省莆田第二十五中学2024_2025学年高一数学12月月考试题
福建省莆田其次十五中学2024-2025学年高一数学12月月考试题考试时间：120分钟留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、准考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上.一、单选题（每题5分，共60分)1、设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}3,2,1,4,2==B A ，则图中阴影部分所表示的集合（ ） A ．{}3,1B ．{}2,4C ．{}4,5D ．{}4 2、函数)13lg(13)(2-+-=x x x x f 的定义域是（ ） A ．(－∞，1) B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．[1，+∞) D ．(1，+∞)3、“YouBike 微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）A ．三点确定一平面B ．两条相交直线确定一平面C ．不共线三点确定一平面D ．两条平行直线确定一平面4、如图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，与甲乙丙相对应的标号是（ ） ①圆台 ②四棱台 ③三棱锥 ④圆柱 ⑤四棱锥甲 乙 丙A ．③②④B ．①②③C ．④②③D ．④⑤② 5、当10<<a 时，在同一坐标系中函数x a y =与x y a log =的图像是 （ ）6、下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．3)(x x f =B ．x x f 1)(-=C ．()2x f x =D ．()f x x x =-7、函数2)(22-+=x e x f x 的零点所在的区间为（ ）.A ．(-1,0)B ．(0,1)C ．(1，2)D ．(2,3)8、当a ＞0且a ≠1时，f （x ）=log a （x +3）+2的图象恒过定点P ，则点P 坐标为（ ）A ．()42-，B ．()41-，C ．()22-，D ．()31-，9、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,log 1,)(32x x x x x f ，则((3))f f =（ ） A ．41 B ．21 C ．1 D ．310、已知5.05.095,6,8log ===c b a ，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c >>bB ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>11、一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为( )A ．222+B ．8C ．4D ．82 12、已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()10f =，则满意0)32(>-x f 的x 的取值范围是（）A ．()1,2B ．()2+∞，C ．()(),12,-∞⋃+∞D ．[)02，二、填空题（每题5分，共20分)13、若幂函数()n f x mx =的图像经过点（4，2），则m n +=__________14、不等式x 21-x 93≤的解集是________________15、已知函数()f x 的定义域是（-1，2），则)12(+x f 的定义域是________16、已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，若20192)()(+=+x x g x f 则________)2019(=g三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17、计算 ()e ln -4-8212232-2++⎪⎭⎫ ⎝⎛π ()()10lg log 161521225.03log 02+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++18、已知集合{}36A x x =≤<，{}131|-≤≤-=m x m x B（1）当2=m 时，分别求B A 、()A B C R ；（2）若A B A = ，求实数的取值范围.19、已知函数f(x)=log a x 经过点（3，1），其中（a>0且a ≠1）（1）求a ；（2）求函数2)()(-=x f x g 的零点；（3）解不等式12log <+）（x a20.如图,已知四棱锥P-ABCD ,底面四边形ABCD 为正方形，AB=2，M ,N 分别是线段PA 、PC 的中点.(1)求证:MN ∥平面ABCD ; (2)求直线MN 与BC 的位置关系，并求它们所成角的大小.21、已知一个几何体的三视图如图所示.（1）求此几何体的表面积、体积；（2）在如图的正视图中，假如点为所在线段中点，点为顶点，一只蚂蚁沿着几何体的侧面从点爬到点，求蚂蚁爬行最短路径的长.22、设函数()f x 与()g x 的定义域都是{|x x R ∈且1}x ≠±,()f x 是奇函数, ()g x 是偶函数,且1()()1f xg x x +=-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）求1111(2)(3)(4)(5)5432g g g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.。
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江西省金溪县第一中学2018-2019学年高一数学12月月考试题一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知{A =第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，那么A B C 、、关系是（ ） A ．B AC = B ．B C C =C ．A ≠CD ．A B C ==2．4tan 3cos 2sin 的值（ ）A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在3已知4cos()125πα+=，则)125sin(πα-的值为（ ）A.35B.35-C.45D.45-4函数)6cos()(π+=x x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 的值域是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,23 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 5已知)2,2(ππθ-∈，且a =+θθcos sin ，其中)1,0(∈a ，则关于θtan 的值，以下四个答案中，可能正确的是：( )A ．-3 B. 3或1/3 C. -1/3 D. -3或-1/3 6 A 为ABC ∆的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 7要得到函数cos 2y x =的图象，只需将cos(2)4y x π=+的图象( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度．8当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A ．奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．偶函数且图象关于点()π，0对称C ．奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称9.已知0ω>，()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是 ( )A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34D ．(0,2]10．当[0,2]x π∈时，不等式tan sin x x <的解集是（ ）A ．(,)2ππB ．3(,)22ππC ．7(,)(,2)24ππππD ．3(,)(,2)22ππππ11．函数222(0)()2(0)x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，又βα,为锐角三角形两锐角则 （ ）A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(cos )(sin βαf f <C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f > 12．在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上, 那么称[,]A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点 ([,]A B 与[,]B A 看作一组). 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0),1(log ,0,2cos )(4x x x x x g π关于原点的中心对称点的组数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 14. 函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为________．15.已知函数)0(2sin>=a x a y π在区间()1,0内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大16已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则关于函数f (x )的性质的结论正确的有________(填序号)．①f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，0对称；②f (x )的图象关于直线x ＝43对称；③f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上为增函数；④把f (x )的图象向右平移23个单位长度，得到一个偶函数的图象．17(10分)已知角θ的顶点是直角坐标系的原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角θ的终边上有一点(12,5)P -．（1）求θθcos ,sin 的值；（2）求sin(2)2cos()23cos()2sin()2ππθθππθθ-+++--的值． 18设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0且以π2为最小正周期．(1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α4＝95，求sin α的值．19 有两个函数()sin(),()tan()(0)34f x a kx g x b kx k =+=->，它们的最小正周期之和为3π，且满足35(2)(),()()22212f g f g ππππ==-，求这两个函数的解析式，并求()g x 的20．(12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的解析式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π4个单位，得到函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的取值．()()11,()()22是函数(0,0)2πωϕ>-<<图象上的任意两点,且角ϕ的终边经过点(1,3)P -,若12()()4f x f x -=时,||21x x -的最小值为3π. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域. 22. (12分)“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时刻t (0≤t ≤24)而周期性变化．为了了解变化规律，该团队观察若干天后，得到每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0(1)从y ＝ax ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)中选择一个合适的函数模型，并求出函数解析式；(2)如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排白天内恰当的训练时间段．（2）原式=sin2sin3sin5θθθ--==19.解：依题意可得：23,sin(2)tan()32435sin()tan()223124k k k a k b k a k b πππππππππππ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪+=--⎪⎩解得：1,2,k a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故()2sin(),())34f x xg x x ππ=+=-令42k x ππ-=，得42k x ππ=+，故()g x 的对称中心坐标为(,0)()42k k Z ππ+∈，当()2422k k x k Z πππππ-+<-<+∈时，()g x 单调递增，即当3()k k x k Z ππππ-+<<+∈时，()g x 单调递增，无递减区间.21.解：（1）角ϕ的终边经过点(1,P ，tan ϕ= 02ϕ-<<，3ϕ∴=-.由12()()4f x f x -=时,||21x x -的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，3ω∴= ∴()2sin(3)3f x x π=-(2）232232k x k πππππ-+≤-≤+,即252183183k k x ππππ-+≤≤+, ∴函数()f x 的单调递增区间为252,183183k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ (3 ) 当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, 23333x πππ-≤-≤，由图像（或由函数单调性），易得()≤≤，所以函数()2f xf x的值域为[2].22解析：(1)作出y 关于t 的变化图象如下图所示，由图，可知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 函数模型较为合适．由图可知A ＝1.4－0.62＝25，T ＝12，b ＝1.4＋0.62＝1，则ω＝2π12＝π6，y ＝25sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋1.由t ＝0时，y ＝1， 得π6×0＋φ＝2k π，k ∈Z ，所以φ＝2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，所以φ＝0，所以y ＝25sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)由y ＝25sin π6t ＋1≥45(0≤t ≤24)，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤π6t ≤7π6＋2k π，k ∈Z ，得－1＋12k ≤t ≤7＋12k ，k ∈Z .从而0≤t ≤7或11≤t ≤19或23≤t ≤24.所以在白天11时～19时进行训练较为恰当．。