北师大版九年级下册第二章二次函数2.1二次函数的概念(教案)
二次函数的概念
【教学目标】
1、经历从实际问题引入二次函数的过程||，掌握二次函数的概念；
2、通过复习已经学过的几种函数||，指导学习二次函数.
【学情分析】
从心理特征来说||，初三学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展||，观察能力||，记忆能力和想象能力也随着迅速发展||。
因此||，在教学中要创造条件和机会||，让学生发表见解||，发挥学生学习的主动性||。
从认知状况来说||，学生在此之前已经学习了一次函数和反比例函数||，对函数关系式已经有了初步的认识||，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础||，但对于二次函数的理解||，学生可能会产生一定的困难||，所以教学中应予以简单明白||，深入浅出的分析||。
【教学重点】
掌握二次函数的概念.
【教学过程】
一、新授
（一）复习已经学过的几种函数||，回顾学习各函数的过程：
1、.一元二次方程的一般形式是什么？
2、一次函数的定义是什么？
（二）由实际问题引出二次函数的定义：
问题1：若圆的半径为x厘米||，圆的面积为y平方厘米||，试写出y关于x的函数解析式；
问题2： 甲、乙两数的和为20||，设甲数为x ||，甲、乙两数的积为y ||，试写出
y 关于x 的函数解析式；
问题3： 矩形的长为4厘米||，宽为3厘米||，如果将它的长与宽都增加x 厘米
||，记现在的矩形面积为y 平方厘米||，试写出y 关于x 的函数解析式； 问题4： 汽车产业是我市支柱产业之一||，产量和效益逐年增加. 据统计||，2009
年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆||，到2019年||，该品牌汽车
的年产量达到y 万辆. 若该品牌汽车年产量的年增长率从2009年开
始五年内保持不变||，均为x ||，试写出y 关于x 的函数解析式；
问题5： 把一根长40厘米的铁丝剪成两段||，再分别把每一段弯折成一个正方
形（不计接头处的损耗）．设其中一段铁丝长x 厘米||，两个正方形的
面积和等于y 平方厘米||，求y 关于x 的函数解析式.
（三）例题讲解：
例1. 下列关于x 的函数||，是不是二次函数?
（1）13-=x y ； （2）25x y =；
（3）x
x y -=21； （4）()132+-⋅=x x y ； （5）1423+-=x x y ； （6）()22124--=x x y ；
（7）322+-=x x y ； （8）322+-=x x y .
例2．已知关于 x 的函数y =(m 2-2m -3)x 2+(m +1)x +m 2.
（1）若它是关于x 的二次函数||，m 要满足的条件是 ；
（2）若它是关于x 的一次函数||，m 要满足的条件是 .
例3． 心理学家研究发现||，在一定的时间范围内||，学生对概念的接受程度y 与提出概念所用的时间x (分钟)之间满足函数关系式：
y的值越大||，表示接受程度越高.
（1）若用10分钟提出概念||，学生的接受程度y的值是多少?
（2）如果分别用5分钟、10分钟或20分钟来提出这一概念||，那么三者相比||，用哪种方式||，学生的接受程度更高?
二、巩固练习
1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm||。
（1）当它的一条直角边的长为4.5cm时||，求这个直角三角形的面积；
（2）设这个直角三角形的面积为Scm2||，其中一条直角边为xcm||，求S关于x 的函数关系式||。
2.已知正方体的棱长为xcm||，它的表面积为Scm2||，体积为Vcm3||。
（1）分别写出S与x||，V与x之间的函数关系式子；
（2）这两个函数中||，那个是x的二次函数？
3.设圆柱的高为h(cm)是常量||，底面半径为rcm||，底面周长为Ccm||，圆柱的体积为Vcm3
（1）分别写出C关于r；V关于r的函数关系式；
（2）两个函数中||，都是二次函数吗？
4. 篱笆墙长30m||，靠墙围成一个矩形花坛||，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式||，并指出自变量的取值范围．
三、课堂小结：
1、二次函数的定义；
2、回顾学习各函数的过程||，指导二次函数的学习.
四、布置作业：
1、必做题：练习册习题26.1；
2、选做题：
如图||，用长为20米的篱笆||，一面靠墙（墙长度为10米）||，围成一个矩形的花圃.设AB边的长为x米||，花圃的面积为y平方米.
（1）求y关于x的函数解析式及函数的定义域；
（2）花圃的面积是否可能等于48平方米?为什么?。
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》教学设计3
北师大版九年级数学下册：2.1《二次函数》教学设计3一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.1节《二次函数》是学生在学习了初中阶段函数知识的基础上，进一步研究函数图象和性质的重要内容。
这一节通过具体例子引入二次函数的概念，讨论二次函数的图象和性质，让学生体会函数与实际问题的联系，培养学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数知识基础。
但二次函数相对于一次函数，其图象和性质更为复杂，需要学生在已有的知识基础上，通过观察、分析、归纳等方法，自主探究二次函数的特点。
三. 教学目标1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的解析式。
2.能够绘制二次函数的图象，理解二次函数的顶点、开口方向等性质。
3.能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的概念，二次函数的解析式，二次函数的图象和性质。
2.难点：二次函数图象的绘制，二次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探究二次函数的特点。
在教学过程中，注重启发式教学，鼓励学生提出问题，引导学生思考，培养学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的教学课件，包括二次函数的图象、性质等内容。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数解决实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的应用。
例如：某商品打8折后的售价为120元，原价是多少？让学生感受二次函数在实际生活中的应用。
2.呈现（10分钟）利用课件展示二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析，总结二次函数的特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际的例子，尝试用二次函数来解决问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生在课堂上完成一些相关的练习题，巩固所学知识。
北师大版九年级数学下册《二次函数的应用》教案及教学反思
北师大版九年级数学下册《二次函数的应用》教案及教学反思教学目标1.理解二次函数的概念及特性2.掌握二次函数应用实例3.培养学生分析问题、解决问题的能力教学内容1. 二次函数的概念与特性（1）定义二次函数是指自变量的二次方作为函数的函数，它的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
（2）基本特征•定义域：实数集•值域：当 a > 0 时，二次函数的最小值为 c - (b^2) / (4a) ；当 a < 0 时，二次函数的最大值为 c - (b^2) / (4a)。
•对称轴：x = -b / (2a)•开口方向：当 a > 0 时，二次函数开口向上，当 a < 0 时，二次函数开口向下。
•零点：f(x) = 0 时的 x 值即为二次函数的零点。
2. 二次函数的应用实例（1）求最大值或最小值当一个物理问题能够用二次函数来表达时，可以利用二次函数的特性，求出物理量的最大值或最小值。
（2）求交点二次函数和直线之间的交点可以用来解决几何问题，如交点为两柱面相切的圆的半径等。
教学方法•解释法：通过示例或铺垫讲解二次函数的定义及特性。
•运用法：通过做一些典型题目，让学生理解二次函数的不同特性。
•发散法：通过一些拓展题目，让学生探究二次函数的应用及实际问题的解决。
教学过程1. 拓展题目（10分钟）请学生观察以下二次函数图像，思考不同函数的特点。
当学生了解了不同二次函数的特性并掌握了如何求解二次函数的基本问题后，开始进入二次函数应用问题实战。
2. 例题练习（30分钟）请学生在教师指导下，完成以下例题练习： 1. 某工程公司定价方案为：一个工程的成本为 10000 元，每增加 1 万的工程量，成本额外增加 2400 元。
如果公司想最多减少亏损，最多赚多少？ 2. 在 xy 平面内，一个圆心坐标为 (2, 3)，一点坐标为 (0, 1)。
当圆与直线 y=2 x-1 相切时，圆的半径为多少？ 3. 有一个与 x 轴成 45 度角的光线通过点 P(6, 2) 射向 y 轴的一面镜子，反射之后定位在 Q(0, y) 处，求 y的值。
九年级下册第二章二次函数教学设计
第二章2.1二次函数教学设计备课组：数学组主备人：审核人：本节通过对具体情境的分析，概括出二次函数的表达形式，明确二次函数的概念.通过例题和学生列举的实例可以丰富对二次函数的认识，理解二次函数的意义.一、教材分析本节通过对具体情境的分析，概括出二次函数的表达形式，明确二次函数的概念.通过例题和学生列举的实例可以丰富对二次函数的认识，理解二次函数的意义.二、学情分析函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型.学生曾在七年级下册、八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”和九年级上册学习过“反比例函数”等内容，对函数已经有了深刻的认识，在此基础上讨论二次函数及其性质可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，这对后继学习会产生积极影响.三、学习目标1、结合具体实际问题和已有函数知识，发现并归纳出两个变量之间的关系；说出二次函数的表达式及其限制条件的必要性；2、能根据一些具有实际意义的问题，确定二次函数表达式；能辨析、区分一个函数是不是二次函数；3、结合例子说出表达式及自变量的范围并解决变式练习.重难点：会叙述二次函数的定义及一般形式，并作出正确的判断;能用数学符号表示简单变量之间的二次函数关系.四、评价设计1、结合具体例子，发现归纳出两个变量之间的关系（目标达成率100％）；2、说出二次函数的表达式及限制条件（目标达成率98％）；3、能辨析区分一个函数是不是二次函数（目标达成率95％）；4、能根据已知条件列出二次函数的表达式及自变量的范围（目标达成率90％）；5、解决变式练习（目标达成率85％）.五、学习过程（一）知识准备说说什么是函数？我们学习过的函数有 ,（二）合作探究1、探究1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.（独立思考）①说一说问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些因变量？②设果园增种x棵橙子树，则果园共有棵橙子树，这时平均每棵树结个橙子③如果果园橙子的总产量为y个，请写出y与X之间的关系式：y= .化简得：y=2、探究2银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储存转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式（不考虑利息税）（交流展示）①本金：；②一年到期后，利息：；本息和；③两年到期后，本金；利息：；本息和；④请写出y与x之间的关系式：试试身手：请用适当的函数解析式表示下列问题中的两个变量 y 与 x 之间的关系：①某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y= 即：y=②用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积y (m2)与矩形一边长x(m)之间是函数关系y= 即：y=③设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是210元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).3、探究3：上面三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?说一说二次函数的定义及一般形式呢?一般地形如的函数叫做x的二次函数.友情提示： 二次函数的特点(1)y=ax 2 --- (a ≠0,b=0,c=0).(2)y=ax ²+c --- (a ≠0,b=0,c ≠0)(3)y=ax ²+bx ---(a ≠0,b ≠0,c=0再试身手：下列函数中哪些是二次函数？（ ）①y=ax ²+bx+c ②y=2x ² ③y=-5x ²+6④ y=(x+1)(x-2) ⑤y=2x(x+1)²-2x ²⑥y=232--x x ⑦x y 2=⑧26xy = 活学活用：【例2】底面为正方形的长方体，已知底面边长是a ，长方体的高为5，体积为v ，(1)求v 与a 之间的函数表达式： , v 是a 的______函数,其中二次项系数为： 一次项系数为： 常数项为：(2)当a=2时，v=【例3】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场每件提价x 元，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式：化为一般式为： ，y 是x 的 函数. （三）巩固达标1.下列函数中，不是二次函数（ ）A.162+=x yB.261x y -= C.12+=x y )2)(1(-+=x x y D.2 .函数 y=(m-n)x 2+mx+n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数3.如果函数1232++=+-kx x y k k 是二次函数,则k 的值是______变式训练如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______4.半径为3的圆，如果半径增加2x ，面积S 与x 之间的函数表达式为:5.某公司1月份营业额100万元，三月份营业额为y 万元,如果每月的增长率为x ，则y 与x 的关系式为:6.如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏，1)∠B= _2）用含有x 代数式分别表示：BC AD3）求梯形的面积y 与高x 的表达式.7.已知一张三角形纸片ABC ，面积为25，BC 边的长为10，∠A 和∠B 都是锐角，M 为AB 边上的一个动点，且M 不与点A 点B 重合），过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，设MN=x,请用x 表示△ANM 的面积s.（四）课堂小结（五）能力提升1．一个菱形的边长为xcm ，它的面积为ycm .（1）当一个内角为60°时，则y 与x 之间的函数关系式（2）当一个内角为45°时，则 y 与x 之间的函数关系式2已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.课题：2.1 二次函数教学目标：1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够用二次函数表示简单的变量之间的关系.3. 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，并通过合作交流体验学习的乐趣.教学重、难点：重点：理解二次函数的概念．难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、复习回顾，创景导入1、温故知新（多媒体出示复习回顾问题）①回顾我们学过的知识，想一想我们用什么来描述两个变量之间的关系？②到目前为止我们学过了哪些函数？它们的关系式分别是怎样的？处理方式：先由学生独立思考，然后找学生口答上述问题，师生共同补充.2、情境引入问题①现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才能使矩行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题②很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”．【教师板书课题：2.1 二次函数】设计意图：复习旧知识，为学习新知识奠定基础，设问质疑引出新知识，使学生产生强烈的求知欲望，充分调动了学生的学习积极性和主动性．二、合作探究，获取新知活动内容1：（多媒体出示）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.问题1：问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？问题2：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？问题3：如果果园橙子树的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.处理方式:分步按顺序依次完成上述三个问题：找学生口答，然后师生共同补充；处理完这三个问题后，教师可继续提问：在上述问题中，增种多少棵橙子树，可以使果园的总产量最多？并引导学生合作探究.教师要鼓励学生大胆猜想，用自己的方法去解决问题，对学生的做法给予指导和肯定.再出基础上出示下表让学生填写，进而验证自己的猜想.设计意图：让学生数学活动过程中初步感受到这种“新”的函数在表现形式和函数值的增减性上与以前所学函数的差异，以及在解决最大值问题中的作用．活动内容2：（多媒体出示）设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式（不考虑利息税）.处理方式：先让学生自主独立探求，尝试写出y与x之间的函数表达式．在独立自主探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．然后展示答案，教师对于解决问题有困难的学生从以下两个方面进行指导：⑴银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，利率是一个变量；⑵利息＝本金×利率×期数（时间）．设计意图：让学生通过解决实际生活中的数学问题，进一步了解掌握用函数表达式反应变量的变化过程．三、归纳总结，生成新知活动内容1：二次函数定义一般地，若两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成2y ax bx c =++(其中a ,b , c 是常数，0a ≠)的形式，则称y 是x 的二次函数(quadratic funcion) ．其中x 是自变量，a 为二次项系数，2ax 叫做二次项，b 为一次项系数，bx 叫做一次项，c 为常数项．活动内容2：概念理解1、函数2y ax bx c =++ (其中a ，b ，c 是常数)当a ，b ，c 满足什么条件时 (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？2、下列函数中，哪些是二次函数？ 2(1)y x =； 21(2)y x= ； 2(3)21y x x =-- ； (4)(1)y x x ＝－ ； 2(5)(1)(1)(1)y x x x ＝－－＋－ 2(6)y ax bx c =++3、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：2(1)1y x ＝＋ ； 2(2)3712y x x ＝＋－； (3)2(1)y x x ＝－4.用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？处理方式：先让学生自主独立思考，尝试解答，然后找学生口答；师生共同纠错．设计意图：进一步加深对二次函数概念的理解与认识，学会运用概念解决一些简单的数学问题．同时对二次函数的特征及注意事项进行强调：（1）等号左边是变量y ，右边是关于自 变量x 的整式；（2）a ，b ，c 为常数，且0a ≠；（3)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；（4）自变量x 的取值范围是任意实数．活动内容3：应用提升例 已知函数22(2)21m y m x x -=++-是二次函数，求m 的值．处理方式：先给学生两分钟时间独立思考尝试解答，然后找学生板演，学生评析，老师纠正并对二次项系数20m +≠重点做强调.四、回顾反思，提炼升华活动内容：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式：学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈提高（多媒体出示）活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．1．函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数 2．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ）A ．22(3)S x π=+B ．9S x π=+C ．22(3)S x π=+ D ．24129S x x π=++ 3．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（ ）A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系．4．下列函数中，二次函数是（ ）A ．261y x =+B ．61y x =+C ．61y x =+D ．261y x=+ 5．若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 ．6．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R ，通过的电流强度为I ，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ．7．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，课堂延伸（多媒体出示）基础作业：课本 P30 习题2.1 第1题，第3题，第4题．拓展作业：助学P210 自主评价第1——6题．板书设计：课题：2.1 二次函数教学目标：1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够用二次函数表示简单的变量之间的关系.3. 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，并通过合作交流体验学习的乐趣.教学重、难点：重点：理解二次函数的概念．难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、复习回顾，创景导入1、温故知新（多媒体出示复习回顾问题）①回顾我们学过的知识，想一想我们用什么来描述两个变量之间的关系？②到目前为止我们学过了哪些函数？它们的关系式分别是怎样的？处理方式：先由学生独立思考，然后找学生口答上述问题，师生共同补充.2、情境引入问题①现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才能使矩行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题②很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”．【教师板书课题：2.1 二次函数】设计意图：复习旧知识，为学习新知识奠定基础，设问质疑引出新知识，使学生产生强烈的求知欲望，充分调动了学生的学习积极性和主动性．二、合作探究，获取新知活动内容1：（多媒体出示）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.问题1：问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？问题2：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？问题3：如果果园橙子树的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.处理方式:分步按顺序依次完成上述三个问题：找学生口答，然后师生共同补充；处理完这三个问题后，教师可继续提问：在上述问题中，增种多少棵橙子树，可以使果园的总产量最多？并引导学生合作探究.教师要鼓励学生大胆猜想，用自己的方法去解决问题，对学生的做法给予指导和肯定.再出基础上出示下表让学生填写，进而验证自己的猜想.设计意图：让学生数学活动过程中初步感受到这种“新”的函数在表现形式和函数值的增减性上与以前所学函数的差异，以及在解决最大值问题中的作用．活动内容2：（多媒体出示）设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式（不考虑利息税）.处理方式：先让学生自主独立探求，尝试写出y与x之间的函数表达式．在独立自主探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．然后展示答案，教师对于解决问题有困难的学生从以下两个方面进行指导：⑴银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，利率是一个变量；⑵利息＝本金×利率×期数（时间）．设计意图：让学生通过解决实际生活中的数学问题，进一步了解掌握用函数表达式反应变量的变化过程． 三、归纳总结，生成新知活动内容1：二次函数定义一般地，若两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成2y ax bx c =++(其中a ,b ,c 是常数，0a ≠)的形式，则称y 是x 的二次函数(quadratic funcion) ．其中x 是自变量，a 为二次项系数，2ax 叫做二次项，b 为一次项系数，bx 叫做一次项，c 为常数项．活动内容2：概念理解1、函数2y ax bx c =++ (其中a ，b ，c 是常数)当a ，b ，c 满足什么条件时 (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？2、下列函数中，哪些是二次函数？2(1)y x =； 21(2)y x=； 2(3)21y x x =-- ； (4)(1)y x x ＝－ ； 2(5)(1)(1)(1)y x x x ＝－－＋－ 2(6)y ax bx c =++3、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：2(1)1y x ＝＋ ； 2(2)3712y x x ＝＋－； (3)2(1)y x x ＝－4.用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？处理方式：先让学生自主独立思考，尝试解答，然后找学生口答；师生共同纠错． 设计意图：进一步加深对二次函数概念的理解与认识，学会运用概念解决一些简单的数学问题．同时对二次函数的特征及注意事项进行强调：（1）等号左边是变量y ，右边是关于自 变量x 的整式；（2）a ，b ，c 为常数，且0a ≠；（3)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；（4）自变量x 的取值范围是任意实数．活动内容3：应用提升 例 已知函数22(2)21my m x x -=++-是二次函数，求m 的值．处理方式：先给学生两分钟时间独立思考尝试解答，然后找学生板演，学生评析，老师纠正并对二次项系数20m +≠重点做强调.四、回顾反思，提炼升华活动内容：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式：学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识． 五、达标检测，反馈提高（多媒体出示）活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．1．函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数2．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ）A ．22(3)S x π=+ B ．9S x π=+ C ．22(3)S x π=+ D ．24129S x x π=++3．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（ ） A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系． 4．下列函数中，二次函数是（ ） A ．261y x =+ B ．61y x =+ C ．61y x =+ D ．261y x=+ 5．若函数mm xm y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 ．6．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R ，通过的电流强度为I ，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ．7．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，课堂延伸（多媒体出示）基础作业：课本 P30 习题2.1 第1题，第3题，第4题．拓展作业：助学P210 自主评价第1——6题．板书设计：。
2020年北师大版九年级数学下册课件：2.1 二次函数 (共20张PPT)
＝2－ba，∴f(x1＋x2)＝f2－ba＝2－baa2－ba＋b＝4a－2b.
• (2)所谓二次函数的实质是指自变量的最高次 数是2，所以a≠0，但b、c都可以为0.
• (3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫二次函数的一般式， x可以取一切实数，但在实际问题中视具体情
• 【典例】若y＝(m－3)·xm2－3m＋2＋mx＋ 1分是析：二由二次次函函数数的定，义，则得mmm2－－＝33≠m_0＋._2＝__2，___解_得.m＝0.
• 答案：0 • 点评：一个二次函数要同时满足三个条件：
①函数表达式是整式；②化简后自变量的最 高次数是2；③二次项系数不等于0.
• 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式
• 根据实际问题列二次函数表达式，一般方法 为：先找出题目中有关两个变量之间的等量 关系，然后用题目中所设出的变量与已知数 值表示这个等量关系，经过适当变形，即可 得到题目所要求的二次函数表达式．
基础过关
1．下列函数中，一定为二次函数的是
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
(C )
C．s＝2t2－2t＋1
D．y＝x2＋1x
2．如果 y＝(a－1)x2－ax＋6 是关于 x 的二次函数，那么 a 的取值范围是 ( B )
A．a≠0
B．a≠1
C．a≠1 且 a≠0
D．无法确定
3. 一个直角三角形的两条直角边长的和为 20 cm，其中一直角边长为 x cm，面
2x2.
• (2)不能．理由：由题意，知50x－2x2＝300， 解得x＝10或15，则50－2x＝30或20.当a＝ 18时，由于18<20，故不能建造符合要求的 养鸡场． (3)由(2)可知，建造符合要求的鸡 场最多有两种方案，a的最小值为20.
北师大版数学九年级下册《二次函数》说课稿
北师大版数学九年级下册《二次函数》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册《二次函数》这一章节，主要让学生了解二次函数的定义、性质及其在实际问题中的应用。
通过本章的学习，学生能掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图像特点，以及如何运用二次函数解决实际问题。
教材内容安排合理，由浅入深，环环相扣，有利于学生掌握二次函数的相关知识。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的知识，具备了一定的逻辑思维能力和数学运算能力。
但二次函数相对于一次函数，其图像和性质更为复杂，需要学生能够灵活运用已有的知识体系，建立新的知识结构。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习兴趣，调动他们的积极性，引导他们主动探究二次函数的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的一般形式、图像特点，了解二次函数的顶点公式，学会用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、实验、猜想、验证等方法，让学生探究二次函数的性质，培养学生的动手操作能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于挑战、自主学习的品质，感受数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的一般形式、图像特点，二次函数的顶点公式。
2.教学难点：二次函数的图像与性质的关系，如何运用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探究，培养学生的创新能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等软件，直观展示二次函数的图像和性质，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：讲解二次函数的一般形式、图像特点，引导学生观察、分析、总结二次函数的性质。
3.案例分析：通过几个典型的例子，让学生学会用二次函数解决实际问题。
4.课堂练习：设计一些练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
九年级下册第二章《二次函数》第一节
课题：2.1 二次函数一、课标要求：（一）内容标准：通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
（二）能力目标：通过分析实际问题，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，引出二次函数的概念，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。
体会函数的建模思想。
十大核心概念在本节课中突出培养的是应用意识、模型思想。
二、教材与学情分析：（一）教材分析：本节课是九年级下册第二章《二次函数》第一节，属于“数与代数”领域中的“函数”。
二次函数是一种基本初等函数，是描述现实世界变量之间关系的重要模型。
学生已经学习了函数，一次函数和反比例函数。
研究函数已经有很好的基础和经验。
二次函数是初中阶段所学的函数知识的重点内容之一，是对函数及其应用知识学习的深化和提高。
二次函数的学习为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验，同时为第四节二次函数的应用做好铺垫有着承上启下的作用。
本节的重点是通过实际情境，引出二次函数的概念，并从中体会函数的模型思想。
（二）学情分析一、学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，具备了一定的函数方面的基础知识、基本技能，会利方程解决一些实际问题。
（2）支持性条件：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些利用函数解决实际问题的活动，感受到了函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型；经历过合作学习的过程，具有一定的合作与交流能力。
2.起点能力分析学生能够表示出比较简单的具体问题中各个量之间的关系。
二、学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：本节课通过自主学习与合作交流，少数学生能用二次函数表示简单变量之间的关系，多数学生能判断是否是二次函数、能够用尝试求值的方法解决实际问题。
多数学生在解决问题时由于实现数学化方面存在学习障碍，因此分析和建立两个变量之间的二次函数关系仍有困难，针对这一问题，采取策略：从学生感兴趣的且较简单的实际问题入手，使学生积极参与数学学习活动，把数学问题和实际问题相联系，同时使学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，增强对数学的好奇心和求知欲。
数学九年级北师大版2二次函数的图象与性质教案
3.培养学生的空间想象能力，通过二次函数图象的绘制和变换，使学生能够形象地理解二次函数的几何特征，提高直观想象素养。
4.培养学生的团队协作能力，课堂活动中鼓励学生相互讨论、交流，共同解决二次函数相关问题，提升学生的合作意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数图象的绘制与识别：重点掌握二次函数图象的开口方向、顶点、对称轴等特征，并能根据实际问题绘制相应的二次函数图象。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了二次函数的图象与性质这一章节。通过引导学生们思考日常生活中的实际案例，我希望能够帮助他们将抽象的数学概念与具体情境联系起来。在讲授过程中，我注意到了几个值得反思的方面。
首先，我发现学生在理解二次函数图象的变换规律方面存在一定难度。在今后的教学中，我需要更加形象、生动地展示图象的平移、压缩、拉伸等变换过程，通过更多实例让学生感受这些变换背后的数学原理。
举例：在给定实际问题中，如何从题目条件出发，列出二次函数解析式，并求解未知数。
（4）数学符号的理解与应用：难点在于对数学符号的理解，如a的正负表示开口方向，顶点坐标表示图象的平移等。
举例：理解二次函数y = ax² + bx + c中，a、b、c各自对图象的影响。
在教学过程中，教师要针对以上重点和难点内容，运用实例进行讲解和强调，确保学生能够理解透彻并掌握相关知识点。同时，结合学生的实际情况，采取适当的教学方法，帮助学生突破难点，提高数学素养。
北师大版数学九年级下册课件二次函数
6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 4 4 9 8 52 7 2 5 8 9 0 9 8 5 2 5 0 50 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 答：种10棵橙子树，果园橙子的总产量最多.
新知探究
做一做：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量. 在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
银行储蓄利率表
2012-7-6
项
目
利率
三个月
2.85
整
半年
3.05
存
一年
3.25
整
二年
3.75
取
三年
4.25
五年
4.75
零存整取
一年
2.85
整存零取
三年
解：S=a( -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a . 是函数关系且为二次函数关系.
新知探究
3.已知函数y=(m2+m) xm2-2m+2 (1)当函数是二次函数时,求m的值.
是二次函数的条件是m2-2m+2=2且m2+m≠0. (2)当函数是一次函数时,求m的值.
是一次函数的条件是m2-2m+2=1且m2+m≠0.
九年级数学北师版·下册
第二章 二次函数
2.1 二次函数
教学目标
1．探索并归纳二次函数的定义．(重点) 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系.（难点）
新课导入
北师大版初中九年级数学下册第二章集体备课教案教学设计含教学反思
第二章二次函数1 二次函数【知识与技能】使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围. 【过程与方法】复习旧知识，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力.【情感态度】通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心.【教学重点】对二次函数概念的理解.【教学难点】由实际问题确定函数解析式.一、情景导入，初步认知1.什么叫函数？它有几种表示方法？2.什么叫一次函数？（y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有的条件？k值对函数性质有什么影响？【教学说明】复习这些问题是为引入一元二次函数做铺垫，帮助学生加深对函数定义的理解.强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a 进行比较.二、思考探究，获取新知问题1某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些树，以提高产量.但是树种多了，那么树之间的距离和每棵树接收的阳光就会减少.根据经验，估计每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.①哪些是变量？哪些是自变量？哪些是因变量？②如果设多种x棵树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？③如果果园橙子的总产量为y，请你写出y与x之间的关系式.问题2教材29页的“做一做”设年利率为x，本息和为y.请你写出y与 x之间的关系式.教师提问：以上两个例子所列出的函数有什么特点，学生观察并讨论. 【教学说明】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察、思考、对比一次函数，归纳出二次函数的定义.【归纳结论】我们把形如y=ax2 +bx + c (其中a，b，c是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.三、运用新知，深化理解下列关系式中，一定属于二次函数的是（x为自变量）（）解析：紧抓二次函数的概念.答案：A2.m取哪些值时，函数y=(m2-m)x2 + mx + (m+1)是以x为自变量的二次函数？分析：若函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数，须满足的条件是m2-m≠0.解：若函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数，则m2-m≠0.解得m≠0，且m≠1.因此，当m≠0，且m≠1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数.3.(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm) 之间的函数关系.分析：（1)根据正方体表面积公式可得.(2)面积与半径有关，所以根据周长表示出半径就可求出面积.解：(1)S=6a2(a>0);2x（2）（0）y=x>4【教学说明】学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中.四、师生互动，课堂小结叙述二次函数的定义.二次函数定义：形如y=ax2+bx+c(a、b、c 是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，叫作常数项.1.布置作业：教材“习题2.1”中第3、题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数. 通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好！第1课时二次函数y=ax2的图象与性质【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.【教学重点】会画y=ax2的图象，理解其性质.【教学难点】结合图象理解拋物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.一、情景导入，初步认知(k≠0)图象是什么形状？有哪些一次函数y=kx+b和反比例函数xy=k性质呢？那么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.二、思考探究，获取新知(1)试着画出y=x2的图象【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.(2)探究y=x2的性质【教学说明】让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.【归纳结论】它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点.拋物线顶点概念：拋物线与它的对称轴的交点叫做拋物线的顶点.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？【归纳结论】1.抛物线y=ax2（a≠0)的对称轴是狔轴，顶点是原点；a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；a<0时，抛物线y=ax2的开口向下.顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．三、运用新知，深化理解1.已知函数()27=-是二次函数且开口向下，则m=_____.2my m x-解析：它是二次函数，所以m2-7=2，得m=±3，且开口向下，所以m- 2<0，得m<2. 即:m=-3 答案：-3.2.已知拋物线y=ax2经过点A（-2，-8).(1)求此拋物线的函数解析式；(2)判断点B（-1，-4)是否在此拋物线上.分析：（1)把a的值求出即可；(2)把B的坐标代入，等式成立则在此抛物线上，否则不在.解：（1)把（-2，-8 )代入y=ax2中得：a=-2.∴解析式为：y=-2x2（2）把（-1，-4)代入y=-2x2中得-2×（-1）2=-2≠-4，∴等式不成立•点B（-1，-4)不在此拋物线上.【教学说明】学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调.四、师生互动，课堂小结1.拋物线y= ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点；2.a>0时，拋物线y = ax2的开口向上，顶点是拋物线的最低点a越大，拋物线的开口越小；3.a<0时，拋物线y = ax2的开口向下，顶点是拋物线的最高点a越大，拋物线的开口越大．1.布置作业：教材“习题2.2”中第1、2题.2.成练习册中本课时的练习.本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣.第2课时二次函数y=ax2+c的图象与性质【知识与技能】1.使学生能利用描点法正确作出函数y=x2+2与y=x2-2的图象.2.理解二次函数y=ax2+c的性质及它与函数y=ax2的关系.【过程与方法】让学生经历二次函数y=ax2+c性质探究及性质应用的过程.【情感态度】培养学生动手操作的能力及归纳总结与灵活应用知识的能力.【教学重点】理解二次函数y=ax2+c的性质及它与函数y=ax2的关系【教学难点】理解二次函数y=ax2+c的性质及它与函数y=ax2的关系一、情景导入，初步认知1.二次函数y=x2的图象是，它的开口向，顶点坐标是；对称轴是，在对称轴的左侧y 随x的增大而，在对称轴的右侧y随工的增大而，函数y=x2在x= 时，取最值，其最值是 .2.二次函数y=x2十2的图象与二次函数y=x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？【教学说明】巩固旧知，引出新知识.二、思考探究，获取新知问题1对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？问题2你能在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=x2+2的图象吗？【教学说明】先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数图象.观察所画图象，有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标是什么？【归纳结论】函数y=x2+2的图象上的点都是由函数y=x2的图象上的相应点向上移动了两个单位.完成下表：三、运用新知，深化理解1.（1）函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向平移单位得到；（2）y=4x2-11的图象向平移个单位得到.2.将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向平移个单位得到可y=2x2的图象；将y=x2-7的图象向平移个单位可得到y=x2+2的图象.3.拋物线y=-3x2+5的开口向，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧y随x的增大而，当x= 时，取得最值，这个值等于 .4.拋物线y=7x2-3的开口向，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而，当x = 时，取得最值，这个值等于 .5.拋物线y =ax2+c与y=3x2的形状相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其表达式为 .解：1.（1）上 5 （2）下 112.下 4 上 7 上 93.下 y轴（0，5）增大减小 0 大 54.上 y轴（0，-3）减小增大 0 小 -35.y=3x2+1【教学说明】以上5题，是对本节课的知识点的复习巩固，让学生自主完成，教师做强调.四.师生互动，课堂小结本节课你有何收获？本节课你有何疑问1.布置作业：教材“习题2.3”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.函数的教学，尤其二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识.在教学过程中，除了让学生多动手画图象，加深学生对函数图象的了解，加深他们对函数性质的了解外，更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去.要利用一切可以利用的材料来帮助学生理解所学的知识.本节中通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，给学生留下较深刻的印象，普遍能较好的掌握图象的平移规律.第3课时 二次函数y=a （x-h ）2的图象与性质【知识与技能】会画出y=a(x-h)2这类函数的图象，掌握这类函数的性质.【过程与方法】学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.【情感态度】锻炼学生的观察、分析、归纳能力.【教学重点】掌握y=a(x-h)2的性质.【教学难点】掌握y=a(x-h)2的性质.一、情景导入，初步认知我们已经了解到，函数y=ax 2+c 的图象, 可以由函数y=ax 2的图象上下平移所得，那么函数2122y x =-（）的图象，是否也可以由函数212y x = 平移而得到呢？ y=a(x-h)2的图象是如何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在学生发言的基础上补充并展示.二、思考探究，获取新知探究1:在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.212y x =，21+12y x =（），21-12y x =（）并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.观察并归纳，它们的图象有什么规律？【归纳结论】由抛物线212y x =向左、向右平移一个单位得到的抛物线分别是21+12y x =（），21-12y x =（） 【教学说明】通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、思维能力、归纳能力等.三、运用新知，深化理解1.函数y=ax 2与y=a(x —2)（a <0）函数在同一坐标系里的图象大致是 .解析：根据a 的正负性确定它们的性质.答案：D2.二次函数y=2(x —1)2的图象可由y=2x 2的图象（ ）得到A.向左平移1个单位长度B.向左平移2个单位长度C.向右平移1个单位长度D.向右平移2个单位长度解析：左右平移是A的值发生改变.答案：C【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.四、师生互动，课堂小结1.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质.2.平移的方法.1.布置作业：教材“习题2. 4”中第1题（2)、(6)2.完成练习册中本课时的练习.本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.第4课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质【知识与技能】会画出y=a(x-h)2+k这类函数的图象，掌握这类函数的性质.【过程与方法】学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.【情感态度】锻炼学生的观察、分析、归纳能力.【教学重点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.【教学难点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.一、情景导入，初步认知上一节课，我们已经了解到，函数y=a(x-h)2的图象，可以由函数y=ax 2的图象左右平移所得，那么y=a(x-2)2+2的图象，是否也可以由函数y=ax 2平移得到呢？y=a(x-h)2+k 的图象是如何得到的呢？画图试一试， 你能从中发现什么规律？【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在学生发言的基础上补充并展示.二、思考探究，获取新知探究1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.212y x =，21-12y x =（），21-1-22y x =（），并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.观察三个图象之间的关系.【归纳结论】由抛物线212y x =向右平移一个单位可得到抛物线21-12y x =（），再向下平移2个单位可得到21-1-22y x =（）. 探究2:请依据探究1中的发现，说说拋物线y=a(x-h)2+h 是由拋物线y=ax 2通过怎样的平移得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.【归纳结论】 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+h 中k 的值；左右平移，只影响h 的值.在y=a(x-h)2+h 中：（1）当a >0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h ；（3）顶点坐标为（h ，k ）.【教学说明】通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、思维能力、归纳能力等.三、运用新知，深化理解1.拋物线y=-3(x-2)2+4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为（ ）A.开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为(-2,4)B.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2，4)C.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）D.开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）解析：根据y=a(x-h)2+k 的性质可得出结果.答案：D2.把拋物线212y x 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得拋物线为（ ）解析：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+k 中k的值；左右平移，只影响h的值.答案：B【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.四、师生互动，课堂小结1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.2.平移的方法.1.布置作业：教材“习题2.4”中第1题的(1)、(3)、(4)、(5)小题和第3题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质【知识与技能】1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象.2.使学生掌握用图象法或配方法确定拋物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生通过绘画观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，理解二次函数y=ax2+bx+c的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质.【情感态度】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生运用数学的意识.【教学重点】通过配方确定拋物线的对称轴、顶点坐标.【教学难点】理解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质.一、情景导入，初步认知由前面的知识，我们知道函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2x2+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢？函数y=2(x-3)2+2具有哪些性质？【教学说明】通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用. 这几个问题可找层次较低的学生回答，由其它同学给予评价.二、思考探究，获取新知探究：你能确定y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质？学生讨论得到：通过配方把二次函数y=ax 2+bx+c 转化成y=a （x-h ）2+c 的形式，确定拋物线y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：y=-2x 2+4x+6=-2(x 2—2x)+6=-2(x 2-2x+1-1)+6=-[2(x-1)2—2]+6=-2(x —1)2+8因此，拋物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，8). 你能从上图中总结出二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的性质吗？【归纳结论】 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴是2b x a=-,顶点坐标是24(24b ac b a a --，）【教学说明】让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论.三、运用新知，深化理解1.函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是（ ）A.（1，-4）B.（-1，2）C.（1，2）D.（0，3）解析：方法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.方法二：将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x- h)2+k 的形式，顶点坐标即为（h ，k ），y = x 2 - 2x + 3=（x-1）2+2，所以顶点坐标为（1，2).答案：C.2.抛物线2144y x x =-+-的对称轴是（ ）A. x=-2B. x=2C. x=-4D. x=4解析：直接利用公式.答案：B3.已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A. ab ＞0，c ＞0B. ab ＜0，c ＜0C. ab ＜0，c ＞0D. ab ＜0，c ＜0解析：由图象知，抛物线开口向下，∴a ＜0，抛物线对称轴在y 轴右侧，∴2b a- ＞0，又∵a ＜0，∴b ＞0，∴ab ＜0，抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）点，由图知，该点在x 轴上方，∴c ＞0. 答案选C.4.把拋物线y=-2x 2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A. y=-2(x-1)2+6B. y=-2(x-1)2-6C. y=-2(x+1)2+6D. y=-2(x+1)2-6解析：二次函数图象的变化.抛物线y=-2x 2+4x+1=-2(x-1)2+3的图象向左平移2个单位得到y=-2(x+1)2+3，再向上平移3个单位得到y=-2(x+1)2+ 6.答案 选C.【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知四、师生互动，课堂小结二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴是2b x a=-,顶点坐标是24(24b ac b a a --，）.1.布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课的重点是用配方法确定拋物线的顶点和对称轴.为了学生能在较复杂的题中顺利应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成，并来讨论做题思路.这样这个重点和难点也就得到了自然地突破.3 确定二次函数的表达式【知识与技能】经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识.【过程与方法】会用待定系数法求二次函数的表达式.【情感态度】逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.【教学重点】求二次函数的解析式.【教学难点】求二次函数的解析式.一、情景导入，初步认知问题1如何求一次函数的解析式？至少需要几个点的坐标？问题2 你能求二次函数的解析式吗？如果要求二次函数的解析式需要几个点的坐标？【教学说明】通过类比的思想，猜想求二次函数的解析式需要坐标点的个数.二、思考探究，获取新知问题已知二次函数的图象的顶点坐标为(1，-3)，且与y轴交于点（0,1），求该二次函数的表达式.分析：根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y=a(x-h) 2+k，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值.【归纳结论】这种求二次函数表达式的方法称为顶点式.三、运用新知，深化理解1.已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标为〖JP〗（1，-3），则二次函数对应的表达式为（）A.y=x2-2x+2B.y=x2-2x-2C.y=-x2-2x+1D.y=x2-2x+1答案：B2.已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（-1，-2），求这个二次函数的表达式.分析：根据二次函数的顶点坐标设二次函数的表达式为y=a（x+1）2-2，再把（1，10）代入，求出a的值，即可得出二次函数的表达式.解：设二次函数的表达式为：y=a（x+1）2-2，把（1，10）代入表达式得10=4a-2，解得a=3，则二次函数的表达式为：y=3（x+1）2-2=3x2+6x+1.3.已知二次函数图象的顶点坐标是(2，-4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求二次函数的表达式.分析：根据顶点坐标公式可列出两个方程.解法1：设所求的函数表达式为y=a(x-h)2+k，依题意，得y=a(x-2)2-4因为二次函数图象与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以二次函数图象过点(0，4)，于是a(0-2)2-4＝4，解得a＝2.所以，所求二次函数的表达式为y＝2(x-2)2-4，即y＝2x2-8x ＋4.【教学说明】凡是能用“顶点式”确定的,一定可用“一般式”确定，进一步明确两种表达式只是形式的不同而没有本质的区别;在做题时,不仅会使用已知条件,同时要养成挖掘和运用隐含条件的习惯.四、师生互动，课堂小结二次函数y=ax2+bx+c可化成y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）.如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.1.布置作业：教材“习题2.6”中第1题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时从确定二次函数的表达式需要几个条件这个问题展开讨论，类比确定一次函数表达式的方法，引导学生思考、归纳确定二次函数表达式的方法.3 确定二次函数的表达式【知识与技能】学会运用待定系数法求二次函数表达式，熟练应用已知图象上三个点确定二次函数表达式.【过程与方法】进一步讨论确定二次函数表达式的方法，总结、归纳确定二次函数表达式的条件.【情感态度】培养学生合作学习、大胆创新的意识.【教学重点】求二次函数的解析式.【教学难点】求二次函数的解析式.一、情景导入，初步认知问题已知二次函数y=ax2+bx+c图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？【教学说明】采用启发性教学模式引导学生思考.二、思考探究，获取新知问题1.已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2），求这个二次函数的表达式分析：可设函数关系式为y=ax2+bx+c，根据二次函数的图象经过三个已知点，可得出一个关于a,b,c的三元一次方程组，从而可以求出a,b,c的值.【归纳结论】求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键是确定a、b、c的值.由已知条件可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数a,b,c.这种方法称为待定系数法.2.若二次函数的图象经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，求此二次函数的表达式.分析：由于已知二次函数的图象与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-1），然后把（0，1）代入求出a的值即可解：设二次函数表达式为y=a（x+1）（x-1），把（0，1）代入得a×1×（-1）=1，解得a=-1，所以二次函数表达式为y=-（x+1）（x-1），即y=-x2+1.三、运用新知，深化理解1.已知二次函数的图象过点A（2，0），B（-1，0），与y轴交于点C，且OC=2.则二次函数的表达式为A.y=x2-x-2B.y=-x2+x+2C.y=x2-2-2或y=-x2+x+2D.y=-x2-x-2或y=x2+x+2答案：C2.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A 点坐标为(-1，0)，点B(0，5)，另外二次函数的图象经过点(1，8)，求二次函数的表达式.分析：应用待定系数法求出a，b，c的值.解:依题意：二次函数的表达式为y=-x2+4x+53.已知二次函数图象的对称轴是直线x=2，且经过(3，1)和(0，-5)两点，求二次函数的表达式.分析：可设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，已知两点的坐标，可列两个方程，再根据对称轴x=2，列出一个方程，则可求出a,b,c的值.因已知对称轴，故也可直接设二次函数表达式为y=a（x-2）2+k，再代入两点，即可求出a、b、c的值.解法1：设所求二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，因为二次函数的图象过点（0，5），可求得c=-5，又由于二次函数的图象过点（3，1)，且对称轴是直线x=2，可以得解法2:设所求二次函数的关系式为y=a(x-2)2+k，由于二次函数的图象经过（3，1）和（0，-5）两点，可以得到所以，所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3，即y=-2x2+8x-5.四、师生互动，课堂小结求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键是确定a、b、c的值.由已知条件可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数a,b,c.1.布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.4二次函数的应用第1课时利用二次函数解决面积问题和抛物线形问题【知识与技能】经历探究解决图形的最大面积问题与抛物线形问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验.【过程与方法】经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.【情感态度】通过动手实践及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力.【教学重点】。
北师大版九年级数学下册教学课件二次函数
(2)当x=3cm时,S=225－4×32=189(cm2).
D B
y＝－2x2＋12x－16
－2
12
-16
2
10.如图所示,矩形的长为4cm,宽为3cm,如果矩形的长与宽 都增加xcm,那么面积增加ycm2.
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围； (2)当矩形的长与宽都分别增加2cm、3cm时,矩形的面积各 增加多少？ (3)要使矩形的面积增加为18cm2,长和宽 都增加多少米？
观察函数关系式①和②,并思考以下问题： y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………① y=－100x2＋100x＋200(0≤x≤2)……②
(1)函数关系式①和②的自变量各有几个？(各有1个) (2)多项式－2x2＋20x和－100x2＋100x＋200分别是几 次多项式？ (分别是二次项式) (3)函数关系式①和②有什么共同特点？
［x的值不能任意取,其范围是0≤x≤2］
5.若设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式。 ［y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)］
将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10)化为： y=－2x2＋20x(0＜x＜10)………………(1)
将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋200(0≤x≤2)………………(2)
1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？ [利润=(售价－进价)×销售量］ 2.如果不降低售价,该商品每件利润是多少元？一天总的利 润是多少元？
［10－8=2(元),(10－8)×100=200(元)］ 3.若每件商品降价x元,则每件商品的利润是多少元？一天 可销售约多少件商品？