第2讲 绝对值
第二讲绝对值难题讲解学习
第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题.下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零•即卜当金〉0时！|a|= J 0）当离=0时|［怜当印<0时・绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关•在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数.反之，相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数.例1 a, b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1) I a+b | =| a | +| b | ;⑵| ab | = | a || b |; (3) | a-b | = | b-a |;⑷若 | a | =b,则a=b;⑸若| a |v| b |,贝U a v b;⑹若a> b，则 | a |>| b | .解（1）不对.当a, b同号或其中一个为0时成立.（2）对.⑶对.⑷不对.当a > 0时成立.⑸不对.当b > 0时成立.⑹不对.当a + b> 0时成立.例2设有理数a, b, c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简| b-a | + | a+c |+ I c-b |.團1-1解由图1-1可知，a>0, b v 0, c v 0,且有| c | >| a |>| b |> 0.根据有理数加减运算的符号法则，有b-a v 0, a+ c v 0, c-b v 0.再根据绝对值的概念，得| b-a | =a-b,| a+c | =-(a+c) , | c-b | =b-c.于是有原式=(a -b) -(a+c)+(b -c)=a -b-a-c+b-c=-2c.例3 已知x v -3,化简：| 3+ | 2- | 1+x |||.分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号.解原式=| 3+ | 2+(1+x) | | (因为1+x v 0)=| 3+ | 3+x | |=| 3-(3+x) | (因为3+x v 0)=| -x | =-x.例4若血弄0,则占+上十二询所有可能值是什么? l a! I b l l c l解因为abc丰0,所以a丰0, b^ 0, c丰0.=1 a, b, c均大于零时，原式=3;(1)当⑵当a, b, c均小于零时，原式=-3;⑶当§ a, b, c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1;⑷当§ a, b, c中有两个小于零，一个大于零时，原式--1瞅昏詁訥< 可能的值W辽说明本例的解法是采取把a, b, c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用.例5若丨x丨=3,| y | =2，且丨x-y | =y-x,求x+y的值.解因为 | x-y |> 0,所以y-x》0, y >x•由 | x | =3,| y | =2 可知，x v 0, 即x=-3.(1) 当y=2 时，x+y=-1 ；(2) 当y=-2 时，x+y=-5.所以x+y的值为-1或-5.例6 若a, b, c 为整数，且 | a-b | 19+ | c-a | 99=1, 试计算 | c-a | + | a-b |+ | b-c | 的值.解a , b, c均为整数，贝U a-b, c-a也应为整数，且| a-b | 19,| c-a | 99为两个非负整数，和为1,所以只能是| a-b | 19=0 且 | c-a | 99=1, ①或| a-b | 19=1 且 | c-a | 99=0.②由①有a=b且c=a± 1,于是| b-c | = | c-a | =1;由②有c=a且a=b ± 1,于是| b-c | =I b-c | =1 且 |a-b | + | c-a | =1,| a-b | =1.无论①或②都有所以I c-a | + | a-b | + | b-c | =2.例孑若I x-y+3 I I x+y-1999 I互为相反数，求的值. x-y解依相反数的意义有I x-y+3 | =- | x+y-1999 | .x-y+3 I =0 且I x+y-1999 I 因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有I=0•即(s + y-1999 = 0, ②由①有x-y=-3,由②有x+y=1999 .②-①得2y=2002, y=1001 ,所以幫一y x ~ y 一孑例8 化简：| 3x+1 I + I 2x-1 |.分析本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事.例如，化简I 3x+1 I,只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号.这里我们是分Q冷与篡＜冷两种情况加以讨论的，此瞅赵是一个分界点-类似地’对于1 2盖J I而言，葢二+是一个分界点r为同吋去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点J和:标在谿由上把数轴分为三个部分（如图1 -2所示），即这样我们就可以分类讨论化简了.區1解(1)当囂<冷时.原式=-(3x+1) -(2x-1)= -5x ;(2)当^<x<|时，原式=(3x+1) -(2x-1)=x+2 ;⑶当耳”时，原式=(3x+1)+(2x -1)=5x .即x + 2,当-时;5x(当Q右吋.说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”.例9已知y | 2x+6 | + | x-1 | -4 | x+1 求y的最大值.分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者.解有三个分界点：-3, 1, -1 .(1) 当x w -3 时，y=-(2x+6) -(x-1)+4(x+1)=x -1,由于x< -3，所以y=x-1w -4, y的最大值是-4.(2) 当-3< x w-1 时，y=(2x+6) -(x -1)+4(x+1)=5x+11 , 由于-3w x W -1,所以-4w 5x+11 w 6, y的最大值是6.(3) 当-1w x w 1 时，y=(2x+6) -(x-1)-4(x+1)= -3x+3, 由于-1 w x W 1，所以O w -3x+3w 6, y的最大值是6.(4) 当x> 1 时，y=(2x+6)+(x -1)-4(x+1)= -x+1 ,由于x> 1,所以1-x w 0, y的最大值是0.综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6.例10 设a v b v c v d，求I x-a | + | x-b | + | x-c | + | x-d |的最小值.分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦.若能利用| x-a|, | x-b | ,| x-c |,| x-d |的几何意义来解题，将显得更加简捷便利.解设a, b, c, d, x在数轴上的对应点分别为A, B, C, D, X,则| x-a |表示线段AX之长，同理，| x-b | , | x-c | , | x-d |分别表示线段BX, CX DX之长.现要求| x-a |,| x-b |,| x-c |, | x-d |之和的值最小，就是要在数轴上找一点X,使该点到A, B, C, D四点距离之和最小.因为a v b v c v d，所以A, B, C, D的排列应如图1 - 3所示:图1-3所以当X在B, C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC即(d-a)+(c -b).例11若2x+ | 4-5x | + | 1-3x | +4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值.分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0 一种情况.因此必须有I 4-5x | =4- 5x且| 1-3x | =3x-1.故x应满足的条件是(4-5x>O r解之得号£ V — *此时原式=2x+(4 -5x) -(1 -3x)+4=7 .练习二1. x是什么实数时，下列等式成立：(1) I (x -2)+(x -4) | = | x-2 | + | x-4 | ;(2) | (7x+6)(3x -5) | =(7x+6)(3x -5).2. 化简下列各式：(2) | x+5 | + | x-7 | + | x+10 | .3. 若a+ b v 0，化简 | a+b-1 | - | 3-a-b | .4. 已知y= | x+3 | + | x-2 | - | 3x-9 |，求y 的最大值.5. 设T= | x-p | + | x-15 | + | x-p-15 |，其中0 v p v 15,对于满足p< x< 15 的x来说，T的最小值是多少？6. 已知a v b,求| x-a | + | x-b |的最小值.7. 不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C,如果| a-b | + | b-c | = | a-c |，那么B点应为().(1) 在A, C点的右边；(2) 在A, C点的左边；(3) 在A, C点之间；(4) 以上三种情况都有可能.。
第2讲 绝对值与有理数运算(学生版)
第2讲 绝对值与有理数运算知识精要（一）绝对值1、一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
2、一个正数的绝对值是他本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零。
3、正数大于零，零大于负数，正数大于负数。
两个负数绝对值大地那书数反而小。
（二）、有理数的加减法1、有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数。
2、有理数减法的意义有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
减法是加法的逆运算。
3、有理数的减法法则有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 设b a x -=，则a b x =+，)()(b a b b x -+=-++∴)(b a x -+=． 因此，)(b a b a -+=-．（三）有理数的乘法1、有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零. 说明：①掌握乘法法则的关键是会确定积的符号：“两数相乘，同号得正，异号得负”. 且不可与有理数加法的符号法则混淆；②有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”是专指“两数”相乘而言的. 2、有理数乘法法则的推广①几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为零，积就为零.3、 倒数（1）倒数的意义乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数. 即若a ·b=1，则a 与b 互为倒数；若a 与b 互为倒数，则a ·b=1.（2）倒数的求法①求一个非零整数的倒数，直接可写成这个数分之一的形式，即a 的倒数为1a .②求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下位置即可，即m n 的倒数为nm. 对于带分数先将其化为假分数，再求倒数.③求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，然后再求倒数.（3）零没有倒数，因为零不能作除数. 4、 有理数的除法法则（1）除以一个数等于乘上这个数的倒数. 即：)0(1≠⨯=÷b ba b a （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0.名师精讲例1、现规定一种运算“*”，对于a 、b 两数有：ab a b a b2*-=,试计算2*)3(-的值。
【七年级奥数】第2讲 绝对值（例题练习）
第2讲绝对值——例题一、第2讲绝对值（例题部分）1.绝对值为10的整数有哪些?绝对值小于10的整数有哪些?绝对值小于10的整数共有多少个?它们的和为多少?【答案】解:绝对值为10的整数有+10和-10两个，绝对值小于10的整数有0，±1，±2，…，±9，共2×9+1=19(个)，它们的和为：0+1+(-1)+2+(-2)+…+9+(-9)=0．【解析】【分析】整数是离散的，所以满足要求的只有有限多个，要是改求绝对值小于10的有理数，那就有无限多个．2.若-2≤a≤0，化简【答案】解：因为-2≤a≤0，所以a+2≥0，a-2≤0-2<0，因此=(a+2)-(a-2)=4.【解析】【分析】由已知条件-2≤a≤0可得，，然后根据绝对值的性质即可化简。
3.若，化简【答案】解：因为。
所以从而因此，原式=【解析】【分析】根据所给的条件，先确定绝对值符号内的代数式的正负，然后化去绝对信符号．若有多层绝对值符号，即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号(如本例中的分子，通常从最内层开始，逐层向外化去绝对值符号．4.设，且，试化简【答案】解：因为，，所以，即所以x+1,因此=-x-1+x-2=-3【解析】【分析】绝对值符号内的数、式的正负，有时不能直接从所给条件得出，应先将已知条件化为我们所需要的条件。
由已知条件a<0可得，又因为x，而a与互为相反数，所有x-1,根据绝对值的性质即可化简。
5.数a、b在数轴上对应的点如图所示，试化简|a+b|+|b−a|+|b|−|a−|a| |【答案】解：由图可知a<0，b>0，而且由于a点离原点的距离比b点离原点的距离大，因此a+b<0．我们有|a+b|+|b−a|+|b|−|a−|a| | = −(a+b)+(b−a)+b−|a−|a| |=-a-b+b-a+b-（-2a）=b【解析】【分析】由图，即数轴上a、b两点的位置，“读”得a<0．b>0，a+b<0等条件，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，即可化简．6.化简【答案】解：要去掉绝对值符号．必须讨论x的取值．显然，由于分母不能为0．因此x≠0．当x>0时．当时【解析】【分析】当题设没有给出绝对值符号中的代数式的正负时．应分类进行讨论．分类是数学的一种重要思想．绝对值问题是运用分类思想的良好素材．下面的例子中，含有两个绝对值符号，我们根据零点分段，把整个数轴分成几段进行讨论．7.化简【答案】解：当时原式=当原式=当时原式=即原式=【解析】【分析】确定了讨论的范围后，原式的化简就方便多了．令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，即x+5=0，2x-3=0，可得x=-5，x=；于是可确定讨论范围为：x < − 5，− 5 ≤ x <，x ≥．根据这三个范围讨论即可化简．8.化简| |x−1|−2|+|x+1|【答案】解：先找零点由x-1=0得x=1由=0即=2，得x-1=±2.。
第二讲 绝对值
第2讲 绝对值的性质与化简【例1】(1)若xy xy =，则必有……………………………………………………( ) A .x,y 异号 C.x,y 中至少有一个是0B .x,y 同号 D . x ，y 同号或x,y 中至少有一个是0.(2)已知a 、b 、c 在数轴上位置如图，化简：代数式|a |＋|a ＋b |＋|c －a |－|b －c |．(3)若ab≠0，则ab a b+的取值不可能是………… ..……………………..（ ） A.0 B.1 C.2 D.－2注1：化简a a=__________ 【例2】如果a 、b 、c 是非零有理数,且a+b+c ＝0,那么求||a a +||b b +||c c +||abc abc 的所有可能的值.【例3】设a<0，且a x a ≤，试化简12x x +--.【例4】已知a 、b 、c 均不为0,且a ＋b ＋c ＝0,设x ＝|||a b c +＋||b c a +＋||c a b+| ,试求代数式x 19-99x +2018的值.【例5】化简: (1)12a a -+-； (2)123x x x ++-+-； (3)13x --．注2：零点分段法基本步骤：_______________________________.【例6】已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 化简：y x z y z x --+++【例7】点A 、B 在数轴上分别表示数a 、b ，则A 、B 两点之间的距离表示为|a －b |．回答下列问题：(1)数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_____________；(2)数轴上表示x 和－1的两点之间的距离是_____________；(3)当代数式|x －1|＋|x －3|取最小值时，求相应x 的取值范围？_____________________(4)试求出123x x x -+-+-的最小值？(5)试求出12...99100x x x x -+-++-+-的最小值？结论：____________________________________________________________.(6)满足341>+++x x 的x 的取值范围为 .(7)已知36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++的最大值和最小值．【例8】2020020,20y x b x x b b b x =-+-+--<<≤≤已知，其中求y 的最小值.【例9】若2x＋｜10－5x｜＋｜1－3x｜＋4的值在某个范围内，恒为常数，求x的取值范围及此常数的值．【例10】若a，b为实数，则下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a－b｜＝｜b－a｜；(2)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(3)｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；(4)｜a－b｜＝｜a｜－｜b｜；(5)｜ab｜＝｜a｜｜b｜注3：绝对值满足三角不等式：_______________________________.【例11】已知a 、b 、c 、d 是有理数,│a －b │≤9,│c －d │≤16,且│a －b －c ＋d │=25,那么请求出代数式：│b －a │－│d －c │的值.【例12】已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知||||||ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，求式子ad －bc 的值一.选择题1.a<0时，化简a a等于………………………………………………………………..（ ）A 、1B 、—1C 、0D 、1±2.已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ,1,-1,那么│a+1│表示…………( ).A.A 、B 两点的距离B.A 、C 两点的距离C.A 、B 两点到原点的距离之和D.A 、C 两点到原点的距离之和3.已知z x <<0，0>xy ，且x z y >>那么y x z y z x --+++的值….（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号4.不相等的有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果｜a-b ｜+｜b-c ｜=｜a-c ｜，那么B 点应为…………………………( )．(1)在A ，C 点的右边； (2)在A ，C 点的左边；(3)在A ，C 点之间； (4)以上三种情况都有可能．5.已知a 是任意有理数,则│－a │－a 的值是………………………………………( ).A.必大于零B.必小于零C.必不大于零D.必不小于零6.使代数式|3|||4x x x-的值为正整数的x 值是…………………………………………( ). A.正数 B.负数 C.零 D.不存在的二.填空题7.计算：214131412131---+-=______． 8.已知│a│=1,│b│=2,│c│=3,且a>b>c,那么a+b-c=_______9.若m,n,p 满足：1m n p m n p++=，则3____2mnp mnp = 10.若有理数x 、y 满足2002(x －1)2+│x －12y ＋1│＝0,则x 2+y 2＝________.11.非零整数m,n 满足50m n +-=，所有这样的整数组(m,n )共____组12.若a,b 为有理数,那么,下列判断中:(1)若│a │=b ,则一定有a=b ;(2)若│a │>│b │,则一定有a>b ;(3)若│a │>b ,•则一定有│a │>│b │;(4)若│a │=b ,则一定有a 2=(-b )2.正确的是________(填序号)13.若m m =-，化简12m m ---的结果是_______14.已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示:则│c －1│＋│a －c │＋│a －b │化简后的结果是_________.15.能够使不等式0)1)((<+-x x x 成立的x 的取值范围是 ．c a16.设a+b+c=0,abc>0,则求||b c a ++||c a b ++||a b c +的值.17.(1)若a ＋b ＜0，化简｜a ＋b －1｜－｜3－a －b ｜；(2)│x －1│－│x －3│；(3)若x<0,化简23x xx x ---.18.当b 为何值时，5－12-b 有最大值，最大值是多少？19.如果0<p<15,请求出代数式1515x p x x p -+-+--在p≤x≤15•时的最小值.20.已知a 为有理数,那么代数式│a －1│＋│a －2│＋│a －3│+│a －4│的取值有没有最小值?如果有,试求出这个最小值；如果没有,请说明理由．21.若a ，b ，c 为整数，且｜a －b ｜19＋｜c －a ｜99＝1，试计算｜c －a ｜＋｜a －b ｜＋｜b －c ｜的值．。
第2讲 绝对值的化简(教师版)
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质 作业4
化简：
．
答案 原式
．
解析 ①当 原式
②当 原式
③当 原式
时
； 时
； 时
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：零点分段法 作业5
化简：
．
答案 ．
解析 ①当 原式 ②当 原式 ③当 原式 ④当 原式
时， 时， 时，
时，
．
综上所得
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
已知 、 、 为有理数，且
A.
B.
，
，则
C. 或
的值为（ ）． D.
答案 B
解析
，
∵
，
，
∴ ， ， 为三个负数，或有其中两个为正数，一个为负数，
则原式
可能出现的结果为 ．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：|a|/a的化简
二、课后创新培养
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
，
第二讲绝对值的性质及化简.
第二讲绝对值的性质及化简.绝对值的性质及化简中考要求绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：a(a0)a(a0)a(a0)①a0(a0) ②a③aa(a0)a(a0)a(a0)利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若a b c0，则a0，b0，c0绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a，且a a；（2）若a b，则a b或a b；aa(b0)；bb（3）ab a b；（4）|a|2|a2|a2；（5）a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．例题精讲绝对值的性质化简题库·学生版 page 1 of 3【例1】 m n的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．； x的几何意义是数轴上表示的点与0（>，，【例2】 x3的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若x31，则x．【例3】 x2的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若x22，则x【例4】已知a1且a b c，那么a b c b2c3，【例5】若x2x20，求x的取值范围．【例6】解绝对值方程 x5=3【例7】如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c的值.·【例8】计算：绝对值的性质化简题库·学生版 page 2 of 3 11111111+…+.[1**********]007【例9】若x1+（x－y+2）=0 ，求2019（x+y）+3x－y的值. 2【例10】如果ab2+b1=0，试求 2111aba1b1a2b21a2019b2019的值.绝对值的性质化简题库·学生版 page 3 of 3。
北师大数学七年级上册第二章绝对值
第02讲_绝对值知识图谱绝对值知识精讲一．非负性绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作绝对值的代数意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即：对于一个数a，例：若，则k需要满足什么条件？k-6与6-k互为相反数，故k-6是负数，k<6绝对值的非负性绝对值具有非负性．即对于任意实数a，总有．如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如：若，则，，．*非负性的应用：1、若多个非负数之和为0，则它们都为0（1）若，则a、b的值为多少？绝对值是非负数，故a-3=0，b+2=0，即a=3，b=-2（2）若，则m、n的值为多少？绝对值和平方数都是非负数，故m+7=0，n-9=0，即m=-7，n=9 2、若有最大值，则c的值为多少？越小，原式值越大，，故当=0，即c=-8时，原式有最大值2二．绝对值的几何意义三点剖析一．考点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．绝对值的计算1、 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值． 即对于任意实数a ，2、乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商． 即对于任意实数a 、b ，，3、绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．例如：，绝对值的几何意义数轴上一个数所对应的点到原点的距离．即的 几何意义就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 推而广之：代数式的 几何意义就是数轴上数x 、数a 所对应的两点之间的距离． 例：表示数m 到7的距离；表示数n 到-5的距离几何含义的应用1、在数轴上到3的距离为8的数字是？，故x=11或-52、已知，求的值，x -y 的值为6或2二．重难点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．三．易错点：1．一个数的绝对值，一定不小于它本身，也不小于它的相反数．即对于任意有理数a ，总有a a ≥，a a ≥-．2． 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a ，a a =-． 3． 乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．即对于任意实数a 、b ，ab a b =，a ab b =(0)b ≠．4． 绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面． 例如：22a a =，22a b a b =．非负性例题1、 ﹣2的绝对值是（ ）A.﹣2B.﹣12C.2D.12【答案】 C【解析】 因为|﹣2|=2例题2、 已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ． 【答案】 ±4【解析】 绝对值是4的数有两个，4或﹣4． 例题3、 设a 是实数，则|a|﹣a 的值（ ） A.可以是负数 B.不可能是负数 C.必是正数 D.可以是正数也可以是负数 【答案】 B【解析】 （1）a ≥0时，|a|﹣a=a ﹣a=0； （2）a ＜0时，|a|﹣a=﹣a ﹣a=﹣2a ＞0． 故选B ．例题4、 当1＜a ＜2时，代数式|a ﹣2|+|1﹣a|的值是（ ） A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3 【答案】 B【解析】 当1＜a ＜2时， |a ﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a ﹣1=1．例题5、 已知|a+2|+|b ﹣1|=0，则（a+b ）﹣（b ﹣a ）=______． 【答案】 -4【解析】 ∵|a+2|+|b ﹣1|=0，∴a+2=0，b ﹣1=0，即a=﹣2，b=1， 则原式=a+b ﹣b+a=2a=﹣4．例题6、 已知245310a b c -++++=，求a 、b 、c 的值. 【答案】 2a =，5b =-，13c =-．【解析】 由绝对值的非负性知，245310a b c -=+=+=．随练1、 若|a|=﹣a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ） A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧【答案】 B【解析】 ∵|a|=﹣a ， ∴a 一定是非正数，∴实数a 在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．随练2、 12-的绝对值是（ ）A.12-B.12C.2D.2-【答案】 B【解析】 1122-=绝对值的几何意义例题1、 如果a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且1a c b c d b -=-=-=，那么a d -=__________． 【答案】 3【解析】 可通过数轴画出得a d -=3例题2、 （1）x 的几何意义是数轴上表示____的点与____之间的距离；x _____0x -（选填“>”，“=”或“<”） （2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________ （3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________ （4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________【答案】 （1）x ；原点；=（2）x ；3；2或4（3）x ；2-；0或4-（4）1x + 【解析】 x a -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示a 的点之间的距离例题3、 如果对于某一给定范围内的x 值，13p x x =++-为定值，则此定值为________，此时x 的取值范围是___________【答案】 4；13x -≤≤【解析】 利用绝对值的几何意义，结合数轴解题．当13x -≤≤时，13x x ++-为定值：()314--= 随练1、 若|a ﹣b|=b ﹣a ，且|a|=3，|b|=2，则（a+b ）3的值为（ ） A.1或125 B.﹣1 C.﹣125 D.﹣1或﹣125 【答案】 D【解析】 ∵|a ﹣b|=b ﹣a ， ∴a ＜b ，∴a=﹣3，b=±2．（1）a=﹣3，b=﹣2时，（a+b ）3=﹣125； （2）a=﹣3，b=2时，（a+b ）3=﹣1． 随练2、 探究题：（1）比较下列各式的大小：23-+______23-+，35-+-______()()35-+-，05+-______()05+-．（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳出当a 、b 为有理数时，a b +与a b +的大小关系． （3）根据（2）中你得出的结论，求当55x x +=-时，求x 的取值范围． 【答案】 （1）>；=；=．（2）a b a b +≥+（3）0x ≤ 【解析】 （1）235-+=，231-+=，所以2323-+>-+；358-+-=，()()358-+-=，所以()()3535-+-=-+-；055+-=，()055+-=，所以()0505+-=+-．（2）通过比较（1）中的结论，不难发现a b a b +≥+（当且仅当0ab ≥时取“=”）． （3）结合（2）中的结论，若55x x +=-，则应满足50x -≥，即0x ≤．随练3、 如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若|a|+|b|=3，则原点是（ ）A.M 或NB.M 或RC.N 或PD.P 或R【答案】B【解析】∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=3，所以，原点不可能在N或P点；②当原点在M、R时且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3；综上所述，此原点应是在M或R点．随练4、如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2．（1）A、B两点的距离AB= ，A 、C两点的距离AC= ；（2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE= ；（3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．【答案】（1）2，5；（2）|x+3|；（3）4【解析】（1）如图所示：AB=2，AC=5．故答案为：2，5；（2）根据题意可得：AE=|x+3|．故答案为：|x+3|；（3）利用数轴可得：|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4．故答案为：4．绝对值综合知识精讲一．绝对值的化简利用代数意义去绝对值号化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据题设所给的条件，判断绝对值符号内的数a（或式子a）的正负（即0a>，0a<还是0a=）；然后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号．如：计算1b-=_____________()1b<．由于1b<，所以10b-<，根据绝对值的代数意义，应有()111b b b-=--=-+．*注意：去绝对值符号时，应将绝对值符号内的数（或式子）看做一个整体，并注意去括号时符号的变化．当题目中没有明确指出未知数的取值范围时，则需要将所有情况都分类列举出来．例如，计算3x-：当3x≥时，33x x-=-；当3x<时，()333x x x-=--=-．利用零点分段法去绝对值号对于含多个绝对值的情况，我们往往用零点分段法计算化简．例如：化简12x x+--．第一个绝对值内部为1x+，当1x=-时第一个绝对值为零；第二个绝对值内部为2x-，当2x=时第二个绝对值为零．我们将1-、2称为是零点，这两个零点将整个数轴分为三部分（如图），我们对这三个部分进行分类讨论．1、当1x <-时，1x +、2x -均为负值， 于是()()12123x x x x +--=-+---=-⎡⎤⎣⎦；2、当12x -≤<时，1x +为非负值、2x -为负值， 于是()121221x x x x x +--=+---=-⎡⎤⎣⎦；3、当2x ≥时，1x +、2x -均为非负值， 于是()()12123x x x x +--=+--=．零点是我们分类的依据，因为这些零点确定了每个绝对值内部的正、负．零点分段法的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．二．绝对值的最值问题 （一）和最小x a x b -+-的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．经过总结归纳我们发现了这样的规律： ①对于代数式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）：0 2如计算的最小值．（1）将使两个绝对值分别为时的值标在数轴上（如图），数轴被分为个区域；（2）假设代表动点的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即． （3）在个区域中分别画出线段并比较，可以发现当时，两线段和最小，为定值． *若将题目改为计算的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．当为奇数时，在处取最小值，即在个点的中心点处；当为偶数时，在区域取最小值，即数轴被个点分成段的中心区域．②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++-的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤），然后通过上述方法求解．如：111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++． （二）差最大类比绝对值之和最小值问题，计算12x x ---的最大值求差的最大值，需要被减数越大1x -，减数2x -越小，从几何意义分析即x 与1距离远，与2距离近，当x 在1、2之间时，无论如何变化，距离之差始终不超过1；当x=2时，x 与2的距离最小，为0，此时原式结果恰好为1和2之间的距离，等于1；若x 继续增大，两距离之差依然为1。
第2讲 绝对值的化简(教师版)
，
①当 ， ， 都是正数时，
②当 ， ， 都是负数时，
③当 ， ， 有一个负数时，
④当 ， ， 有两个负数时，
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题5
若
，求
的值．
答案 -3或1
解析 当
中有三个负数或一个负数 中有三个负数时，
当 中有一个负数时，
； ；
； ．
或． 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
时，
．
答案
解析 由题：
，
，
∴ 、 、 两正一负，
∴
，
原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
作业8
已知 是非 有理数，求
．
答案
解析 若 是非 有理数，则 或 ； 当 时，
当 时，
∴
．
； ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
教师备选
若 、 、 为整数，且
，试计算
答案
解析 ， ， 均为整数，则 ， 也应为整数，且
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第2讲 绝对值
竞赛热点
绝对值定义：
绝对值性质：（1）非负性：︱a ︱≥0;(2) ︱a ·b ︱=︱a ︱·︱b ︱;(3)︱b a
︱=
b
a (
b ≠0);(4) ︱a ︱2=︱a 2︱= a 2
热门赛点：1.绝对值的化简2.绝对值的分类讨论3. 绝对值的非负性4. 绝对值方程5. 绝对值求最值。
解题示范
赛点1绝对值的化简
例1 （1）若﹣2≤a ≤0,化简：︱a ＋2︱＋︱a －2︱
(2)数a,b 在数轴上对应的点如图所示，试化简：︱a ＋b ︱＋ ︱b －a ︱＋︱b ︱－︱a －︱a ︱︱ 思考题
1.（1）已知m>4,化简:︱m －4︱＋︱7－2m ︱＋︱m 2－2m ＋1︱－︱m 2－2m －3︱
(2)a,b,c 的大小如图所示，求b
a b a --－
c
b c b --＋
a
c a c --＋
ac
ab ac ab --的值
赛点2绝对值的分类讨论
例2. 化简: ︱2x ＋1︱－︱x －3︱＋︱x －6︱ 思路：用零点分段法
思考题
2. 化简: ︱x ＋5︱＋︱2x －3︱
赛点3绝对值的非负性
例3已知2︱3a －2b ︱＋(4b-12)2=0,求41
a 12
b －(3a ＋
2
1b
a
＋4)的值
赛点4绝对值方程
例4解方程：︱x －︱2x ＋1︱︱=3 思路：先内部零点，再外部绝对值 思考题
3. 解方程：︱x －2︱＋︱2x ＋1︱=8
赛点5绝对值求最值
例5 求代数式︱x －1︱＋︱x －2︱＋︱x －3︱的最小值。
思路：规律是：︱x －a 1︱＋︱x －a 2︱＋…︱x －a n ︱的n 个绝对值的代数和，其最值求解的一般规律是：当n 为奇数时，取中间分界点；当n 为偶数时，取中间两个分界点x 的取值或中间两个分界点之间的任意实数。
思考题
5（1）求︱x ＋1︱＋︱x ＋2︱＋︱x ＋3︱＋︱x ＋4︱＋︱x ＋5︱的最
小值（2）求︱x －1︱＋︱x －2︱＋︱x －3︱＋︱x －4︱的最小值。
历届奥赛题链接
例1（希望杯竞赛题）︱x ＋1︱＋︱x －1︱的最小值是（ ） A.2 B. 0 C. 1 D.﹣1
例2（希望杯竞赛题）若︱a ＋b ＋1︱与（a －b ＋1）2互为相反数，则a 与b 的大小关系是（ ） A.a>b B a=b C a<b D a ≥b
例3.(2001年加拿大数学竞赛题)下列选项中，（ ）的解集如图所示
A. ︱x －4︱<3
B. ︱x －4︱>3
C. ︱x ＋4︱<3
D.︱x ＋4︱>3 例4（希望杯竞赛题）如果︱m －3︱＋（m ＋2）2=0,则方程3mx ＋1=x ＋n 的解是__________
例5（河南省竞赛题）已知y=︱x －b ︱＋︱x －20︱＋︱x －b －20︱，其中0<b<20,b ≤x ≤20,那么y 的最小值为___________
例6（希望杯竞赛题）已知(︱x ＋1︱＋︱x －2︱)(︱y －2︱＋︱y ＋1︱) (︱z －3︱＋︱z ＋1︱)=36,求x+2y+3z 的最大值和最小值 例7（第13届江苏省竞赛题）︱x ＋1︱＋︱x －2︱＋︱x －3︱的最小值是多少？
例8（1）（2006年“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知︱ab －2︱＋︱a －2︱=0.求
ab
1＋
)
1)(1(1++b a ＋
)
2)(2(1++b a ＋…＋
)
2006)(2006(1
++b a 的值。
（2）（希望杯竞赛题）设︱a －b ︱＋︱c －a ︱=1，求︱c －a ︱＋︱a －b ︱＋︱b －c ︱的值。
实战演练
1.(2004年四川省竞赛题)若x<-2,则y=︱1－︱x ＋1︱︱等于（ ） A.2+x B. -2-x C. x D.-x
2.（第15届希望杯竞赛题）有理数a,b,c 如图，则下列式子中一定成立的是（ ）A. a+b+c>0 B.︱a ＋b ︱< c C.︱a －c ︱=︱a ︱+c D. ︱b －c ︱>︱c －a ︱
3.(太原市竞赛题)0<a<1,-2<b<1,则1
1--a a －
2
2++b b +
b
a b a ++的值是（ ）
A.0
B. -1
C. -2
D. -3
4.(山东省竞赛题)如果a,b,c 是非零有理数，且a+b+c=0,那么
a
a +
b
b +
c
c +
abc
abc 的所有可能值为（ ）
A. 0
B. 1或-1
C. 2或-2
D. 0或-2
5.（第17届希望杯竞赛题）已知a,b,c 都是整数，m=︱a ＋b ︱＋︱b －c ︱＋︱a －c ︱,那么（ ）
A.m 一定是奇数
B.m 一定是偶数
C.仅当a,b,c 同偶或同奇时，m 是偶数。
D.m 的奇偶性不能确定
6.(04年重庆初中数学竞赛题)设m=x+︱x －1︱,则m 的最小值是（ ）A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
7.（第15届希望杯竞赛题）已知a=︱－2004︱＋15，则a 是（ ）
A.合数 B 质数 C 偶数 D 负数 8 （北京市竞赛题）化简︱
2003
12004
1-
︱＋︱
2002
12003
1-
︱＋︱
2001
12002
1-
︱＋︱
2004
12001
1-
︱=________
9.(北京市迎春杯竞赛题)已知︱a ︱=1, ︱b ︱=2, ︱c ︱=3,且a>b>c,那么a+b-c=________
10.（第16届希望杯竞赛题）如果︱a ︱=3, ︱b ︱=5,那么︱a+b ︱-︱a-b ︱的绝对值等于________
11(北京市第18届迎春杯竞赛题)代数式︱x ＋11︱＋︱x －12︱＋︱x-13︱的最小值为_____
12.(第14届希望杯竞赛题）a 与b 互为相反数，且︱a-b ︱=5
4
，那么
1
2
+++-ab a b ab a =_________
13.(全国初中数学联赛题)求满足︱a －b ︱＋ab=1的非负整数对（a,b ）的值。
14.解方程：︱x ＋4︱-︱x －2︱=x+1。