浙江省东阳中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷
东阳中学2017年第一学期期中考试卷（高二数学）一、选择题：（5分⨯10=50分）1．如果方程16222=++a y ax 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 A ．3>a B ．2-<a C ．3>a 或2-<a D ．3>a 或26-<<-a 2．下列说法不正确的是A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C ．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台平行于底面的截面是圆面3．若y x ,是实数，则“0>xy ”是“||||||y x y x +=+”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4．设b a ,为两条不重合的直线，βα,为两个不同的平面，则下列结论成立的是 A ．若βα⊂⊂b a ,，且b a //，则βα// B ．若βα⊂⊂b a ,，且βα⊥，则b a ⊥ C ．若α⊂b b a ,//，则α//a D ．若αα⊥⊥b a ,，则b a //5．如图某几何体的三视图中，其中主视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是A ．π334 B ．π63C ．π33 D ．π216．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是A ．77B ．27C ．55D ．2107．连结双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y 的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四边形面积为2S ，则21S S 的最大值是A ．2B ．4C ．21 D ．418．ABC ∆的顶点为()0,5-A ，()0,5B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3=x 上，则顶点C 的轨迹方程是A.116922=-y xB.191622=-y xC.()3116922>=-x y xD.()4191622>=-x y x 9． 已知椭圆1C ：22113x y +=，双曲线2C ：22221(,0)x y a b a b-=>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是A B ．3 C D ．510．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11ACC A ，则MN 的最小值是A ．3 B ．1 C D ．2二、填空题：(4分⨯7=28分)11．已知一个正方形的水平放置直观图（用斜二测画法）是有一边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是______。
12．若线段AB 长为4，其端点A 、B 分别在x 轴、Y 轴上移动，则AB 的中点M 的轨迹方程是_________。
13．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为π34，则该正方体的表面积为________.14．半径为10的球面上有A 、B 、C 三点，且60,38=∠=ACB AB ，则球心O 到平面ABC 的距离为_______.15．已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，)4,1(A ，P 是双曲线右支上的动点，则||||PA PF +的最小值是_________.16．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成的角是45，则这个圆台的侧面积是___________.17．已知,12F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，A 、B 分别为该椭圆的左顶点、上顶点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围是 ________.三、解答题：（共72分）18．设命题p ：已知点)6,4(),1,3(-B A ，直线023=+-a y x 与线段AB 相交；命题q ：函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R 。
如果命题p 、命题q 有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围。
19．已知,12F F 分别是双曲线E ：22221x y a b-=(,)00a b >>的左、右焦点，P 是双曲线上一点，2F 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当1260F PF ∠=时，12PF F ∆的面积为此双曲线的方程。
20．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点，（1）证明：F D AD 1⊥；（2）求异面直线AE 与F D 1所成的角；（3）证明：平面⊥AED 平面11FD A 。
21．如图是一个边长为2的正三角形和半圆组成的图形，现把PAB ∆沿直线AB 折起使得与圆所在平面垂直，已知点C 是半圆的一个三等分点（靠左边一点），点E 是线段PB 上的点，（1）当点E 是PB 的中点时，在圆弧上找一点Q ，使得//EQ 平面PAC ；（2）当二面角C AE B --的正切值为27时，求BE 的长。
22．如图椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上下顶点为A 、B ，直线l ：2y =-，点P 是椭圆上异于点A 、B 的任意一点，连结AP 并延长交直线l 于点N ，连结BP 并延长交直线l 于点M ，设AP 、BP 所在直线的斜率分别为12,k k ，若椭圆的离心率为32，且过点(0,1)A，（1）求12k k的值，并求||MN最小值；（2）随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由。
高二数学期中答案一、选择题：（5分⨯10=50分）1．答案：D 。
解析：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以260a a >+>，解得3>a 或26-<<-a 。
2．答案：C 。
3．答案：A 。
4．答案：D 。
5．答案：B 。
6．答案：C 。
7．答案：C 。
易得,()221222S ab S a b ==+，所以()12222122S ab S a b =≤+。
8．答案：C 。
解析：由条件可得圆与x 轴的切点为(,)30T ，由相切的性质得||||||||826CA CB TA TB -=-=-=，因此点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支。
因为,26210a c ==，得,34a b ==，所求的双曲线方程为221916x y -=。
考虑到点C 不在直线AB 上，选答案C 。
9．答案：A。
解析：由已知得||OA =OA 的方程为(,)000y kx k x =>>，所以可设(,)00A x kx ，进一步0=得A ，所以AB的一个三分点坐标为，该点在椭圆上，所以21+=，即()2211391k k +=+，解得22k =，从而有,222222b b a a ==，解得c e a ===。
10．答案：A 。
解析：作1MM AD ⊥于点1M ，作1NN CD ⊥于点1N ，易证//11M N AC 。
设11DM DN x ==，则,111MM x NN x ==-，在直角梯形11MNN M，易得)()()22221112633MN x x x =+-=-+，当13x =时，MN的最小值为3。
二、填空题：(4分⨯7=28分) 11．答案：16或64。
12．答案：224x y +=。
13．答案：24。
易得球的半径为r =，从而得正方体的棱长为2，表面积为24。
14．解：6。
15．答案：9。
解析：取双曲线的右焦点/F ，由双曲线定义得//||||||||||249PF PA PF a PA AF +=++≥+=，当且仅当A 、P 、/F 三点共线，且点P 在线段/AF 上时取最小值9。
16．答案：π227。
解析：设上底半径为r ，则下底半径为2r ，由母线与下底面所成的角是45，得3r =，所以侧面积为()2S r r l π=+=。
17．答案：11[,1]5-。
解析：设(,)P x y ，则 221211(3,)(3,)3[,1]5PF PF x y x y x y ⋅=+⋅-=+-∈-三、解答题：（共72分）18．解：命题p 为真命题，则247≤≤-a命题q 为真命题，则不等式01612>+-a x ax 恒成立，所以有0=a 时不可能，或⎪⎩⎪⎨⎧<->041102a a ，解得2>a 。
根据题意，命题p 和q 一真一假，因此有a 的取值范围是7224a a -≤≤>或。
19．解：（1）因为双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，则点2F 220bc b b a=+（其中c 是双曲线的半焦距），所以由题意知2c a b +=。
又因为222a b c +=，解得43b a =，故所求双曲线的渐近线方程是430x y ±=。
（2）因为1260F PF ∠=，由余弦定理得||||||||cos ||222121212260PF PF PF PF F F +-⋅=，即||||||||22212124PF PF PF PF c +-⋅=。
又由双曲线的定义得||||||122PF PF a -=，平方得||||||||222121224PF PF PF PF a +-⋅=，相减得||||22212444PF PF c a b ⋅=-=。
根据三角形的面积公式得||||sin 221213604348324S PF PF b b =⋅=⋅==，得248b =。
再由上小题结论得2292716a b ==，故所求双曲线方程是2212748x y -=。
20． 解：（1）因为⊥AD 平面11C CDD ，所以F D AD 1⊥。
（2）取AB 中点G ，连接,1A G FG ，因为F 是CD 的中点，所以GF 、AD 平行且相等，可证11GFD A 是平行四边形，所以//11A G D F 。
设1A G 与AE 相交于点H ，则1AHA ∠是AE 与F D 1所成的角。
因为E 是1BB 的中点，所以190AHA ∠=，即AE 与F D 1所成的角是 90。
（3）由上可知F D AD 1⊥，1AE D F ⊥，所以1D F ⊥平面AED ，从而得平面11A FD ⊥平面AED 。
21.解：（1）取圆弧CB 的中点Q ，AB 的中点O ，易证OQ//AC ，OE//PA ，得平面EOQ //平面PAC ，所以//EQ 平面PAC 。
（2）过C 作AB 的垂线交AB 于G 点，过G 作直线AECHG ∠即为二面角的平的垂线交AE 于H 点，连CH ，则面角。
浙江省东阳中学高二上学期期中考试数学试卷含答案
数学试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（ ） A ．棱锥B ． 圆柱C ． 球D ． 圆锥2．"0">x 是"11"<-x 的（ ） A ．充分不必要条 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该四棱锥的体积是（ ）A ．333cm B ．3334cmC ．3338cm D ．33cm4. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．10 5．圆()4222=++y x 与圆()()91222=-+-y x 的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离16．下列命题中，假命题的个数为（）①对所有正数p p<；②若方程220()Rx x a a++=∈有实数解，则2a≤；③存在实数x，使得111x-+≤≤且24x>；④33≥.A.1B.2C.3D.47．已知,m n是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B．,,m n m nαα⊥⊥若则‖C．,,m n m nαα若则‖‖‖ D．,,m mαβαβ若则‖‖‖8. 设双曲线C：22221x ya b-=（0b a>>）的左、右焦点分别为1F，2F．若在双曲线的右支上存在一点P，使得213PFPF=，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A.(]2,1 B.(]2,2 C.()2,2 D.()2,19. 已知正方体1111DCBAABCD-，过顶点1A作平面α，使得直线AC和1BC与平面α所成的角都为30︒，这样的平面α可以有（）A．4个B．3个C．2个 D．1个10.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，点P在平面111A B C内运动，使得二面角P AB C--的平面角与二面角P BC A--的平面角互余，则点P的轨迹是（）A.一段圆弧B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一支非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．抛物线yx42-=的焦点坐标是，准线方程是．12. 棱长为1的正方体的内切球的半径等于，外接球的表面积为 . 13．双曲线221169x y-=的离心率为，渐近线方程为．14．从直线2:-=xyl上一点P向圆22C:240x y x y++-=引切线，则圆C的半径长A'B'C'ECBD A 为 ，切线长的最小值为 ．15. 已知命题p ：方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于1-，另一个大于1，若命题p 是假命题，则实数m 的取值范围是 ． 16．如图，在三棱锥BCD A -中，AD AC AB ,,两两互相垂直，4===AD AC AB ，点P ，Q 分别在侧面ABC ，棱AD 上运动，2=PQ ，M 为线段PQ 中点，当Q P ,运动时，点M 的轨迹把三棱锥BCD A -分成上、下两部分的体积之比等于 .17. 设直线l 与椭圆181622=+y x 相交于,A B 两点，与圆())0(1222>=+-r r y x 相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 . 三．（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. （本题满分14分）如图，在三棱柱'''C B A ABC -中，每个侧面均为正方形， D 为底边AB 的中点，E 为侧棱'CC 的中点.（1）求证：//CD 平面EB A '；（2）求直线E B '与平面C C AA ''所成角的正弦值.19. （本题满分15分）已知命题p ：“曲线182:2221=++m ym x C ()R m ∈表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线2C ：1122=--+-t m y t m x (,)R R m t ∈∈表示双曲线”．（1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围．20. （本题满分15分）如图，已知抛物线方程为x y 42=．直线l 与抛物线相交D C ,两点.（1）若直线l 的倾斜角为︒60，且过抛物线的焦点F ，O 为原点，求OCD ∆的面积； （2）若4-=⋅OD OC ，求证：直线l 必过定点，并求出定点坐标.21. （本题满分15分）在三棱台111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，二面角1A BC B --的平面角为60o ，11BB CC =.（1）求证：1A A BC ⊥；（2）求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.(第19题图)22. （本题满分15分）已知直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a +=相交于,A B 两点.（1）求k 与m 的关系式；（2）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率.数学卷参考答案一、选择题(4×10=40分)二、填空题（11-14题每题6分，15-17题每题4分，共36分）11．()1,0-，1=y ； 12．21，π3； 13．45, x y 43±=； 14．5，230；15．0≤m 或1≥m 16．ππ-64； 17．()7,1三. 解答题(74分) 18.（1）略 （2）51519.（1）24-<<-m 或4>m （2）34-≤≤-t 或4≥t 20.（1）334 （2）定点为()0,2 21. （I ）证明：设1AA ，1BB 与1CC 交于点S ，取棱BC 的中点O ，连结,AO SO .因11BB CC =，11B C BC P ，故SB SC =. ………………2分 又O 是棱BC 的中点， 故BC SO ⊥. 同理BC AO ⊥又,SO AO ⊂平面SAO ，且SO AO O =I ， 因此BC ⊥平面SAO ，又1A A ⊂平面SAO ， ………………………4分 所以1A A BC ⊥； ………………………6分 （II ）作AH SO ⊥，垂足为H .因BC ⊥平面SAO ，故AH⊥平面11BCC B ，从而ABH ∠为直线AB 与平面11BCC B 所成的角. ………………10分 不妨设2AB =,则AO =3sin 2AH AO AOM =∠=， ………………13分 所以3sin 4AH ABH AB ∠==. ……………………15分22.（I ）由2222,1y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=， ……2分则22222222(2)4()()0akm a k b a m b ∆=-+-=， ……………………4分化简整理，得2222m a k b =+； ……………………6分 （Ⅱ）因点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故QAB ∆的面积是OAB ∆的面积的两倍.所以当12k =-时，OAB ∆的面积取到最大值22a ，此时OA OB ⊥，从而原点O 到直线l的距离d =， ………………8分又d =，故22212m a k =+. ……………………10分 再由（I ），得2222212a k b a k +=+，则22221b k a=-. 又12k =-，故2222114b k a =-=，即2238b a =， ……………………13分从而22222518c b e a a ==-=，即4e =. ……………………15分。
浙江省东阳中学高二上学期开学考试数学试题
东阳中学2018高二上开学考试卷（数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线的倾斜角是60︒，则直线的斜率为 （ ） A.33 B. 23 C. 1 D. 3 2. sin15cos15︒︒的值等于 （ ） A.41 B. 21C.23D. 13. 已知集合2{|1}, {|320}A x x B x x x =<=++≤，则 A B = （ ）A ．∅B ．{|1}x x <C ．{|21}x x -≤≤-D ．{|211}x x x <--<<或 4. 设函数ln ||,1(), 1xx x f x e x -≤-⎧=⎨>-⎩，则((2))f f -的值为 （ ）A ．1eB ．2eC ．12D ．25. 已知实数,x y 满足约束条件2220220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则x y +的最大值为 （ ）A ．1B ．4C ．2D ．326. 若实数x ,y ,z 满足0.54x =，5log 3y =，sin 22z π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则 （ ）A ．x z y <<B ．y z x <<C ．z x y <<D ．z y x <<7. 已知等差数列前n 项和为n S ，且013<S ，012>S ，则此数列中绝对值最小的项为（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 8. 函数2sin ()()1xf x x x ππ=-≤≤+的图象可能是 （ ）A. B. C. D.9. 在 ∆ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，若a , b , c 成等比数列，则tan tan sin (tan tan )A CB AC ⋅⋅+的值为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 10. 已知正实数,,,a b c d 满足1, 1a b c d +=+=，则11abc d+的最小值是 （ ）A ．10B ．9C ．．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知等差数列 a n 中，a 1 10 ， S 7 28 ，则公差 d，a n．12.已知向量(2,1),(,2)a b x ==-，若//a b ，则x ；若a b ⊥，则x．13. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆。
。2017-2018学年浙江省金华市东阳中学高二(上)1月段考数学试卷
2017-2018学年浙江省金华市东阳中学高二（上）1月段考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.）1．（4分）空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或2．（4分）命题若“ｘ2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2=0，则x，y都不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为03．（4分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．4 B．2 C．D．84．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（）A．α＝，β＝﹣1 B．α＝﹣，β=1C．α=1，β＝﹣D．α＝﹣1，β＝5．（4分）曲线C：x2﹣3xy+y2=1（）A．关于x轴对称B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称D．关于y轴对称6．（4分）的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．x＞y＞0 C．x＜y D．y＜x＜07．（4分）已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（）A．l∥α，l∥βB．α⊥γ，β⊥γC．m?α，l?α，m∥β，l∥βD．l⊥α，m⊥β，l∥m8．（4分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB1，BC，CC1的中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成的角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°9．（4分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则2e12+的最小值为（）A．1 B．C．4 D．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在的平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）11．（6分）双曲线的渐近线方程为；离心率为..12．（6分）某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为，表面积为．13．（6分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p=；M 是抛物线上的动点，A（7，4），则|MA|+|MF|的最小值为．14．（6分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为，此时椭圆C的一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程为．15．（4分）二面角α﹣l﹣β的平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P的直线m与平面α，β都成25°角，这样的直线m有条．16．（4分）设双曲线Γ：x2﹣=1的左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ的左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l的方程为．17．（4分）在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC的中点，若点P在SE上移动，则△PCA 面积的最小值为．三、解答题（共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（15分）在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求证：BD⊥平面SAC；（3）求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．20．（15分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=时，求直线l 的方程．21．（15分）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D1AE．（1）证明：BD1⊥AE；（2）若CD1=2，求二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．22．（15分）已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．（1）求曲线C的方程；（2）求|AB|的最小值；（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年浙江省金华市东阳中学高二（上）1月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.）1．（4分）空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【分析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．【点评】本题考查了与同向共线的单位向量向量，属于基础题．2．（4分）命题若“ｘ2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2=0，则x，y都不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0【分析】根据四种命题的定义，先写出已知命题的否命题，比照后，可得答案．【解答】解：命题：“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是：“若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0”，即若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0，故选：D．【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义，是解答的关键．3．（4分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．4 B．2 C．D．8【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，即可求得结论．【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y ＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣4，y=2代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即，∴C的实轴长为4．故选：A．【点评】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（）A．α＝，β＝﹣1 B．α＝﹣，β=1C．α=1，β＝﹣D．α＝﹣1，β＝【分析】根据向量加法的多边形法则可得，====，从而可求α，β．【解答】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，== ==，∴α＝，β＝﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量加法的三角形法则及多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中正三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示．5．（4分）曲线C：x2﹣3xy+y2=1（）A．关于x轴对称B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称D．关于y轴对称【分析】由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，∴曲线C：x2﹣3xy+y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：B．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．（4分）的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．x＞y＞0 C．x＜y D．y＜x＜0【分析】由x＞y＞0?，?x＞y＞0或x＜y＜0，知的一个充分不必要条件是x＞y＞0．【解答】解：∵x＞y＞0?，?x＞y＞0或x＜y＜0．故选：B．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要注意不等式的合理运用．7．（4分）已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（）A．l∥α，l∥βB．α⊥γ，β⊥γC．m?α，l?α，m∥β，l∥βD．l⊥α，m⊥β，l∥m【分析】利用直线与平面平行的判断与性质，判断选项A，C，D推出正误；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误；对选项逐一判断即可．【解答】解：l∥α，l∥β可能推出α、β 相交，所以A不正确；α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β 相交，所以B不正确；m?α，l?α，m∥β，l∥β，如果m∥n推出α、β 相交，所以C不正确；只有D是正确的．故选：D．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行与垂直的性质，是基础题．8．（4分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB1，BC，CC1的中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成的角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【分析】如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．利用=即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．不妨时AB=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），G（1，0，0），A（0，2，0），E （0，1，0），C1（2，0，2），H（2，0，1），B1（0，0，2），F（0，0，1）．=（0，﹣1，1），=（1，0，1）．∴===，∴异面直线EF和GH所成的角是60°．故选：B．【点评】本题考查了直三棱柱的性质、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（4分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则2e12+的最小值为（）A．1 B．C．4 D．【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a2+m2=2c2，由此能求出2e12+的最小值．【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2，④将④代入③，得a2+m2=2c2，∴2e12+=++≥．故选：B．【点评】本题考查2e12+的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在的平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】利用平面与圆锥面的关系，即可得出结论．【解答】解：P在以B为顶点，BD1为对称轴，A1B为母线的圆锥与平面CC1D1D 的交面上，而A1B∥平面CC1D1D，知与圆锥母线平行的平面截圆锥得到的是抛物线的一部分，故选：D．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）11．（6分）双曲线的渐近线方程为y=；离心率为..【分析】根据双曲线渐近线和离心率的定义和公式进行求解即可．【解答】解：由双曲线的方程得a2=16，b2=9，则c2=a2+b2=16+9=25，则a=4，b=3，c=5，则双曲线的渐近线方程为y=±x=，离心率e==，故答案为：【点评】本题主要考查双曲线渐近线和离心率的计算，根据条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为2，表面积为2+6．【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，可又判断判断出该几何体的形状及底面，侧棱，底面棱长等值，进而求出底面积和高，代入棱锥体积、表面积公式即可求出答案．【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个底面是正三角形的一个三棱锥组成的几何体，如图．由三视图可知，每一个三棱锥的底面正三角形的长为2，高为则该几何体的体积V=2×××22×=2．表面积为2×（+2×+）=2+6．故答案为：2，2+6．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积，其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．13．（6分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p=2；M是抛物线上的动点，A（7，4），则|MA|+|MF|的最小值为8．【分析】直接由抛物线的焦点坐标求得p，画出图形，利用抛物线定义把|MA|+|MF|的最小值转化为A到抛物线准线的距离得答案．【解答】解：由抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），可得，则p=2；∴抛物线方程为y2=4x，如图：过A作抛物线准线的垂线AB，垂直为B，交抛物线于M，则|MA|+|MF|的最小值为|AB|=7+1=8．故答案为：2；8．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．14．（6分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为，此时椭圆C的一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程为2x+3y﹣5=0．【分析】（1）已知得：，4a=4，a2=b2+c2，解得a，b，（2）设以点A（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出结果．【解答】解：由已知得：，4a=4，a2=b2+c2解得a=，b=，c=1，∴C的方程为：；设以点A（1，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得再相减可得2（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+6（y1﹣y2）=0，k=﹣．这条弦所在的直线方程为：2x+3y﹣5=0故答案为：：，2x+3y﹣5=0【点评】本题考查了椭圆的方程，即点差法处理中点弦问题，属于中档题．15．（4分）二面角α﹣l﹣β的平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P的直线m与平面α，β都成25°角，这样的直线m有3条．【分析】利用线面角的概念及角平分线的性质，分析出所求直线二面角的平分面上，再根据线面角的大小变化确定出直线条数．【解答】解：首先给出下面两个结论①两条平行线与同一个平面所成的角相等．②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．图1．（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB=50°设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=25°，与平面α，β所成的角都是25°，此时过P且与OP1平行的直线符合要求，有一条．当OP1以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，不再会出现25°情形．图2．（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′，则∠P2OA=∠P2OB=65°，与平面α，β所成的角都是65°．当OP2以O为轴心，的平分面上转动时，OP2与两平面夹角变小，在二面角α﹣l﹣β′对称地在图中OP2两侧会出现25°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．综上所述，直线的条数共有3条．故答案为：3．【点评】本题考查满足条件的直线的条数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（4分）设双曲线Γ：x2﹣=1的左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ的左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l的方程为y=﹣8（x﹣3）．．【分析】设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及k1+k2=2，求直线l 的斜率，即可求出直线l的方程．【解答】解：设直线方程为l：y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2）联立方程组得（8﹣8k2）x2+6k2x﹣9k2﹣8=0∴x1+x2=﹣，x1x2=∴k1+k2=+==﹣，代入解得k=﹣8，∴直线l的方程是y=﹣8（x﹣3）．故答案为y=﹣8（x﹣3）．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．17．（4分）在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC的中点，若点P在SE上移动，则△PCA 面积的最小值为2．【分析】求出P到AC的距离最小值，AC，即可求出△PCA面积的最小值．【解答】解：设P到BC的距离为x，则P到AC的距离为=，∴x=时，P到AC的距离最小值为，∵底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，∴AC==4，∴△PCA面积的最小值为=2．故答案为2．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线的等价条件建立方程进行求解即可．（2）根据椭圆的方程求出命题p的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行转化求解即可．【解答】解：（1）若命题q为真命题，则有（4﹣k）（k﹣2）≥0，得2≤k≤4（2）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则7﹣a＞k﹣1＞0，得1＜k＜8﹣a，（a＜7），若p是q的必要不充分条件，则，即a＜4．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据椭圆和双曲线方程的特点求出命题的等价条件是解决本题的关键．19．（15分）在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求证：BD⊥平面SAC；（3）求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．【分析】（1）推导出AB，AD，SA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE∥平面SAD．（2）求出平面SAC法向量和，由此能证明BD⊥平面SAC．（3）求出=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），由此利用向量法能求出直线CE与平面SAC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵SA=AB=2，SB=2，∴SA⊥AB，又平面SAB⊥ABCD，AB为其交线，∴SA⊥平面ABCD，又∵AB⊥AD，∴AB，AD，SA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），B（2，0，0），C（1，，0），D（0，，0），S（0，0，2），E（1，0，1），=（0，﹣，1），平面SAD的法向量=（1，0，0），∴=0，CE?平面SAD，∴CE∥平面SAD．（2）设平面SAC法向量=（x，y，z），=（0，0，2），=（1，，0），=（﹣2，，0），，取y=1，得=（﹣），∴∥，∴BD⊥平面SAC．解：（3）=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），设直线CE与平面SAC所成角为θ，则sinθ＝=，∴cosθ＝，∴直线CE与平面SAC所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（15分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=时，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）设出P的坐标，利用动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C．（Ⅱ）直线l：y=kx+1与曲线C方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：k PA k PB=∴，化简，整理得故P点的轨迹方程是，（x≠±）（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），。
。2017-2018学年浙江省金华市东阳中学高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年浙江省金华市东阳中学高一（上）期中数学试卷一．选择题：（每小题4分，共40分）1．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，则A∩（?U B）=（）A．{4，5}B．{2，4，5，7}C．{1，6}D．{3}2．（4分）函数y=（）1﹣x单调递增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（0，1）3．（4分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y=B．y=2x+3，x∈（0，+∞）C．y=x2+x+1 D．y=3﹣x4．（4分）下列与f（x）=x是同一函数的是（）A．g（x）= B．g（x）=C．g（x）=log a x D．g（x）=a5．（4分）下列函数式中，满足f（x+1）=f（x）的是（）A．（x+1）B．x+ C．2﹣x D．2x6．（4分）三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.77．（4分）函数f（x）=log2|2x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．8．（4分）函数的单调增区间是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣2，]D．[，3）9．（4分）函数f（x）=ln（2x+）的奇偶性是（）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数也是偶函数10．（4分）已知f（x）=|lnx|，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．D．二．填空题（11-14每空3分，15-17每空4分）11．（6分）已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，N={x|log2x＜1}，则M∪N=，C R M=．12．（6分）已知2x+2﹣x=3，则4x+4﹣x=，2x﹣2﹣x=．13．（6分）已知函数，则f（﹣log23）=；若，则x=．14．（6分）已知函数y=f（x﹣1）的定义域为[﹣2，3），值域是[﹣1，2），则f （x+2）的值域是，f（log2x）的定义域是．15．（4分）已知幂函数f（x）过点，则满足f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是．16．（4分）若f（52x﹣1）=x﹣2，则f（125）=．17．（4分）已知函数，若f（2017）=2018，则f（﹣2017）的值为．三．解答题（18题14分，其余各题15分）18．（14分）求值：（1）（2）．19．（15分）A={x|a≤x＜a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞6}（1）若A∩B=?，求a的范围；（2）若A∪B=B，求a的范围．20．（15分）已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义证明．21．（15分）已知函数f（x）=（）|x+1|．（1）作出函数f（x）的图象，并写出其单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=m在（﹣∞，0）上有两个不同的实根，求m的取值范围．22．（15分）已知函数f（x）=x2+|x﹣2|．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最大值与最小值的差为h（t），求h（t）的表达式．2017-2018学年浙江省金华市东阳中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（每小题4分，共40分）1．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，则A∩（?U B）=（）A．{4，5}B．{2，4，5，7}C．{1，6}D．{3}【分析】根据补集的定义求得C U B，再根据两个集合的交集的定义求出A∩（C U B ）．【解答】解：C U B={2，4，5，7}，A∩（C U B）={3，4，5}∩{2，4，5，7}={4，5}，故选：A．【点评】笨题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出C U B是解题的关键．2．（4分）函数y=（）1﹣x单调递增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（0，1）【分析】由t=1﹣x是R上的减函数，y=（）t是R上的减函数，利用复合函数的单调性的性质能求出函数y=（）1﹣x单调递增区间．【解答】解：∵t=1﹣x是R上的减函数，y=（）t是R上的减函数，∴函数y=（）1﹣x单调递增区间为（﹣∞，+∞）．故选：A．【点评】本题考查函数单调区间的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复合函数的单调性的性质的合理运用．3．（4分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y=B．y=2x+3，x∈（0，+∞）C．y=x2+x+1 D．y=3﹣x【分析】分别求出四个选项中函数的值域得答案．【解答】解：∵x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，∴函数y=的值域为[0，+∞）；由x＞0，得y=2x+3＞3，∴函数y=2x+3，x∈（0，+∞）的值域为（3，+∞）；∵y=x2+x+1=，∴函数y=x2+x+1的值域为[）；由指数函数的性质可知，函数y=2﹣x的值域为（0，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用配方法求函数的值域，是基础题．4．（4分）下列与f（x）=x是同一函数的是（）A．g（x）= B．g（x）=C．g（x）=log a x D．g（x）=a【分析】运用只有定义域和对应法则完全相同，才是同一函数，对选项一一判断，即可得到所求结论．【解答】解：f（x）=x的定义域和值域均为R，对于A，g（x）==|x|，对应法则不一样，故不为同一函数；对于B，g（x）==x（x≠0），定义域相同，故为同一函数；对于C，g（x）=log a a x=x，定义域和对应法则相同，故为同一函数；对于D，g（x）=a=x（x＞0），定义域不同，故不为同一函数．故选：C．【点评】本题考查同一函数的判断，注意运用只有定义域和对应法则完全相同，才是同一函数，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）下列函数式中，满足f（x+1）=f（x）的是（）A．（x+1）B．x+ C．2﹣x D．2x【分析】分别对各选项函数求出函数值f（x+1）和，找出满足条件的函数．【解答】解：对于A，f（x+1）=，不满足条件．对于B，，不满足条件对于C，f（x+1）=2﹣x﹣1，满足条件对于D，f（x+1）=2x+1，不满足条件故选：C．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及利用函数解析式求函数的函数值，同时考查了计算能力，属于基础题．6．（4分）三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7【分析】由对数函数的图象和性质，可得到log0.76＜0，再指数函数的图象和性质，可得0.76＜1，60.7＞1从而得到结论．【解答】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质可知：log0.76＜0由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质可知0.76＜1，60.7＞1∴log0.76＜0.76＜60.7故选：D．【点评】本题主要考查指数函数，对数函数的图象和性质，在比较大小中往往转化为函数的单调性或图象分面来解决．7．（4分）函数f（x）=log2|2x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．【分析】需要分数讨论，利用函数的单调性和函数值域即可判断【解答】解：当x＞0时，f（x）=log2（2x﹣1），由于y=log2t为增函数，t=2x﹣1为增函数，故函数f（x）在（0，+∞）为增函数，当x＜0时，f（x）=log2（1﹣2x），由于y=log2t为增函数，t=1﹣2x为减函数，故函数f（x）在（﹣∞，0））为减函数，且t=1﹣2x为的值域为（0，1）故f（x）＜0，故选：A．【点评】本题考查了分段函数的图象和性质，根据函数的单调性和值域即可判断图象，属于基础题8．（4分）函数的单调增区间是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣2，]D．[，3）【分析】由对数式的真数大于0求出函数的定义域，再求出内层函数在定义域内的减区间得答案．【解答】解：由﹣x2+x+6＞0，得x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3，∴函数的定义域为（﹣2，3），令t=﹣x2+x+6，该函数在[，3）上为减函数，而外函数y=log0.5t为减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间是[，3）．故选：D．【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．9．（4分）函数f（x）=ln（2x+）的奇偶性是（）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数也是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，+∞），∵f（x）=ln（2x+），∴f（﹣x）+f（x）=ln（2x+）+ln（﹣2x+）=ln（2x+）（﹣2x+）=ln（4x2+1﹣4x2）=ln1=0，则f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义结合对数的运算法则是解决本题的关键．10．（4分）已知f（x）=|lnx|，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．D．【分析】先画出函数f（x）=|lnx|的图象，利用对数的性质即可得出ab的关系式，再利用函数的单调性的性质即可求出范围．【解答】解：∵f（x）=|lnx|=，画出图象：∵0＜a＜b且f（a）=f（b），∴0＜a＜1＜b，﹣lna=lnb，∴ln（ab）=0，∴ab=1．∴a+2b=a+的导数为1﹣，可得在0＜a＜1时递减，即有a+2b＞3，∴a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选：B．【点评】熟练掌握数形结合的思想方法、对数的性质和函数的单调性的性质是解题的关键．二．填空题（11-14每空3分，15-17每空4分）11．（6分）已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，N={x|log2x＜1}，则M∪N={x|0＜x＜3} ，C R M={x|x≤1或x≥3} ．【分析】先求出集合M，N，由此能求出M∪N，C R M．【解答】解：∵集合M={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，N={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，∴M∪N={x|0＜x＜3}，C R M={x|x≤1或x≥3}．故答案为：{x|0＜x＜3}，{x|x≤1或x≥3}．【点评】本题考查并集、补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、补集定义的合理运用．12．（6分）已知2x+2﹣x=3，则4x+4﹣x=7，2x﹣2﹣x=5．【分析】由2x+2﹣x=3，可得4x+4﹣x=（2x+2﹣x）2﹣2．可得=2x+2﹣x+2，开方可得，同理可得：﹣．即可得出2x﹣2﹣x．【解答】解：∵2x+2﹣x=3，则4x+4﹣x=（2x+2﹣x）2﹣2=32﹣2=7．=2x+2﹣x+2=5，可得=，同理可得：﹣=．∴2x﹣2﹣x=±5．故答案为：7，±5．【点评】本题考查了指数运算性质、充分公式运用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（6分）已知函数，则f（﹣log23）=；若，则x=1．【分析】由分段函数定义得f（﹣log23）=，由此能求出结果．由，得当x≥0时，f（x）=﹣x2，f（f（x））=f（﹣x2）==；当x＜0时，f（x）=2x，f（f（x））=f（2x）=﹣（2x）2，由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（﹣log23）===．∵，∴当x≥0时，f（x）=﹣x2，f（f（x））=f（﹣x2）==，解得x=±1，∴x=1；当x＜0时，f（x）=2x，f（f（x））=f（2x）=﹣（2x）2=﹣22x=，无解．综上，x=1．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函定义、对数性质及运算法则的合理运用．14．（6分）已知函数y=f（x﹣1）的定义域为[﹣2，3），值域是[﹣1，2），则f第11页（共18页）（x+2）的值域是[﹣1，2），f （log 2x ）的定义域是[）．【分析】由函数图象左右平移值域不变求得函数f （x+2）的值域，再由y=f （x ﹣1）的定义域为[﹣2，3），求出函数f （x ）的定义域，由log 2x 在f （x ）的定义域范围内求得f （log 2x ）的定义域．【解答】解：∵函数y=f （x ﹣1）的值域是[﹣1，2），∴f （x+2）的值域不变，是[﹣1，2）；由函数y=f （x ﹣1）的定义域为[﹣2，3），即﹣2≤x ＜3，得﹣3≤x ﹣1＜2，即函数f （x ）的定义域为[﹣3，2），由﹣3≤log 2x ＜2，得．∴f （log 2x ）的定义域为[）．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域与值域的求法，关键是掌握该类问题的解决方法，是基础题．15．（4分）已知幂函数f （x ）过点，则满足f （2﹣a ）＞f （a ﹣1）的实数a 的取值范围是[1，）．【分析】根据幂函数y 的图象求出的解析式，再利用幂函数的性质把不等式f （2﹣a ）＞f （a ﹣1）化为等价的不等式组，求出解集即可．【解答】解：设幂函数y=f （x ）=x α，α∈R ；其图象过点，∴2α=，解得α＝，∴f （x ）==；∴不等式f （2﹣a ）＞f （a ﹣1）可化为＞，即，。
2017-2018学年浙江省金华市东阳中学高二(上)10月段考数学试卷
2017-2018学年浙江省金华市东阳中学高二（上）10月段考数学试卷一、选择题：（每题4分，共40分）1．（4分）小明在上海世博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台2．（4分）长方体的三个面的面积分别是，，则长方体的对角线长是（）A．B．3 C．D．3．（4分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．（4分）下列说法中不正确的是（）A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边B．同一个平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直5．（4分）若正四棱锥S﹣ABCD的三视图中，正视图、侧视图都是腰为，底边为2的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则正四棱锥S﹣ABCD的侧面积为（）A．B．C．1 D．26．（4分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR37．（4分）设m，n是两不同的直线，α，β是两不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α8．（4分）小蚂蚁的家住在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的A处，小蚂蚁的奶奶家住在C1处，三条棱长分别是AA1=1，AB=2，AD=4，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家C1的最短矩离是（）A．5 B．7 C． D．9．（4分）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1：h2：h=（）A．B．C． D．10．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题：（每空4分，共36分）11．（4分）若直线a，b与直线c相交成等角，则a，b的位置关系是．12．（8分）空间中三个平面最少把空间分成部分；最多把空间分成部分．13．（4分）等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为．14．（8分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4，则异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为；该长方体外接球的表面积为．15．（4分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为．16．（4分）一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为厘米．17．（4分）已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于．三、解答题：（18题14分，其余各题15分，共74分）18．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．19．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）求证：AC⊥平面PAB．20．（15分）正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球的半径．21．（15分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F 分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积．22．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=2，AB=4，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成角的余弦值；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值．2017-2018学年浙江省金华市东阳中学高二（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题4分，共40分）1．（4分）小明在上海世博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台【分析】根据各选项中旋转体的定义与性质，可得A、B、D中的旋转体的截面都可能不是圆，而无论怎样用平面去截球，得到的截面都是圆面，可得C项正确【解答】解：对于A，圆柱的轴截面是矩形，与上下底不平行的平面截得的截面是椭圆，可得A不符合题意；对于B，由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意；对于C，用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，可得C符合题意．对于D，圆台轴截面是等腰梯形，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查由截面形状去判断几何体的形状．解题时应该注意：根据截面形状去想象几何体与给一个几何体得到它的截面是一个互逆的思维过程，要能根据所给截面形状仔细加以分析，可得正确答案2．（4分）长方体的三个面的面积分别是，，则长方体的对角线长是（）A．B．3 C．D．【分析】设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由长方体的三个面的面积分别是，，列出方程组求出a，b，c，由此能求出长方体的对角线长【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，∵长方体的三个面的面积分别是，，∴ab=ac=，bc=解得a=，b=．c=1．∴对角线长为：=．故选：A．【点评】本题考查长方体的对角线长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意长方体的结构特征的合理运用3．（4分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．4．（4分）下列说法中不正确的是（）A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边B．同一个平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【分析】根据空间中的垂直关系和平面的基本性质，对选项中的命题分析、判断正误即可．【解答】解：对于A，一条直线垂直于一个三角形的两边，则这条直线垂直于三角形所在的平面，所以该直线垂直于第三边，命题正确；对于B，同一个平面的两条垂线互相平行，所以这两条直线共面，命题正确；对于C，过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内，平面是过该点的垂面，命题正确；对于D，当直线垂直于已知平面时，过一条直线有无数个平面与已知平面垂直，∴命题D错误．故选：D．【点评】本题考查了空间中的垂直关系与平面基本性质的应用问题，是基础题．5．（4分）若正四棱锥S﹣ABCD的三视图中，正视图、侧视图都是腰为，底边为2的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则正四棱锥S﹣ABCD的侧面积为（）A．B．C．1 D．2【分析】取AD、BC的中点E、F，连结SE、SF、EF，取EF中点O，连结SO，则四边形ABCD是边长为4的正方体，SE=SF=，AE=1，求出SA=2，正四棱锥S，由此能求出结果．﹣ABCD的侧面积为S=4S△SAB【解答】解：∵正四棱锥S﹣ABCD的三视图中，正视图、侧视图都是腰为，底边为2的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，取AD、BC的中点E、F，连结SE、SF、EF，取EF中点O，连结SO，∴四边形ABCD是边长为4的正方体，SE=SF=，AE=1，∴SA===2，∴正四棱锥S﹣ABCD的侧面积为：S=4S△SAB=4××2×2×sin60°=4．故选：B．【点评】本题考查正四棱锥的侧面积的求法，考查正四棱锥的结构特征、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．6．（4分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．【解答】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=故选：A．【点评】本题是基础题，考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求法，考查计算能力．7．（4分）设m，n是两不同的直线，α，β是两不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定，我们要根据空间中线面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n时，m与α可能垂直，也可能不垂直，不一定垂直；若m⊂α，n⊂β，m ∥n时，α与β可能平行或相交；若m∥α，n∥β，m⊥n时，α与β不一定垂直．【解答】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：若α⊥β，α∩β=n，m⊥n时，m与α可能垂直，也可能不垂直，不一定垂直，故A不正确若m⊂α，n⊂β，m∥n时，α与β可能平行或相交；，故B不正确若m∥α，n∥β，m⊥n时，α与β不一定垂直，故C错误n⊥α，n⊥β，m⊥β时，则必有：m⊥α，故D一定成立，故选：D．【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒ a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8．（4分）小蚂蚁的家住在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的A处，小蚂蚁的奶奶家住在C1处，三条棱长分别是AA1=1，AB=2，AD=4，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家C1的最短矩离是（）A．5 B．7 C． D．【分析】根据题意知：蚂蚁所走的路线有三种情况，利用勾股定理分别求出三种情况对应的AC1的长，由此能求出小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家C1的最短矩离．【解答】解：根据题意知：蚂蚁所走的路线有三种情况（如图①②③），由勾股定理得：图①中，AC1==5，图②中，AC1==，图③中，AC1==，∴小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家C1的最短矩离是．故选：C．【点评】本题考查最短距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．9．（4分）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1：h2：h=（）A．B．C． D．【分析】做该题可以将几何体还原，利用题目的条件进行求解即可．【解答】解：如图，设正三棱锥P﹣ABE的各棱长为a，则四棱锥P﹣ABCD的各棱长也为a，DO=，h1=PO，于是，，∴．故选B．【点评】本题考查学生的空间想象能力，及对简单几何体机构的认识，是基础题．10．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【分析】由线面垂直证得两线垂直判断A；由线面平行的定义证得线面平行判断B；由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断C；由B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等判断D．【解答】解：对于A，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故A正确；对于B，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故B正确；对于C，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；对于D，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF的面积相等不正确，故D错误．∴错误命题是D．故选：D．【点评】本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键，是中档题．二、填空题：（每空4分，共36分）11．（4分）若直线a，b与直线c相交成等角，则a，b的位置关系是平行、相交或异面．【分析】直线a，b与直线c相交成等角，则a，b的位置关系可以是三种关系中的任何一种，证明此结论可利用数学模型正方体，在此模型中符合条件的线线关系都有【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，①AB与直线AA1，BB1相交且成等角，而AA1∥BB1，②AB与直线BC，BB1相交且成等角90°，而BC∩BB1=B③AB与直线AA1，BC相交且成等角90°，而AA1与BC异面故答案为平行、相交或异面【点评】本体考察了空间直线间的位置关系，需要有较强的空间想象力和构建数学模型解决问题的能力12．（8分）空间中三个平面最少把空间分成4部分；最多把空间分成8部分．【分析】当三个平面两两平行时，可以把空间分成四部分，当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分【解答】解：当三个平面两两平行时，可以把空间分成四部分，当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，故答案为：4；8【点评】本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是要想象出三个平面之间的关系，并且除去这两种情况还有几种可能13．（4分）等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为．【分析】所得几何体为两个体积相等的圆锥，求出圆锥的底面半径和高，代入体积公式即可．【解答】解：将等边三角形绕其一边所在直线旋转一周所得几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．圆锥的高h=，圆锥的底面半径为，∴几何体的体积V=2×=．故答案为：πa3．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，圆锥的体积计算，属于中档题．14．（8分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4，则异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为；该长方体外接球的表面积为34π．【分析】连接B1C，则B1C∥A1D，从而∠AB1C就是异面直线AB1与A1D所成的角，由此能求出异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值；该长方体外接球的半径r=，由此能求出该长方体外接球的表面积．【解答】解：如图连接B1C，则B1C∥A1D，∴∠AB1C就是异面直线AB1与A1D所成的角在三角形AB1C中，AC=3，B1A=B1C==5，∴cos∠AB1C==，∴异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为．该长方体外接球的半径：r===，∴该长方体外接球的表面积为S=4=34π．故答案为：，34π．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查长方体的外接球的表面积的求法，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．15．（4分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为2+．，然后利与用平面图形与直观图形面【分析】求出直观图中，DC，BC，S梯形ABCD积的比是，求出平面图形的面积．【解答】解：DC=ABsin 45°=，BC=ABsin 45°+AD=+1，S梯形ABCD=（AD+BC）DC=（2+）=+，S=S梯形ABCD=2+．故答案为：2+【点评】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．16．（4分）一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为12厘米．【分析】根据圆柱水面升高的高度，求出水的体积，就是球的体积，然后求出球的半径．【解答】解：（cm）故答案为：12【点评】本题是基础题，考查圆柱的体积与球的体积的关系，考查计算能力，是送分题．17．（4分）已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于．【分析】本题考查了立体几何中的折叠问题，及定义法求二面角和点到平面的距离，我们由已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，及菱形的性质：对角线互相垂直，我们易得∴∠AOC 即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，解△AOC后，OC边的高即为A点到平面BCD 的距离．【解答】解：已知如下图所示：设AC∩BD=O，则AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角∴∠AOC=120°，且AO=1，∴d=1×sin60°=故答案为：【点评】根据二面角的大小解三角形，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，通过解∠AOC 所在的三角形求得∠AOC．其解题过程为：作∠AOC→证∠AOC是二面角的平面角→利用∠AOC解三角形AOC，简记为“作、证、算”．三、解答题：（18题14分，其余各题15分，共74分）18．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．【点评】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．19．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）求证：AC⊥平面PAB．【分析】（1）过A作AE∥CD，可得E是BC的中点，且BE=CE=AE=CD=1．正三角形PBC中，算出中线PE=，由PA⊥平面ABCD，在Rt△PAE中，算出PA=即为正视图三角形的高长，由此结合BC=2即可求出正视图的面积；（2）由（1）的证明，结合题意可得四棱锥P﹣ABCD是以PA为高、底面ABCD 是直角梯形的四棱锥，结合题中的数据即可算出四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）分别在Rt△ABE、Rt△ADC中，算出AB=AC=，结合BC=2利用勾股定理的逆定理证出AC⊥AB，再由PA⊥平面ABCD得PA⊥AC，根据线面垂直的判定定理即可证出AC⊥平面PAB．【解答】解：（1）过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，（1 分）且BE=CE=1，AE=CD=1（2 分）又∵△PBC为正三角形，∴BC=PB=PC=2，且PE⊥BC∴PE2=PC2﹣CE2=3（3 分）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE（4 分）可得PA2=PE2﹣AE2=2，即（5 分）因此，正视图的面积为（6 分）（2）由（1）可知，四棱锥P﹣ABCD的高为PA，，（7 分）底面积为（8分）∴四棱锥P﹣ABCD的体积为（10 分）（3）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC（11 分）∵在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=2，在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=2（12 分）∴BC2=4=AB2+AC2，可得△BAC是直角三角形（13 分）∴AC⊥AB．由此结合AB∩PA=A，可得AC⊥平面PAB（14 分）【点评】本题给出四棱锥的三视图的形状，求证线面垂直并求四棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体体积公式和三视图的认识与理解等知识，属于中档题．20．（15分）正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球的半径．【分析】（1）过点P作PD⊥平面ABC，连结并延长AD交BC于E，连结PE，AE 是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心，由此求出棱锥的全面积；（2）求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此求出球的半径．【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB=2，∴S=×2××sin60°=6，△ABC又DE=×AE=×2×sin60°=，∴PE===；S△PAB=S△PBC=S△PCA=×2×=3；∴三棱锥的表面积为S=3×3+6=9+6；表面积（2）设内切球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵PD=1，∴V=S△ABC h=•6•1=2；三棱锥P﹣ABC又三棱锥P﹣ABC的体积为V=S表面积•r=×（9+6）r=（3+2）r，由等体积可得r==﹣2，∴内切球的半径为﹣2．【点评】本题考查了棱锥的全面积和体积，也考查了内切球的半径计算问题，解题时要注意空间思维能力的培养．21．（15分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F 分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积．【分析】（1）设G为PC的中点，连接FG，EG，根据中位线定理得到FG CD，AE CD，进而可得到AF∥GE，再由线面平行的判定定理可证明AF∥平面PCE，得证．（2）根据PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由线面垂直的性质定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD结合线面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同样得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得证．，根据棱锥的体（3）先由（2）可得知EG为四面体PEFC的高，进而求出S△PCF积公式可得到答案．【解答】解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG CD，AE CD∴FG AE，∴AF∥GE∵GE⊂平面PEC，∴AF∥平面PCE；（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE⊂平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD，EG=AF=，GF=CD=，S△PCF=PD•GF=2．•EG=．得四面体PEFC的体积V=S△PCF【点评】本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的判定定理．考查对立体几何中基本定理的掌握程度和灵活运用能力．22．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=2，AB=4，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成角的余弦值；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与PB所成角的余弦值．（Ⅲ）利用向量法能求出面AMC与面BMC所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=2，AB=4，M是PB的中点．∴PA⊥CD，AD⊥CD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．解：（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），B（0，4，0），=（2，2，0），=（0，4，﹣2），设AC与PB所成角为θ，则cosθ===．∴AC与PB所成角的余弦值为．（Ⅲ）M（0，2，1），=（2，2，0），=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），设平面BMC的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，2），设面AMC与面BMC所成二面角为θ，则cosθ===．∴面AMC与面BMC所成二面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所志角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
浙江省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(七)
浙江省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（七）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内含 B．相交 C．相切 D．相离3．已知不同直线a，b，l，不同平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若a⊥l，b⊥l，则a∥b B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若β⊥γ，b⊥γ，则b∥βD．若α⊥l，β⊥l，则α∥β4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．26．点P在直线l：x﹣y﹣1=0上运动，A（4，1），B（2，0），则|PA|+|PB|的最小值是（）A．B．C．3 D．47．如图，∠C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小为，则B'N与平面ABC所成角的正切值是（）A．B．C．D．8．已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE上的动点（包括端点），PQ=．设线段PQ中点的轨迹为l，则l的长度为（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．在空间直角坐标系o﹣xyz中，点A（1，2，2），则|OA|=，点A到坐标平面yoz 的距离是．10．已知直线l1：ax+y﹣6=0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=，此时点P的坐标为．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是个，它的表面积是．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D 所成角的大小是，若D1E⊥EC，则AE=．13．已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是．14．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，BC1与B1C的交点为D，则AD与平面BB1C1C 所成角的大小是．15．已知点P（1，1），圆C：x2+y2﹣4x=2，过点P的直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M（M不同于P），若|OP|=|OM|，则l的方程是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（Ⅰ）证明：M，N，C，D1四点共面；（Ⅱ）求几何体AMN﹣DD1C的体积．17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（Ⅰ）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（Ⅱ）若l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2，，∠DAB=45°．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PAD．19．如图所示，正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，将ABCD沿EF折起，使FG⊥BG．（Ⅰ）证明：EB⊥平面AEFD；（Ⅱ）求二面角G﹣BF﹣E的余弦值．20．如图，已知圆C的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆C与直线y=kx+3相交于A，B 两点．当时，．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点T，使得∠ATB始终被y轴平分？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．四、附加题（本小题满分15分）21．己知椭圆+=1的离心率为，且它的一个焦点F1的坐标为（0，1）（Ⅰ）试求椭圆的标准方程：（Ⅱ）设过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，N是椭圆上不同于A、B的动点，试求△NAB的面积的最大值．参考答案一、单项选择题1．A．2．B．3．D．4．C．5．B 6．C．7．D．8．D．二、填空题9．解：根据空间中两点间的距离公式，得：|OA|==3．∵A（1，2，2），∴点A到平面yoz的距离=|1|=1．故答案为：3，110．解：∵直线l1：ax+y﹣6=0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于点P，l1⊥l2，∴a×1+1×（a﹣2）=0，解得a=1，解方程，解得x=3，y=3，∴P（3，3）．故答案为：1，（3，3）．11．解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是底边是2，高是2的等腰三角形，其面积为=2与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为1，故是直角三角形，其面积为=1，另两个侧面是等腰三角形，底边长为，腰长为，其面积为=9∴表面积是2+1+18=21，故答案为：1，21．12．解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，则=（1，t，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴•=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，t，﹣1），=（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，∴=﹣1+t（2﹣t）+0=0，解得t=1，∴AE=1．故答案为：900，1．13．解：圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1表示圆心为C（﹣2，﹣m+4），半径R=1的圆，求得|OC|=，∴m=4时，|OC|的最小值为2故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|的最小值﹣R=2﹣1=1，故答案为：1．14．解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，∴tan∠ADE==，∴∠ADE=60°．故答案为：60°．15．解：圆C的方程可化为（x﹣2）2+y2=6，所以圆心为C（2，0），半径为，设M（x，y），则=（x﹣2，y），=（1﹣x，1﹣y），由题设知•=0，故（x﹣2）（1﹣x）+y（1﹣y）=0，即（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．M的轨迹是以点N（1.5，0.5）为圆心，为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为，所以l的斜率为﹣3，故l的方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4=0．故答案为：3x+y﹣4=0．三、解答题16．（Ⅰ）证明：∵A1D1∥AD，A1D1=AD，又BC∥AD，BC=AD，∴A1D1∥BC且A1D1=BC连接A1B，则四边形A1BCD1是平行四边形所以A1B∥D1C…在△ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3所以，所以MN∥A1B…所以MN∥D1C，所以M，N，C，D1四点共面．…（Ⅱ）解：因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，又M，N，C，D1四点共面．所以平面AMN∥平面DD1C延长CN与DA相交于点P，因为AN∥DC所以，即，解得，同理可得，所以点P与点Q重合所以D1M，DA，CN三线相交于一点，所以几何体AMN﹣DD1C是一个三棱台，…所以…17．解：（Ⅰ）由题意知，a+1≠0，即a≠﹣1．…当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时a=2，直线l的方程为3x+y=0；…当直线l不过原点时，即a≠2时，由截距相等，得，即a=0，直线l的方程为x+y+2=0，综上所述，所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0．…（Ⅱ）由题意知，a+1≠0，a﹣2≠0，且l在x轴，y轴上的截距分别为…由题意知，，即（a﹣2）2=12|a+1|，…当a+1＞0时，解得…当a+1＜0时，解得a=﹣4，综上所述或a=﹣4．…18．证明：（Ⅰ）连结AC，因为底面ABCD是平行四边形，所以F是AC中点．在△PAC中，又E是PA中点，所以EF∥PC．又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC；（Ⅱ）在△ABD中，因为，∠DAB=45°，由余弦定理得：BD==2，所以BD⊥AD．因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，又BD⊂平面ABCD，所以BD⊥面PAD．因为BD⊂面DEF，所以平面DEF⊥平面PAD．19．（Ⅰ）证明：设正方体的棱长为2，在Rt△BGF中，所以…∵EF⊥AE，EF⊥EB，∴EF⊥面AEB．∵AD∥EF，∴AD⊥面AEB，∴AD⊥AB所以在Rt△BGF中，得…在△AEB中，又AE=BE=1∴EB⊥AE又EF⊥EB∴EB⊥面AEFB…（Ⅱ）解：取EF的中点H，则GH⊥EF，由（Ⅰ）知，EB⊥面AEFB，所以面EFCB⊥面AEFB，所以GH⊥面EFCB，作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，由三垂线定理知，GO⊥BF，所以∠GOH就是所求二面角G﹣BF﹣E的平面角．…在Rt△GHO中，GH=1，，所以，所以所以二面角G﹣BF﹣E的余弦值为．…20．解：（Ⅰ）设圆心C（0，b），b＞0，则半径r=b，…则圆心C（0，b）到的距离∴…得∴b=2或b=﹣4（舍）∴圆C的方程为∴x2+（y﹣2）2=4…（Ⅱ）假设存在点T（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组得（1+k2）x2+2kx﹣3=0则…由k AT+k BT=0即…∴2kx1x2+（3﹣t）（x1+x2）=0，∴6k+2k（3﹣t）=0对k取任意实数时都成立，∴t﹣3=3即t=6故存在定点T（0，6），使得∠ATB始终被y轴平分．…四、附加题21．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则c=1，又e==，可解得a=，∴b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的标准方程为+=1；（Ⅱ）设过焦点F1的直线为l，①若l的斜率不存在，则A（0，），B（0，），即|AB|=2，显然当N在短轴顶点（0，）或（0，﹣）时，△NAB的面积最大，此时，△NAB的最大面积为×2×=．②若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程：，消去y整理得：（2k2+3）x2+4kx﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，则|AB|=|x1﹣x2|=，∵当直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，设切线l′：y=kx+m，（m≤﹣），联立方程：，消去x整理得：（2k2+3）y2+4kmy+2m2﹣6=0，由△=（4km）2﹣4（2k2+3）（2m2﹣6）=0，解得m2=2k2+3，（m＜﹣），又点N到直线l的距离d=，=d|AB|=×，∴S△2==6（1﹣）2（1﹣），∴S△令t=（﹣，0）设f（t）=6（1﹣t）2（1﹣t2），∴f′（t）=12（1﹣t）2（2t+1），∵当t∈（﹣，﹣）时，f′（t）＞0，当t∈（﹣，0）时，f′（t）＜0，∴f（t）在（﹣，﹣）上是增函数，在（﹣，0）为减函数，∴f（t）min=f（﹣）=，故k2=时，△NAB的最大面积为，显然＜，∴当l的方程为y=±x+1，△NAB的面积最大，最大值为．。
浙江省东阳中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题
东阳中学2019年上学期期中考试卷（高二数学）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|}A x y lgx ==,{|B x y ==,则A B = ( ) A ．[0,2] B ．[-2,0] C ．(0,2] D ．[-2,0)2．设m ,n R ∈,则“m n <”是“1()12m n ->”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是偶函数，定义域为R ,单调增区间为[0,)+∞,且(1)0f =,则不等式()1(1)0x f x --≤的解集为( ) A ．[2,0]- B ．[1,1]-C ．(,0][1,2]-∞D.(,1][0,1]-∞-4．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为111,,643,且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为( ) A ．3172 B ．712 C ．2572 D ．15725．ABC ∆中，()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-.其中a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，则A =( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 6．设a R ∈,若292()x x +与92()ax x+的二项展开式中的常数项相等，则a =( ) A ．4 B ．4- C ．2 D ．2-7．已知104a <<,随机变量ξ的分布列如下：当a 时， ( ) A ．()E ξ增大，()D ξ增大B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ减小，()D ξ减小8．关于x的不等式23344a x xb ≤-+≤解集为[,]a b ,则a b -= ( ) A ．1-B ．2-C ．3-D. 4-9．已知函数()|1|||f x x x a =-+-,1a >,若()4f x >的解集为()(),04,-∞+∞,则a的值( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知不等式42(,,4)xe x ax b a b R a -+≥+∈≠-对任意的实数x 恒成立，则3+4b a -的最大值为( )A ．ln 2-B ．0C ．2ln2-D ．1二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知多项式5543243210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++,则0a = ;1a = ．12．设x ,y 满足约束条件210201x y x y x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则23z x y =+的最大值为 ;满足条件的x ,y 构成的平面区域的面积是 ．13．当0x >时，1x x +的最小值为 ;当1x >-时，(0)1t x t x +>+的最小值为3,则实数t 的值为 .14．已知函数1(),0()22(1),0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩,(2)f = ;若方程3()2f x x a =+有且只有一个实根，求实数a 的取值范围 .15．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>,(0)4f =,则不等式3()1xf x e >+（e 为自然对数的底数）的解集为 .16．工人在安装一个正五边形的零件时，需要固定如图所示的的五个位置的螺栓.若按一定的顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是 .（第16题图） 17．已知函数21()(1)ln ln a f x a x x x x-=-+-恰有三个零点123,,,x x x 且1230,x x x <<< 记=ln +(1,2,3)i i i M x x a i =,则2123M M M = .三．解答题:本大题5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．已知函数2()cos(2)2sin ()3f x x x a a R π=--+∈,且()03f π=．（1）求a 的值;（2）若()f x 在区间[0,]m 上是单调函数，求m 的最大值．19． 已知平面多边形PABCD 中，P A =,224AD DC BC ===,//AD BC ,AP PD ⊥,AD DC ⊥,E 为PD 的中点,现将APD ∆沿AD 折起,使PC =（1）证明：//CE 平面ABP ;（2）求直线AE 与平面ABP 所成角的正弦值．（第19题图）20．已知函数1()(0)1kx f x lnk x -=>-． （1）求函数()f x 的定义域;（2）若函数()f x 在区间[2,)+∞上是减函数,求实数k 的取值范围．21. 已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别是1F ,2F ,C 过点3(1,)2M -,离心率12e =． （1）求椭圆C 的方程;（2）若PQ 为椭圆C 过1F 的弦，R 为2PF 的中点，O 为坐标原点，求△12RF F ,△1OFQ 面积之和的最大值．（第21题图）22．已知a R ∈,函数2()f x alnx x=+,(0,6)x ∈． （1）讨论()f x 的单调性;（2）若2x =是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点1(P x ,1()f x ,2(Q x ,212())()f x x x <处的切线互相平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为1b ,2b ,求12b b -的取值范围．。
2017-2018年浙江省金华市东阳中学高二(下)6月月考数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省金华市东阳中学高二（下）6月月考数学试卷一．选择题：（每小题4分，共40分）1．（4分）圆（x+2）2+y2＝4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离2．（4分）若＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，2），＝（1，4，4），且，，共面，则λ＝（）A．1B．﹣1C．1或2D．±13．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．（4分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l⊥m，l⊥n，m，n⊂α，则l⊥αC．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mD．若l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥β6．（4分）在函数f（x）＝（x﹣a）2lnx，a∈R，若x＝e为y＝f（x）的极小值点，则实数a 的值为（）A．e B．3e C．e或3e D．无解7．（4分）展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790B．680C．462D．3308．（4分）已知O为原点，双曲线﹣y2＝1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBP A的面积为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，过顶点A1作平面α，使得直线AC和BC1与平面α所成的角都为30°，这样的平面α可以有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（4分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A．B．（0，e）C．D．二．填空题：（11-14，每空3分，15-17，每空4分，共36分）11．（6分）已知复数z，z（1+i）＝3﹣i（i是虚数单位），则z＝，|z6|＝．12．（6分）抛物线x＝ay2（a≠0）的焦点坐标是；双曲线的顶点到渐近线的距离为．13．（6分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2＝（n≥2，n∈N），当验证n＝2时，左端的式子为，当n＝k+1时左端应在n＝k的基础上加上的项为．14．（6分）盒子中有红、蓝、黄各1个小球和3个相同的白色小球，将6个小球平均分给3位同学，若3位同学各有1个白球，共有种不同的分法；若恰有1位同学分得2个白球，共有种不同的分法．15．（4分）已知函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为．16．（4分）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为．17．（4分）如图，已知矩形ABCD，AD＝2，E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△ADE，使得点A'在平面EBCD上的投影在CD上，且直线A'D与平面EBCD所成角为30°，则线段AE的长为．三．解答题：（18题14分，其余各题15分）18．（14分）已知以A（﹣1，2）点为圆心的圆与直线相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．19．（15分）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．（1）求射手在4次射击中，恰有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）若最多射击6次，3次击中目标就停止．设随机变量X表示射手停止射击时已射击的次数，求X的分布列及均值．20．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，P A＝，P A⊥面ABCD，E、F分别为BC、P A的中点．（1）求证：BF∥平面PDE；（2）求二面角D﹣PE﹣A的正弦值；（3）求点C到平面PDE的距离．21．（15分）已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y＝x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．22．（15分）已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x（a∈R）（1）若f（x）在[1，2]内不单调，求a的取值范围；（2）若f（x）≤﹣﹣2在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年浙江省金华市东阳中学高二（下）6月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（每小题4分，共40分）1．（4分）圆（x+2）2+y2＝4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【解答】解：圆（x+2）2+y2＝4的圆心C1（﹣2，0），半径r＝2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的圆心C2（2，1），半径R＝3，两圆的圆心距d＝＝，R+r＝5，R﹣r＝1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选：B．2．（4分）若＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，2），＝（1，4，4），且，，共面，则λ＝（）A．1B．﹣1C．1或2D．±1【解答】解：向量，，共面，∴存在实数m，n使得＝，∴，解得λ＝1．故选：A．3．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：＝．故选：A．4．（4分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a2＞2a得a＞2或a＜0，则“a＞2”是“a2＞2a”成立充分不必要条件，故选：A．5．（4分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l⊥m，l⊥n，m，n⊂α，则l⊥αC．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mD．若l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥β【解答】解：若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故A错误；若l⊥m，l⊥n，m，n⊂α，则只有当m，n相交时，才有l⊥α，故B错误；若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则由直线与平面平行的性质得l∥m，故C正确；若l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C．6．（4分）在函数f（x）＝（x﹣a）2lnx，a∈R，若x＝e为y＝f（x）的极小值点，则实数a 的值为（）A．e B．3e C．e或3e D．无解【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2（x﹣a）lnx+令f′（x）＝0，则（x﹣a）（2lnx+1﹣）＝0，因为x＝e是f（x）的极值点，所以f′（e）＝0，解得a＝e或a＝3e．经检验a＝e时，函数在（0，e）上，f′（x）＜0，单调减，在（e，+∞）上，f′（x）＞0，单调增∴x＝e是函数f（x）＝（x﹣a）2lnx（a∈R）的一个极小值点所以a＝e故选：A．7．（4分）展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790B．680C．462D．330【解答】解：由题意可得：2n﹣1＝1024，解得n＝11．则展开式中各项系数的最大值是或，则＝＝462．故选：C．8．（4分）已知O为原点，双曲线﹣y2＝1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBP A的面积为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：渐近线方程是：x±ay＝0，设P（m，n）是双曲线上任一点，过P平行于OB：x+ay＝0的方程是：x+ay﹣m﹣an＝0与OA方程：x﹣ay＝0交点是A（，），|OA|＝||，P点到OA的距离是：d＝∵|OA|•d＝1，∴||•＝1，∵，∴a＝2，∴c＝，∴e＝．故选：C．9．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，过顶点A1作平面α，使得直线AC和BC1与平面α所成的角都为30°，这样的平面α可以有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：因为AD1∥BC1，所以过A在空间作平面α，使平面与直线AC和BC1所成的角都等于30°，即过点A在空间作平面α，使平面α与直线AC和AD1所成的角都等于30°．令∠CAD1的角平分线和外角平分线分别为AM和AM′，∴要使平面α过A点，且与AC、AD1所成的角都为30°，则该平面必过AM或AM‘，∵∠CAD1＝60°，∴当过AM时，平面α与AC、AD1所成角的范围为[0°，30°]，当平面α⊥平面CAD1，符合条件，故存在一个平面α．∵∠CAD1＝60°，∴当过AM’时，平面α与AC、AD1所成角的范围为[0°，60°]，绕AM‘旋转平面α，得到符合条件的平面α有2个，综上，满足条件的平面α有3个．故选：B．10．（4分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A．B．（0，e）C．D．【解答】解：根据题意，令g（x）＝xf（x），则有g′（x）＝[xf（x）]′＝，则g（x）＝（lnx）2+C，即xf（x）＝（lnx）2+C，则有f（x）＝（lnx）2+，又由，即f（e）＝+＝，解可得C＝，故f（x）＝（lnx）2+，令h（x）＝f（x）﹣x，则h′（x）＝f′（x）﹣1＝＜0，故函数h（x）＝f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，不等式，即f（x）﹣x＞﹣e＝f（e）﹣e，则有0＜x＜e，即不等式的解集为（0，e）；故选：B．二．填空题：（11-14，每空3分，15-17，每空4分，共36分）11．（6分）已知复数z，z（1+i）＝3﹣i（i是虚数单位），则z＝1﹣2i，|z6|＝125．【解答】解：由z（1+i）＝3﹣i得z＝＝＝＝1﹣2i，|z6|＝|z|6＝（）6＝（）6＝53＝125，故答案为：1﹣2i，12512．（6分）抛物线x＝ay2（a≠0）的焦点坐标是（，0）；双曲线的顶点到渐近线的距离为．【解答】解：抛物线x＝ay2（a≠0），即y2＝x，它的焦点坐标是（，0）；双曲线的一条渐近线方程为：x+3y＝0，它的顶点到渐近线的距离为：＝．故答案为：（，0）；．13．（6分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2＝（n≥2，n∈N），当验证n＝2时，左端的式子为1+2+3+4，当n＝k+1时左端应在n＝k的基础上加上的项为（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．【解答】解：1+2+3+…+n2＝（n≥2，n∈N），当验证n＝2时，左端的式子为：1+2+3+4．n＝k时，等式左端＝1+2+…+k2，当n＝k+1时，等式左端＝1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故答案为：1+2+3+4；（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．14．（6分）盒子中有红、蓝、黄各1个小球和3个相同的白色小球，将6个小球平均分给3位同学，若3位同学各有1个白球，共有6种不同的分法；若恰有1位同学分得2个白球，共有18种不同的分法．【解答】解：对于第一空，分2步分析：①、先将3个白球每人一个，分给三个同学，有1种情况，②、将红、蓝、黄三个小球全排列，分给三个同学，有A33＝6种情况，则3位同学各有1个白球，有1×6＝6种分法；对于第二空，分3步进行分析：①、先3个白球中取出2个，给3个人中的一个，有C31＝3种情况，②、将红、蓝、黄三个小球和剩下的1个白球分成2组，有C42＝3种分组方法，③、将分好的2组全排列，分给剩下的2人，有A22＝2种情况，则恰有1位同学分得2个白球，有3×3×2＝18种分法；故答案为：6，18．15．（4分）已知函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为[1，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数，∴≥0，化为．令g（x）＝，＝﹣，解g′（x）＞0，得0＜x＜1；解g′（x）＜0，得x＞1．因此当x＝1时，g（x）取得最大值，g（1）＝1．∴m≥1．故答案为[1，+∞）．16．（4分）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为．【解答】解：根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°＝，则所求的截面圆的面积是π××＝．故答案为：．17．（4分）如图，已知矩形ABCD，AD＝2，E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△ADE，使得点A'在平面EBCD上的投影在CD上，且直线A'D与平面EBCD所成角为30°，则线段AE的长为．【解答】解：过A′作A′F⊥平面ABCD，垂足为F，连结EF．则F在CD上，且∠A′DF＝30°，∵AD＝A′D＝2，∴DF＝，A′F＝1，过F作FM⊥AB，垂足为M，则AM＝DF＝，设AE＝x，则ME＝x﹣，A′E＝x，∵EF2＝MF2+ME2＝A′E2﹣A′F2，∴4+（x﹣）2＝x2﹣1，解得x＝．故答案为：．三．解答题：（18题14分，其余各题15分）18．（14分）已知以A（﹣1，2）点为圆心的圆与直线相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）设圆A的半径为r，圆与直线相切，可得r＝d＝∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20．（2）当斜率k不存在时，即直线与x轴垂直，可得x＝﹣2，符合题意；当当斜率k存在时，设出直线l的方程，y＝k（x+2），Q是MN的中点，当时，QM＝．AQ＝，即圆心到直线y＝k（x+2）的距离为1．可得：，解得k＝∴直线l的方程为x＝﹣2或y＝（x+2）．（3）∵AQ⊥BP，∴＝（）•＝．①当斜率k不存在时，即直线与x轴垂直，可得P（﹣2，﹣），，又，∴．②当斜率k存在时，设直线l的方程，由解得P（，），则，∴＝﹣5综上所得，是定值，且这个定值．19．（15分）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．（1）求射手在4次射击中，恰有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）若最多射击6次，3次击中目标就停止．设随机变量X表示射手停止射击时已射击的次数，求X的分布列及均值．【解答】解：（1）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．∴射手在4次射击中，恰有两次连续击中目标的概率为：P＝++（）×＝．（2）最多射击6次，3次击中目标就停止．设随机变量X表示射手停止射击时已射击的次数，则X的可能取值为3，4，5，6，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝．20．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，P A＝，P A⊥面ABCD，E、F分别为BC、P A的中点．（1）求证：BF∥平面PDE；（2）求二面角D﹣PE﹣A的正弦值；（3）求点C到平面PDE的距离．【解答】解：（1）如图所示，取PD中的G，连结GF、GE，∵E、F分别为BC、P A的中点．∴FG∥BE，FG＝BE．所以四边形BFGE是平行四边形，∴BF∥平面PDE．（Ⅱ）作DH⊥AE与E，作HI⊥PE于I，连结DI，可得DH⊥面P AB，∴DH⊥PE，又因为PE⊥HI，HI∩DH＝H，∴PE⊥面DIH，∴PE⊥DI ∴∠DIH即为二面角D﹣PE﹣A的平面角，在直角△DIH中，sin∠DIH＝，∴二面角D﹣PE﹣A的正弦值为．（Ⅲ）设点C到平面PDE的距离为h，∵V P﹣CDE＝V C﹣PDE，∴，，解得h＝，∴点C到平面PDE的距离为．21．（15分）已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y＝x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C：+＝1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由点A （﹣2，0），B（0，1），则a＝2，b＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消去y，整理得x2+mx+m2﹣1＝0，则△＝2﹣m2＞0，x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣2，则丨MN丨＝丨x1﹣x2丨＝，①当MN为斜边时，＝，解得：m＝0，满足△＞0，此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2＝，点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外和圆内，即在线段AB上存在点P．此时直线MN的方程诶y＝x，满足题意，②当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d＝丨m﹣1丨，∴d2+丨MN丨2＝丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）＝10，即21m2+8m﹣4＝0，解得：m＝，m＝﹣（舍），由△＞0，则m＝，过点A作直线MN：y＝x+的垂线，可得满足坐标为（﹣，﹣），垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，∴直线MN的方程为y＝x+，符合题意，综上可知：直线MN的方程为：y＝x或y＝x+．22．（15分）已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x（a∈R）（1）若f（x）在[1，2]内不单调，求a的取值范围；（2）若f（x）≤﹣﹣2在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝+2ax+（2a+1）＝＝，若f（x）在[1，2]内不单调，则f′（x）＝0在[1，2]有解，故1＜﹣＜2，解得：﹣＜a＜﹣；（2）若f（x）≤﹣﹣2在x∈（0，+∞）上恒成立，只需f（x）max≤﹣﹣2在x∈（0，+∞）上恒成立，由（1）a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，无最大值，当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，故f（x）max＝f（﹣）＝﹣ln（﹣2a）﹣+≤﹣﹣2，解得：a＜0，综上，a∈（﹣∞，0）．。
浙江省金华市东阳中学1617学年高二6月月考——数学数学
浙江省金华市东阳中学 2016—2017学年度下学期6月月考高二数学理试题一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，则 （ ） A ． B ． C ． D ．2．已知直线和，若与有公共点，则k 的取值范围为 （ ）A ．且B ．C ．D ．且3．设是两个不同的平面，m 是直线，且，则“”是“”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既充分也不必要条件 4．随机变量，则等于 （ ） A ． B ． C ． D ．5．某班级有一个7人的小组，现选出其中3人调整座位且3人座位都有变动，其余4人座位不变，则不同的调整方案有 （ ） A ．35种 B ．70种 C ．210种 D ．105种6．已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数a 的值是 （ ）A ．6B ．9C ．﹣6D ．﹣97．学校器材室有10个篮球，其中6个好球，4个球轻微漏气，甲、乙二人依次不放回各拿取一个球，则甲、乙二人至少有一个拿到好球的概率是 （ ） A ． B ． C ． D ．8．若2017220170122017(13)x a a x a x a x +=++++，则13201712232017(1)33333n n n a a a a a --+++-++的值为 （ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．19．如图，矩形ADFE ，矩形CDFG ，正方形ABCD 两两垂直，且AB =2，若线段DE 上存在点P 使得，则边CG 长度的最小值为 （ ） A ．4 B ． C ．2 D ．10．设为定义在R 上的可导函数，定义运算和如下：对任意均有；．若存在，使得对于任意，恒有成立，则称实数a 为函数的基元，则下列函数中恰有两个基元的是 （ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分） 11．若复数为纯虚数，则实数 ， ．12．某空间几何体的三视图都是等腰直角三角形如图所示（单位：cm ），则该几何体的底面积S = cm 2，体积V = cm 3．13．过点作直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，若M 为线段AB 的中点，则直线AB 的方程为 ，以AB 为直径的圆的方程为 ．14．已知的展开式中所有二项式系数和为64，则n = ；二项展开式中含x 3的系数为 ． 15．如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆3个，一堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是 ．（用数字作答）16．如图，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线C 右支上一点，且，与y 轴交于点B ，若是的角平分线，则双曲线C 的离心率是 ．17．已知函数3211()(0,03)32f x x ax bx c a b =-++≥≤≤在区间上单调递增，则223(cos )(sin ),[,]22a b ππθθθ-+-∈最大值是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分） 18．（本小题满分14分）已知圆内有一点，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为时，求弦AB 的长． 19．（本小题满分15分）某人随机地将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，全部放完．（1）求编号为奇数的小球放入到编号为奇数的盒子中的概率值；（2）当一个小球放到其中一个盒子时，若球的编号与盒子的编号相同，称这球是“放对”的，否则称这球是“放错”的．设“放对”的球的个数为的分布列及均值． 20．（本小题满分15分）在如图所示的几何体中，△ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE =AB =2，CD =1，F 为BE 的中点． （1）求证：平面DBE ⊥平面ABE ；（2）求直线BD 和平面ACDE 所成角的余弦值．21．（本小题满分15分）椭圆C 1： (a >b >0)的右焦点与抛物线C 2：y 2=2px (p >0)的焦点重合，曲线C 1与C 2相交于点．（I ）求椭圆C 1的方程；（II ）过右焦点F 2的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 1交于A 、C 两点，线段AC 的中点为G ，连接OG 并延长交椭圆C 1于B 点（O 为坐标原点），求四边形OABC 的面积S 的最小值．东阳中学6月阶段性考试高二数学参考答案 1~10 CBAAB BCDDB 11. 112.13.2210,(3)(2)16x y x y --=-+-= 14. 6，-54015. 10 16.17. 3618.解：（1）已知圆错误！未找到引用源。
求直线的倾斜角或斜率的范围-2018版高人一筹之高二数学特色训练含解析
一、选择题1．【四川省三台中学2017-2018学年高二上学期开】直线的倾斜角为（ ）A . 30°B . 45°C 。
60°D 。
90°【答案】B【解析】试题分析：由直线方程可知斜率考点：直线倾斜角和斜率2．【湖北省长阳县第一高级中学2017-2018学年高二9月月考】设点A （2，－3），B (－3，－2)，直线过点P （1，1）且与线段AB 相交,则的斜率k 的取值范围是（ )A 。
k ≥或k ≤－4B 。
－4≤k ≤C 。
－≤k ≤4D 。
以上都不对 【答案】A考点：直线的斜率运用.3．【湖北省荆州中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】直线22sin cos 055x y ππ-=的倾斜角α是（ ）A .25π-B 。
25πC 。
35π D 。
75π 【答案】B【解析】直线22sin cos 055x y ππ-=的斜率为2sin25k tan25cos 5πππ==，∴25πα=.故选：B4．【河北省廊坊市省级示范高中联合体2016-2017学年高一下学期期末】直线102n mx y +-=在y 轴上的截距是—1，且它的倾斜角是直线3330x y --=的倾斜角的2倍，则( ）A .3,2m n == B .3,2m n =-=- C .3,2m n ==- D 。
3,2m n =-=【答案】B 【解析】设直线3330x y --=的倾斜角是α ,则直线:102n l mx y +-=的倾斜角为2α ∵tan 3α=，∴直线102n mx y +-=m 的斜率222323113tan k tan tan ααα====---∴直线l 的斜截式方程为： 31y x =--， 3,m ∴=- 2n =- ，故选：B .5．【襄阳市第四中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】直线sin cos 77x y ππ+的倾斜角α是（ ）A .7π-B 。