信号与系统第三章习题答案
信号与系统 陈后金 第二版 课后习题答案(完整版)
（1） f (t) = 3sin 2t + 6 sinπ t
（2） f (t) = (a sin t) 2
（8）
f
(k)
=
cos⎜⎛ ⎝
πk 4
⎟⎞ ⎠
+
sin⎜⎛ ⎝
πk 8
⎟⎞ ⎠
−
2
cos⎜⎛ ⎝
πk 2
⎟⎞ ⎠
解：（1）因为 sin 2t 的周期为π ，而 sin πt 的周期为 2 。
显然，使方程
−∞
0
2-10 已知信号 f (t) 的波形如题 2-10 图所示，绘出下列信号的波形。
f (t)
2
1
−1 0
t 2
题 2-10 图
（3） f (5 − 3t) （7） f ′(t) 解：（3）将 f (t) 表示成如下的数学表达式
（5） f (t)u(1 − t)
由此得
⎧2
f
(t)
=
⎪ ⎨ ⎪ ⎩
f (t)u(1− t) 2
1
0.5
t
−1 0
1
（7）方法 1：几何法。由于 f (t) 的波形在 t = −1处有一个幅度为 2 的正跳变，所以 f ′(t) 在 此处会形成一个强度为 2 的冲激信号。同理，在 t = 0 处 f ′(t) 会形成一个强度为 1 的冲激信 号（方向向下，因为是负跳变），而在 0 < t < 2 的区间内有 f ′(t) = −0.5 （由 f (t) 的表达式可
第 1 页 共 27 页
《信号与系统》（陈后金等编）作业参考解答
（2）显然，该系统为非线性系统。 由于
T{f (t − t0 )}= Kf (t − t0 ) + f 2 (t − t0 ) = y(t − t0 )
北理工-信号与系统-第三版-第三章-作业参考答案
k
| u[k ] | ，有界
是非稳定系统
(e) 显然n<0时，h[n]=0，所以是因果系统；
k
| h[k ] | | u[k ] / n | ，无界
k
是非稳定系统
(f) 显然n<0时，h[n]=0，所以是因果系统；
| h[k ] |
(d)
y[n] x[n] h[n]
k
[k n ] [n k n ]
1 2
[n n1 n2 ]
3.11在LTI离散时间系统中 已知x[n]=u[n]时的零状态响应（单位阶跃响应）为s[n]，求单位抽样响应h[n]; 已知h[n],求s[n].
y[n] - 4y[n-1] =2x[n]+3x[n-1]；
令x[n]=δ[n],则有 h[n] – 4h[n-1] =2 δ[n]+3 δ[n-1]；当n<0时，h[n]=0,得h[0]=2,h[1]=11,
特征方程为 λ-4=0, 得λ=4，
h[n]=c(4)nu[n]，由h[1]=4c=11，c=11/4得 h[n]=（11/4）(4)nu[n-1]=11 (4)n-1u[n-1]，考虑h[0]=2=2 δ[n],得 h[n]=2 δ[n]+11 (4)n-1u[n-1]。（n>0的解） (b).据图有同(a)一样的结果…。 (c).据图 y[n]=3y[n-1]- 2y[n-2]+ x[n]+2x[n-1]+x[n-2] ，即差分方程为 y[n] -3y[n-1]+2y[n-2] = x[n]+2x[n-1]+x[n-2], 先求
信号与系统 梁风梅主编 电子工业出版社 ppt第三章答案
习题三3.1考虑一个连续时间LTI 系统，满足初始松弛条件，其输入)(t x 与输出)(t y 的关系由下列微分方程描述：d ()4()()d y t y t x t t+= (1)若输入(13)()()j t x t e u t -+=，求输出)(t y 。
(2)若输入()e cos(3)()t x t t u t -=，求输出)(t y 。
解：此系统的特征方程为40s += 所以4()t h y t Ae -= (1)(13)()()j tx t eu t -+=设(13)()e j t p y t Y -+= 则(13)(13)(13)(13j)e 4e e ,0j tj t j t Y Y t -+-+-+-++=>解得11336jY j -==+ 所以4(13)1()()()e e ()6t j t h p j y t y t y t A u t --+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭又因为初始松弛，所以106jA -+= 即16j A -=所以4(13)11()()()()()66t j th p j j y t y t y t e e u t --+--=+=+ (2)()cos(3)()t x t e t u t -=是(1)中(13)()()j tx t eu t -+=的实部，用2()x t 表示cos(3)()t e t u t -，用1()x t 表示(13)()j t e u t -+观察得{}21()Re ()x t x t =所以{}421111()Re ()cos(3)sin(3)()666t t t y t y t e e t e t u t ---⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭3.2若离散时间LTI 系统的输入[]x n 与输出][n y 的关系由下述差分方程给出：][]1[25.0][n x n y n y =--求系统的单位冲激响应][n h 。
解：[]0.25[1][]h n h n n δ=-+因为该系统是因果的，所以0n <时，[]0h n =2231[0]0.25[1][0]01111[1]0.25[0][1]1044111[2]0.25[1][2]0444111[3]0.25[2][3]0444 (111)[]0.25[1][]0444n nh h h h h h h h h n h n n δδδδδ-=-+=+==+=⨯+==+=⨯+==+=⨯+==-+=⨯+=综上，1[][]4n h n u n = 3.3系统S 为两个系统1S 与2S 的级联：S1：因果LTI 系统，[]0.5[1][]w n w n x n =-+； S2: 因果LTI 系统，[][1][]y n ay n bw n =-+][n x 与][n y 的关系由下列差分方程给出：[]0.125[2]0.75[1][]y n y n y n x n +---=(1) 确定a 与b 。
信号与系统王明泉第三章习题解答
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
第三章作业答案_1-7
a2 N =
1 1 T 1 T − j (4 N π / T ) t 2 x t e dt = x(t )e− j (4 Nπ / T )t dt + ∫T x(t )e− j (4 Nπ / T )t dt ( ) ∫ ∫ T T T 0 T 2 =
T 1 T T ( ∫ 2 x(t )e − j (4 Nπ / T )t dt + ∫T − x(t − )e− j (4 Nπ / T )t dt ) T 0 2 2 T 1 T ( ∫ 2 x(t )e − j (4 Nπ / T ) t dt + ∫ 2 − x(t )e− j (4 Nπ / T )t dt ) = 0 0 T 0
+∞
e − j 2ω （答案） 2 + jω
+∞ +∞ −∞
X ( jϖ ) = ∫ x(t )e − jωt dt = ∫ e −2 ( t − 2) u (t − 2)e − jωt dt = ∫ e −2 ( t − 2) e − jωt dt
−∞ 2
= ∫ e −( 2+ jω )t + 4 dt =
jkπt
，由已知条件 k ≤ 4 时，H(jw)不为零，而 k ≥ 5 ，H(jw)=0
jkπt
故响应为： y k (t ) = H ( jkπ ) a k e 当 k > 5 时，激励 x k (t ) = a k e 此有 y (t ) =
= (1 −
k 5
)a k e jkπt ， k ≤ 4
(2) 由于系统的单位冲激响应 h(t)已知，可以据此而求出其频谱。因为 h(t)是方波脉冲，直 接由典型信号的频谱得：
FT h(t ) ←→ H ( jω ) =
信号与系统第三章习题部分参考答案
（7） (1 − t) f (1 − t) ；
（2） [1 + m f (t)]cosω0 t
（4） (t + 2) f (t)； ( ) （6） e− jω0 t df t
dt
（8） f (t)∗ f (t − 3)；
t
（9） ∫τ f (τ )dτ −∞
1−t / 2
（11） ∫ f (τ )dτ −∞
2π (sin π t )2 ↔ 2π (1− ⎜w⎜)[ε(w + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
即 (sin π t )2 ↔ (1− ⎜w⎜)[ε(ω + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
（3）双边指数信号
∵ e−a⎜t⎜
↔
2a a2 + w2
(−∞
<
t
<
+∞)
∴ 2a a2 + w2
（13） f (t)∗ Sa(2t) （15） t df (1 − t)
dt
t+5
（10） ∫ f (τ )dτ −∞
（12） df (t) + f (3t ) − 2 e− jt ；
dt
（14） f (t) u(t)
（16） (t − 2) f (t)e j2(t−3)
解：（1） f 2 (t) + f (t) = f (t). f (t) + f (t) ↔ 1 [F (w}* F (w)] + F (w)
又 f (t) = 2 + cos⎜⎛ 2πt ⎟⎞ + 4sin⎜⎛ 5πt ⎟⎞
⎝3⎠
信号与系统课后答案第三章作业答案
初始为 0， C2 -4
y f (t) -4e3tu(t) 4e2tu(t)
全响应= yx (t)+y f (t) 4e2tu(t)-2e3tu(t)
3-2 描述某 LTI 系统的微分方程为
d2 y(t) dt 2
3dy(t) dt来自2y(t)
df (t) dt
6
1
1
(2e1 e1 et ) u(t)
e1(2 et ) u(t)
（2）
f
(t)
a[u(t
s) 2
u(t
2)]
h(t) b[u(t 2) u(t 3)]
f
(t)
h(t)
ab[(t
1 2
)
u(t
1 2
)
(t
1 2
)
u(t
1) 2
tu(t)
1 4
(et
e3t
)u(t)
1 2
t
e3tu(t)
[
1 4
et
(
1 2
t
1 4
)e3t
]u
(t)
3-19 一 个 LTI 系 统 ， 初 始 状 态 不 祥 。 当 激 励 为 f (t) 时 其 全 响 应 为
(2e3t sin 2t)u(t) ；当激励为 2 f (t) 时其全响应为 (e3t 2sin 2t)u(t) 。求
（1） 初始状态不变，当激励为 f (t 1) 时的全响应，并求出零输入相应、
零状态响应； （2） 初始状态是原来的两倍、激励为 2 f (t) 时系统的全响应。
奥本海姆《信号与系统》配套题库【课后习题】(周期信号的傅里叶级数表示)
第3章周期信号的傅里叶级数表示基本题3.1 有一实值连续时间周期信号x（t），其基波周期了T＝8，x（t）的非零傅里叶级数系数为a1＝a－1＝2，a3＝a－3＝4j。
试将x（t）表示成：解：3.2 有一实值离散时间周期信号x[n]，其基波周期N＝5，x[n]的非零傅里叶级数系数为，试将x[n]表示成：解：3.3 对下面连续时间周期信号求基波频率ω0和傅里叶级数系数a k，以表示成解：即非零的傅里叶级数系数为3.4 利用傅里叶级数分析式计算下连续时间周期信号（基波频率ω0＝π）的系数a k：解：因ω0＝π，故3.5 设x1（t）是一连续时间周期信号，其基波频率为叫ω1，傅里叶系数为a k，已知x2（t）＝x1（1－t）十x1（t－1），问x2（t）的基波频率ω2与ω1是什么关系？求x2（t）的傅里叶级数系数b k与系数a k之间的关系。
解：x1（1－t）和x1（t－1）的基波频率都是ω1，则它们的基波周期都是T1＝2π/π。
因为x2（t）是x1（1－t）和x1（t－1）的线性组合，所以x2（t）的基波周期，即ω2＝ω1。
又故即3.6 有三个连续时间周期信号，其傅里叶级数表示如下：利用傅里叶级数性质回答下列问题：（a）三个信号中哪些是实值的？（b）哪些又是偶函数？解：（a）与式对照可知，对于x1（t），有由共轭对称性可知，若x1（t）为实信号，则有显然故x1（t）不是实信号。
同理，对于x2（t），对于x3（t），由于故可知x2（t）和x3（t）都是实信号。
（b）由于偶函数的傅里叶级数是偶函数，由上可知，只有x2（t）的a k是偶函数，故只有x2（t）是偶信号。
3.7 假定周期信号x（t）有基波周期为T，傅里叶系数为，的傅里叶级数系数为b k。
已知，试利用傅里叶级数的性质求a k用b k和T表达的表达式。
解：当k＝0时，故3.8 现对一信号给出如下信息：（1）x（t）是实的且为奇函数；（2）x（t）是周期的，周期T＝2，傅里叶级数为a k；（3）对|k|>1，a k＝0；（4）试确定两个不同的信号都满足这些条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d (t - 1) « e- jw
\ e-2( t -1)d (t - 1) « e- jw
(8) U (t ) - U (t - 3) Q 根据傅里叶变换的线性性质可得： 1 U (t ) « p d (w ) + jw 1 U (t - 3) « e - j 3w (p d (w ) + ) jw \ U (t ) - U (t - 3) « ( 1- e - j 3w )(p d (w ) + 1 ) jw
U (t - 1) « e - jw (pd (w ) +
t 1 U ( - 1) « 2e - j 2w (pd (2w ) + ) 2 j 2w Q d (aw ) = 1 d (w ) a
\ 2e- j 2wpd (2w ) = 2pd (2w )w =0 = pd (w ) \ 2e - j 2w (pd (2w ) +
e - jtd (t - 2 ) « e - j 2(w +1)
(6) e -2( t -1)d (t - 1) Q 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) 可得： e -2( t -1)d (t - 1) = d (t - 1) d (t ) « 1 (t = 1)
d F ( jw ) - 2 F ( jw ) dw
y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t ) y ''(t ) + 5 y '(t ) + 6 y (t ) = f '(t ) + f (t )
（1） 求系统的频率响应 H（jw）和冲激响应 h（t） ； （2） 若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，求系统的零状态响应 y f (t ) 。 解： 方程 1：
f (-t ) « F (- jw ) f (t )e ± jw0t « F ( j (w m w0 ) 可得： f (t + 3) « e jw 3 F ( jw ) 1 jw 3 w f (3 + 2t ) « e 2 F ( j ) 2 2 3 1 - jw w f (3 - 2t ) « e 2 F (- j ) 2 2 (w -1) 1 - j3 (w - 1) jt e f (3 - 2t ) « e 2 F (- j ) 2 2
（2）若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，系统的零状态响应 y f (t ) = f (t ) * h(t ) ，或者
y f (t ) = F -1[Y ( jw )] = F -1[ F ( jw )g H ( jw )]
由已知得：
F ( jw ) =
1 jw + 2
Y ( jw ) = F ( jw )g H ( jw ) =
可得：
Fn =
1 An 2
\
A1 = 4
Q
F1 = F1 e F1 = 2
jj1
= 2e = 2
j0
F3 = F3 e
jj3
= 4e
j
p 2
=4j
F3 = 4
j1 = 0 j3 = p 2
A3 = 8
单边幅度谱（即 An 对应的函数波形）
单边幅度频谱 An
nw0
单边相位谱 j n
p 2
nw0
p p p 3.9 已知周期电压 u (t ) = 2 + 2 cos(t + ) - sin(2t + ) + cos(3t + ) ，试画出其单边、 4 4 3 双边振幅谱和相位谱。 p 解：由三角关系式 cos(a + ) = - sin(a ) 可将原式化为： 2
(5) (1 - t ) f (1 - t ) 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e± jwt0 F ( jw ) dn (-jt ) f (t ) « F ( jw ) dw n 可得：
n
d F ( jw ) dw d tf (t ) « j F ( jw ) dw - jtf (t ) « d F ( jw ) dw d d (1 - t ) f (1 - t ) « je - jw F ( - jw ) = - je - jw F ( - jw ) = - je- jw F '(- jw ) dw d ( -w ) (t + 1) f (t + 1) « je jw
(4) e - jtd (t - 2 ) Q 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) f (t ) e ± jw0t « F ( j (w m w0 )) 可得： d (t ) « 1
1 1 ) = pd (w ) + e - j 2w j 2w jw
d (t - 2) « e- j 2w
jw =-2
= =
1 1 g g( jw + 2) jw + 2 ( jw + 3)( jw + 1) 1 1 g g( jw + 3) jw + 2 ( jw + 3)( jw + 1) 1 1 g g( jw + 1) jw + 2 ( jw + 3)( jw + 1)
= -1
jw =-2
jw =-3
n
1 w f (3t ) « F ( j ) 3 3 1 d w - jtf (3t ) « F( j ) 3 dw 3 j d w \ tf (3t ) « F( j ) 3 dw 3
(4) e jt f (3 - 2t ) 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) f (at ) « 1 w F( j ) a a
d F ( jw ) dw
1 jw + a d 1 -j [ ]= d w jw + a ( jw + a ) 2 d 1 -j - jte - atU (t ) « [ ]= d w jw + a ( jw + a ) 2 1 \ te - atU (t ) « ( jw + a ) 2 e - atU (t ) «
由已知得：
F ( jw ) =
1 jw + 2
Y ( jw ) = F ( jw )g H ( jw ) =
1 1 + jw g jw + 2 ( jw + 3)( jw + 2) K11 K12 K2 = + + ( jw + 2) 2 jw + 2 jw + 3
采用部分分式展开法：
K11 = Y ( jw )g( jw + 2) 2 K2 =
p 4
3p 4
单边相位谱 j n
p 3
nw0
根据单边谱和双边谱的关系， Fn = F- n = 点奇对称，可得：
1 An ， 双边相位谱是单边相位谱关于原 2
双边幅度频谱 An
nw0
3 4 4 3
双边相位谱jn
p 4
3p 4
0
1
2
3
n
p 4
0
3.24 求下列信号的傅里叶变换 t (2) U ( - 1) (4) e- jtd (t - 2 ) 2 解：
p 3p p u (t ) = 2 + 2 cos(t + ) + cos(2t + ) + cos(3t + ) 4 4 3
根据振幅谱和相位谱的定义可得单边振幅谱为：
A0 = 2
j0 = 0 j1 =
A1 = 2
p 4 j2 =
A2 = 1
3p 4
A3 = 1
j3 = p 3
单边幅度频谱 An
nw0
(6) (2t - 2) f (t ) 由题（5）可得： d tf (t ) « j F ( jw ) dw 根据傅里叶变换的线性性质： d 2tf (t ) « 2 j F ( jw ) dw \ (2t - 2) f (t ) = 2tf (t ) - 2 f (t ) « 2 j
3.36 已知 LTI 系统的微分方程如下：
1 1 g jw + 2 ( jw + 3)( jw + 1) K3 K1 K2 = + + jw + 2 jw + 3 jw + 1
用部分分式展开法：
K1 = Y ( jw )g( jw + 2) K 2 = Y ( jw )g( jw + 3) K 3 = Y ( jw )g( jw + 1)
所以
3.7 一连续周期信号 f (t ) ，周期 T=8，已知其非零傅里叶复系数是：F1 = F-1 = 2 ，
F3 = F-*3 = 4 j ，试将 f (t ) 展开成三角型傅里叶级数，求 An 并画出单边幅度谱和相
位谱。 解：根据复指数形式的傅里叶级数与三角型傅里叶级数的关系
Fn = Fn e jjn
jw =-2
= -1
d [Y ( jw )g( jw + 2) 2 ] =2 j w =2 dw
jw =-3
K 3 = Y ( jw )g( jw + 3)
即
= -2
Y ( jw ) =
-1 2 -2 + + ( jw + 2) 2 jw + 2 jw + 3
根据傅里叶变换的性质：
- jtf (t ) «
3.27 已知 f (t ) « F ( jw ) ，利用傅里叶变换的性质，求下列信号的傅里叶变换。