协方差分析

934.84
21 175.25
227.64 707.20
11.38 353.60 31.07
ˆ ) l l ( Y Y YY
l XX
ˆ )2 修正均数 ( Y Y ˆ ) 2 总 ( Y Y ˆ )2 组内 ( Y Y
Estimates Dependent Variabl e: 增 重 （ kg ） 饲 料 组 A饲 料 B饲 料 C饲 料 Mean 94.959a 99.501a 82.165a Std. Error 1.840 1.203 1.964 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound 91.120 98.798 96.991 102.011 78.068 86.263
三种饲料喂养猪的初始体重(X, kg)与增重(Y, kg)
A 饲料 X1 15 13 11 12 12 16 14 17 nj 8 13.750 Y1 85 83 65 76 80 91 84 90 8 81.750 X2 17 16 18 18 21 22 19 18 8 18.625 B 饲料 Y2 97 90 100 95 103 106 99 94 8 98.000 X3 22 24 20 23 25 27 30 32 8 25.375 C 饲料 Y3 89 91 83 95 100 102 105 110 8 96.875
变异来源 总变异 组间变异 组内变异
自由度 23 2 21
SS 2555.958 1317.583 1238.375
MS 658.792 58.970
F 11.17
P <0.01
结论：三种不同饲料的催肥效果不同。
4.计算公共回归系数与修正均数
组内l XY 420.88 bC 2.4 组内l XX 175.25 Y Y j b C ( X j X) A饲料 Y 81.750 2.4(13.75 19.25) 94.95 B饲料 Y 98.000 2.4(18.625 19.25) 99.50 C饲料 Y 96.875 2.4( 25.375 19.25) 82.175
* C * B * A * j
未修正前均数：
Y A 81.750 YB 98.000 YC 96.875
Pairwise Comparisons Dependent Variable: 增 重 （kg ） Mean Difference (I-J) Std. Error -4.542* 2.095 12.793* 3.409 4.542* 2.095 17.336* 2.409 -12.793* 3.409 -17.336* 2.409 95% Confidence Interval for a Difference Lower Bound Upper Bound -8.912 -.173 5.682 19.904 .173 8.912 12.310 22.361 -19.904 -5.682 -22.361 -12.310
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: 增 重 （ kg ） Source Corrected Model Intercept 饲 料 组 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 1317.583a 204057.042 1317.583 1238.375 206613.000 2555.958 df 2 1 2 21 24 23 Mean Square 658.792 204057.042 658.792 58.970 F 11.172 3460.339 11.172 Sig . .000 .000 .000
F =１ F ＞１
如果处理因素无作用： 组间变异＝组内变异 如果处理因素有作用： 组间变异＞组内变异
F界值表 (附表3)
1 组间
2 组内
P 0.05
F F0.05,wk.baidu.com , 2
说明处理因素对实验结果有影响
若不考虑小牛的初始重量X对增重Y的影响 H0：μ1=μ2=μ3 H1：μ1、μ2、μ3不等或不全相等 α=0.05
Xj Y j
1. H0:各总体增重的修正均数相等 H1:各总体增重的修正均数不全相等 =0.05 2.计算总的、组间与组内的 lXX、lYY、lXY 与自由度 总: l XX X (X) 2 N
l YY Y (Y ) 2 N l XY XY (X)( Y ) N N 1
三、应用条件
• 1.各组协变量X与因变量Y的关系是线性的， 即各样本回归系数b本身有统计学意义。 • 2.各样本回归系数b间的差别无统计学意义， 即各回归直线平行。 • 3.各组残差呈正态分布。 • 4.各协变量均数间的差别不能太大，否则有的 修正均数在回归直线的外推延长线上。
四、计算方式
方差
( X X )( X X ) n 1
a. R Squared = .911 (Adjusted R Sq uared = .898)
3.结论 F=31.07>F0.01(2,20)=5.85 P<0.01 按=0.05水准拒绝H0，接受H1， 可以认为扣除初始体重因素的影响后， 三组小牛总体增重均数的差别有统计学意义。
补充：
组间变异 MS 组间 F 组内变异 MS 组内
协方差分析
第二组： 0.0 0.0 0.0 0.0 汇报人：00.00
引言
• 进行方差分析时，除研究因素外，应保证 其他条件的一致，这就用到协方差分析。 • 用一句话概括协方差的功能：
消除不可控因素的影响进行方差分析
一、具体名称
• 协方差分析
即，两个不同参数之间的方差就是协方差。
二、应用价值
• 协方差是关于如何调节协变量对因变量的影响效 应，从而更加有效地分析实验处理效应的一种统 计技术，也是对实验进行统计控制的一种综合方 差分析和回归分析的方法。 • 当研究者知道有些协变量会影响因变量，却不能 够控制和不感兴趣时（例如，当研究学习时间对 学习绩效的影响，学生原来的学习基础、智力学 习兴趣就是协变量），可以在实验处理前予以观 测，然后在统计时运用协方差分析来处理。 • 将协变量对因变量的影响从自变量中分离出去， 可以进一步提高实验精确度和统计检验灵敏度。
(I) 饲 料 组 A饲 料 B饲 料 C饲 料
(J) 饲 料 组 B饲 料 C饲 料 A饲 料 C饲 料 A饲 料 B饲 料
Sig . .042 .001 .042 .000 .001 .000
a
Based on estimated marginal means *. The mean difference is significant at the .05 level. a. Adjustment for multiple comparisons: Least Significant Difference (equivalent to no adjustments).
不同，将影响到小牛的增重。但是，在实际试验 中很难满足试验小牛初始重相同这一要求。
三种饲料喂养小牛的初始体重(X, kg)与增重(Y, kg)
A 饲料 X1 15 13 11 12 12 16 14 17 8 13.750 Y1 85 83 65 76 80 91 84 90 8 81.750 X2 17 16 18 18 21 22 19 18 8 18.625 B 饲料 Y2 97 90 100 95 103 106 99 94 8 98.000 X3 22 24 20 23 25 27 30 32 8 25.375 C 饲料 Y3 89 91 83 95 100 102 105 110 8 96.875
组间:
l XX l YY l XY (X j ) 2 nj (Yj ) 2 nj nj ( X ) 2 N ( Y ) 2 N (X )( Y ) N
(X j )( Yj )
G 1
组内:
l XX l XX ( 总 ) l XX ( 组间) l YY l YY ( 总 ) l YY ( 组间) l XY l XY ( 总 ) l XY ( 组间) 总 组间
MS 658.792 58.970
F 11.17
P <0.01
结论：三种不同饲料的催肥效果不同。
由于各组小牛的初始重量差别较大，如果不 考虑小牛的初始重量X对增重Y的影响，直接用方 差分析比较各组小牛的平均增重，以评价三种饲 料对小牛的催肥效果，这是不恰当的。 如何在扣除或均衡这些不可控制因素的影响 后比较多组均数间的差别，应用协方差分析。
另外，当有一个协变量时，称一元协方差分析 ；当有两个或两个以上协变量时，称多元协方差分 析。
协方差分析是将线性回归与方差分析相结合
的一种分析方法。 把对反应变量Y有影响的因素X看作协变量， 建立Y对X的线性回归，利用回归关系把X值 化为相等，再进行各组Y的修正均数间比较。 修正均数是假设各协变量取值固定在其总 均数时的反应变量Y的均数。
协方差分析
离均差平方和及积和 变异来源 lXX 总变异 组间变异 组内变异 修正均数 lXY lYY 2555.96 1317.58 1238.38 20 2
2 2 XY
估计误差 F 22
ˆ )2 ( Y Y
MS
23 720.50 1080.75 2 545.25 659.88 420.87
a. R Squared = .515 (Adjusted R Sq uared = .469)
若不考虑小牛的初始重量X对增重Y的影响 H0：μ1=μ2=μ3 H1：μ1、μ2、μ3不等或不全相等 α=0.05
变异来源 总变异 组间变异 组内变异
自由度 23 2 21
SS 2555.958 1317.583 1238.375
协方差 ( X X)( Y Y ) n 1
五、结果的解释与表述
• 借助应用实例来进一步说明。
• 备注： 协方差分析产生了大量表格，再研究汇报时 不宜一一汇报，可主要汇报描述统计表、协方差 分析表以及多重组间比较结果表。
六、应用实例
例如：
研究两种配合饲料对小牛的增重效果，希望
试验小牛的初始重量相同，因为小牛的初始重量
协变量
nj
Xj Y j
Descriptive Statistics Dependent Variabl e: 增 重 （ k g） 饲 料 组 A饲 料 B饲 料 C饲 料 Total Mean 81.7500 98.0000 96.8750 92.2083 Std. Dev iation 8.34523 5.12696 8.99901 10.54176 N 8 8 8 24
a. Covariates appearing i n the model are evaluated at the following values: 初 始 重 量 （ kg ）= 19.2500.
协变量假定均数
Tests of Betw een-Sub jects Effects Dependent Variable: 增 重 （ kg ） Source Corrected Model Intercept 饲 料 组 初 始 重 量 （ kg ） Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 2328.344a 980.448 707.219 1010.760 227.615 206613.000 2555.958 df 3 1 2 1 20 24 23 Mean Square 776.115 980.448 353.609 1010.760 11.381 F 68.196 86.150 31.071 88.813 Sig . .000 .000 .000 .000