矩阵论B卷及答案上海交通大学

上海交通大学《矩阵论》 B 卷

姓名： 班级： 学号： 一、 单项选择题(每题3分，共15分)（答案AAAAB ）

1. 设1

()k

k A f A k ∞

==∑收敛，则A 可以取为

A. 0091⎡⎤

⎢⎥--⎣⎦ B. 0091⎡⎤

⎢⎥-⎣⎦

C. 1011⎡⎤

⎢⎥-⎣⎦ D. 100.11⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

注：A 的特征值为0，-1，而1k

k x k

∞

=∑的收敛区间为[1,1)-

2. 设M 是n 阶实数矩阵，若M 的n 个盖尔圆彼此分离，则M A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散 注：由定理M 有n 个不同特征值，故可以对角化

3. 设211112121M --⎡⎤

⎢⎥=--⎢⎥

⎢⎥--⎣⎦

的，则M 不存在 A. QR 分解 B. 满秩分解 C. 奇异值分解 D. 谱分解 注：M 的秩为2故无QR 分解 4. 设，则A = A.

21402003

1-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

B.

1

1401006

1-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

C.

2

2402003

1-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

D.

20

4020061-⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

注：'

()At At

e Ae =，故()

'

A At t A Ae Ae

e ====

5. 设3阶矩阵A 满足多项式222(4)(3)A E A E O --=, 且其最小多项式m (x )满足条件(1)(3)1m m ==,则A 可以相似于

A. 200130002M ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

B. 20002002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

C. 2

001

2002M ⎡⎤-⎢

⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣

⎦ D. 200030013M -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

注：B 中矩阵的最小多项式为()2

2x - 二、填空题(每题3分，共15分) 1． 设

220A A -=，则cos 2A ＝ [ E+()2cos11A - ]。

2．已知n n

A C ⨯∈,并且()1A ρ<,则矩阵幂级数

k

k kA ∞

=∑=［

()

2

A

E A - ］。

3．设矩

阵

1111A ⎡=⎥⎦

，则A 的谱半径()A ρ＝

［

3 ］。 4. 设

(,)m n

Hom R R σ∈，则dim(Im )dim(ker )σσ⊥⊥+=n 5． 设5阶复数矩阵A 的特征多项式为22()(1)(2)f λλλλ=-+,则

2|A +E |= [ 20 ].

注：把E 写成1或I 均可；

()

A

E A -也可有其它等价形式如

()()()

22

2

,,

E

E

E A A A E A E A

E A -----

--等 三、（8分）利用初等变换求1BA -，其中

450231271A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

， 4 5 0 2 3 1 2 7 92 3 7B ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

。 答案：1

BA - = 1 0 0 0 1 04 9 0141 8 33⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

（各数值均可取近似值如13算成25）

解法一、解答中只要是使用列初等变换的思想即得4分，初等变

换的用法正确但答案较离谱给6分，有清淅的步骤但结果错误较大给7分，明显简单数值计算错误或答案完全正确给8分；

解法二、使用行初等变换求出1A -再计算1BA -，答案无明显错误给

满分，否则只给2分。

四、 （10分）设V 是由函数22,,,x x x x e xe x e e 的线性组合生成的线性

空间，定义V 的一个线性算子如()'T f f =. 求T 的Jordan 标准形及Jordan 基。 证明：1。由定义

()()

1 1 0 00 1

2 02222,,,,,,0 0 1 00 0 0 2x x x x x x x x T e xe x e e e xe x e e ⎡⎤

⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

=()

22,,,x

x x x e xe x e e

A ， （2分）

2．计算出A 的特征值为1，3； （2分） 3．用最小多项式或初等因子或零度判断Jordan 块形状（2分） 4． 给出A 的Jordan 标准形

1 1 0 00 1 1 00 0 1 00 0 0 2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

； （2分） 5．写出过渡矩阵与基变换正确公式； （1分） 6．给出Jordan 基。 （1分） 注：Jordan 基不唯一如，2221,,,2

x x x e xe x e e ；2221,,,2

x x x x x x e e xe e xe x e e +++等均算正确（不严格要求基变换为正交变换） 五、 （10分)设

1 1 20 1 11 3 4A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦， 求A 的四个相关子空间：(),(),(),()T T N A R A R A N A . 解法一、

1．求出Hermite 标准形； （2分） 2．求出每个子空间给（2分）共8分； 解法二、

直接由定义求子空间给分方式：算出任意一个给4分，其余每算出一个给2分。

注：计算过程中的错误如不影响子空间的维数最多可扣1分；如计算错误影响到空间维数但步骤正确扣两分。

六、 8分）求矩阵0.9 0.01 0.120.01 0.8 0.130.01 0.02 0.4A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

的孤立盖尔圆盘（即对矩阵作适当的相似变换后求得的盖尔圆盘是孤立的）。 解法一、