平面向量与三角形四心问题-浙江省台州市书生中学2020届高三数学专题复习讲义(无答案)

平面向量与三角形四心问题

问题探究：

已知点G 是ABC 内任意一点,点 M 是ABC 所在平面内一点.试根据下列条件判断G 点可能通过ABC 的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).

(1)若存在常数λ,满足()(0)AB

AC

MG MA AB AC λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的____. (2)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC =,则点G 可能通过ABC 的_______.

(3)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的

_______. (4)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的

________.

一．基础梳理

（一）重心：中线的交点 重心性质：（1）重心是中线的三等分点—重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1 （2）重心的向量公式：=++G ?是ABC ?的重心O ?是平面内任意一点，且

1()3

OG OA OB OC =++ （3）重心的坐标公式：???

????++=++=33321321y y y y x x x x

（4）重心面积公式：G 是ABC ?的重心ABC BCG ACG ABG S S S S ????=

==?3

1 ?重心到3条边的距离与3条边的边长成反比

（二）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直 垂心的向量表示：??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心.

（三）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），

（1）角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（2）内心的向量式：AB c =，AC b =，BC a = ，且0aIA bIB cIC ++=，?I 是

ABC △的内心

（3）设O 为△ABC 所在平面内任意一点， c b a c b a OI ++++=

，?I 是 ABC △的内心

（4）内心坐标公式：内心I ),(c

b a cy by ay

c b a cx bx ax C B A C B A ++++++++ （四）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）

（1）外心到三角形各顶点的距离相等；

（2）外心的向量式：222OA OB OC ==?O 是ABC △的外心．

?().().().0OA OB AB OB OC BC OA OC AC +=+=+=

※ 锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在

斜边的中点.

二、典例分析

例1、 证明：（1）重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1.

（2）已知G 是ABC △的重心，证明：0GA GB GC ++=

（3）已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，证明：G 是

ABC △ 的重心

变式1、O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足

)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

变式2、已知是所在平面上的一定点，若动点满足

，

，则点的轨迹一定通过的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心

例2、 P 是ABC △所在平面上一点，若

?=?=?，证明：P 是ABC △

的垂心．

变式3、 已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ?? ?=++ ???

，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的__________.

例3、已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．

若0aIA bIB cIC ++=，证明：I 是ABC △的内心．

变式4、O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

,[0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ??=++∈+∞ ? ???

，则P 的轨迹一定通过ABC ?的( )

A ．内心

B ．垂心

C ．重心

D ．外心

例4、 已知O 是平面上的一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ??+ ?=++ ???

，(0)λ∈+∞，，试说明动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心.

三、巩固练习

1．已知ABC ?三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ 满足：

λ=+，则λ的值为（ ）

A ．2

B ．2

3 C ．3 D ．6 2．若ABC ?的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=?( )

A ．21

B ．0

C ．1

D ．2

1- 3．ABC ?的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ?的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

4．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+ 2

22+=+，则O 是ABC ?的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

5．ABC ?的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，

则实数m =

6．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|

=12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 7．已知ABC ?三个顶点C B A 、、，若?+?+?=2

，则ABC ? 为（ ）

A ．等腰三角形

B ．等腰直角三角形

C ．直角三角形

D ．既非等腰又非直角三角形

8、已知P 点为ABC 内任意一点，若P 点分别满足下列，试确定点P 是ABC 的什么心. （1）(),0()0AB AC AP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ?=+>??????=+>???

为的__.， （2）D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且

DP PB DP PC P ABC EP PC EP PA

?=???=??为的_____. （3）1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ?=+?????=+??

为的_______.， （4） 00

AP BC P ABC BP AC ?=???=??为的_______. 思考：在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．