高考数学二轮复习圆锥曲线张共59页文档

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黄冈名师手拉手高三数学第二轮专题复习--圆锥曲线59页

高三数学第二轮专题复习--圆锥曲线一、知识结构 1. 方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=O 的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 •那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线•点与曲线的关系若曲线C 的方程是f(x,y)=0 ，则点F 0(x o ,y o )在曲线C 上 f(x o ,y o )=0 ; 点P o (x o ,y o )不在曲线 C 上f(x o ,y o )丰0两条曲线的交点若曲线C , C 2的方程分别为f i (x,y)=O,f 2(x,y)=O,贝Ufi(x o ,y o )=O点P o (x o ,y o )是C i , C 2的交点'f2(x o ,y o ) =O方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2. 圆圆的定义点集：{ M|| OM =r },其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1) 标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是2 2 2(x-a) +(y-b) =r圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是2 2 2 x +y =r(2) 一般方程当D 2+W-4F > O 时，一元二次方程2 2 x +y +Dx+Ey+F=OD EJD 2 E 2 - 4F 22叫做圆的一般方程，圆心为 (-，-，半径是.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为2 2 2D 2E 2 (x+ ) 2+(y+ ) 2=2 22 2当D+E-4F=O 时，方程表示一个点当D 2+E 2-4F V 0时，方程不表示任何图形点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x o ,y o )，则| MC| V r 点M 在圆C 内， | MC| =r 点M 在圆C 上， | MC| > r 点M 在圆C 内，D 2E 2 -4F 4D E (-,-)； 2 2其中 | MCI =.g-a)2(y o-b)2 .(3) 直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交有两个公共点直线与圆相切有一个公共点直线与圆相离没有公共点②直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)至煩线Ax+By+C=0的距离d= I A3 Bb_C与半径「的大小关系来判定v'A2__B2 3. 椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表4. 圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 I 的距离之比是个常数e(e > 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,O)称为焦点，定直线I 称为准线，正常数 e 称为离心率.当0 v e v 1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e > 1时，轨迹为双曲线 5. 坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 )叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴•坐标轴的平移公式设平面内任意一点 M 它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y),在新坐标系x ' Oy '中的坐标是(x ' ,y ' )•设新坐标系的原点 O 在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，贝U公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表x=x ' +h (1) - ■!y=y ' +kx 或⑵y =x-h =y-k二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简•特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误•另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：.椭圆及其标准方程•椭圆的简单几何性质•椭圆的参数方程；.双曲线及其标准方程•双曲线的简单几何性质；.抛物线及其标准方程•抛物线的简单几何性质；考试要求：.(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；.(4) 了解圆锥曲线的初步应用。

高三数二轮专题复习课件圆锥曲线

|PF2| ＝ |PF2|| ＝点 F 不在直线 l 上，
2a(2a>|F1 2a(2a<|F1 P 到 l 距离为 d，|PF|
F2|)
F2|)
＝d
高三数二轮专题复习课件圆锥曲线
专题五
第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
椭圆
标准方程
焦点在x轴上 ax22＋by22＝1
(a>b>0)
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高频考点
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专题五
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圆锥曲线的定义与标准方程已知直线l1：x－y＋5＝0，和l2：x＋4＝0，抛
物线C：y2＝16x，P是C上一动点，则P到l1与l2距离之和的最小值为________．
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疑难误区警示 1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c2＝a2＋b2，双曲线中c2＝a2－b2的区别． 2．注意焦点在x轴上与y轴上的双曲线的渐近线方程的区别． 3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．
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考向聚焦
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考向分析 (1)考查椭圆的定义、性质、标准方程、离心率的计算等． (2)考查双曲线的定义、性质、标准方程、离心率、渐近线． (3)考查抛物线的定义、性质、标准方程． (4)考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线相交弦长等．

新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第2讲圆锥曲线的方程和性质核心考点1圆锥曲

第2讲圆锥曲线的方程和性质高频考点高考预测椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程重点考查椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；抛物线定义和性质的应用，常与三角、平面向量、圆相结合，以选择填空为主.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质直线和椭圆、抛物线、双曲线的位置关系1. (2023·全国新高考Ⅰ卷)设椭圆C 1：x2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，C 2：x24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝( A )A.233B ． 2C ． 3D ． 6【解析】由椭圆C 2：x 24＋y 2＝1可得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝4－1＝3，∴椭圆C 2的离心率为e 2＝32，∵e 2＝3e 1，∴e 1＝12，∴c 1a 1＝12，∴a 21＝4c 21＝4(a 21－b 21)＝4(a 21－1)，∴a ＝233或a ＝－233(舍去)．故选A.2. (2023·全国新高考Ⅱ卷)已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x ＋m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝( C )A.23 B ．23C ．－23D ．－23【解析】记直线y ＝x ＋m 与x 轴交于M (－m,0)，椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由△F 1AB 面积是△F 2AB 的2倍，可得|F 1M |＝2|F 2M |，∴|－2－x M |＝2|2－x M |，解得x M ＝23或x M ＝32，∴－m ＝23或－m ＝32，∴m ＝－23或m ＝－32，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1y ＝x ＋m可得，4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∵直线y ＝x ＋m 与C 相交，所以Δ＞0，解得m 2＜4，∴m ＝－32不符合题意，故m ＝－23.故选C. 3. (多选)(2023·全国新高考Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( AC )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形【解析】直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，可得p2＝1，所以p＝2，所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x 2－10x ＋3＝0，x M ＋x N ＝103，所以|MN |＝x M ＋x N ＋p ＝163，所以B 不正确；M ，N 的中点的横坐标为53，中点到抛物线的准线的距离为：1＋53＝83，所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确；3x 2－10x ＋3＝0，不妨可得x M ＝3，x N ＝13，y M ＝－23，y N ＝233，|OM |＝9＋12＝21，|ON |＝19＋129＝133，|MN |＝163，所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确．故选AC.4. (2022·全国甲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→·BA 2→＝－1，则C 的方程为( B )A.x 218＋y 216＝1 B ．x 29＋y 28＝1C.x 23＋y 22＝1 D ．x 22＋y 2＝1【解析】因为离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝13，解得b 2a 2＝89，b 2＝89a 2，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，则A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 为上顶点，所以B (0，b )．所以BA 1→＝(－a ，－b )，BA 2→＝(a ，－b )，因为BA 1→·BA 2→＝－1，所以－a 2＋b 2＝－1，将b 2＝89a 2代入，解得a 2＝9，b 2＝8，故椭圆的方程为x 29＋y 28＝1.故选B.5. (2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( B )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 2【解析】由题意得，F (1,0)，则|AF |＝|BF |＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A (1,2)，所以|AB |＝3－12＋0－22＝2 2.故选B.6. (2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( A )A.32B ．22C ．12D ．13【解析】 A (－a,0)，设P (x 1，y 1)，则Q (－x 1，y 1)，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a，故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21－x 21＋a 2＝14，又x 21a 2＋y 21b 2＝1，则y 21＝b 2a 2－x 21a2，所以b 2a 2－x 21a2－x 21＋a2＝14，即b 2a 2＝14，所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.7. (2022·全国甲卷)若双曲线y 2－x 2m2＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝33. 【解析】双曲线y 2－x 2m 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±xm，即x ±my ＝0，不妨取x ＋my ＝0，圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r ＝1，依题意圆心(0,2)到渐近线x ＋my ＝0的距离d ＝|2m |1＋m2＝1，解得m ＝33或m ＝－33(舍去)． 8. (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±3x .【解析】因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .故答案为y ＝±3x .9. (2022·全国新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE的周长是_13__.【解析】 ∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，∴不妨可设椭圆C ：x 24c 2＋y 23c2＝1，a ＝2c ，∵C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，∴△AF 1F 2为等边三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，∴k DE ＝tan 30°＝33，由等腰三角形的性质可得，|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，设直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将其与椭圆C 联立化简可得，13x 2＋8cx －32c 2＝0，由韦达定理可得，x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c213，|DE |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝13＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132＋128c 213＝4813c ＝6，解得c ＝138，由椭圆的定义可得，△ADE 的周长等价于|DE |＋|DF 2|＋|EF 2|＝4a ＝8c ＝8×138＝13.10. (2023·全国新高考Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为 355.【解析】方法一：如图，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，n )，设A (x ，y )，则F 2A →＝(x －c ，y )，F 2B →＝(－c ，n )，又F 2A →＝－23F 2B →，则⎩⎪⎨⎪⎧x －c ＝23c ，y ＝－23n ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53c ，－23n ，又F 1A →⊥F 1B →，且F 1A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83c ，－23n ，F 1B →＝(c ，n )，则F 1A →·F 1B →＝83c 2－23n 2＝0，化简得n 2＝4c 2.又点A在C 上，则259c 2a 2－49n 2b 2＝1，整理可得25c 29a 2－4n 29b 2＝1，代入n 2＝4c 2，可得25c 2a 2－16c 2b 2＝9，即25e2－16e 2e 2－1＝9，解得e 2＝95或15(舍去)，故e ＝355.方法二：由F 2A →＝－23F 2B →，得|F 2A →||F 2B →|＝23，设|F 2A →|＝2t ，|F 2B →|＝3t ，由对称性可得|F 1B →|＝3t ，则|AF 1→|＝2t ＋2a ，|AB →|＝5t ，设∠F 1AF 2＝θ，则sin θ＝3t 5t ＝35，所以cos θ＝45＝2t ＋2a 5t ，解得t ＝a ，所以|AF 1→|＝2t ＋2a ＝4a ，|AF 2→|＝2a ，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝16a 2＋4a 2－4c 216a 2＝45，即5c 2＝9a 2，则e ＝355.核心考点1 圆锥曲线的定义及标准方程核心知识· 精归纳1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：|MF 1|－|MF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)． 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px (p ＞0)；y 2＝－2px (p ＞0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)．多维题组· 明技法角度1：椭圆的定义及标准方程1. (2023·浙江二模)已知F 是椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左焦点，点M 在C 上，N 在⊙P ：x2＋(y －3)2＝2x 上，则|MF |－|MN |的最大值是( A )A ．2B ．10－1 C.13－1D ．13＋1【解析】由⊙P ：x 2＋(y －3)2＝2x ，可得(x －1)2＋(y －3)2＝1，可得圆⊙P 的圆心坐标为P (1,3)，半径r ＝1，由椭圆C ：x 24＋y 23＝1，可得a ＝2，设椭圆的右焦点为F 1，根据椭圆的定义可得|MF |＝2a －|MF 1|，所以|MF |－|MN |＝2a －(|MF 1|＋|MN |)，又由|MN |min ＝|MP |－r ，如图所示，当点P ，M ，N ，F 1四点共线时，即为P ，N ′，M ′，F 1时，|MF 1|＋|MN |取得最小值，最小值为(|MF 1|＋|MN |)min ＝(|MF 1|＋|MP |－r )＝|PF 1|－r ＝3－1＝2，所以(|MF |－|MN |)max ＝2×2－2＝2.故选A.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 【解析】由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.角度2：双曲线的定义及标准方程3.设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( C )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2【解析】由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.故选C.4. (多选)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( AB )A.x 24－y 22＝1 B ．y 24－x 28＝1C.x 24－y 28＝1 D ．y 24－x 22＝1【解析】由题意，设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，则m ＝2；当m <0时，－m ＝4，则m ＝－4.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.故选AB.角度3：抛物线的定义及标准方程5. (2023·新乡三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，C 上一点M (x 0，x 0)(x 0≠0)满足|MF |＝5，则p ＝( D )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】依题意得x 20＝2px 0，因为x 0≠0，所以x 0＝2p .由|MF |＝x 0＋p2＝5，解得p ＝2.故选D.6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_x 2＝4y __.【解析】 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .方法技巧· 精提炼1.求解圆锥曲线标准方程的方法(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2和p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．2.焦点三角形的面积公式(1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中两焦点F 1，F 2；点P 为椭圆上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2·tan θ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线上的一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(3)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦(即焦点弦)，焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S △AOB ＝p 22sin α＝12|AB ||d |＝12|OF |·|y 1－y 2|.加固训练· 促提高1. (2023·未央区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M为C 上一点，若MF 1的中点为(0,1)，且△MF 1F 2的周长为8＋42，则C 的标准方程为( A )A.x 216＋y 28＝1 B ．x 28＋y 24＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 232＋y 216＝1 【解析】 ∵M 1F 的中点为B (0,1)，∴OB 是△MF 1F 2的中位线，则MF 2＝2OB ＝2，且△MF 1F 2为直角三角形，∵△MF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝8＋42，∴a ＋c ＝4＋22①，∵MF 2＝2，∴MF 1＝2a －2，∵(MF 1)2－(MF 2)2＝4c 2，∴(2a －2)2－4＝4c 2，即(a －1)2－1＝c 2②，由①②得，a ＝4，c ＝22，b 2＝16－8＝8，∴C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.故选A.2.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为_9__.【解析】因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9.。

高考数学二轮复习第7单元-圆锥曲线新人教版

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专题二十五 │ 要点热点探究
(1)x2－y42＝1 (2)2x52＋1y62 ＝1 【解析】 (1)|PF1|＝2 52＋22
＝6，|PF2|＝4，∴a＝6－2 4＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为 x2－y42＝1.
(2)设 M 的坐标为(x，y)，P 的坐标为(xP，yP)，
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专题二十五 │ 要点热点探究
► 探究点二离心率的求解离心率的求解主要涉及两个问题：一是求离心率的值，二是
求离心率的取值范围．离心率的求解有两个方法 e＝ac和 e＝|PdF| (d 为椭圆上一点 P 到准线的距离，焦点和准线要相对应)．
例 2 点 M 是椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上的点，以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F，圆 M 与 y 轴相交于 P，Q 两点，若△PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．
xP＝x，由已知得yP＝54y，
∵P 在圆上，∴x2＋54y2＝25，
即 C 的方程为2x52＋1y62 ＝1.
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专题二十五 │ 要点热点探究
【点评】 (1)本题已知曲线类型为双曲线，故只需要明确焦点所在轴，并求出 a，b，c 即可．题干中所给信息与到焦点的距离有关系，故可以用定义 2a＝||PF1|－|PF2||求解．
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第七单元 │ 近年高考纵览
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专题二十五 │ 圆锥曲线的几何性质
专题二十五圆锥曲线的几何
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专题二十五 │ 主干知识整合
主干知Байду номын сангаас整合
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专题二十五 │ 主干知识整合
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专题二十五 │ 主干知识整合
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高考数学(文)二轮复习(10)圆锥曲线

7答案及解析：
答案：C
解析：由的周长为，可知 .
解得，则 .
设点，由直线AM与AN的斜率之积为，可得 .即 .①
又，所以，②
由①②解得： .
所以椭圆C的方程为 .故选C.
8答案及解析：
答案：B
解析：
假设点在第一象限,点在第四象限,
则 ,
∴ ,
∴ ,
故选C.
9答案及解析：
答案：B
解析：双曲线的右顶点为 ,抛物线的焦点为 ,,双曲线的渐近线方程为 ,可设 ,,则有 ,由，得，即，整理得，由题意可得，即有，即，则，由，可得，故选B。
A.Байду номын сангаас
B.
C.
D.
9、已知双曲线的右顶点为 ,抛物线的焦点为 ,若在的渐近线上存在点使得 ,则的离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
10、设为抛物线的焦点, 为该抛物线上三点,若 ,则 ( )
A.3 B.4 C.6 D.9
11、已知为椭圆的左、右焦点，则在该椭圆上能够满足的点P共有个.
10答案及解析：
答案：C
解析：
11答案及解析：
答案：4
解析：
12答案及解析：
答案：4
解析：∵使得的直线恰有3条，∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直，此时点的横坐标为，代入双曲线方程，可得，故 .∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过双曲线的焦点一定有两条斜率不为0的直线使得交点之间的距离等于4.综上可知，时，有3条直线满足题意.∴ .
12、过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若使得的直线恰有3条，则 ____________.

(2021年整理)高三数学第二轮专题复习系列(8)--圆锥曲线

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高三数学第二轮专题复习系列(8）——圆锥曲线一、知识结构1。

方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C的方程是f（x,y）=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上⇔f（x0,y 0）=0;点P0（x0，y0）不在曲线C上⇔f(x0,y0）≠0两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x，y)=0，f2（x，y)=0，则f1（x0,y0）=0点P0（x0，y0)是C1，C2的交点⇔f2（x0,y0） =0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2。

福建省2020届高考数学文二轮专题总复习专题6 第3课时圆锥曲线课件精品

2.易错易漏 (1)未能准确理解和应用圆锥曲线的定义解决问题； (2)忽视几何性质在解题中的作用，导致运算量增大； (3)对含参数问题的讨论不完整，未能根据圆锥曲线的对称性、几何性质进行有效的分类； (4)对于综合问题未能进行有效的转化与化归．
3．归纳总结数形结合、函数与方程、整体与化归等是本节学习中常用的数学思想．常用的解题方法有待定系数法、整体消元法、换元法等．对于圆锥曲线中的求轨迹问题，主要有定义法、参数法、相关点法，涉及圆锥曲线的焦半径、离心率、准线、焦点的内容要灵活应用定义来处理．
)．
又因为右焦点F2 1, 0，
uuuuv 所以F2 M
(3，6 x0
y0 2
),
uuuuv F2 N
(3，2 x0
y0 2
)，
uuuuuvuuuuv 所以F1M gF2 N
9
6 。 x02 4
①y1 y2
p2，x1x2
p2 ； 4
②
AB
x1
x2
p
2p
sin 2
(通径长为2 p)；
③SVAOB
p2
2 sin
；
④ 1 1 2； | AF | | BF | p
⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
题型一圆锥曲线的定义和标准方程
【例1】(2010 泉州高三质检)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，
【解析】因为点P到直线x 1的距离等于它到
点1, 0的距离，所以由抛物线的定义知，
点P的轨迹为抛物线，其方程为y2 4x.
5.(2011g大连模拟)已知双曲线 x2 y2 1(a，b 0) a2 b2
的右焦点F，若过F 且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有1个交点，则此双曲线的离心率 e的范围是 ________．

高三数学二轮专题复习第2讲圆锥曲线

第2讲圆锥曲线[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M .2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2018·银川模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( ) A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 24＝1C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 2＝1 [答案] C[解析] 由△AF 1B 的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，解得a ＝3，则M ()－3，0，N (3，0)．设点A (x 0，y 0)(x 0≠±3)，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，① 又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 203，② 由①②解得b 2＝2.所以C 的方程为x 23＋y 22＝1. (2)(2018·龙岩质检)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．8[答案] A[解析] 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为C (1,0)，所以可得以C (1,0)为焦点的抛物线方程为y 2＝4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，(x －1)2＋y 2＝4，解得A (1,2)．抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y ＝－2，即有|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |＝1，当且仅当A ，B ，F (A 在B ，F 之间)三点共线时，可得最大值1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)(2018·石嘴山模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3，4，则双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 24－y 23＝1 D.x 29－y 216＝1 [答案] D[解析] ∵点(3,4)在以|F 1F 2|为直径的圆上，∴c ＝5，可得a 2＋b 2＝25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y ＝b ax 上， ∴b a ＝43.② ①②联立，解得a ＝3且b ＝4，可得双曲线的方程为x 29－y 216＝1. (2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x[答案] C[解析] 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.热点二圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos ∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12B.23C.32D.22[答案] D[解析] 设|F 1B |＝k ()k >0，依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .∵cos ∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ，∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ，∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ，∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形．∴c ＝22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22. (2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3c sin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，2＋73 C ．(1,2)D.(]1，2[答案] A[解析] 根据正弦定理可知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|， ||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝⎛⎭⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a，而||PF 1>a ＋c ，即6ac 3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A. 思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[答案] D[解析] 如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1，由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14. 故选D.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝⎛⎭⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x [答案] B[解析] 方法一由题意可设渐近线方程为y ＝b ax ，则直线l 的斜率k l ＝－a b，直线l 的方程为y ＝－a b ⎝⎛⎭⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0. 焦点(c,0)到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c ，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝⎛⎭⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0，即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0. 又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a ＝2，所以b a ＝ c 2－a 2a 2＝ ⎝⎛⎭⎫c a 2－1＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 方法二圆心到直线l 的距离为c 2－⎝⎛⎭⎫223c 2＝c 3， ∴⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c ＝c 3， ∴c 2－3ac ＋2a 2＝0，∴c ＝2a ，b ＝3a ，∴渐近线方程为y ＝±3x .热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)若直线AB 与椭圆的长轴垂直，|AB |＝12a ，求椭圆的离心率； (2)若直线AB 的斜率为1，|AB |＝2a 3a 2＋b 2，求椭圆的短轴与长轴的比值．解 (1)由题意可知，直线AB 的方程为x ＝－c ，∴|AB |＝2b 2a ＝12a ，即a 2＝4b 2，故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝32. (2)设F 1(－c,0)，则直线AB 的方程为y ＝x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0，Δ＝4a 4c 2－4a 2(a 2＋b 2)(c 2－b 2)＝8a 2b 4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2， ∴|AB |＝1＋1|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·8a 2b 4a 2＋b 2 ＝4ab 2a 2＋b 2＝2a 3a 2＋b 2， ∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12， ∴2b 2a ＝22，即椭圆的短轴与长轴之比为22.思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .设点A (x 0，x 20)(x 0≠0)．(1)求直线AB 的方程；(2)求|OB ||OD |的值．解 (1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′＝2x 0.所以直线AB 的方程y －x 20＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，即直线AB 的方程为2x 0x －y －x 20＝0.(2)由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20，所以AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 02，0.设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12x 0，y ＝x 2，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋14x 20＝0.Δ＝(mx 0－1)2－4×m 2×x 204＝1－2mx 0>0，即mx 0<12.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2. 所以(1－mx 0)216m 4＝x 2012m 2，解得mx 0＝－3±23，满足Δ>0. 所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝|y B ||y D |＝43±6.真题体验1．(2017·北京)若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.[答案] 2[解析]由双曲线的标准方程知，a＝1，b2＝m，c＝1＋m，故双曲线的离心率e＝ca＝1＋m＝3，∴1＋m＝3，解得m＝2.2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为________．[答案] 2[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________． [答案] 2 3[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式，可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． [答案] y ＝±22x[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .押题预测1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62 B.52C. 3 D ．2 押题依据圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． [答案] A[解析] 由F 2(c,0)到渐近线y ＝bax 的距离为d ＝bc a 2＋b 2＝b ，即|AF 2→|＝b ，则|BF 2→|＝3b .在△AF 2O 中，|OA →|＝a , |OF 2→|＝c ，tan ∠F 2OA ＝b a ，tan ∠AOB ＝4b a ＝2×b a 1－⎝⎛⎭⎫b a 2，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝⎛⎭⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．押题依据椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a 2＝4，所以b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2，所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627，化简得18t 4－t 2－17＝0，即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0，解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2，所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组专题通关1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 [答案] B [解析] 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 [答案] D[解析] 由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设点M 的坐标为(1,2)，点N 的坐标为(4,4)．又∵抛物线的焦点为F (1,0)， ∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)． ∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8. 故选D.3．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 [答案] B[解析] 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13 x .设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B.4．(2018·华大新高考联盟质检)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( )A.45B.23C.12D.25 [答案] B[解析] 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，|F 1F 2|＝2c ，根据正弦定理|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2csin π3＝2R ，∴R ＝233c ，∵R ＝4r ，∴r ＝36c ，由余弦定理，()2c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∠F 1PF 2＝π3，可得|PF 1||PF 2|＝43()a 2－c 2，则由三角形面积公式12()|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|·r ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2，可得()2a ＋2c ·36c ＝43()a 2－c 2·32， ∴e ＝c a ＝23. 5．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.[答案] 6[解析] 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.6．(2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．[答案] 3－1 2[解析] 方法一双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n m x ，则n m＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m 2＝4，∴e 1＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b 2. 如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2.∴4a 2b 23a 2＋b 2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0， ∴3－6b 2a 2－⎝⎛⎭⎫b 2a 22＝0，解得b 2a 2＝23－3. ∴椭圆M 的离心率e 2满足e 22＝1－b 2a 2＝4－2 3. ∴e 2＝3－1.方法二双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n mx ，则n m＝tan 60°＝ 3. 又c 1＝m 2＋n 2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c 1m＝2. 如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1.又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋3＝2a ，∴a ＝1＋32. ∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1. 7．(2018·衡阳模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 与圆x 2－px ＋y 2－34p 2＝0交于C ，D 两点，若|AB |＝3|CD |，则直线l 的斜率为________．[答案] ±22[解析] 由题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由x 2－px ＋y 2－34p 2＝0，配方得⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2＝p 2，所以直线l 过圆心⎝⎛⎭⎫p 2，0，可得|CD |＝2p ，若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝p 2，|AB |＝2p ，|CD |＝2p ，不符合题意， ∴直线l 的斜率存在．∴可设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，化为x 2－⎝⎛⎭⎫p ＋2p k 2x ＋p 24＝0，所以x 1＋x 2＝p ＋2p k2，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k2，由|AB |＝3|CD |，所以2p ＋2p k 2＝6p ，可得k 2＝12，所以k ＝±22. 8．(2018·百校联盟联考)已知A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，若椭圆C 上存在点P ，使得直线P A ，PB 斜率的绝对值之和为1，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．[答案] ⎣⎡⎭⎫32，1 [解析] 不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，P (x ，y )，A (x 1，y 1)，则B ()－x 1，－y 1，所以x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 21a 2＋y 21b2＝1，两式相减得x 2－x 21a 2＝－y 2－y 21b2，所以y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2，所以直线P A ，PB 斜率的绝对值之和为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y －y 1x －x 1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋y 1x ＋x 1≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－y 21x 2－x 21＝2b a ，由题意得2b a≤1，所以a 2≥4b 2＝4a 2－4c 2，即3a 2≤4c 2，所以e 2≥34，又因为0<e <1，所以32≤e <1. 9．(2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解 (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题意知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1. 因此l 的方程为x －y －1＝0.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(x 0－y 0－1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2018·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有 c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB，而∠OAB ＝π4，所以|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k 9k 2＋4 . 由题意求得直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k k ＋1. 由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128. 所以k 的值为12或1128.B 组能力提高11．(2018·长沙模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH ，AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于长半轴a ，但短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，且点F 不在定直线AM 上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.12．(2018·河南省名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．[答案] (1，2)∪(2＋2，＋∞)[解析] 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－c,0)，令x ＝－c ，可得y ＝±bc 2a 2－1＝±b 2a ，设A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，D (0，b )，可得AD →＝⎝⎛⎭⎫c ，b －b 2a ，AB →＝⎝⎛⎭⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎫－c ，－b －b 2a ，若∠DAB 为钝角，则AD →·AB →<0，即0－2b 2a ·⎝⎛⎭⎫b －b 2a <0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2，可得c 2<2a 2，即e ＝c a<2，又e >1，可得1<e <2；若∠ADB 为钝角，则DA →·DB →<0，即c 2－⎝⎛⎭⎫b 2a ＋b ⎝⎛⎭⎫b 2a －b <0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a，可得e 4－4e 2＋2>0，又e >1，可得e >2＋2；又AB →·DB →＝2b 2a⎝⎛⎭⎫b ＋b 2a >0， ∴∠DBA 不可能为钝角．综上可得，e 的取值范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．13．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________. [答案] 2 2[解析] 方法一特殊化，设MN ⊥x 轴，则|MN |＝2b 2a ＝22＝2，|PQ |2＝4，|PQ |2|MN |＝42＝2 2. 方法二由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b 2a＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则MN 的方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝22(k 2＋1)2k 2＋1. 直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k 2，则|OP |2＝x 23＋y 23＝2(1＋k 2)1＋2k 2，又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k 2，所以|PQ |2|MN |＝2 2. 综上，|PQ |2|MN |＝2 2. 14．(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EF A 的面积为b 22. (1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c 2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e .由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22. 又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12. 又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12. (2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m. 由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2. 由已知|FQ |＝3c 2，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝⎛⎭⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为34. ②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝⎛⎭⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝ (c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫3c 22＝5c 2，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c 2＝c . 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan ∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8，所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232. 同理△FPM 的面积等于75c 232. 由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ，整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2.所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.。

(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十二圆锥曲线的方程与性质课件理

卷Ⅱ3年5考，且3年均考查了双曲线的几何性质．在2018年高考中考查了椭圆的几何性质，且难度较大．预计2019 年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线的几何性质或椭圆的几何性质
卷Ⅲ3年5考，涉及双曲线的几何性质、椭圆的几何性质、直线与抛物线的位置关系，既有选择题，也有填空题，难度适中．预计 2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线或椭圆的方程及性质
PQ ，垂足为 Q .若四边形 AFPQ 的周长为 16，则点 P 的坐标
为________．解析：设 P(x，y)，其中 x>0，y>0，由抛物线的定义知|PF|
＝|PQ |＝x＋1.根据题意知|AF|＝2，|Q A|＝y，
则2y2＝x＋4x1＋2＋y＝16， ⇒yx＝＝44，或xy＝＝－9，6 (舍去)．所以点 P 的坐标为(4,4)．答案：(4,4)
答案：C
[类题通法] 1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换，求ac的值或范围． 2．双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为 0，分解因式可得． (2)用法：①可得ba或ab的值． ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． ③利用 e＝ 1＋ab22求离心率．
[系统方法] 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M. 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值．