高中数学 第一章 计数原理章末检测 新人教A版选修23

第一章计数原理

章末检测

时间：120分钟满分： 150分

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )

A．24种B．18种

C．12种D．6种

解析：因为黄瓜必须种植，在余下的3种蔬菜品种中再选出两种进行排列，共有C23A33＝18种．故选B.

答案：B

2．若A3n＝12C2n，则n等于( )

A．8 B．5或6

C．3或4 D．4

解析：A3n＝n(n－1)(n－2)，C2n＝1

2

n(n－1)，

∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)，又n∈N*，且n≥3，解得n＝8.

答案：A

3．关于(a－b)10的说法，错误的是( )

A．展开式中的二项式系数之和为1 024

B．展开式中第6项的二项式系数最大

C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

解析：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．

答案：C

4．某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是( )

A．8 B．12

C．16 D．24

解析：∵A2n＝n(n－1)＝132，∴n＝12(n＝－11舍去)．故选B.

答案：B

5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌

照号码共有( )

A．(C126)2A410个B．A226A410个

C．(C126)2104个D．A226104个

解析：2个英文字母可重复，都有C126种不同取法.4个不同数字有A410种不同排法．由分步乘法计数原理知满足条件的牌照号码有C126·C126·A410＝(C126)2·A410个．

答案：A

6．某学习小组男、女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的安排方法，则男、女生人数为( )

A．2,6 B．3,5

C．5,3 D．6,2

解析：设男生有x人，则女生有(8－x)人，

∵C2x·C18－x·A33＝90，∴x＝3.故选B.

答案：B

7．由数字0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有 ( ) A．72 B．60

C．48 D．52

解析：只考虑奇偶相间，则有2A33A33种不同的排法，其中0在首位的有A22A33种不符合题意，所以共有2A33A33－A22A33＝60种．

答案：B

8．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 ( )

A．40 B．74

C．84 D．200

解析：分三类：

第一类：前5个题目的3个，后4个题目的3个，

第二类：前5个题目的4个，后4个题目的2个，

第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得C35C34＋C45C24＋C55C14＝74.

答案：B

9．若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝( )

A．9 B．10

C．－9 D．－10

解析：x10的系数为a10，∴a10＝1，x9的系数为a9＋C110·a10，∴a9＋10＝0，∴a9＝－10.故应选D.

答案：D

10．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )

A．12 B．24

C．36 D．48

解析：第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A33种排法，故总的排法有2×2×A33＝24种．

答案：B

11．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )

A．5 B．6

C．7 D．8

解析：由题意得a＝C m2m，b＝C m2m＋1，

∴13C m2m＝7C m2m＋1，

∴

m！

m！·m！

＝

m＋！

m！m＋！

，

∴

m＋

m＋1

＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B.

答案：B

12．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )

A．72 B．120

C．144 D．168

解析：先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)

13．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．

解析：先将6名志愿者分为4组，其中有两个组各2人，共有C 26C 2

4

A 22种分法，再将4组人员分

到4个不同场馆去，共有A 44

种分法，故所有分配方案有C 2

6·C 2

4A 22

·A 4

4＝1 080种．

答案：1 080

14.? ????x y

－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答)

解析：T r ＋1＝C r

8·?

??

??x y 8－r

·? ????

－y x r

＝(－1)r

·C r 8

·x 16－3r 2·y 3r －82，

令?????

16－3r 2＝2，3r －8

2＝2，

得r ＝4.

所以展开式中x 2y 2

的系数为(－1)4

·C 4

8＝70. 答案：70

15．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．

解析：3个人各站一级台阶有A 3

7＝210种站法，3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有C 23A 2

7＝126种站法．共有210＋126＝336种站法．故填336. 答案：336

16. 已知(1＋kx 2)6

(k ∈N *

)的展开式中x 8

的系数小于120，则k ＝________. 解析：x 8

的系数为C 46k 4

＝15k 4

，由已知得，15k 4

<120，∴k 4

<8，又k ∈N *

，∴k ＝1. 答案：1

三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(12分)用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？

解析：解法一 五位数不能被5整除，则末位只能从1、2、3、4、6五个数字中选1个，有A 1

5种方法；再从余下的5个数字中选4个放在其他数位，有A 4

5种方法．由分步乘法计数原理得，所求五位数有A 15A 4

5＝600个．

解法二 不含有数字5的无重复数字的五位数有A 5

5个；含有数字5的无重复数字的五位数中，末位不含5有A 1

4种方法，其余数位有A 4

5种方法，共有A 14A 4

5个．因此可组成不能被5整除的无重复数字的五位数个数为A 5

5＋A 14A 4

5＝600个．

解法三 由1～6组成的无重复数字的五位数有A 5

6个，其中能被5整除的有A 4

5个．因此，所求的五位数共有A 5

6－A 4

5＝720－120＝600个． 18．(12分)二项式? ??

??x －2x n 的展开式中：