简支梁固有频率及振型函数
梁的基础知识
l
解出响应
y( x, t )
j 1
j ( x)q j (t )
欧拉梁 铁木辛柯梁
考虑剪切变形时，截面法线与 梁轴线之间有一夹角 忽略剪切变形时，微段为虚线所 示，截面法线与梁轴线的切线重 合。
y x
kQ AG 1 y Q ( ) AG k x y Q k ( ) AG x
将方程的解写作振型函数的线性组合：
y( x, t )
j 1
j ( x)q j (t )
将之代入动力学方程可得：
( x)
l j 1
l
j ( x)q j (t )
[EI ( x) ( x)]q
j j 1
l
j (t )
f ( x, t )
将上式各项与φi(x)相乘后沿梁的全长积分：
（2）不同固有频率的振型函数关于刚度的正交性：
l
0
j ( x)[ EI ( x)i( x)]dx EI ( x) ( x)i( x)dx 0 (i j) j
0
l
正则化
l
0
EI ( x) i ( x) j ( x)dx i2 ij
(i, j 1 , 2 , )
梁的基础知识
为什么研究梁？联系与区别
离散系统（有限自由度）——三要素 （质量、弹簧、阻尼）——常微分方程 连续系统（无限自由度）——弹性体原 件（杆、梁、轴、板等）——偏微分方 程
常微分方程（个数与自由度数相同、自 变量是t）
偏微分方程（自变量有时间t、位置x）
研究梁的什么？
钢筋混凝土简支梁固有频率的数值计算
∑ （ ｃ ｗｔ 曰ｓｔｆ ｍ ） Ａ ｏ ｍ＋ ｎ ｙ（ ｍｓ ｉ ） ｏ
申 函 ， 数‘ 日 无 而 定 振 特 ， 寸 关确的型性 间 方 ，基 组， 理 的 础 推 了动力试筋， 土 固 为 ， 各 振 可得 ： 应 频 ，ｙ ，： ｃ 曰 ｙ 程在 于 合 论 基 上 导 完 钢验 凝 梁 有 （求 （型 对 的 率取 （ ）（ｏ ｓ ） 梁 整 混 实 了相关 ）告 ４ Ａｓ ｉ ∞ ｎ 频 率的计算公式 通过对 实 际简支 梁进行 证 代入式 ）
・
５ ・ ２
第３ ７卷 第 ２ ８期 ２０１１年 １０月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣ Ｉ Ｈｒ ＥＣＩ ＇ ＵＲＥ
Ｖ０ ＿ ７ Ｎ ． ８ ｌ３ ｏ ２ Ｏｃ ． ２ １ ｔ ０１
文章编 号 ：０ ９ ６ ２ （０ ）８ ０ ５ —２ １０ — ８ ５ ２ １ ２ —０ ２０ １，Fra bibliotek， ，
由于 （ 和 （ 在任何截面都相等 则式 （ ） 四阶常 系 ） ） ６为 距 无限小的 ｄ ｘ两横 向截面截取一微 段 ， ｙ ，） （ ｆ ， ｘ 数齐次线性微分方程 求 出其通解 后根据 边界条件 得 出积 分常数 设 （ ｆ ， ，） Ｍ（ ， ｔ 和 Ｑ（ ，） ） ｘ ｔ分别表示梁的 截面处在 ｔ 时刻 的挠度 、 角 、 转 弯矩和 的关系 从而可求 出固有频率 ∞。
剪力。它们必须满足 以下微分关系 ： ：
ｒ
： ）ｌ ，， （ｔＥ
：（ｔ ） ，
令 √
，由 （可 出 通 为 则 式６ 求 其 解 ： ）
｛ －） － Ｑ， ＿ （ ｐ Ａ
简支梁自由振动加速度时间历程曲线
简支梁自由振动加速度时间历程曲线一、简支梁自由振动的基本概念简支梁是一种常见的结构形式，其自由振动是指在没有外力作用下，梁体在初始位移或初速度的情况下，按照固有频率进行振动。
简支梁自由振动加速度时间历程曲线可以反映出简支梁的振动特性。
二、简支梁自由振动的计算方法1. 求解固有频率固有频率是指在没有外力作用下，结构体系按照某种方式进行自由振荡时的频率。
对于简支梁来说，其固有频率公式为：f = 1/2π * √(E*I/(m*L^3))其中，E为弹性模量，I为截面惯性矩，m为单位长度质量，L为梁长。
2. 求解振型函数振型函数描述了结构体系在某个特定频率下的运动状态。
对于简支梁来说，其一阶弯曲模态（最常见的模态）的振型函数为：y(x,t) = A*sin(ωt)sin(kx)其中，A为幅值，ω为角频率（等于2πf），k为波数（等于2π/λ），λ为波长。
3. 求解振动加速度振动加速度是指结构体系在某个时刻的加速度大小，可以通过对振型函数进行二阶导数求解。
对于简支梁来说，其一阶弯曲模态的振动加速度公式为：a(x,t) = -ω^2 A*sin(ωt)sin(kx)三、简支梁自由振动加速度时间历程曲线的绘制方法1. 确定梁长、截面形状和材料参数在绘制简支梁自由振动加速度时间历程曲线之前，需要确定梁长、截面形状和材料参数。
这些参数将直接影响到固有频率和振型函数的计算结果。
2. 计算固有频率和振型函数根据上述公式，可以计算出简支梁的固有频率和一阶弯曲模态的振型函数。
其中，固有频率可以通过改变材料参数、截面形状或梁长等方式进行调整。
3. 绘制加速度时间历程曲线将一阶弯曲模态的振型函数带入到上述公式中，即可得到任意时刻任意位置处的振动加速度大小。
将这些数据按照时间顺序绘制成曲线，即可得到简支梁自由振动加速度时间历程曲线。
四、简支梁自由振动加速度时间历程曲线的分析通过观察简支梁自由振动加速度时间历程曲线，可以得到以下结论：1. 振动加速度大小随时间呈正弦变化，其周期等于固有周期。
简支梁固有频率及振型函数
简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导一．等截面细直梁的横向振动取梁未变形是的轴线方向为X 轴（向右为正），取对称面内与x 轴垂直的方向为y 轴（向上为正）。
梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为y=y(x,t) (1)除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。
故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。
根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：22yEI M x ∂=∂(2) 其中，E 是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI 为梁的弯曲刚度，M 代表x 截面处的弯矩。
挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。
关于剪力Q 的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。
至于分布载荷集度q 的正向则规定与y 轴相同。
在这些规定下，有：M QQ q x x ∂∂==∂∂， (3)于是，对方程（2）求偏导，可得：222222(EI )(EI )y M y Q Q q xx x x x x ∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂，(4)考虑到等截面细直梁的EI 是常量，就有：3434y yEI Q EI q x x ∂∂==∂∂，(5)方程（5）就是在等截面梁在集度为q 的分部李作用下的挠曲微分方程。
应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为22y q t ρ∂=-∂(6)其中ρ代表梁单位长度的质量。
假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。
将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：4242y yEI x t ρ∂∂=--∂∂ (7)其中2/a EI ρ=。
为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。
假设方程的解为：y(x,t)=X(x)Y(t)(8)将式（8）代入（7），得：224241Y a d XY t X dx ∂=-∂ (9) 上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x ，因此要使对于任何x,t 上式均成立，必须二者均等于一个常数。
07-固有频率与振型
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多自由度系统
固有频率 主振型 当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有
xi = Ai sin(ωt + ϕ ) i = 1,2,3, L n
代入位移方程 && ∆ Mx + x = 0
sin(ωt + ϕ )
− ω 2 ∆MA + A = 0
多自由度系统
固有频率 主振型 解出 ω12 = 0,
2 ω2 = 0.7192 ,
k m
ω32 = 2.7808
k , m
k mω3 = 1.66Fra bibliotek6k m
得到三个固有频率
ω1 = 0,
ω2 = 0.8481
ω1 , ω 2 , ω3
分别代入的第三列
adj B
k2 2 k ( k − ω m) ( k − ω 2 m)(2k − ω 2 m) − k 2
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LL
Theory of Vibration with Applications
多自由度系统
固有频率 主振型 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率 和与之对应的n阶主振型
A(1) A1(1) (1) A2 = M (1) An A1( 2 ) (2) A2 2 A = M 2 An A( n ) A1( n ) (n) A2 = M (n) An
A2
L An )
T
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多自由度系统
固有频率 主振型
(K − ω 2 M ) A = 0
03-4 振型函数的正交性与连续系统的响应.振型叠加法
将振型函数对于质量ρ(x)A(x) 的正交性关系
L
L 0
( x) A( x)Yr ( x)Ys ( x)dx 0 (r s) 代入式(3)
2
d 0 Ys ( x) dx2
d Yr ( x) d Yr ( x) d EJ ( x) dx 2 dx Ys ( x) dx EJ ( x) dx 2 0
2 L 2
dYr ( x) d Ys ( x) d Ys ( x) d Yr ( x) EJ ( x) EJ(x) 2 2 d x d x d x d x 0 0
L
注意 :上式右边是 x=0和 x=L的端点边界条件。对于固支 端、铰支端和自由端的任一组合而成的梁，上式右边都 等于零。
d 0 Ys ( x) dx2
L 2 2
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
d Yr ( x) d Yr ( x) d EJ ( x) dx 2 dx Ys ( x) dx EJ ( x) dx 2 0
用途：对振型函数正则 化，确定正则化系数
考虑如下关系
d 0 Ys ( x) dx2
L 2 2
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
d Yr ( x) d Yr ( x) d EJ ( x) dx 2 dx Ys ( x) dx EJ ( x) dx 2 0
双简支梁固有频率及振型测量
《振动测试实验》实验报告∗南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室二○一一年∗注：实验报告完成后请以附件形式发送至：wt78@邮件主题请写明：《振动测试实验报告》，姓名，学号，分班号（三班或四班）一、实验目的•测量双简支梁的固有频率和振型。
•理解多自由度系统振型的物理概念。
•掌握多自由度系统固有频率和振型的简单测量方法。
二、实验原理图简支梁固有频率和振型测试原理图三、实验过程1、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”。
打开各设备电源。
2、进入“双简支梁固有频率与振型测量”实验操作界面，使信号发生器的输出频率约为 30Hz，输出电压约为 1V 。
调节功率放的“输出调节”，逐渐增大其输出功率直至质量块有明显的振动（观察并用手触摸）。
3、将信号发生器输出频率由低向高逐步调节，同时观察李萨育图形。
当李萨育图为稳定的正椭圆时，信号发生器的频率读数即为第一阶固有频率。
继续将信号发生器的频率向高逐步调节，测出第二阶、第三阶固有频率。
4、再将信号发生器调到第一阶固有频率值，保持功率放大器的输出功率恒定（即：不再改变信号发生器的输出电压和功率放大器的输出功率），保持“参考”传感器的位置不变。
将“测量”传感器从双简支梁的右端等距跑点，依次记下“测量”传感器在各个位置时的测量点与参考点传感器输出电压之比（即“测量点/参考点”的显示值）及其正负号。
将其归一化即可得到第一阶振型，填“振型数据”表格。
点击“振型图”或“振型动画”检验振型数据。
四、实验数据与分析1、列出固有频率。
双简支梁的3个阶段的固有频率分别为：一阶： 36.7Hz二阶： 136.5Hz三阶： 326.6Hz一阶振型图二阶振型图3、测量双简单支梁振型时，改变“测量”传感器位置后，李萨育图形出现非正椭圆，解释原因，如何避免？答：测量双简单支梁振型时，改变“测量”传感器位置后，由于传感器有一定的质量，改变传感器位置也就改变了系统的质量分布，必然引起其固有频率的变化，在李萨育图形上表现出呈非正椭圆。
固支梁各阶固有频率及振型测量
固支梁各阶固有频率及振型测量
一、实验目的：
1. 熟悉梁的固有频率测量原理及振型形状；
2. 用共振法确定固支梁的各阶固有频率和振型。
二、实验仪器设备及安装示意图：
1. 计算机
2. YE6230T3动态数据采集系统
3. 功率函数发生器
4. 机械振动实验台
5. 加速度传感器激光位移传感器电涡流传感器自选
6. 激振器
三、实验过程：
四、实验结果及分析：
1、前三阶固有频率测量结果
2、各测点实测振幅（单位：）1，175；
3、各测点振幅换算值
4、绘出固支梁前三阶振型图一阶振型图
二阶振型图三阶振型图
多自由度系统各阶固有频率及主振型的测量一、实验目的
二、实验设备及安装示意图
三、实验结果与分析
1、不同张力下各阶固有频率的理论计算值与实测值
2、绘出观察到的三自由度系统振型曲线。
3、将理论计算出的各阶固有频率、理论振型与实测固有频率、实测振型相比较，是否一致? 产生误差的原因在哪里?。
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简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导
一．等截面细直梁的横向振动
取梁未变形是的轴线方向为X 轴（向右为正），取对称面内与x 轴垂直的方向为y 轴（向上为正）。
梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为
y=y(x,t) (1) 除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。
故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。
根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：
22y EI M x ∂=∂
(2) 其中，E 是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI 为梁的弯曲刚度，M 代表x 截面处的弯矩。
挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。
关于剪力Q 的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。
至于分布载荷集度q 的正向则规定与y 轴相同。
在这些规定下，有：
M Q Q q x x ∂∂==∂∂， (3) 于是，对方程（2）求偏导，可得：
222222(EI )(EI )y M y Q Q q x x x x x x ∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂， (4) 考虑到等截面细直梁的EI 是常量，就有：
3434y y EI Q EI q x x ∂∂==∂∂， (5) 方程（5）就是在等截面梁在集度为q 的分部李作用下的挠曲微分方程。
应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为
22y q t ρ∂=-∂
(6) 其中ρ代表梁单位长度的质量。
假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。
将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：
4242y y EI x t ρ∂∂=--∂∂ (7) 其中2
/a EI ρ=。
为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。
假设方程的解为：
y(x,t)=X(x)Y(t) (8) 将式（8）代入（7），得： 224241Y a d X Y t
X dx ∂=-∂ (9) 上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x ，因此要使对于任何x,t 上式均成立，必须二者均等于一个常数。
将这一常数记为-p 2.
于是有：
2220Y p Y t
∂+=∂ (10) 44240,/d X X p a dx
ββ-== (11) 方程（10）的通解为：
Y （t ）=Asinpt+Bcospt (12) 其中，A,B 为积分常数。
方程（11） 的通解为：
1234(x)cos sin X C ch x C sh x C x C x ββββ=+++ (13)
二．简支梁的固有振型和固有频率 简支梁的边界条件为：
X （0）=0，X ’’(0)=0.
X （l ）=0，X ’’(l)=0 所以有：1230C C C ===
特征方程为:
sin 0l β= 由此得特征值为：,1,2,i i l l
πβ=
=⋅⋅⋅ 与此相应的固有频率为
(i )1,2,i p l π==⋅⋅⋅ 而对应的振型函数为 (x)sin sin
,1,2,i i i X x x l l πβ===⋅⋅⋅
王舒雅，1130109125。