历年高考数学按章节汇编08--第八章圆锥曲线的方程

值得一提的是，在二次曲线中，还有一个“坑儿”需要引起注意：那就是“轴和半轴”、“距和半距”。例如：椭圆 中， 是半长轴而非长轴， 是半焦距而非焦距。
这些问题虽然很小，但同时也是眼高手低者们（包括我在内）比较爱犯的通病。我个人认为，这个题其实是用来考察非智力因素的：就看细心不细心。
16．（2006年全国卷I）抛物线 上的点到直线 距离的最小值是
A． B． C． D．
13．（2006年湖北卷）设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 、 两点，点 与点 关于 轴对称， 为坐标原点，若 ，且 ，则 点的轨迹方程是（D）
A. B.
C. D.
14．解选D.由 及 分别在 轴的正半轴和 轴的正半轴上知，
， ，由点 与点 关于 轴对上任意一点（ ， ）到直线的距离 。因为 ，所以 恒成立。从而有 ， 。选A。
17．（2006年全国卷I）用长度分别为2、3、4、5、6（单位： ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为
A． B． C． D．
17．我们普遍了解这样一个事实：在周长一定的n边形中，正n边形面积最大。或许这个东西有点超纲，但是请原谅，我一时半会想不出用教材上的办法来解决此题。
得 或 （不合题意，舍去）. 点的坐标为 ，……11分
.
答：当观测点 测得 距离分别为 时，应向航天器发出变轨指令.……14分
34．（2006年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
（A） .（B） .（C） .（D） .
6．（2006年上海春卷）若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( A )
（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.
（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.
7．（2006年全国卷II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C)
（A） （B） （C） （D）
11．（2006年四川卷）如图，把椭圆 的长轴
分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部
分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，
则 _______ _________;
12．（2006年天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为 、 ，一条渐近线方程为 ，那么它的两条准线间的距离是（C）
3．（2006年广东卷）已知双曲线 ,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于
A. B. C. 2 D.4
3．依题意可知 ， ，故选C.
4．（2006年陕西卷）已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为（D）
（A） （B） （C） （D）2
5．（2006年上海春卷）抛物线 的焦点坐标为(B)
又 ，由 得： ，解得 ，则 ，所以 为所求。
32．(2006年重庆卷)已知一列椭圆Cn:x2+ =1.0＜bn＜1,n=1,2. .若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取bn＝ ，并用SA表示 PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3(n≥3).
图(２２)图
证：（1）由题设及椭圆的几何性质有
设
因此，由题意 应满足
即
即 ,
从而对任意
（Ⅱ）设点
得两极 ，从而易知f(c)在（ ， ）内是增函 数，而在（ ，1）内是减函数.
现在由题设取 是增数列.又易知
故由前已证，知
33．（2006年上海春卷）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 .观测点 同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在 轴上方时，观测点 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
33. [解]（1）设曲线方程为 ，
由题意可知， .
.……4分
曲线方程为 .……6分
（2）设变轨点为 ，根据题意可知
得 ，
或 （不合题意，舍去）.
.……9分
15．（2006年全国卷I）双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则
A． B． C． D．
15．一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。分析一下，因为等号后为常数“+”，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+”，所以这个双曲线是“立”着的。接下来排除C、D两过于扯淡的选项——既然说是双曲线，“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同。在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式是 或 （ ），题目中的双曲线方程并不是标准形式，所以要变一下形儿，变成 。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方= 4。即 ，所以 。选A。当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈出来
解：F（1，0）设A（ ，y0）则 ＝（ ，y0）， ＝（1－ ，－y0），由
＝－4y0＝2，故选B
19．（2006年江西卷）P是双曲线 的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（D）
A. 6 B.7 C.8 D.9
解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率 与 的关系式；
（Ⅱ）当 时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若 ，求此时的双曲线方程。
解：∵四边形 是 ，∴ ，作双曲线的右准线交PM于H，则 ，又 ， 。
（Ⅱ）当 时， ， ， ，双曲线为 四边形 是菱形，所以直线OP的斜率为 ，则直线AB的方程为 ，代入到双曲线方程得： ，
21．（2006年辽宁卷）直线 与曲线 的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】将 代入 得：
，显然该关于 的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。
【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。
22．（2006年上海卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2 ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
（以上只是感性理解，并不代表证明。）
按照我们所普遍了解的事实，调整3个边尽可能的相等：7，7，6
此时三角形面积为： 。选B。
18．（2006年江西卷）设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若 ＝－4，则点A的坐标是（B）
A．（2，2 ）B. (1，2) C.（1，2）D.(2，2 )
|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B
20．（2006年辽宁卷）曲线 与曲线 的
(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同
【解析】由 知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由 知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。
【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。
解：（I）
圆过点O、F，
圆心M在直线 上。
设 则圆半径
由 得
解得
所求圆的方程为
（II）设直线AB的方程为
代入 整理得
直线AB过椭圆的左焦点F， 方程有两个不等实根。
记 中点
则
的垂直平分线NG的方程为
令 得
点G横坐标的取值范围为
31．（2006年安徽卷）如图，F为双曲线C： 的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于 轴上方，M为左准线上一点， 为坐标原点。已知四边形 为平行四边形， 。
第八章圆锥曲线的方程
1．（2006年福建卷）已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（C）
（A） （B） （C） （D）
2．（2006年安徽卷）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为（）
A． B． C． D．
解：椭圆 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 的焦点为(2,0)，则 ，故选D。
A. B. C. D.
26．(2006年山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为(B)
(A) (B) (C) (D)
27．(2006年山东卷）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件 则z=10x+10y的最大值是(C)
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
（A）2（B）6（C）4（D）12
8．（2006年全国卷II）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为(A)
（A）(B)(C)(D)
9．（2006年四川卷）已知两定点 ，如果动点 满足 ，则点 的轨迹所包围的图形的面积等于（B）
（A） （B） （C） （D）
10．（2006年四川卷）直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ，则梯形 的面积为（A）
29.(1) ;(2) .
30．（2006年福建卷）已知椭圆 的左焦点为F，O为坐标原点。
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线 相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，