141柱坐标系课件人教A选修4-4-PPT文档资料
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人教高中数学 选修4-4-第一讲-坐标系(实用资料)ppt
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’, y’),
坐标对应关系为：
x x
y
3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
y
在正弦曲线y=sinx上任取一
点P(x, y)，保持纵坐标不变，将
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
1
上
a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
所以双曲线的方程为： 6x2 82 05y3242 0 1(x0)
用y=－x代入上式，得 x6850,y6850,
例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点), 使得PM= 2 PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹
方程。
解：以直线O1O2为x轴，线段 O1O2的垂直平分线为y轴，建立平 M 面直角坐标系，
yP NX
则两圆的圆心坐标分别为
坐标法 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，
注意以下原则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足yb2+c2=5a2,BE,CF分
别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探
x
1
高中数学人教版A版选修4-4教学课件：1-4- 1《柱坐标系》
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又 tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限． π ∴ θ＝ ， 4 π ∴点 A 的柱坐标为( 2， ，1)． 4
2．点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．
解：ρ＝ x2＋y2＝ 02＋12＝1. π ∵x＝0，y＞0，∴θ＝ . 2 π ∴点 M 的柱坐标为(1， ，2). 2
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系O xyz，设P是空间任意 一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来
表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数
组 (ρ，θ(， z)R)表示，这样，我们建立了空间的点与有 z∈ 序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系 的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐 标，记作 P(ρ ， θ， z) ，其中 ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R
即 ρ2＝12＋( 3)2＝4，∴ρ＝2. y tan θ＝x＝ 3，又 x>0，y>0，点在第一象限． π π ∴θ＝ ，∴点 A 的柱坐标为(2， ，5)． 3 3
知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定 ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点
M所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之
x＝ρcos θ 间的变换公式为 . y＝ρsin θ z＝z
[例 1]
设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标．
y [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝x求 θ. x＝ρcos θ， [解] 由公式y＝ρsin θ， 得 ρ2＝x2＋y2， z＝z，
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
π ＋(y－2) ＝4，圆心为(0,2)．将 θ＝ (ρ∈R)化成直角坐标方 6
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
返回
2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
返回
解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
返回
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
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方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
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2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
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在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
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方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
2020版高中数学第一讲坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修4_4
4
-
2 2
=-
2.
所以点 M 的直角坐标为(-1,1,− 2).
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
反思当直角坐标与球坐标进行互化时,若点M的球坐标为(r,φ,θ),
4
������ -1
结合点
M
的位置可得
θ=
5π.
4
故点 M 的球坐标为
2,
π 4
,
5π 4
. 故选B.
答案:B
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
直角坐标与球坐标的互化
【例 2】 已知点 M 的球坐标为 2, 3π , 3π , 求它的直角坐标.
44
������ = ������sin������cos������, 分析:利用变换公式 ������ = ������sin������sin������, 求解.
������ = ������cos������
解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),
������ = 2sin 3π cos 3π = 2 × 2 ×
4
4
2
-
-
2 2
=-
2.
所以点 M 的直角坐标为(-1,1,− 2).
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
反思当直角坐标与球坐标进行互化时,若点M的球坐标为(r,φ,θ),
4
������ -1
结合点
M
的位置可得
θ=
5π.
4
故点 M 的球坐标为
2,
π 4
,
5π 4
. 故选B.
答案:B
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
直角坐标与球坐标的互化
【例 2】 已知点 M 的球坐标为 2, 3π , 3π , 求它的直角坐标.
44
������ = ������sin������cos������, 分析:利用变换公式 ������ = ������sin������sin������, 求解.
������ = ������cos������
解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),
������ = 2sin 3π cos 3π = 2 × 2 ×
4
4
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人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
2014年人教A版选修4-4课件 4.柱坐标系与球坐标系简介
柱坐标与直角坐标的 变换公式 B O y x = r cosq , q r A Q y = r sinq , x z = z. 柱坐标系又称半极坐标系, 它是由平面极坐标系 及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.
如: 一个圆形体育场, 自正东方向起, 按逆时针 方向等分为 12 个扇形区域, 项次记为一区, 二区, …, 十二区. 设圆形体育场的第一排与体育场中心 O 相距 300 m, 每相邻两排的间距为 1 m, 每层看台的高度为 0.6 m. 如何确定第九区第三排正中 A 的位置? 以正东方向为极轴, 以极轴为始边, 第九 O x 区的正中位置为终边 9区 17p . A 的角为 12 从中心到第三排的 水平距离为 300+2=302(m). 第三排的高度为 0.63=1.8(m). 所以点 A 的柱坐标为 A(302, 17p , 1.8). 12
P(r, j, q) r j y
j
O x = r sinj cosq , q A y = r sinj sinq , Q z = r cosj . x 在测量中, q 称为被测点的方位角, 90-j 称为高低角.
x
1. 柱坐标系 问题1. 在空间直角坐标系中, 一个点的位置是由 哪几个坐标组成? 若将空间直角坐标系的 y 轴取消, 将 xOy 平面用极坐标表示, 请你设计一下, 空间一个 点 P 的位置怎标表示? z x, y P(r q,, z z) ) 如图, 在空间直角坐标系中, 点 P 的位置由坐标 P(x, y, z) 确定. PQ⊥平面xOy, QA⊥Ox, B O y QB⊥Oy. q r A OA=x, OB=y, QP=z. Q 在 xOy 平面内, 以 x 轴为 x 极轴, 去掉 y 轴, 建立极坐标系. 则点 Q 的坐标为 Q(r, q ). 于是点 P 的位置可用坐标 P(r, q, z) 确定.
如: 一个圆形体育场, 自正东方向起, 按逆时针 方向等分为 12 个扇形区域, 项次记为一区, 二区, …, 十二区. 设圆形体育场的第一排与体育场中心 O 相距 300 m, 每相邻两排的间距为 1 m, 每层看台的高度为 0.6 m. 如何确定第九区第三排正中 A 的位置? 以正东方向为极轴, 以极轴为始边, 第九 O x 区的正中位置为终边 9区 17p . A 的角为 12 从中心到第三排的 水平距离为 300+2=302(m). 第三排的高度为 0.63=1.8(m). 所以点 A 的柱坐标为 A(302, 17p , 1.8). 12
P(r, j, q) r j y
j
O x = r sinj cosq , q A y = r sinj sinq , Q z = r cosj . x 在测量中, q 称为被测点的方位角, 90-j 称为高低角.
x
1. 柱坐标系 问题1. 在空间直角坐标系中, 一个点的位置是由 哪几个坐标组成? 若将空间直角坐标系的 y 轴取消, 将 xOy 平面用极坐标表示, 请你设计一下, 空间一个 点 P 的位置怎标表示? z x, y P(r q,, z z) ) 如图, 在空间直角坐标系中, 点 P 的位置由坐标 P(x, y, z) 确定. PQ⊥平面xOy, QA⊥Ox, B O y QB⊥Oy. q r A OA=x, OB=y, QP=z. Q 在 xOy 平面内, 以 x 轴为 x 极轴, 去掉 y 轴, 建立极坐标系. 则点 Q 的坐标为 Q(r, q ). 于是点 P 的位置可用坐标 P(r, q, z) 确定.
人教版高中数学选修4-4(1.4)柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
2019/7/8
最新中小学教学课件
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2019/7/8
最新中小学教学课件
如图所示，点C1的(x，y，z)分别对应着CD，BC，CC1；点C1的(ρ，θ，z) 应着CA，∠BAC，CC1；点C1的(r，φ，θ)分别对应着AC1，∠A1AC1，∠BAC.
标为解 (12析，π6：， 点1C21)， 的点 空间 C1直的角球坐坐标标为为((612
,，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
解析：将 P，Q 两点球的坐标转化为直角坐标，得
点 P：x＝3sin
π 6cos
4π＝3 4 2，
y＝3sin
π 6sin
π4＝3 4 2，
z＝3cos π6＝3 2 3，
∴点 P 的直角坐标为3 4 2，3 4 2，3 2 3.
点 Q：x＝3sin
π 6cos
34π＝－3 4 2，
人教A版高中数学选修4-4课件1.4柱坐标系与球坐标系.pptx
z
注：坐标与点的位置有关 o
x
y
练习：
1、设点M的直角坐标是(1, 3,3),则它的柱 坐标是？
(2, 4 ,3)
3
2、设点M的柱坐标为(2, ,7),求它的直角坐标。
6
( 3,1,7)
阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标 系中点的确定
z 设P是空间任意一点，
在oxy平面的射影为Q， 连接OP，记| OP |=r，
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44
x
2sin
3
4
cos
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2
y
2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2
z
2cos
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用 柱坐标系描述空间中的点.
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ ,θ )(ρ ≥0,
0≤θ上的极坐标， θ
y
点P的位置可用有 序数组(ρ ,θ ,z)表示. x
oφ
r
OP与OZ轴正向所
θ
夹的角为φ. 设P x
在Oxo轴xy按平逆面时上的射影为Q，
P(r,φ,θ)
y
Q
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
注：坐标与点的位置有关 o
x
y
练习：
1、设点M的直角坐标是(1, 3,3),则它的柱 坐标是？
(2, 4 ,3)
3
2、设点M的柱坐标为(2, ,7),求它的直角坐标。
6
( 3,1,7)
阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标 系中点的确定
z 设P是空间任意一点，
在oxy平面的射影为Q， 连接OP，记| OP |=r，
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44
x
2sin
3
4
cos
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2
y
2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2
z
2cos
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（鼎尚图文*****整理制作）
阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用 柱坐标系描述空间中的点.
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ ,θ )(ρ ≥0,
0≤θ上的极坐标， θ
y
点P的位置可用有 序数组(ρ ,θ ,z)表示. x
oφ
r
OP与OZ轴正向所
θ
夹的角为φ. 设P x
在Oxo轴xy按平逆面时上的射影为Q，
P(r,φ,θ)
y
Q
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
1.4《柱坐标系与球坐标系简介》 课件(人教A版选修4-4)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标
对应的点在平面yOz内的是( )
【解析】选A.由点P的柱坐标（ρ,θ,z），当θ= 时，点P
在平面yOz内，故选A.
2
2.已知空间直角坐标系Oxyz中，点M在平面yOz内，若M的球坐
＜2π，0≤z≤2的动点M（ρ,θ,
z）的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面 为正方形的圆柱，如图所示,圆柱的
底面半径r=1,h=2,≨V=Sh=πr2h=
2π(体积单位).
≨PN⊥直线Oy.
答案：3
6
三、解答题（共40分） 10.（12分）在球坐标系中，方程r=1表示空间中的什么曲 面？方程φ = 表示空间中的什么曲面?
4
【解析】方程r=1表示球心在原点且半径为1的球面;
方程φ= 表示顶点在原点，半顶角为 的上半个圆锥面，中
4 4
心轴为z轴.
11.（14分）已知球坐标系Oxyz中, M(6, , ),N(6, 2 , ),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，r∈[0,+≦), 4
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.若点M的柱坐标为(2, 2 ，-2)，则点M的直角坐标为_____.
3
【解析】设M的直角坐标为(x,y,z),
答案：(-1, 3 ,-2)
8.设点P的直角坐标为 (1, 3,2 3) ，则它的球坐标为_______. 【解析】设点P的球坐标为(r,φ,θ),其中r≥0,
【解析】
6.球坐标系中，满足θ =
P(r,φ ,θ )的轨迹为( （A）点 （C）半平面
，r∈[0,+∞), φ ∈[0,π ]的动点 4
1.空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标
对应的点在平面yOz内的是( )
【解析】选A.由点P的柱坐标（ρ,θ,z），当θ= 时，点P
在平面yOz内，故选A.
2
2.已知空间直角坐标系Oxyz中，点M在平面yOz内，若M的球坐
＜2π，0≤z≤2的动点M（ρ,θ,
z）的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面 为正方形的圆柱，如图所示,圆柱的
底面半径r=1,h=2,≨V=Sh=πr2h=
2π(体积单位).
≨PN⊥直线Oy.
答案：3
6
三、解答题（共40分） 10.（12分）在球坐标系中，方程r=1表示空间中的什么曲 面？方程φ = 表示空间中的什么曲面?
4
【解析】方程r=1表示球心在原点且半径为1的球面;
方程φ= 表示顶点在原点，半顶角为 的上半个圆锥面，中
4 4
心轴为z轴.
11.（14分）已知球坐标系Oxyz中, M(6, , ),N(6, 2 , ),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，r∈[0,+≦), 4
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.若点M的柱坐标为(2, 2 ，-2)，则点M的直角坐标为_____.
3
【解析】设M的直角坐标为(x,y,z),
答案：(-1, 3 ,-2)
8.设点P的直角坐标为 (1, 3,2 3) ，则它的球坐标为_______. 【解析】设点P的球坐标为(r,φ,θ),其中r≥0,
【解析】
6.球坐标系中，满足θ =
P(r,φ ,θ )的轨迹为( （A）点 （C）半平面
，r∈[0,+∞), φ ∈[0,π ]的动点 4
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角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝ x2＋y2＝ 02＋12＝1. ∵x＝0，y＞0，∴θ＝π2. ∴点 M 的柱坐标为(1，π2，2).
返回
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为(4，π3，8)求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
[解]
由变换公式yx＝＝ρρscions
z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做
柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记
作
，其P中(ρ，θ，z)
ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R
.
返回
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之
间的变换公式为
x＝ρcos y＝ρsin
θ θ
.
z＝z
返回
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标．
θ， θ，
得：
z＝z
x＝4cosπ3＝2.y＝4sinπ3＝2 3.z＝8. ∴点 P 的直角坐标为(2,2 3，8)．
返回
知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
返回
3．点N的柱坐标为(2，，3)，求它的直角坐标． x＝ρcos θ，
解：由变换公式y＝ρsin θ， 得 z＝z，
141柱坐标系课件人教A选修4-4
精品
返回
柱坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz，设P是空间任意一
点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表
示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组 (z∈R)表示(ρ，这θ，样z)，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，
x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
返回
4．已知点 A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为(2，π2，1)， 求 A、B 两点间距离． 解：由 x＝ρcos θ 得：x＝cos π＝－1. 由 y＝ρsin θ 得：y＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理：B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB|＝ －1－02＋0－22＋2－12＝ 6. 故 A、B 两点间的距离为 6.
[思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ. x＝ρcos θ，
[解] 由公式y＝ρsin θ， 得 ρ2＝x2＋y2， z＝z，
即 ρ2＝12＋( 3)2＝4，∴ρ＝2.
tan θ＝xy＝ 3，又 x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π3，∴点 A 的柱坐标为(2，π3，5)．
返回
知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定 ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点 M所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
返回
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标． 解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又 tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限． ∴θ＝π4， ∴点 A 的柱坐标为( 2，π4，1)．
返回
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为(4，π3，8)求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
[解]
由变换公式yx＝＝ρρscions
z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做
柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记
作
，其P中(ρ，θ，z)
ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R
.
返回
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之
间的变换公式为
x＝ρcos y＝ρsin
θ θ
.
z＝z
返回
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标．
θ， θ，
得：
z＝z
x＝4cosπ3＝2.y＝4sinπ3＝2 3.z＝8. ∴点 P 的直角坐标为(2,2 3，8)．
返回
知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
返回
3．点N的柱坐标为(2，，3)，求它的直角坐标． x＝ρcos θ，
解：由变换公式y＝ρsin θ， 得 z＝z，
141柱坐标系课件人教A选修4-4
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柱坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz，设P是空间任意一
点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表
示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组 (z∈R)表示(ρ，这θ，样z)，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，
x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
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4．已知点 A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为(2，π2，1)， 求 A、B 两点间距离． 解：由 x＝ρcos θ 得：x＝cos π＝－1. 由 y＝ρsin θ 得：y＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理：B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB|＝ －1－02＋0－22＋2－12＝ 6. 故 A、B 两点间的距离为 6.
[思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ. x＝ρcos θ，
[解] 由公式y＝ρsin θ， 得 ρ2＝x2＋y2， z＝z，
即 ρ2＝12＋( 3)2＝4，∴ρ＝2.
tan θ＝xy＝ 3，又 x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π3，∴点 A 的柱坐标为(2，π3，5)．
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知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定 ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点 M所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
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1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标． 解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又 tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限． ∴θ＝π4， ∴点 A 的柱坐标为( 2，π4，1)．