福建省永安市第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题

永安一中2015---2016学年高二下学期期中考试数学试题(文科)（考试时间：120分钟 总分：100分）命题人：永安一中 付瑶一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

） 1.已知集合2{|23},{|log 1}A x x B x x =-<<=>，则()R A C B = （ ）A. (2,2]-B. (2,1]-C. (0,3)D. (1,3)2.若复数z= i （3﹣2i ）（i 是虚数单位），则 = （ ） A ．2﹣3iB ．2+3iC ．3+2iD ．3﹣2i3.“1=a ”是“直线01=++y ax 与直线023)2(=--+y x a 垂直”的（ ）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是( )A ．25B ．66C ．91D ．1205.若22(54)(2)0m m m m i -++->，则实数m 的值为（ ） A. 1 B. 0或2 C. 2 D. 0 6.下列说法正确的是 （ ）A.类比推理是由特殊到一般的推理B.演绎推理是特殊到一般的推理C.归纳推理是个别到一般的推理D.合情推理可以作为证明的步骤7.函数f （x ）的定义域为（a ，b ），其导函数()f x '在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在区间（a ，b ）内极小值点的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18.函数f （x ）=493x 23+--x x 的单调递减区间是（ ）（﹣3，1） B ．（﹣∞，﹣3） C ．（﹣1，3） D ．（3，+∞）9．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10曲线y=1323+-x x 在点（1，﹣1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．43B ．23C ．29D ．4911.若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线y=x-2的最小距离为（ ） A．2 B ．1 C．212.已知函数()x xf x e =，给出下列结论：①(1,)()f x +∞是的单调递减区间；②当1(,)k e ∈-∞时，直线y=k 与y=f (x)的图象有两个不同交点； ③函数y=f(x)的图象与21y x =+的图象没有公共点. 其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①C ．①②D ．②③二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

） 13.执行图1的程序框图，则输出S 的值为 . 14.函数 f(x)=x ﹣lnx 的单调减区间为 ． 15．已知x ，y 之间的一组数据如下表：对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2x －1；③y ＝85x －25；图1④y ＝32x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是 (填序号)．16．已知22334424,39,416,33881515+=⨯+=⨯+=⨯…，观察以上等式，若888(,,k m n k m n +=⨯均为实数），则m k n +-= ． 三．解答题（本大题共6小题，共70分）17． （本题满分12分）已知复数 z=m （m ﹣1）+i m m )32(2-+，当实数m 取什么值时，复数z 是：（1）零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i ；（4）表示复数z 对应的点在第四象限．18．(本题满分12分)已知p ：函数f(x)＝lg(a 2x －x ＋116a)的定义域为R ；q ：a≥1.如果命题“p∨q 为真，p ∧q 为假”，求实数a 的取值范围．19．(本题满分12分)某地区甲校高二年级有1 100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：(已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%) 甲校高二年级数学成绩：(1)计算x ，y 的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到1分)．(2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分的为非优秀，根据以上统计数据写下面2×2列联表，并回20．(本题满分12分)已知函数322()(0)f x x ax bx a a =+++>在x ＝1处有极值10． （1）求a 、b 的值； （2）求)(x f 的单调区间；（3）求)(x f 在[0，4]上的最大值与最小值．21．（本题满分12分）已知函数21()()2x f x e x ax a R =--∈（Ⅰ）若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b ，求a ，b 的值；（Ⅱ）若函数在R 上是增函数，求实数a 取值范围；（Ⅲ）如果函数21()()()2g x f x a x =--有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：2a >请考生在22、23题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线:sin()42l πρθ-=（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.永安一中2015---2016学年高二下学期期中考试数学试题(文科)答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）AACCD/CDCAB/CA 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

） 13. 34 14．（0,1） 15.③ 16.64 三．解答题（本大题共6小题，共70分）17.（1）由可得m=1；（3分）（2）由可得m=0；（6分）（3）由可得m=2；（9分）（4）由题意，解得即﹣3＜m ＜0（12分）18．（12分）由p 真可知⎩⎨⎧a >0Δ＝1－4a ·116a <0（4分），解得a >2，（6分）由p ∨q 为真，p ∧q 为假知，p 和q 中一个为真、一个为假．（8分） 若p 真q 假时a 不存在，若p 假q 真时1≤a ≤2. 综上，实数a 的取值范围是1≤a ≤2. （12分）19【解】 (1)依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，故x ＝10，y ＝15，估计甲校平均分为55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10110≈75，乙校平均分为55×15＋65×30＋75×25＋85×15＋95×590≈71.(2)列2×2列联表如下：k ＝200110×90×60×140≈4.714，又因为4.714＞3.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”． 20．（1）由2(1)320,(1)110f a b f a b a '=++==+++=，得a=4或a=-3 0,4,11a a b >∴==- （经检验符合）（2）322()41116,()3811f x x x x f x x x '=+-+=+-，由()0f x '=得1211,13x x =-= 列表分析得：f （x ）在11(,),(1,)3-∞-+∞上单调递增，11(,1)3-上单调递减。

（3）由（2）知: f （x ）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，又因为f （0）=16，f （1）=10，f （4）=100，所以f （x ）的最大值为100，最小值为10．21．解：（Ⅰ）∵f（x ）=e x ﹣12x 2﹣ax ，∴f′（x ）=e x ﹣x ﹣a ， ∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a ， ∵切线方程为y=2x+b ，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1， ∴f（x ）=e x ﹣12x 2+x ，∴f（0）=1，即切点（0，1）， ∴1=2×0+b，解得b=1；（Ⅱ）由题意f'（x ）＞0即e x ﹣x ﹣a≥0恒成立， ∴a≤e x ﹣x 恒成立．设h （x ）=e x ﹣x ，则h′（x ）=e x ﹣1．当x 变化时，h′（x ）、h （x ）的变化情况如下表：∴h（x ）min =h （0）=1，∴a≤1； （Ⅲ）∵g（x ）=f （x ）﹣（a ﹣12）x 2，∴g（x）=e x﹣12x2﹣ax﹣ax2+12x2=e x﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=e x﹣2ax﹣a，∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），∴e x﹣2ax﹣a=0（*）有两个不同的实数根x1，x2当12x 时，方程（*）不成立则，令，则由p′（x）=0得：当x变化时，p（x），p′（x）变化情况如下表：∴当时，方程（*）至多有一解，不合题意；当时，方程（*）若有两个解，则所以，．2223.解：（1）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min ()1f x =， ………………………………3分 所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，02m ∴≤≤，所以实数m 的最大值2M =. ………………………………5分 （2）法一：综合法222a b ab +≥ 1ab ∴≤1≤，当且仅当a b =时取等号，① ………………………………7分又2a b+≤21≤+∴b a ab 2abb a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，② ………………………………9分 由①②得，21≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥ ………………………………10分 法二：分析法因为0,0a b >>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥， 即证222224a b ab a b ++≥，22a b M += ，所以只要证22224ab a b +≥，………………………………7分即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥ ………………………………10分。