二倍角作业1
2020-2021人教A版数学必修4：3.1 第32课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)
＝sin88s0i°nc2o0s°80°＝116·ssiinn12600°°＝116.
13．(13分)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1134，且0<β<α<2π.
(1)求tan2α的值．
(2)求β. 解：(1)由cosα＝17，0<α<π2，
得sinα＝ 1－cos2α＝
1－172＝4
7
3 .
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．sin22°30′cos22°30′等于( A )
2 A. 4 C. 2
2 B. 2 D．1
2．已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝( A )
A．－2245
B．－1225
12
24
C.25
D.25
解析：∵sinα＝
3 5
且α为第二象限角，∴cosα＝－
4．已知sinα＝ 55，则sin4α－cos4α的值为( A )
A．－35
B．－15
1
3
C.5
D.5
解析：sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－(cos2α－ sin2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－35.
5. 2－sin22＋cos4的值是( D )
1 2
sin22θ，又cos2θ＝－34，∴sin22θ＝1－cos22θ＝176.
∴原式＝1－12sin22θ＝1－12×176＝2352.
π 11．函数f(x)＝sin22x－4π的最小正周期是 2 .
解析：f(x)＝1－cos24x－π2＝12－12sin4x， ∴T＝24π＝2π.
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤)
高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时提升作业1新人教A版必修4
二倍角的正弦、余弦、正切公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列各式中，值为的是( )A.2sin 15°cos 15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°D.sin215°+cos215°【解析】选B.cos215°-sin215°=cos 30°=.2.已知sin=，cos=-，则角α所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为sinα=2sin cos=2××=-<0，cosα=cos2-sin2=-=-<0，所以α是第三象限角.3.(2015·乐山高一检测)若tanα=3，则的值等于( )A.2B.3C.4D.6【解析】选D.==2tanα=2×3=6.【延伸探究】若本题条件不变，则的值如何？【解析】==2+2tanα=2+2×3=8.4.已知α∈R，sinα+2cosα=，则tan2α=( )A. B. C.- D.-【解析】选C.本题考查三角函数同角间的基本关系.将sinα+2cosα=两边平方可得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=.将左边分子分母同除以cos2α得，=，解得tanα=3或-，所以tan2α==-.5.(2015·成都高一检测)在△ABC中，若||=2sin15°，||=4cos15°，且∠ABC=30°，则·的值为( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选B.因为||=2sin15°，||=4cos15°，且∠ABC=30°，所以·=||||cos150°=2sin15°·4cos15°·=-2sin30°=-2×=-.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·合肥高一检测)已知α∈，sinα=，则tan2α=________.【解析】由α∈，sinα=，得cosα=-，tanα==-，tan2α==-.答案：-7.化简：tan70°cos10°·(tan20°-1)的结果是________.【解析】原式=·cos10°=cos10°-cos10°·=cos10°-====-1.答案：-1【误区警示】解答本题在切化弦通分后易忽视应用辅助角公式进一步化简.【补偿训练】计算cos·cos·cos=________.【解析】原式======.答案：8.已知角α的终边经过点(-8，-6)，则=________.【解题指南】先利用定义求出α的三角函数，而后化简所求式即可.【解析】因为点(-8，-6)到原点的距离r==10，所以sinα==-，cosα==-.==-2cosα-2sinα=-2×-2×=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·泰州高一检测)已知α为第二象限角，且sinα=，求的值. 【解析】原式==.因为α为第二象限角，且sinα=，所以sinα+cosα≠0，cosα=-，所以原式==-.【补偿训练】已知sin sin=，α∈，求sin4α的值.【解析】因为sin sin=sin cos=，所以sin=，即cos2α=.因为α∈，所以2α∈(π，2π).所以sin2α=-=-.所以sin4α=2sin2αcos2α=2××=-.10.(2015·吉林高一检测)已知向量m=(cosα-，-1)，n=(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈.(1)求sinα+cosα的值.(2)求的值.【解析】(1)因为m与n为共线向量，所以×1-(-1)×sinα=0，即sinα+cosα=.(2)因为1+sin2α=(sinα+cosα)2=，所以sin2α=-，因为(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2，所以(sinα-cosα)2=2-=.又因为α∈，所以sinα-cosα<0，sinα-cosα=-.因此，=.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若α∈，且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于( )A. B. C. D.【解析】选D.由二倍角公式可得sin2α+1-2sin2α=，即-sin2α=-，sin2α=，又因为α∈，所以sinα=，即α=，所以tanα=.2.(2015·昆明高一检测)若=-，则sinα+cosα的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选C.cos2α=sin=-sin=-sin2=-2sin·cos，==-，所以2cos=1，展开得2=1，即cosα+sinα=.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·黄冈高一检测)若sin=，则cos=________.【解析】已知sin=，且+=，则cos=sin=，故cos=2cos2-1=-.答案：-4.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于________.【解析】sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ，又sin4θ+cos4θ=，所以1-sin22θ=，即sin22θ=，因为θ是第三象限角.所以2kπ+π<θ<2kπ+(k∈Z)，所以4kπ+2π<2θ<4kπ+3π(k∈Z)，所以sin2θ>0，所以sin2θ=.答案：【延伸探究】若cos2θ=，试求sin4θ+cos4θ.【解析】因为cos2θ=，所以sin22θ=.所以sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1-sin22θ=.三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知向量a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最大值及相应的x值；(2)若f(θ)=，求cos2的值.【解题指南】用向量数量积表示出f(x)转化成三角函数问题求解.【解析】(1)因为a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，所以f(x)=1+sin2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=sin+1.因此，当2x-=2kπ+，即x=kπ+(k∈Z)时，f(x)取得最大值+1.(2)由f(θ)=1+sin2θ-cos2θ及f(θ)=得sin2θ-cos2θ=，两边平方得1-sin4θ=，即sin4θ=. 因此，cos2=cos=sin4θ=.6.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°；⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解析】方法一：(1)计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.方法二：(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=+-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°·sin2α)-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)=1-cos2α-+cos2α=.。
八年级数学上培优辅导讲义拔尖训练 第6讲 对称变换“将军饮马”问题二倍角问题导学案及课时练习
1
（7）如图，点 C、D 在锐角∠AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 F，在 OA 边上求作一点 E，使四边形 CEFD 的周长最小．
（8）如图，直线外有两点 A、B，有一定长线段，在直线上找到点 M、N，使得 MN 间的距离等于定长 a， 使得四边形 AMNB 的周长最小．
关系
．
5
例 6（武昌区八下期末)
如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 BC 上且 CE=1，点 M、N 在对角线 AC 上运动，且满足 MN= 2 ，
连接 BM、EN．求四边形 BMNE 周长的最小值．
6
模块二 “二倍角”问题
倍角模型（以及半角模型)，本质都是转化成等角模型，常见方法是： （1）利用轴对思想构造出角平分线，进而得到等腰三角形． （2）利用外角构造出角相等，从而得到等腰三角形．
例 9 （洪山区八上期末）
点 E 是∆ABC 内的一点，如图，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，点 E 在线段 CD 上（点 E 不与点 C、D 重合)， 且∠EAC＝2∠EBC.求证：AE+AC=BC．
7
例 10 （青山区八上期中）
在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线. （1）如图 1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求证：△ABC 为等边三角形； （2）如图 2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求 AD 的长度； （3）如图 3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB 的平分线 OC 与 BD 相交于点 O，且 OC=AB，求∠A 的度数.
（2）（武汉二中八上期中）
2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形 第4练 二倍角公式及应用(解析版)
B． cos A cos B
C． sin 2A sin 2B
D． cos 2A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
D． 5 或
5
5
）
D． 24 25
7．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A． f x cos2 x sin x cos x
B． f x 1 cos 2 x
2sin x cos x
C．
f
x
cos
x
π 3
cos
x
π 3
D．
f
x
sin
D
不
正确，
故选：BC.
10．AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称
性、换元法逐一判断即可.
【详解】 f (x) sin x cos x 1 sin 2x, g(x) sin x cos x 2 sin(x π ) ，
2
4
当
x
0,
π 4
时，
3 5 8
2
5 1 5 1．
16
4
故选：D．
2．B 【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
sin
π 6
cos
3 sin 1 cos cos 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 3 ，
二倍角公式习题课PPT课件
一、复习公式 1.二倍角公式： sin2α＝2sin αcos α cos2 α＝cos2 α－sin2 α＝2cos2 α－1
＝1－2sin2 α
tan2 α＝ 2tan α 1 tan 2α
2.半角公式
2sin 2 α 1 cos α 2
2cos 2 α 1 cos α 2
2
3
求 cos 2 α β 的值。
2
解 co 2： s 1 co s) (
sin2 sin1
2
①
2
cos cos 1 ②
22 (co co s 3sis ni)n 1
cos()59
3
co2s13712
2 144
练习：已知三角函数
coαsβ1,sin αβ2 2 9 2 3
且 π2απ,0βπ2.求 cosα(β)的值。
si2 nx2si2n x28
1tax n
75
例8如图，A扇O的 形 B 半径 1，为 中心6角 00
PQR是S 扇 形 的 内 接 矩 形 ，
求矩P形 QR面S积的最大B 值。
解：连 OP 接 ，设 AOP
（0)
3
Q
P
o
R
SA
P SRsin ,R SO SOR
R Sco ssinco 6t00
5 13
sinπ 4(x)153
x(0,)
4
co(sπ 4x)1123 ta(nπ 4x)152
1taxn5 taxn 7
1taxn12
17
co2x s1ta2n x120 1ta2n x 169
cocso(2sxx)1162901531234
4
高中数学人教版必修二倍角的正弦、余弦、正切公式作业(系列五)
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式基础巩固一、选择题1．若cos θ>0，sin2θ<0，则角θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] D[解析] ∵cos θ>0，sin2θ＝2sin θcos θ<0， ∴sin θ<0，∴角θ是第四象限角．2．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( )A ．15B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] 本题考查了三角恒等变换与三角函数的求值． tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝112sin2θ＝4，∴sin2θ＝12.3．函数f (x )＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4π [答案] B[解析] f (x )＝cos 4x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x ) ＝cos2x ，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 4．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] D[解析] 由sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6，故选D.5．计算1＋cos100°－1－cos100°等于( ) A ．－2cos5° B ．2cos5° C ．－2sin5° D ．2sin5°[答案] C [解析]1＋cos100°－1－cos100°＝1－cos80°－1＋cos80°＝2sin 240°－2cos 240° ＝2(sin40°－cos40°) ＝2(22sin40°－22cos40°) ＝2sin(40°－45°)＝－2sin5°. 6．2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α＝( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D ．12[答案] B[解析] 原式＝2sin2α2cos 2α·cos 2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α.二、填空题7．若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ＝________.[答案]65[解析] cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝43×910＝65. 8．tan π12－1tan π12的值等于________．[答案] －2 3[解析] tan π12－1tan π12＝tan 2π12－1tan π12＝－21－tan 2π122tanπ12＝－2cot π6＝－2 3.三、解答题9．已知cos α＝－1213，α∈(π，3π2)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．[解析] ∵cos α＝－1213，α∈(π，3π2)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－－12132＝－513， ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×(－513)×(－1213)＝120169，cos2α＝2cos 2α－1＝2×(－1213)2－1＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝120119.能力提升一、选择题1．设a ＝(32，sin α)，b (cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．75°D ．45°[答案] D[解析] 由题意，得32×13＝sin αcos α，∴sin αcos α＝12，∴12sin2α＝12， ∴sin2α＝1. ∴α为锐角， ∴2α＝90°，∴α＝45°.2．若α∈⎣⎡⎦⎤5π2，7π2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] D[解析] ∵α∈⎣⎡⎦⎤5π2，7π2，∴α2∈⎣⎡⎦⎤5π4，7π4， ∴原式＝⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2＋⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2 ＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2.3．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32， 则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c [答案] A [解析] a ＝22cos17°＋22cos17°＝sin(45°＋17°)＝sin62°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°＝sin(90°－26°)＝sin64°，c ＝32＝sin60°. 由正弦函数单调性可知：b >a >c .4．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )A ．459B ．259C ．－459D ．－259[答案] A[解析] 令底角为α，则顶角β＝π－2α，且cos α＝23，∴sin α＝53，∴sin β＝sin(π－2α)＝sin2α ＝2sin αcos α＝2×53×23＝459.二、填空题5．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是________．[答案]π2[解析] f (x )＝sin 2(2x －π4)＝1－cos 4x －π22＝12－12sin4x ， ∴T ＝2π4＝π2.6．已知θ为第三象限角，sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin2θ＝________.[答案]223[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝59，∴(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，∴1－12sin θ＝59，∴sin θ＝89.∵θ为第三象限角，∴2k π＋π<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ，∴4k π＋2π<2θ<4k π＋3π，k ∈Z ， ∴sin2θ＝223.三、解答题7．若cos(π4＋x )＝35，17π12<x <7π4，求：(1)cos x ＋sin x 的值； (2)sin2x ＋2sin 2x1－tan x的值．[解析] (1)由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π，又∵cos(π4＋x )＝35，∴sin(π4＋x )＝－45，∴cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)＝－425.(2)cos x ＝cos[(π4＋x )－π4]＝cos(π4＋x )cos π4＋sin(π4＋x )sin π4＝35×22－45×22＝－210. 又由17π12<x <7π4，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－7210，∴tan x ＝7，∴原式＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875.8．(2014·江苏，15)已知α∈(π2，π)，sin α＝55.(1)求sin(π4＋α)的值；(2)求cos(5π6－2α)的值．[解析] (1)∵α∈(π2，π)，sin α＝55，∴cos α＝－1－552＝－255， ∴sin(π4＋α)＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×(－255)＋22×55＝－1010. (2)由(1)得sin2α＝2sin αcos α ＝2×55×(－255)＝－45，cos2α＝2cos 2α－1＝35，所以cos(5π6－2α)＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝(－32)×35＋12×(－45)＝－33＋410. 9．(2014·天津理，15)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。
二倍角的三角函数练习(包含答案)
一、选择题1．已知cos（α+β）=，cos（a﹣β）=﹣，则cosαcosβ的值为（）A．0B．C．0或D．0或考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先用两角和公式的余弦函数对题设中的等式展开后，两式相加即可求得cosαcosβ的值．解答：解：依题意可知，两式相加得2cosαcosβ=0，∴cosαcosβ=0，故选A．点评：本题主要考查了两角和公式的余弦函数．考查了学生对基础知识的理解和应用．2．如果，那么等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：由两角和与差的正弦函数公式化简原式，变形得到一个比例式，然后把所求的式子利用同角三角函数的关系化简后，将变形得到的比例式整体代入可求出值．解答：解：由==，得：nsinαcosβ+ncosαsinβ=msinαcosβ﹣mcosαsinβ移项合并得cosαsinβ（n+m）=sinαcosβ（m﹣n），变形得=，则===．故选A点评：本题的解题思路是运用和与差的正弦函数公式和同角三角函数的基本关系把已知和所求的式子化简后找出其联系点，然后利用整体代入的思想解决数学问题．3．已知α，β，γ均为锐角，且tanα=，tanβ=，，则α，β，γ的和为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：先根据两角和的正切公式利用tanα和tanβ的值求得tan（α+β）的值，进而利用两角和的正切公式求得tan （α+β+γ）的值，进而根据α，β，γ的范围确定α，β，γ的和．解答：解：tan（α+β）==tan（α+β+γ）==1由α，β，γ都为锐角及各自取值，知0＜α，β，γ＜，即α+β+γ也是锐角，故α+β+γ=．故选B点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．4．在△ABC中，C＞90°，E=sinC，F=sinA+sinB，G=cosA+cosB，则E，F，G之间的大小关系为（）A．G＞F＞E B．E＞F＞G C．F＞E＞G D．F＞G＞E考点：三角函数的积化和差公式；同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：把F和G利用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简后，做差得到大小；利用正弦定理和三角形的两边之和大于第三边判断F和E的大小，即可得到三者之间的大小关系．解答：解：因为F=sinA+sinB=2sin cos=2cos cos；G=cosA+cosB=2cos cos=2sin cos；由180°＞C＞90°得到45°＜＜90°，根据正弦、余弦函数的图象得到sin＞cos，所以G﹣F=2cos（sin﹣cos）＞0即G＞F；根据正弦定理得到=，因为a+b＞c，所以sinA+sinB＞sinC即F＞E；所以E，F，G之间的大小关系为G＞F＞E故选A点评：解此题的方法是利用正弦定理和做差法比较大小，要求学生灵活运用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简求值．5．化简：的值为（）B．t an2x C．﹣tanx D．c otxA．tan考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：把原式的分子和分母根据两角和的正弦、余弦函数公式进行化简后合并，再根据同角三角函数间的基本关系化简可得值．解答：解：原式=═=﹣tanx故选C点评：此题是一道基础题，要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数的公式，以及会利用同角三角函数间的基本关系．6．若A，B为锐角三角形的两个锐角，则tanAtanB的值（）A．不大于1 B．小于1 C．等于1 D．大于1考点：正切函数的值域．专题：计算题．分析：直接利用锐角三角形的性质，确定sinA＞cosB，利用切化弦化简tanAtanB，即可得到选项．解答：解：因为三角形是锐角三角形，所以A+B＞；即：，所以sinA＞cosB，同理sinB ＞cosA，tanAtanB=＞1故选D点评：本题是基础题，考查锐角三角形的性质，切化弦的应用，考查计算能力，常考题型．二、填空题7．（2008•浙江）若，则cos2θ=．考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．解答：解：由可知，，而．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．8．若cosαcosβ=，则sinαsinβ的取值范围是______．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：设x=sinαsinβ，利用两角和与差的正弦函数公式分别化简cos（α+β）与cos（α﹣β），将cosαcosβ的值代入，利用余弦函数的值域列出不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为sinαsinβ的取值范围．解答：解：∵cosαcosβ=，设sinαsinβ=x，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣x，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+x，∴﹣1≤﹣x≤1，﹣1≤+x≤1，解得：﹣≤x≤，则sinαsinβ的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题9．在△ABC中，∠B=60°，且tanAtanC=2+，求角A，C的度数．考点：解三角形．专题：计算题．分析：根据B的值，进而确定A+C的值，进而利用两角和与差的正切函数公式求得tanA+tanC的值，进而联立求得tanA和tanC的值，进而求得A和C．解答：解：∵∠B=60°且A+B+C=180°，∴A+C=120°，∴tan（A+C）=．由tanAtanC=2+，∴tanA+tanC=3+，∴tanA，tanC可看作方程x2﹣（3+）x+（2+）=0的两根．解方程得x1=1，x2=2+．当tanA=1，tanC=2+时，A=45°，C=75°．当tanC=1，tanA=2+时，A=75°，C=45°．点评：本题主要考查了解三角形问题，两角和与差的正切函数．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．10．若已知方程x2﹣（tanθ+cotθ）x+1=0有两个实根，且其中一个根是2﹣，求cos4θ的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：利用方程的根，结合判别式确定sin22θ≤1，通过两个根求出另一个根，推出sin2θ的值，然后求出cos4θ的值．解答：解：∵方程x2﹣（tanθ+cotθ）2x+1=0有两个实根，∴△=（tanθ+cotθ）2﹣4==，即sin22θ≤1．设另一个根为m，则由根与系数的关系可得，（2﹣）m=1，于是，故tanθ+cotθ=4，即，∴sin2θ=（满足sin22θ≤1）．∴cos4θ=1﹣2sin22θ=．点评：本题考查三角函数的化简求值，考查二次方程根的问题，二倍角公式的应用，考查计算能力．11．已知函数y=，求函数的最大值及对应自变量x的集合．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数y=，然后求出最大值，及其相应的x 值．解答：解：==，y取最大值，只需，即，∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．点评：本题考查三角函数的最值，二倍角公式的应用，同时利用两角和的正弦函数化简是本题解题的关键，本题考查计算能力，是基础题．12．如图，在某点B处测得建筑物AE的项点A的仰角为θ，沿B前进30米至C点处测得顶点A的仰角为2θ，再继续前进10米至D点，测得顶点A的仰角为4θ，求θ的大小及建筑物AE的高．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：由题意及仰角的定义画出图形，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系及三角形求解即可．解答：解：由已知BC=30米，CD=10米，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，在Rt△ABE中，BE=AEcotθ，在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，∴BC=BE﹣CE=AE（cotθ﹣cot2θ）．同理可得：CD=AE（cot2θ﹣cot4θ）．∴即而cotθ﹣cot2θ==．同理可得cot2θ﹣cot4θ=．∴==2cos2θ=∴cos2θ=，结合题意可知：2θ=30°，θ=15°，∴AE=（米）．点评：此题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，还考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角，及二倍角的正切公式．。
(完整版)三角函数系列二倍角公式测试题含答案
二倍角公式评卷人得分一、选择题1.已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=（）A． B． C． D．2.已知=，则sin2α+cos（α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．7.已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．8.已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知tanα=，tanβ=，则tan（α﹣β）等于（）A．B．C．D．12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．13.已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．14.设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．315.sinα=，α∈（，π），则cos（﹣α）=（）A．B．C．D．16.已知sinα+cosα=﹣，则sin2α=（）A．B．C．D．17.已知，那么cosα=（）A．B．C．D．18.设α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，则α+β的值为（）A．B．C．D．或19.若tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．20.=（）A．B．C．D．21.若角A为三角形ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题22.若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（1+tan1°）（1+tan44°）= ．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜，cos（+α）=﹣，则sinα=．27.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．评卷人得分三、解答题28.已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．29.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A解答：解：由已知得：==sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，又sinα+cosα=sin（α+），∴sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．4.解答：由题意可得：tanα+tanβ=；tanαtanβ=，显然α，β ﹣又tan（α+β）===1且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5.C解答：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．．7.A 8.B 解答：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．9.D 10.B解答：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．11.D 12.B 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.C解答：∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，∴cosα=﹣，s inβ=，∴cos（α+β）=cosαco sβ﹣sinαsinβ=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C．19.C解答：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．20.D 21.B解答：角A为三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=sin（A+），如果A∈（0，]，A+∈，sin（A+）∈．A∈（，π），A+∈，sin（A+）∈（﹣1，1）．∵sinA+cosA=，∴A是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22.解答：∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24.解答：∵∴∵，∴，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7解答：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣728.解答：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sin α=，cos α=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．。
10、微专题：二倍角公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册
【学生版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；s in 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】 题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80° 【提示】； 【答案】； 【解析】；【说明】 题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】； 【答案】；【解析】方法1、方法2、例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A ．2 B ．－2 C. 12D ．－12【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2； （2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ；【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tanα的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－7252、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.233、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．4、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为 ． 7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为 ． 8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【教师版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α 正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】 题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80°【提示】注意：角“20°、40°、80°”成“二倍”关系； 【答案】18；【解析】原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝2sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝sin 20°8sin 20°＝18；【说明】本题属于：给角求值问题；对于给角求值问题，一般有两类：（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式； 题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】注意：角“⎝⎛⎭⎫π4－x ”与角“2x ”之间关系； 【答案】725；【解析】方法1、因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， 所以sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 方法2、由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(s in x －cos x )＝－35，所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825， 所以sin 2x ＝725；例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( )A ．2B ．－2 C. 12D ．－12【提示】注意：角“θ”与“2θ”之间二倍关系，以及“齐次”式的特点； 【答案】D ；【解析】由sin θ＋3cos θ＝0得tan θ＝－3，所以cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋2sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θcos 2θ＋2sin θcos θcos 2θcos 2θcos 2θ＋sin 2θcos 2θ＝1＋2tan θ1＋tan 2θ＝－510＝－12，故选D ； 【说明】本题属于：给值求值问题；解决给值求值问题的方法：（1）给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． （2）注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x . ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2； （2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .【提示】注意：灵活运用与应用公式的变形；【解析】（1）sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2＝sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x sinx2cos x cosx 2＝2sin x cos x2cos x· cos x cos x 2＋sin x sin x 2cos x cos x 2＝sin x ·cosx2cos x cosx 2＝tan x ；（2）证明：因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ；【说明】任意角的三角比的化简方法：三角比的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等． 题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ； 【解析】（1）3sin33sin 4sin θθθ=-；（2）3cos34cos 3cos θθθ=-；【说明】理解二倍角公式的推导思路；并从推导过程进行拓展（问题：如何记忆三倍角公式） 【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－725【答案】D ；【解析】因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. 2、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23【答案】C ；【解析】因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×(33)2＝13.3、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．【答案】 2 012；【解析】1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 0124、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．【答案】459【解析】设A ，B 分别是等腰△ABC 的顶角和底角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 【答案】17250；【解析】∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425， cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝22×1725＝17250. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为 ．【答案】2413；【解析】0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4.又∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213. 又cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为 ． 【答案】427；【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝16，∴cos 2x ＝13.∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2x ∈(π，2π)，∴sin 2x ＝－223. ∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝－2 2.∴tan 4x ＝2tan 2x1－tan 22x ＝－421－8＝427.8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ 【答案】79；【解析】sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π12＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π12＝79. 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．【解析】方法1、由sin α＋cos α＝13，得(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵sin αcos α<0，0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝13>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0.∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－179.ta n 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 方法2、：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αc os α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－49<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2 ＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【证明】原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，(*) 而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ) ＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，∴(*)式成立，即原式得证.。
3.2 二倍角的三角函数(一)
3.2 二倍角的三角函数（一）[教学目标] 教学知识点:二倍角的正弦、余弦、正切公式。
[教学过程]一、复习回顾：两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
二、新授倍角公式：sin2α= ； cos2α= ； tan2α=注：（1）这里的“倍角”实际上专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名称时，“三”字等不可省去。
（2）倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为2α的2倍，将3α作为23α的2倍等情况。
（3）公式成立的条件： 。
三、应用举例例1、（1）8sin 8cos22ππ-= （2）112cos 22-π=（3）2cos ︒105cos ︒15= （4）︒-15sin 951852= （5）︒-︒15tan 115tan 2=例2、已知sin α=),2(,135ππα∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值。
例3、求证：θθθθθθθθθ2sin )]cos 1(cos )sin 1()][sin cos 1(cos )sin 1([sin =-+-+++例4、化简)10tan 31(50sin ︒+︒。
例5、设)2,23(ππα∈，化简α2cos 21212121++。
课堂小结：教后反思：作业： 姓名 学号 班级1、已知sin α=53，cos α=54-，则2α的终边落在 （ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、已知f （x ）=x +1，当45π<θ<π时f （sin2θ）)]2[sin(θ--f 的值为 （ ） A 、2sin θ B 、2cos θ C 、-2 sin θ D 、-2 cos θ3、设角34tan ),23,45(=∈θππθ，则tan 2θ的值是 A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 （ ） 4、（1）2sin ︒15cos ︒15= （2）︒-︒5.22tan 15.22tan 22= （3）=︒-75sin 212 （4）sin =︒+︒15cos 15（5）8cos 8sin 44ππ-= （6）=θ+θ-θ2tan 2tan 1tan 5、已知sin2θ=31，则θθ44cos sin += 。