(2016-2018)数学(理科)真题分类解析：专题06-导数的几何意义(含答案)

专题06 导数的几何意义考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.导数的概念与几何意义1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义Ⅱ选择题、填空题2.导数的运算1.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数Ⅲ选择题、解答题★★★本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.2018年高考全景展示1.【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.2．【2018年全国卷Ⅲ理】曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。

详解：，则，所以，故答案为-3.点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。

3．【2018年理数全国卷II】曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解：点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.4.【2018年理数天津卷】已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.详解：（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得. ③因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得，因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．5．【2018年理北京卷】设函数=[]．（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．【答案】(1) a的值为1 (2) a的取值范围是（，+∞）（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x ）=［ax 2–（2a +1）x +2］e x =（ax –1）(x –2)e x ．若a >，则当x ∈(，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )>0．所以f (x )<0在x =2处取得极小值．若a ≤，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤x –1<0，所以f ′(x )>0．所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是（，+∞）．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.2017年高考全景展示1.【2017山东，理20】已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中2.71828e = 是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点处的切线方程；()(),f ππ（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.试题解析：（Ⅰ）由题意()22f ππ=-又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即 222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得 ，2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-则()1cos 0m x x '=-≥所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m =所以 当0x >时，当时，()0m x <()0,m x >0x <(1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x ah x e e x x '=--由 ()0h x '=得 1ln xa =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增；所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.【名师点睛】1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.2.【2017北京，理19】已知函数．()e cos xf x x x =-（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =(0,(0))f （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．()f x π[0,]2【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.1y =2π-【解析】（Ⅱ）设，则.()e (cos sin )1x h x x x =--()e (cos sin sin cos )2e sin x xh x x x x x x '=---=-当时，，π(0,2x ∈()0h x '<所以在区间上单调递减.()h x π[0,2所以对任意有，即.π(0,2x ∈()(0)0h x h <=()0f x '<所以函数在区间上单调递减.()f x π[0,]2因此在区间上的最大值为，最小值为.()f x π[0,]2(0)1f =ππ(22f =-【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求()f x '()()h x f x '=，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调()h x '()h x '()h x '()h x 性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.()y f x =2016年高考全景展示1. 【2016高考山东理数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线()y f x =互相垂直，则称具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）()y f x =（A ）（B ）（C ）（D ）sin y x =ln y x=e xy =3y x =【答案】A 【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当时，，有，所以在函数图象存在两点sin y x =cos y x '=cos 0cos 1π⋅=-sin y x =使条件成立，故A 正确；函数的导数值均非负，不符合题意，0,x x π==3ln ,,x y x y e y x ===故选A.考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.2. 【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= 图象上点P 1，P 2处的ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)【答案】A【解析】试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易()()111222,ln ,,ln P x x P x x -121,01x x ><<得切线的斜率分别为由已知得切线12,l l 121211,.k k x x ==-12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴的方程分别为，切线的方程为，即1l ()1111ln y x x x x -=-2l ()2221ln y x x x x +=--.分别令得又与的交点为1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭0x =()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++1l 2l ，，，2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭11x > 21122112111211PAB A B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++．故选A ．01PAB S ∆∴<<考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点坐标，由两直线相交得出点坐标，,A B P 从而求得面积，题中把面积用表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班1x 一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．3.【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，，则曲线()f x 0x <()ln()3f x x x =-+()y f x =在点处的切线方程是_______________．(1,3)-【答案】21y x =--考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析0x >()y f x =0x <式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若()f x 0x <()y f x =-为奇函数，则函数的解析式为．()f x ()y f x =--4.【2016年高考北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为，()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+（1）求，的值；a b （2）求的单调区间.()f x 【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.2a =b e =)(x f (,)-∞+∞【解析】试题分析：（1）根据题意求出，根据，，求，的值；()f x '(2)22f e =+(2)1f e '=-a b （2）由题意知判断，即判断的单调性，知，即，由此)(x f '11)(-+-=x e x x g ()0g x >()0f x '>求得的单调区间.()f x所以，当时，，在区间上单调递减；)1,(-∞∈x 0)(<'x g )(x g )1,(-∞当时，，在区间上单调递增.),1(+∞∈x 0)(>'x g )(x g ),1(+∞故是在区间上的最小值，1)1(=g )(x g ),(+∞-∞从而.),(,0)(+∞-∞∈>x x g 综上可知，，，故的单调递增区间为.0)(>'x f ),(+∞-∞∈x )(x f ),(+∞-∞考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．。