高中数学人教版必修二课件：两条平行线间的距离
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两条平行直线间的距离 人教版数学必修二全册课件
l1 与l2 是否平行？若平行,求 l1与 l2的距离.
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
解： 在l2上任取一点，如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
两平 14 53
d
22 (7)2
3.3.4
两条平行直线间的 距离
两条平行直线间的距离是指夹在两 条平行线间公垂线段的长
两平行线间的距离处处相等
1. 怎样判断两条直线是否平行？
2.设l1//l2，如何求l1和l2间的距离？ 1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线
的距离？ 2) 如何取点，可使计算简单？
例1 已知直线 l1 : 2x 7y 8 0 和 l2 : 6x 21y 1 0
2. 两条平行直线间距离公式
作业
P110习题3.3A组： 10. 习题3.3B组：3，6，9
53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
例3. 求证：两条平行直线Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0间的距离为
d | c1 c2 | A2 B2
例4 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- 3 y +7=0 与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求P点坐标。
解：设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x 3 0 7 12x 5 0 40
12 ( 3 )2
122 (5)2
x 1 或 x 171 37
所以P点坐标为：(1,0) 或 ( 171 ,0)
37
小结
1. 两条平行直线间距离的求法 转化为点到直线的距离
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
解： 在l2上任取一点，如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
两平 14 53
d
22 (7)2
3.3.4
两条平行直线间的 距离
两条平行直线间的距离是指夹在两 条平行线间公垂线段的长
两平行线间的距离处处相等
1. 怎样判断两条直线是否平行？
2.设l1//l2，如何求l1和l2间的距离？ 1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线
的距离？ 2) 如何取点，可使计算简单？
例1 已知直线 l1 : 2x 7y 8 0 和 l2 : 6x 21y 1 0
2. 两条平行直线间距离公式
作业
P110习题3.3A组： 10. 习题3.3B组：3，6，9
53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
例3. 求证：两条平行直线Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0间的距离为
d | c1 c2 | A2 B2
例4 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- 3 y +7=0 与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求P点坐标。
解：设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x 3 0 7 12x 5 0 40
12 ( 3 )2
122 (5)2
x 1 或 x 171 37
所以P点坐标为：(1,0) 或 ( 171 ,0)
37
小结
1. 两条平行直线间距离的求法 转化为点到直线的距离
《两条平行直线之间的距离》人教版高中数学必修二PPT课件(第3.3.4课时)
它们的斜率呢？
y
L1 L2
o
x
新知探究
结论1：对于两条不重合的直线 l1 和 l2 :
(1)l1 // l2 1 2; (2)l1 // l2 k1 k2 或 k 1 , k 2 都不存在 .
注意： l1∥l2
k1＝k2.
条件：不重合、都有斜率 特殊情况下的两直线平行:
两直线的倾斜角都为90°，互相平行.
新知探究
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是：
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
y P1
o
x P2
新知探究
点到直线的距离公式
| PQ | | Ax 0 By0 C | A2 B2
y
P
l
Q
o
x
新知探究
两条平行直线的相对位置关系常通过距离来反映，两平行直线间的距离的含义是什么？ A
新知探究
（2）如何取点，可使计算简单？ y
A
A
o
B
B
A点取在l1与坐标轴的交点时，计算较为简单。
l1 l2 x
新知探究
求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离。
解: 在直线 2x -7y -6=0 上取 P( 3, 0), 则 P( 3, 0)到直线 2x -7y +8 =0 的距离就是两平行线间的
新知探究
例1、已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关
系，并证明你的结论。
解:
kBA
30 2 (4)
1 2
y
A Q
kPQ
2 1 1 (3)
高中数学人教A版必修2课件：3.3.4两条平行直线间的距离
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02
使用公式计算两条平行直线间的 距离。公式为：距离 = |C1 - C2| / √(A^2 + B^2)，其中A、B、 C1和C2是直线的系数和常数项。
距离公式的几何解释
两条平行直线间的距离可以通过考虑 它们之间的“最短路径”来解释，即 通过作垂线来找到这个最短路径。
距离公式实际上是计算了两条平行直 线间的垂线段的长度，这个长度即为 两条平行直线间的最短距离。
如果一条线段的两个端点分别在两条平行线上，那么这条线段的长度与两条平行线之间的距离成正比 。
03 两条平行直线间的距离的 求法
通过作垂线求距离
确定两条平行直线， 并在其中一条直线上 取一点。
测量垂线段的长度， 即为两条平行直线间 的距离。
过这个点作另一条直 线的垂线。
利用公式求距离
01
确定两条平行直线，并知道它们 的方程。
04 两条平行直线间的距离的 应用
在几何图形中的应用
确定几何图形面积
通过两条平行线间的距离，可以确定 一个几何图形的面积，例如平行四边 形、矩形等。
判断平行关系
利用两条平行线间的距离，可以判断 两条直线是否平行，或者两条直线是 否相交。
在解析几何中的应用
求解直线方程
通过两条平行线间的距离，可以求解直线的方程。
平行线间的距离性质
唯一性
两条平行线之间的距离是唯一的，不 会因测量点的位置变化而改变。
最小性
两条平行线之间的距离是最短的，任 何其他点到这两条平行线的距离都不 会小于这个值。
距离与线段的比例关系
平行线间距离与线段的比例关系
如果一条线段与两条平行线相交，那么这条线段与两条平行线之间的距离成比例。
人教版2017高中数学(必修二)3.3.4 两条平行直线间的距离PPT课件
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
题型三
5 【变式训练2】 到直线2x+y+1=0的距离为 的点的集合为( 5 A.直线2x+y-2=0
)
B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0 D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0
解析:到直线 2x+y+1=0 的距离为 2x+y+C=0(C≠1),则
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典例透析
题型一
题型二
题型三
题型一
求两条平行线间的距离
【例 1】 求两条平行直线 l1:3x+4y-5=0 和 l2:6x+8y-9=0 间 的距离. 解:方法一:在直线 l1:3x+4y-5=0 上任取一点, 不妨取点������ 0,
5 4
,
则点 P 到直线 l2:6x+8y-9=0 的距离即为两条平行直线 间的距离. 因此 d=
【例 2】 平行于直线 x− 3������ = 0, 且与其距离为 3 的直线������的方程是 . 解析:设直线 l 的方程是 x− 3������ + ������ = 0(������≠0), 则 0. 答案:x− 3������ + 6 = 0 或������ − 3������ − 6 = 0
错解:d=
|2-(-8)| 32 +4 2
=
10 5
= 2.
错因分析:错解中,未把 l2 的方程化为 3x+4y+m=0 的形 式而导致出错. 正解:l2:12x+16y-8=0 可化为 3x+4y-2=0, 则所求距离 d=
高中数学 第三章 3.3.33.3.4两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2
第一页，共25页。
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
人教新课标版数学高一必修2课件点到直线的距离两条平行直线间的距离
答案
问题3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0， |3－c| |c＋1|
由题意知： 22＋12＝ 22＋12， 得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟
解析答案
探究点3 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1 的最小值
7 为___1_0____. 解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12， ∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， ∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝ |86－2＋18| 2＝170.
取一点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
返回
解析答案
当堂测试
1 23 45
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )
A.1
B.－1
C. 2
D.± 2
|a－1＋1| 解析 由题意知 12＋12 ＝1，
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
解析答案
1 23 45
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( C )
问题3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0， |3－c| |c＋1|
由题意知： 22＋12＝ 22＋12， 得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟
解析答案
探究点3 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1 的最小值
7 为___1_0____. 解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12， ∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， ∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝ |86－2＋18| 2＝170.
取一点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
返回
解析答案
当堂测试
1 23 45
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )
A.1
B.－1
C. 2
D.± 2
|a－1＋1| 解析 由题意知 12＋12 ＝1，
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
解析答案
1 23 45
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( C )
3.3.4 两条平行直线间的距离 课件(12张PPT)高中数学必修2(人教版A版)
3.3.4 两条平行直线间的距离
1.会求两条平行线之间的距离.
1.两条平行直线间的距离 （1）两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线
间公垂线段的长.
l2 间的距离？ （2）探究：如果直线 l1 / / l2 如何求 l1 与
例1 已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0, l2 : 6x 21y 1 0.
d= 6 × 0 + 28 + 4 6 2 + 82 = 20 = 2, 100
即两直线的距离为2
2 x 3 y +6=0 练习3.直线 l1过点A(0,1),与直线 l 2：
平
l1
行，求直线 的方程。 l / / 解：因为 1 l2 所以设 l 2 的方程为 2 x 3 y +C=0 直线 l1 过点A(0,1),即 2 0 3 1+C=0 所以 C 3 即直线 l1 的方程为 2 x 3 y 3=0
d C1 C2 A2 B 2 = 1 1 32 2
2
A B 2 2 13 13 13
练习２：
求两条平行直线 3x 4 y 8 0 与 6 x 8 y 4 0 间的距离 d 。 解：先求 3x 4 y 8 0 与y轴的交点A的坐标，易得A（ 0,2），点A到直线 的距离为 6x 8 y 40
l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离. 解：因为l1，l2的斜率分别为 k1 2 , k2 6 2 .
7 21 7
所以l1，l2平行.
先求l1与x轴的交点A的坐标，易得A（4,0）， 点A到直线l2的距离为 d =
6 × 4 - 21× 0 - 1
1.会求两条平行线之间的距离.
1.两条平行直线间的距离 （1）两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线
间公垂线段的长.
l2 间的距离？ （2）探究：如果直线 l1 / / l2 如何求 l1 与
例1 已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0, l2 : 6x 21y 1 0.
d= 6 × 0 + 28 + 4 6 2 + 82 = 20 = 2, 100
即两直线的距离为2
2 x 3 y +6=0 练习3.直线 l1过点A(0,1),与直线 l 2：
平
l1
行，求直线 的方程。 l / / 解：因为 1 l2 所以设 l 2 的方程为 2 x 3 y +C=0 直线 l1 过点A(0,1),即 2 0 3 1+C=0 所以 C 3 即直线 l1 的方程为 2 x 3 y 3=0
d C1 C2 A2 B 2 = 1 1 32 2
2
A B 2 2 13 13 13
练习２：
求两条平行直线 3x 4 y 8 0 与 6 x 8 y 4 0 间的距离 d 。 解：先求 3x 4 y 8 0 与y轴的交点A的坐标，易得A（ 0,2），点A到直线 的距离为 6x 8 y 40
l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离. 解：因为l1，l2的斜率分别为 k1 2 , k2 6 2 .
7 21 7
所以l1，l2平行.
先求l1与x轴的交点A的坐标，易得A（4,0）， 点A到直线l2的距离为 d =
6 × 4 - 21× 0 - 1
高中数学：《点到直线、两平行线间的距离》课件(新人教A必修2)
AB边所在直线的方程为
O
x
y-3 x1 1-3 31
即xy40
h|104|5
1212
2
因,此 SAB C1 222525
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
l2
Q
o
x
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 的距离公式是 d=Ax0+By0+C
A2 +B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是
d=
C1 - C2 A2 + B2
[思路一] 利用两点间距离公式:
y
P
l
Q
o
x
[思路二] 构造直角三角形求其高.
y
R Q
O
P(x0,y0)
S
x
L:Ax+By+C=0
点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d| Ax0By0C| A2 B2
练习2
1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.
2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
d
C1 -C2
A2 B2
练习3
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是___53___;
人教版高中数学必修二课件：3.3.4 两条平行线间的距离(讲授式) (共12张PPT)
这里先将两条 直线的方程变 成x与y的对应 系数相等是关 键的一步，否 则公式不可用.
典例精析
两条平行线间的距离的求法
l1 l2 O
y
x
达标检测
两条平行直线间的距离的求法
求下列两条平行线的距离： (1) l1:2x+3y-3=0 ，l2:4x+6y+17=0;
(2) l1: 3x+4y=10 ，l2: 3x+4y-5=0.
课堂小结
总结本节课的学习内容.
解析 几何
解析几何
解析几何 解析几何
3.3.4 两条平行线间的距离
学习目标
三维目标及重难点分析
1．知识与技能 理解两条平行线间的距离的含义和两种常用的求法.
2．过程与方法 会用两条平行线间的距离公式求解有关的距离问题．
3．情感、态度与价值观 体会事物之间的内在联系，能用联系的观点看问题． 4 ．重点与难点 重点 难点 两条平行线间的距离的求法． 两条平行线间的距离公式的理解与应用；
复习回顾
已经学过的距离公式
新课引入
引入新课
两条平行线间的距离的求法
距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及
距离，除了前面两节课课我们学习的两点之间的距离与点到直线的距离 之外，还有其他的距离问题，如两条平行线间的距离问题，那么如何计算 平面直角坐标系下两条平行线间的距离呢？
我们今天要学习的内容是
————平面直角坐标系下两条平行线间的距离的求法
新课引入
Hale Waihona Puke 两条平行线间的距离的含义y
Q
O
x
新课讲授
思考3
两条平行线间的距离的求法
如何求两条平行直线间的距离呢？
人教A版高中数学必修二.4两条平行直线间的距离PPT全文课件(15ppt)
三、习之
例2.求平行线2x-7y-8=0与6x-21y-1=0之间的距离。
8 （ 1）
d
3 23 53
22 72
159
人教A版高中数学必修二.4两条平行直 线间的 距离PP T全文 课件(15 ppt)【 完美课 件】
人教A版高中数学必修二.4两条平行直 线间的 距离PP T全文 课件(15 ppt)【 完美课 件】
两平行线间距离
l1
l2
二、知新
1.请列举，生活中能抽象出两条平行线 的实物？你发现了什么？
2.什么是两平行线间的距离？
人教A版高中数学必修二.4两条平行直 线间的 距离PP T全文 课件(15 ppt)【 完美课 件】
二、知新
两条平行直线间的距离
定义:夹在两条平行直线间公垂线段的长 叫做这两条平行直线间的距离.
人教A版高中数学必修二.4两条平行直 线间的 距离PP T全文 课件(15 ppt)【 完美课 件】
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两条平行直线间的距离
一、温故
1.两点间的距离公式？
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.点到直线的距离公式？
平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式：
d = Ax0 + By0 + C A2 + B2
3.类比：两点间距离，点到直线的距离， 我们下面需要学习什么呢？
特征：两平行线间距离处处相等
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(2)直线3x+4y=0与y轴的交点A的坐标为:(0,0)． 解： 则点A到直线3x+4y=0的距离
d 10 3 4
2 2
2.
所以两条平行线间的距离是2.
练习4
1.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0 的距离是____.
题型二：求直线方程 1.求与直线l：5x－12y＋6＝0
反射问题
例7.光线通过A(2,4)经过直线2x-y-7=0 反射， 若反射线通过B(5,8), 求入射线和反射线所在直线的方程
练习4
求平行于直线x－y－2=0且与它 距离为 2 2 的直线方程.
解：设直线的方程为x-y+m=0， 且两直线的距离 d
题型一：公式应用
例1 已知直线 l1 : 2 x 7 y 8 0 和 与 l 2 : 6 x 21y 1 0,l1与l2是否平行？若平 行,求l1与l2的距离.
例3 已知直线l1 ：2x-7y-8=0，l2 ：6x-21y-1=0， 求直线l1 与l2 间的距离。
解：设l1 与x轴的交点为A，A点的坐标为:(4，0)。 根据点到直线的距离公式： y
(1)直线2x+3y-8=0与x轴的交点A的坐标为： 解： (4,0)． 则点A到直线2x+3y+18=0的距离
d 2 4 18 2 3
2 2
2 13,
所以两条平行线间的距 离是2 13.
练习
求下列两条平行线间的距离：
(1)2x+3y-8=0，2x+3y+18=0 ； (2)3x+4y=10，3x+4y=0.
两平行线间的距离
复习：
d
P(x0,y0) x
点P（x0 ，y 0）到直线l： Ax+By+C=0的距离
Ｑ
O
l:Ax+By+C=0
d
Ax0 By0 C A B
2 2
例3.过点P1,2引直线L是A2,3，B4， 5到 该直线的距离相等，求 此直线的方程
练习：过点A2,1的所有直线中， 距离原点最远的直线方 程
l1 :2x+3y+6=0 l2 :4x+6y+18=0
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P 两条平行线
l2
Q o x
l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
d
C1 - C2 A B
2 2
课堂练习
一.求点P(3,-2)到下列直线的距离 :
平行且到l的距离为2的直线的方程.
2.求与L : 2 x y 3 0, L : 2 x y 1 0
1 2
的距离相等的直线L的方程
练习3
14 53 53 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______;
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____. 13
4=
x5 2
1=
y8 2
,解得x = 3
y = -6
解题要点：中点公式的运用
二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线L的方程
为3x+y-2=0,求点A关于直线L的对称点A/的 坐标。
kL • kAA’ = -1 解题要点： AA’中点在L上
三、直线关于点对称
例3.求直线L1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线L2的方程。 解题要点： L1 // L2, 可设平行的直线系方程:
练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，
求a的值. 2、求过点A(－1,2),且与原点的距离等于
2 2
的直线方程 .
一、点关于点对称
题型三：对称问题
例1. 已知点A(5,8) ，B(4 ，1) ，试求A点 关于B点的对称点C的坐标。
解:依题意知, 点B是AC的中点, 设C点坐 标为（x , y), 由中点坐标公式得
2. 求两条直线 l1：3x＋4y＋1＝0 l2：5x＋12y－1＝0
的夹角平分线方程.
求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
d Ax0 By0 C A B
2 2
.
l2
A(4,0)x
.
点A到l2 的距离为
23 23 d 53, 2 2 3 53 159 6 21 23 所以l1与l2间的距离是 53. 159 6 4 21 0 1
l1
o
练习
求下列两条平行线间的距离：
(1)2x+3y-8=0，2x+3y+18=0； (2)3x+4y=10，3x+4y=0.
A B
2 2
| Ax0 By0 C2 |
又 Ax0 By0 C1
d
C 2 C1 A B
2 2
任意两条平行直线l1、l2之间的距离公式： l2 :Ax+By+C2= l1 :Ax+By+C1=0 0
d
C2 C1 A B2 2源自注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式,并 且X、Y项的系数要对应相等.
3x-y+c=0
法一：在L1上任意取一点，并求其关于P点 的对称点;代入3x-y+c=0 法二： L1 // L2且P到两直线等距
四、直线关于直线对称
例4. 试求直线L1:x-y-2=0关于直线
L2:3x-y+3=0对称的直线L的方程
解题要点：求交点
思考：若L1//L2, 如何求L1 关于L2的对称直线方程？
d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
任意两条平行直线都可以写成如下形式：
y
l1 l2 x
O
d
l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2= 0 设P( x0 , y0 )在直线L1上
则点P到直线L2的距离
3 1 1y x 2x 4 4 4
18 答案（1） （2） 7 5
二.求两平行直线3x+4y+2=0和 6x+8y-5=0的距离. 答案: 0.9
典型例题
求与直线l：x－y＋6＝0平行且到l的距离为1的直线
的方程.
x y6 2 0
练习：两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是____. 2
d 10 3 4
2 2
2.
所以两条平行线间的距离是2.
练习4
1.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0 的距离是____.
题型二：求直线方程 1.求与直线l：5x－12y＋6＝0
反射问题
例7.光线通过A(2,4)经过直线2x-y-7=0 反射， 若反射线通过B(5,8), 求入射线和反射线所在直线的方程
练习4
求平行于直线x－y－2=0且与它 距离为 2 2 的直线方程.
解：设直线的方程为x-y+m=0， 且两直线的距离 d
题型一：公式应用
例1 已知直线 l1 : 2 x 7 y 8 0 和 与 l 2 : 6 x 21y 1 0,l1与l2是否平行？若平 行,求l1与l2的距离.
例3 已知直线l1 ：2x-7y-8=0，l2 ：6x-21y-1=0， 求直线l1 与l2 间的距离。
解：设l1 与x轴的交点为A，A点的坐标为:(4，0)。 根据点到直线的距离公式： y
(1)直线2x+3y-8=0与x轴的交点A的坐标为： 解： (4,0)． 则点A到直线2x+3y+18=0的距离
d 2 4 18 2 3
2 2
2 13,
所以两条平行线间的距 离是2 13.
练习
求下列两条平行线间的距离：
(1)2x+3y-8=0，2x+3y+18=0 ； (2)3x+4y=10，3x+4y=0.
两平行线间的距离
复习：
d
P(x0,y0) x
点P（x0 ，y 0）到直线l： Ax+By+C=0的距离
Ｑ
O
l:Ax+By+C=0
d
Ax0 By0 C A B
2 2
例3.过点P1,2引直线L是A2,3，B4， 5到 该直线的距离相等，求 此直线的方程
练习：过点A2,1的所有直线中， 距离原点最远的直线方 程
l1 :2x+3y+6=0 l2 :4x+6y+18=0
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P 两条平行线
l2
Q o x
l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
d
C1 - C2 A B
2 2
课堂练习
一.求点P(3,-2)到下列直线的距离 :
平行且到l的距离为2的直线的方程.
2.求与L : 2 x y 3 0, L : 2 x y 1 0
1 2
的距离相等的直线L的方程
练习3
14 53 53 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______;
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____. 13
4=
x5 2
1=
y8 2
,解得x = 3
y = -6
解题要点：中点公式的运用
二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线L的方程
为3x+y-2=0,求点A关于直线L的对称点A/的 坐标。
kL • kAA’ = -1 解题要点： AA’中点在L上
三、直线关于点对称
例3.求直线L1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线L2的方程。 解题要点： L1 // L2, 可设平行的直线系方程:
练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，
求a的值. 2、求过点A(－1,2),且与原点的距离等于
2 2
的直线方程 .
一、点关于点对称
题型三：对称问题
例1. 已知点A(5,8) ，B(4 ，1) ，试求A点 关于B点的对称点C的坐标。
解:依题意知, 点B是AC的中点, 设C点坐 标为（x , y), 由中点坐标公式得
2. 求两条直线 l1：3x＋4y＋1＝0 l2：5x＋12y－1＝0
的夹角平分线方程.
求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
d Ax0 By0 C A B
2 2
.
l2
A(4,0)x
.
点A到l2 的距离为
23 23 d 53, 2 2 3 53 159 6 21 23 所以l1与l2间的距离是 53. 159 6 4 21 0 1
l1
o
练习
求下列两条平行线间的距离：
(1)2x+3y-8=0，2x+3y+18=0； (2)3x+4y=10，3x+4y=0.
A B
2 2
| Ax0 By0 C2 |
又 Ax0 By0 C1
d
C 2 C1 A B
2 2
任意两条平行直线l1、l2之间的距离公式： l2 :Ax+By+C2= l1 :Ax+By+C1=0 0
d
C2 C1 A B2 2源自注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式,并 且X、Y项的系数要对应相等.
3x-y+c=0
法一：在L1上任意取一点，并求其关于P点 的对称点;代入3x-y+c=0 法二： L1 // L2且P到两直线等距
四、直线关于直线对称
例4. 试求直线L1:x-y-2=0关于直线
L2:3x-y+3=0对称的直线L的方程
解题要点：求交点
思考：若L1//L2, 如何求L1 关于L2的对称直线方程？
d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
任意两条平行直线都可以写成如下形式：
y
l1 l2 x
O
d
l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2= 0 设P( x0 , y0 )在直线L1上
则点P到直线L2的距离
3 1 1y x 2x 4 4 4
18 答案（1） （2） 7 5
二.求两平行直线3x+4y+2=0和 6x+8y-5=0的距离. 答案: 0.9
典型例题
求与直线l：x－y＋6＝0平行且到l的距离为1的直线
的方程.
x y6 2 0
练习：两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是____. 2