2012-2013第一学期期中考题答案

北京航空航天大学2012－2013 学年第一学期期中《工科数学分析(I) 》试卷班号学号姓名成绩2012年11月28日一 计算下面各题（满分40分，每个题目5分）1) 计算极限()1ln lim xx x ?+.解：()1ln lim lim xx x x ?ギ++=，而ln(ln limlim lim 1x x x xx x=?ギ+ギ+ ==，因此()1ln lim xx x e ?+=.建议评分标准: 转化成指数2分,洛比塔法则3分2) 在0x +→时，求下列无穷小的阶s i 2)-.解：当0x +→时，20-，因此2)-与2为等价的无穷小量。

而2==.因此1lim 16x +®=，因此2)为在0x +→时的12阶无穷小量. 建议评分标准: 去掉sin 的步骤2分,剩下3分3) 假设a xx x f x a=+ 求()'f x .解：ln aa x x xxe=，因此ln 11()'()'(ln )aa ax x xx a a x ex x ax x --==+，ln x x x x e =，因此()'(1ln )x x x x x =+，因此()ln ()'ln (1ln )xxxx x xx x a a a x a a x x =?鬃+.因此原式=11(ln )ln (1ln )axx a a x x xxaxx a ax x --++鬃+建议评分标准: 两部分各2分，最终答案1分4)假设sin ,(,)22cos .t t x e t t y e t p p ìï=ï?íï=ïî，求dy dx .解：cos sin cos sin .cos sin cos sin t t t tdy e t e t t t dx e t e t t t--==++建议评分标准：分子分母各2分，答案1分 5) 假设()()223sin 2,f x x x x =++求()().n f x解：由Leibniz 公式，()()()212(1)232sin(2)(22)2sin(2)22(2)(1)2sin(2)2nnn n f x n n x x x x n xn n n x ppp---=++鬃+++鬃?-+?鬃+ 建议评分标准：能看出是用Leibniz 法则2分，剩余计算3分6) 求()cos f x x =在2x p=的n 阶Taylor 展开,并写出peano 余项.解：3212cos sin()21()()(1)()(())23!222n n n x x x x x o x pp p p p-=--=--+--+--+-L建议评分标准：5分 7) 假设函数()ln f x x x = (0x >), 判断函数的凹凸性.解：0x >时，()1''0,f x x=>因此()f x 为凸函数. 建议评分标准：二阶导数3分，凹凸性判断2分 8) 求函数()(25f x x =-的极值解：在0x ¹时()211333210'2(25)(1),33f x x x x x x --=+-鬃=-在0x =时()f x 不可导. 由()'0f x =求得()f x 的驻点为1x =.当0x <时，()'0f x >，()f x 递增， 当01x <<时，()'0f x <，()f x 递减，当1x >时，()'0f x >，()f x 递增，因此()f x 在0x =处取极大值()00f =，在1x =处取极小值()13f =-.建议评分标准：导数1分，判断单调性3分，极值判断1分二 证明下面问题（10分）假设11210,0,2,3n n n x x x x s s +骣÷ç÷>>=+ç÷ç÷桫 证明数列{}n x单调有界，且极限为证明：当0n >时，122112()33n n n n n nx x x x x x s s +骣÷ç÷=+=++ ç÷ç÷桫因此从第二项开始{}n x下证{}n x 为单调下降的，当1n >时，由n x >12112(2)33n n nn n n x x x x x x s +骣÷ç÷=+?=ç÷÷ç桫，{}n x 为单调下降，因此{}n x 有极限，设lim n n x a =，则1(2)3a a as=+，解得a =.建议评分标准：有界性3分，单调性4分，计算极限3分三. 证明下面问题（10分） 数列{}n x 满足s i n 2s i n 3s i n 2(2c o s 2)3(3c o s 3)(c o s)n xx n xx x x n n n x =+++++L ,用Cauchy 收敛定理证明{}n x 收敛。

证明：易知不等式sin 1||(cos )(1)nx n n nx n n £+-成立，因此任取自然数n 及正整数p ，有sin(1)sin()||||||(1)(1cos(1))()(cos())111.(1)()(1)n p n n x n p xa a n n n x n p n p n p x n n n p n p n+++-?++++++++?<+++-L 任取0e >，取1[]N e=，则当n N >时，任取自然数p ，均有1||n p n a a n e +-<<.因此{}n x 为Cauchy 基本列，故收敛。

建议评分标准: 不等式放缩6分，Cauchy 收敛定理4分。

四. 证明下面问题 (10 分) .(1) 利用拉格朗日中值定理证明 1212|arctan arctan |||;x x x x -≤-(2) lim (arctanarctan 0,x k →+∞=∈其中Z ;(3) 设常数12,,n a a a 满足120n a a a ++=，求证1lim0nkx k a→+∞==∑.证明：（1）. 由拉格朗日中值定理知存在ξ在1x 与2x ，使得121221arctan arctan ()1x x x x ξ-=-+， 因此1212|arctan arctan |||;x x x x -≤-（2）. |arctan arctan |≤=lim0x =，因此lim 0;x →+∞=（3）.11arctan nnkk k k aa ===∑∑, 因此111limlimarctan lim 0.n nkk x x k k nk x k aa a →+∞→+∞==→+∞====∑∑∑建议评分标准：第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题3分五. （10分）假设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)上可导，且(0)(1)0,(2)0f f f +==证明: 1)利用介值定理证明存在()[0,1],0f αα∈=使得；2) 存在(0,2)θ∈使得()'()0f f θθ+=.证明：(1). 由(0)(1)0f f +=可得，要么(0)(1)0f f ==，要么(0)(1)0f f ⋅<，由连续函数介值定理，一定存在()(0,1),0f αα∈=使得，不管哪种情况都存在()[0,1],0f αα∈=使得.(2). 考虑新函数()()xF x e f x =，则()'(()'())xF x e f x f x =+，()(2)0F F α==，由罗尔定理知存在(0,2)θ∈，使得'()(()'())0F e f f θθθθ=+=，即()'()0f f θθ+=.建议评分标准：两个小题各5分 六. (10分) 假设函数()f x 在[]0,1存在二阶导数,()|''|,f x M £ ()f x 在(0,1)内取得最大值，求证|'(0)||'(1)|f f M +≤.证明：设()f x 在a 点取到最大值，则'()0f a =，在a 点对'()f x 进行泰勒展开得：11'(0)'()'()(0)''()()f f a f a f a θθ=+-=-；21'(1)'()'()(1)''()(1)f f a f a f a θθ=+-=-.因此11|'(0)||'(1)||''()||''()|(1)(1)f f f a f a M a a M θθ+=+-≤+-=.建议评分标准：得到最大值导数为0得2分，两个泰勒公式各3分，不等式放缩2分 七. (10分）证明下面问题已知函数()f x 满足()0f x >，且()f x 在(),-? 上一致连续，求证()12f x 在(),-? 上一致连续.证明：任取0ε>，由()f x 一致连续知：存在0δ>，使得当12||x x d -<时，212|()()|f x f x e -<，下面分情况证明112212|()()|f x f x e -<.如果2212(),()f x f x e e <<，则112212|()()|f x f x e -<.如果12(),()f x f x 中有一个大于等于2e ，不妨设21()f x e ³，则112122212112212|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x e e e--=<=+.因此()12f x 一致连续.建议评分标准：一致连续定义4分，两种情况讨论各3分八. （10分）附加题 (下面任选一题, 只能选作一题)1) 设()f x 为(,)-∞+∞上的可导函数，且在0x =的某个邻域内成立()2()9()x x f e f e x x α--=+，其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小量。

求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程。

解: 记()()2()xxF x f e f e -=-，则由()9()F x x x α=+知(0)0F =，00()(0)9()'(0)limlim 9x x F x F x x F x xα→→-+===. 又由()()2(x xF x f e f e -=-知(0)(1)2(1)(1)F f f f =-=-. 因此(1)0f =， '(0)'(1)2'(1)F f f =+，因此'(1)3f =，()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为3(1)y x =-.建议评分标准：(1)f 的计算2分，'(1)f 的计算4分，切线公式4分。