第18讲 三角形与全等三角形
全等三角形ppt课件
三、概念剖析
为了方便书写，我们可以用符号表示两个三角形的全等.
例如△ABC与△DEF是全等的，
A
D
可以记作：“△ABC ≌△DEF”，
读作：“△ABC 全等于△DEF”． B
CE
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.
例如，△ABC与△DEF全等，点A 与点D、点B 与点E、点C 与点F为对应
三、概念剖析
猜想：全等三角形对应边和对应角有什么关系呢？ 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
应用格式 ∵△ABC≌△DEF，
A
D
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F B
CE
F
四、典型例题
例1.如图△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应点.
在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形， 这样的图形叫做全等形．研究全等形的性质和判定两个图形全等 的方法，是几何学的一个重要内容，本章将以三角形为例，对这 些问题进行研究．
同一种剪纸
风扇的叶片
上一章我们通过推理论证得到了三角形内角和定理等重要结 论．本章中，推理论证将发挥更大的作用.我们将通过证明三角 形全等来证明线段或角相等，利用全等三角形证明角的平分线的 性质.通过本章学习，你对三角形的认识会更加深入，推理论证 能力会进一步提高.
新知一览
全等三角形
“边边边”
全
等
三角形全等
“边角边”
三
的判定
“角边角”“角角边”
角
“斜边、直角边”
形 角平分线的性质
角平分线的性质
角平分线的判定
第十二章 全等三角形
第十八讲 三角形及全等三角形
第 10 题图
A.32
B．2
C．2 2 D. 10
课后精练
11．(2018·娄底)如图，△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于
点 D，DE⊥AB 于点 E，BF⊥AC 于点 F，DE＝3 cm，则 BF＝ 6 cm．
第 11 题图
课后精练
12．(2019·镇江)如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E， F 分别在 AD，BC 上，AE＝CF，过点 A，C 分别作 EF 的垂线， 垂足为 G，H.
第 3 题图
课后精练
则正确的配对是（ C ） A. ①－Ⅳ，②－Ⅱ，③－Ⅰ，④－Ⅲ B. ①－Ⅳ，②－Ⅲ，③－Ⅱ，④－Ⅰ C. ①－Ⅱ，②－Ⅳ，③－Ⅲ，④－Ⅰ D. ①－Ⅳ，②－Ⅰ，③－Ⅱ，④－Ⅲ
课后精练
4．(2018·成都)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加
以下条件，不能判定△ABC≌△DCB 的是( C )
第 4 题图
当堂过关
解：(1)∵∠PAC＝α，△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°－α. ∵QH⊥AP， ∴∠AHM＝90°. ∴∠AMQ＝180°－∠AHM－∠PAB＝45°＋α. (2)PQ＝ 2MB. 证明如下： 如图，连接 AQ，作 ME⊥QB 于点 E.
A．∠A＝∠D C．AC＝DB
第 4 题图 B．∠ACB＝∠DBC D．AB＝DC
课后精练
5．(2018·宿迁)若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边
长，则△ABC 的周长是( B )
A．12 B．10 C．8 D．6
课后精练
6．(2018·聊城)如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠， 使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′
特殊三角形
2．(2013·毕节)已知等腰三角形的一边长为4，另一 边长为8，则这个等腰三角形的周长为( C ) A．16 B．20或16 C．20 D．12 【解析】①当4为底时，其他两边都为8，可以构成 三角形，周长为20；②当4为腰时，其他两边为4和8， ∵4＋4＝8，∴不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有20. 3．(2013·德州)如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝ B CE， ∠D＝74°，则∠B的度数为( ) A．68° B．32° C．22° D．16°
3．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB 上，且BD＝AE，AD与CE交于点F. (1)求证：AD＝CE； (2)求∠DFC的度数． 【答案】(1)略． (2)60°.
类型三 直角三角形的性质与判定 例3 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分 斜边AC，交AB于D，E为垂足，连结CD，若BD＝1， 则AC的长是( ) A．2 3 B．2 C．4 3 D．4
【思路分析】(1)首先连结CE，根据直角三角形的
1 性质可得CE＝ AB＝AE，再根据等边三角形的性 2
质可得AD＝CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得 ∠ADE＝∠CDE＝30°，再有∠DCB＝150°可证明 DE∥CB. 1 (2)当AC＝ AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行 2
四边形．若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE， ∠DCB＋∠B＝180°进而得到∠B＝30°，再根据
类型五 特殊三角形的探究问题 例5 (2014·河南)(1)问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E 在同一直线上，连结BE. 填空：①∠AEB的度数为 ； ②线段AD、BE之间的数量关系是 ． (2)拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝ ∠DCE＝90°， 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、 AE、BE之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD＝ 2 .若点P满足PD＝1， 且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
第18讲 三角形与全等三角形
第18讲三角形与全等三角形在数学的广袤天地中，三角形与全等三角形是极为重要的基础概念，它们不仅是解决几何问题的关键工具，还在我们的日常生活中有着广泛的应用。
让我们先来聊聊三角形。
三角形，简单来说，就是由三条线段首尾相连所组成的封闭图形。
这三条边决定了三角形的形状和大小。
三角形的内角和总是 180 度，不管它的形状和大小如何变化，这个特性始终不变。
三角形按照角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形的三个角都小于 90 度；直角三角形有一个角恰好是 90 度；而钝角三角形则有一个角大于 90 度小于 180 度。
按边的长度来分，三角形又有等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
等边三角形的三条边长度相等，三个角也都相等，都是 60 度；等腰三角形有两条边长度相等，这两条相等的边所对的角也相等。
三角形具有很多独特的性质。
比如稳定性，我们生活中的很多建筑和结构都利用了三角形的稳定性，像屋顶的三角架、自行车的车架等等。
接下来，咱们重点讲讲全等三角形。
全等三角形是什么呢？如果两个三角形能够完全重合，那么它们就是全等三角形。
全等三角形的对应边相等，对应角也相等。
判断两个三角形是否全等，有很多方法。
比如“边边边”（SSS），就是说如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等；“边角边”（SAS），指的是如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等，它们就全等；“角边角”（ASA），意思是如果两个三角形的两个角及其夹边对应相等，这两个三角形全等；还有“角角边”（AAS），即如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，它们也全等。
在解决几何问题时，全等三角形常常能帮我们大忙。
比如，已知两个三角形全等，我们就能根据其中一个三角形的已知条件，求出另一个三角形中对应的边和角的大小。
为了更好地理解和运用三角形与全等三角形的知识，咱们来看几个实际的例子。
假设在一个建筑工地上，工人师傅要搭建一个三角形的架子。
2014中考总复习第18讲全等三角形
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
知识考点 02 全等三角形的性质的应用 全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、 对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系; 全等三角形的性质常用以证明线段与线段、角与角相等或倍数关系.
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
A. △A B D ≌△C B D B. △A B C ≌△A D C C. △A O B ≌△C O B D. △A O D ≌△C O D 【答案】 B
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
2. (2011·福州中考)如图, A B ⊥B D 于点 B , E D ⊥B D 于点 D , A E 交 B D 于点 C , 且 BC = D C . 求证 A B = E D . 【证明】 ∵A B ⊥B D , E D ⊥B D , ∴∠A B C = ∠D = 90°. 在△A B C 和△E D C 中,
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
一、全等三角形的概念 能够 的两个三角形叫做全等三角形.
➡特别提示: 全等三角形的面积相等, 但面积相等的三角形不一定全等. 二、全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边 2. 全等三角形的对应边的中线 上的高 , 全等三角形的周长 , 对应角 . , 对应边
真题演练
例 2 已知: 如图, AD = BC , A C = B D . 求证 O D = O C .
【思路点拨】 要证 O D = O C , 可证 O D 、O C 所在的△O D A 与△O C B 全等, 而△O D A 与△O C B 只有 A D = B C , ∠A O D = ∠B O C , 全等的条件不具备, 因此需 证∠D = ∠C , 而∠D 与∠C 在△D A B 与△C B A 中, 故可连接 A B , 证△D A B ≌△ C B A 即可. 同理也可连接 D C 证出.
《全等三角形》课件
题目：已知两个全等三角形，其中一个三角形的边长为3、4、5，另一个三角形的边长为4、 5、6，求这两个三角形的面积。 解析：这两个三角形的面积分别为6和10。
解析：这两个三角形的面积分别为6和10。
题目：已知两个全等三角形，其中一个三角形的边长为3、4、5，另一个三角形的边长为4、 5、6，求这两个三角形的周长和面积。 解析：这两个三角形的周长分别为12和15，面积分 别为6和10。
解析：根据相似三角形的性 质，利用已知条件进行证明
题目：判断两个三角形是否 全等
题目：求证两个三角形全等
题目：求证两个三角形相似
题目：求证两个三角形相似
填空题与解析
题目：已知两个全等三角形，其中一个三角形的边长为3、4、5，另一个三角形的边长为4、 5、6，求这两个三角形的周长。 解析：这两个三角形的周长分别为12和15。
角角角全等：三个角相等
灵活运用证明方法
观察图形，寻找相似三角形 利用边角关系，判断全等三角形 运用SAS、ASA、SSS等全等三角形判定定理 结合已知条件，选择合适的证明方法
注意解题的逻辑性和严密性
明确题目中的 已知条件和未
知条件
运用全等三角 形的性质和判 定定理进行推
理
注意推理过程 中的逻辑性和 严密性，避免 出现逻辑错误
证明题中的应用
证明两个三角形全等 证明两个三角形相似 证明两个三角形的边长关系 证明两个三角形的角关系
计算题中的应用
计算全等三角形的面积
计算全等三角形的边长
计算全等三角形的周长
计算全等三角形的角平分线长 度
实际生活中的应用
建筑设计：全等 三角形在建筑设 计中的应用，如 屋顶、窗户等
《三角形全等的判定》全等三角形PPT课件
画一个△ ′′′，使′′ = ，′’ =
，∠′ = ∠：
（1）画∠′ = ∠；
（2）在射线′上截取′′ = ，在
射线′上截取′′ = ；
（3）连接′′.
【结论】两边和它们的夹角分别相等的三角形全等。也就是说，三角形的两
⫽ .
∠4. 求证：∠5 = ∠6.
∵ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， = ，
根据易证△ ≌△ ，
∴有 = ，
又∵ ∠3 = ∠4， = ，
则可根据判定△ ≌△ ，
故∠5 = ∠6.
知识梳理
例4：如图，、交于点，、为上两点， = ， =
就全等了.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直
角三角形全等吗？
教学新知
探索5：任意画出一个△，使∠=90°.再画一个 △ ′’’，使
∠′=90°，′′=，′′=.把画好的△′′′剪下来，放
到△上，它们全等吗？
画 一 个 △ ′′′ ， 使 ∠′ = 90° ， ′′ =
求证 = .
∵⊥，⊥
∴∠与∠都是直角
在R △ 和Rt △ 中，
=
=
∴ △ ≌ △ （）
∴ = .
知识梳理
知识点1：“边边边”（或“SSS”）
1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”
两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的.
能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角
形全等呢？
探索1：先任意画出一个△ ABC.再画一个△ A′B′C′，使△ ABC与
△ A′B′C′满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别
相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你
全等三角形的概念与性质PPT课件
结合2,3两题，说说你是怎样寻找这些对应元素的。 ⑴写出图中相等的线段，相等的角；
相等
全等三角形的对应角有什么关系？ 记作: ∆ABC≌∆A1B1C1
相等
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
∵△ABC≌ △DFE（已知） ∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE （ 全等三角形的对应边相等 ） ∴ ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ F , ∠ C= ∠ E
（1） △ ABE ≌ △ ACF
（2）△ BCE ≌ △ CBF （3）△ BOF ≌ △ COE
5. △ABC≌△FED
⑴写出图中相等的线段，相等的角；
⑵图中线段除相等外，还有什么关系吗？ 请与同伴交流并写出来.
A
D
B
C E
F
感谢观看
O B
③ D
结合2,3两题，说说你是怎样寻找这些对 应元素的。 (1)对应角所对的边是对应边；对应边 所对的角是对应角。
(2)有公共边的，公共边是对应边；有 公共角的，公共角是对应角。
(3)相等的边是
1、如图△ ABD ≌ △CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC=
全等三角形的对应边有什么关系？ 图对指结即 A●(∴写对CA中应出合∠重出应=BAB三 角 下 2合 全 角=,EA3D角所列的等所D两F形对全顶三对=,题B∠的的等点角的C，C位边三叫形边=说AF置是角对的是EE说),是对形应符对A你怎应的顶号应C是=样边对点表边D怎变应示..E样化边,并寻的和指找？对出这应它些角们对的应对元应素顶的点。、对应边、对应角。
其它的对应边有：______ A
E
对应角有：__________
∠BAD=∠CAE吗?为什么?
第18课 三角形与全等三角形
2．三角形的分类：
(1)按边的大小分： 不等边三角形
三角形等腰三角形等底和边腰三不角形相等的等腰三角形 (2)按角的大小分：
4．如果待证结论所在的两个三角形不全等，那么有时候 需要添加辅助线，构造全等三角形．构造全等三角形 的常用方法有：①若已知三角形的中线，往往会用到 “倍长中线法”；②可通过作平行线，构造相等的角， 创造三角形全等的条件；③截取相等线段(截长补短) 或相等角，创造条件．在实际解题过程中，要注意结 合题意，添加合适的辅助线，并注意及时总结．
备注 判定两个三角形全等，至少要有一组对应边相等
5．重心：三角形三条中线的交点． 6．线段垂直平分线的定义：经过线段中点且垂直于这条
线段的直线叫做这条线段的垂直平分线． 7．角平分线和线段垂直平分线的性质定理及逆定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等． 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 到角两边的距离相等的点在角的平分线上． 到线段两个端点的距离相等的点在线段的中垂线上． 8．命题由题设和结论构成，判断一个命题为真命题需通 过证明，利用反例可以判断一个命题是假命题．
BD＝CD， ∵∠EDB＝∠MDC，
ED＝MD，
∴△EDB≌△MDC(SAS)， ∴BE＝CM． 在△FMC 中，易得 CM＋CF＞MF． ∵ED⊥DF，ED＝DM， ∴EF＝MF． 又∵CM＋CF＞MF， ∴BE＋CF＞EF．
【类题演练 4】 如图 18-8，在△ABC 中，∠C＝45°，AB
八年级秋季班-第18讲：直角三角形的判定、性质和推论-教师版
直角三角形是特殊的三角形，本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是直角三角形的性质及应用．综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解．1、直角三角形全等的判定方法：（1）直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；（2）直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“H．L”）．直角三角形的全等判定及性质知识结构模块一：直角三角形全等的判定知识精讲内容分析【例1】 如图，∠D =∠C =90°，请添加一个条件，使得△ABC ≌△BAD ，并在括号内写出判定的依据．（1）AD =__________()； （2）∠DAB =_________ ()．【难度】★【答案】BC ，.H L ；CBA ，..A A S ．【解析】（1）有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等； （2）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． 【总结】考查直角三角形全等判定及三角形全等判定定理．【例2】 已知：如图，EF ⊥AD ，BC ⊥AD ，AG =DH ，AF =DC ，那么图中全等的三角形共有______对． 【难度】★ 【答案】3对．【解析】AFG DCH ≌；ACB DFE ≌；EOG BOH ≌． 【总结】考查学生对全等三角形判定的灵活运用．【例3】 下列命题中，正确的个数是()①两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边相等的两个等腰直角三角形全等． A ．3B ．2C ．1D ．0【难度】★★ 【答案】B【解析】①错误；②、③正确．【总结】考查直角三角形全等的判定定理．例题解析BACDABCDEFGOH【例4】 已知：如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD =BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，求证：CE =DF ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，90ACB BDA ∴∠=∠=︒在RT ACB 和RT BDA 中， AB BA BC AD =⎧⎨=⎩RT ACB ∴≌RT BDA （.H L ）CAB DBA ∴∠=∠（全等三角形对应角相等），AC BD =（全等三角形对应边相等）CE ⊥AB ，DF ⊥AB 90AEC BFD ∴∠=∠=︒在RT AEC 和RT BFD 中AEC BFD CAB DBA AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， RT AEC ∴≌RT BFD （..A A S ）CE DF ∴=（全等三角形对应边相等）【总结】考查直角三角形全等判定及三角形全等判定定理的综合应用．【例5】 如图，已知：Rt △ABC 中，∠ACB 是直角，D 是AB 上一点，BD =BC ，过D 作AB的垂线交AC 于E ，求证：CD ⊥BE ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】90ACB DE AB ∠=︒⊥，，90ECB EDB ∠∴∠==︒． 在RT BEC 和RT BED 中，BE BEBC BD =⎧⎨=⎩，RT BEC ∴≌RT BED （.H L ） EC ED ∴=（全等三角形对应边相等）E ∴在CD 的垂直平分线上（垂直平分线逆定理）又BC BD =（已知），B ∴也在CD 的垂直平分线上（垂直平分线逆定理） BE ∴垂直平分CD （两点确定一条直线），即CD ⊥BE ．【总结】考查直角三角形斜边直角边判定的用法以及垂直平分线的性质定理的逆定理的应用．E ABCDF ABCDE【例6】 如图，△ABC 中，AB ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，DF ⊥AC ，ED =CD ．求证：AC =AE +2BE ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】AD 平分∠BAC ，且AB ⊥BC ，DF ⊥ACBD FD ∴=（角平分线性质定理）在RT BED 和RT FCD 中，ED CD BD FD =⎧⎨=⎩， RT BED ∴≌RT FCD （.H L ）BE FC ∴=（全等三角形对应边相等）同理可证：RT ABD ≌RT AFD （.H L ），AB AF ∴=（全等三角形对应边相等）AC AF FC AB AE BE =+=+，， 2AC AE BE ∴=+．【总结】本题主要考查直角三角形全等判定与角平分线性质的综合应用．【例7】 如图1，点A 、E 、F 、C 在一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ．若AB =CD ，（1）BD 与EF 有什么关系?为什么?（2）若变为图2所示位置，结论是否仍然成立?请说明理由． 【难度】★★【答案】（1）BD 与EF 互相平分； （2）成立．【解析】（1）提示：证 RT ABF ≌RT CDE （.H L ）； RT DEG ≌RT BFG （..A A S ）得：EG FG DG BG ==，（全等三角形对应边相等） （2）同理可证，结论成立．【总结】考查直角三角形全等的判定及全等三角形 的判定定理的应用．AB CD EFAB CD EF GA BCD EFG图2图1【例8】 在直角△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，直线l 为经过点A 的任一直线，BD ⊥l于点D ，CE ⊥l 于点E ，若BD >CE ，试问： （1） AD 与CE 的大小关系如何?请说明理由；（2） 线段BD 、DE 、CE 之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试． 【难度】★★★【答案】（1）AD CE =；（2）BD CE DE =+． 【解析】（1）90BAC ∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，BD l CE l ⊥⊥，， 90BDA AEC ∴∠=∠=︒， 90DBA BAD ∴∠+∠=︒， DBA EAC ∴∠=∠在RT ABD 和RT CAE 中，BDA AECAB CA DBA EAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， RT ABD ∴≌RT CAE （..A S A ） AD CE ∴=（全等三角形对应边相等） （2）BD CE DE =+ AD CE =，又AE AD DE =+ ，AE CE DE ∴=+RT ABD ≌RT CAE ， BD AE ∴=BD CE DE ∴=+．【总结】考查全等三角形的应用及线段间的等量代换．AB CD El【例9】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．（1） 若BC 在DE 的同侧（如图1），且AD =CE ，求证：AB ⊥AC ．（2） 若BC 在DE 的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）证明：BD ⊥DE ，CE ⊥DE90BDA AEC ∴∠=∠=︒．在RT BDA 和RT AEC 中，AB CA AD CE =⎧⎨=⎩， RT ABD ∴≌RT CAE （.H L ），DAB ECA ∴∠=∠．90AEC ∠=︒， 90CAE ECA ∴∠+∠=︒， 90CAE DAB ∴∠+∠=︒， 90BAC ∴∠=︒ ，∴AB ⊥AC ．（2）AB ⊥AC ．同理可证： RT ABD ≌RT CAE ，则可证90BAC ∠=︒，即AB ⊥AC ．【总结】考查直角三角形全等的判定及同角的余角相等相结合．【例10】 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的高，在AB 上截取AE =AC ，过点E 作EF ∥CD 、交BC 边于点F ，EG 垂直BC 于点G ，求证：DE=EG ． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】联结CEAE =AC ，ACE AEC ∴∠=∠90ACB ∠=︒， 90ACE ECG ∴∠+∠=︒ CD AB ⊥， 90AEC ECD ∴∠+∠=︒ ECD ECG ∴∠=∠又CD AB ⊥，EG BC ⊥DE GE ∴=【总结】考查等边对等角及角平分线性质定理的综合运用．图1ABCDE图2ABCDE ABCD EFG2、 两个性质：（1） 直角三角形的两个锐角互余；（2） 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的．【例11】 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ： （1）若∠B =55°，则∠A =________； （2）若∠B -∠A =10°，则∠B =_________；（3）图中与∠A 互余的角有_________，与∠A 相等的角有_________． 【难度】★★【答案】（1）35︒；（2）50︒；（3）B ∠、ACD ∠；BCD ∠．【解析】直角三角形的两个锐角互余，题目中有三个直角三角形ABC 、ACD 、BCD ． 【总结】直角三角形性质1：直角三角形的两个锐角互余的运用．【例12】 如图，已知，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，M 、N 分别是AC 、BD 中点．求证：MN ⊥BD ． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】联结MD 、MB ．90ABC ADC ∠=∠=︒，M 分别是AC 中点 1122BM AC DM AC ∴==，（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）BM DM ∴=， N 是BD 中点， MN BD ∴⊥（等腰三角形三线合一）．【总结】考查直角三角形斜边中线性质及等腰三角形三线合一性质的综合运用．模块二：直角三角形的性质例题解析知识精讲ABCD ABC DMN【例13】 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB 的中垂线交AB 于E 、AC 于D ，BD 、CE交于F ，设∠A =y ，∠DFC =x ， （1）求证：∠CDB =∠CEB ； （2）用x 的代数式表示y ． 【难度】★★【答案】（1）略；（2）1603y x =︒-．【解析】（1）90C ∠=︒ ，AB 的中垂线交AB 于E 12AE BE AB ∴==、12CE AB =（直角三角形斜边中线等于斜边一半）AE CE ∴=，A ACE ∴∠=∠，2CEB A ∴∠=∠．又AB 的中垂线交AB 于E ， AD DB ∴=（垂直平分线的性质）A ABD ∴∠=∠，2CDB A ∴∠=∠， CDB CEB ∴=∠（2）A y DFC x ∠=∠=，，A ACE ∠=∠，A ABD ∠=∠ 又2CDB A ABD CDB y ∠=∠+∠∴∠=，ACE y ∠= 180ACE CDB DFC ∴∠+∠+∠=︒．即3180x y +=︒，1603y x ∴=︒-【总结】主要考查：直角三角形斜边中线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和性质的综合运用．【例14】 如图ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，CF 是AB 边的中线，BF DC =，P 是CF中点． 求证：（1）DP FC ⊥；（2）2B BCF ∠=∠．【难度】★★ 【答案】略【解析】（1）联结DFAD 是BC 边上的高，CF 是AB 边的中线， 12BF AB ∴= ∵DF 是直角ABD 斜边上的中线， 12DF AB ∴=， BF DF ∴=． BF DC =， DC DF ∴=， 又P 是CF 中点， DP CF ∴⊥．（2）BF DF =， B BDF ∴∠=∠，DF DC =， BCF DFC ∴∠=∠．2BDF BCF DFC BCF ∠=∠+∠=∠， 2B BCF ∴∠=∠．【总结】考查等腰三角形的判定与性质，注意掌握直角三角形中，斜边中线等于斜边一半的定理应用．ABCDEAB CDPF【例15】 如图，AB ，CD 交于点O ，且BD=BO ，CA =CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点，求证：ME MF =．【难度】★★【答案】略 【解析】联结BE CF ，BD BO CA CO ==，，E 、F 分别是OD 、OA 的中点BE DO CF AO ∴⊥⊥，M 是BC 的中点1122EM BC FM BC ∴==，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）EM MF ∴=【总结】本题主要考查直角三角形的性质与等腰三角形性质的综合运用．【例16】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，若∠B 与∠C 互余，则MN 与(BC -AD )的关系是什么? 【难度】★★ 【答案】()12MN BC AD =-． 【解析】过点M 分别作////ME AB MF DC ，，交BC 于点E 、FB MEFC MFE ∴∠=∠∠=∠，，∠B 与∠C 互余， 90MEF MFE ∴∠+∠=︒，90EMF ∴∠=︒，即MEF 为直角三角形．在梯形ABCD 中，AD //BC ，////ME AB MF DC ，，AM BE DM CF ∴==，， M 、N 分别是AD 、BC 的中点， AM DM BN CN ∴==，()BC AD BC BE CF EF ∴-=-+=，EN FN = 12MN EF ∴=， ()12MN BC AD ∴=-． 【总结】考查直角三角形斜边中线性质的应用．ABCDEFO M ABCDMN E F【例17】 如图，已知在钝角∆ABC 中，AC 、BC 边上的高分别是BE 、AD ，BE 、AD 的延长线交于点H ，点F 、G 分别是BH 、AC 的中点． （1）求证：∠FDG =90°；（2）连结FG ，试问∆FDG 能否为等腰直角三角形?若能，试确定∠ABC 的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）证明：AC 、BC 边上的高分别是BE 、AD ，又点F 、G 分别是BH 、AC 的中点，12DG CG AC ∴==，12DF BF BH ∴==（斜边中线等于斜边的一半） GDC GCD BCE ∴∠=∠=∠，DBF BDF ∴∠=∠ GDC BDF BCE DBF ∴∠+∠=∠+∠，又AE BH ⊥，90BCE DBF ∴∠+∠=︒90GDC BDF ∴∠+∠=︒，即90FDG ∠=︒（2）能，45ABC ∠=︒．若GDF 为直角等腰三角形，则GD FD =，AC BH ∴=， ACD ∴≌BHD （..A A S ），AD BD ∴=，45ABC ∴∠=︒． 【总结】主要考查对直角三角形性质的掌握，以及能否灵活的运用．BE FHD AGC【例18】 如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD交AB 于E ．求证：∠CDA ＝∠EDB ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，交AD 于点F ．等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠︒＝， 45B ∴∠=︒．CH AB ⊥，45ACH BCH ∴∠=∠=︒， ACF BCH B ∴∠=∠=∠又CE AD ⊥， 12∴∠=∠． 在ACF 和CBE 中， 12ACF B AC CB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ACF ∴≌CBE （..A S A ），CF BE ∴=．AD 为腰CB 上的中线，CD BD ∴=．在CFD 和BED 中， CF BE DCF B CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， CFD ∴≌BED （..S AS ）CDF BDE ∴∠=∠， 即CDAEDB ∠∠＝． 【总结】考查学生对辅助线的添加及全等三角形的构造能力．AB C DE1 2H F【例19】 如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作△ABE 和△BCF ，连接AF 、CE ，取AF 、CE 的中点M 、N ，连接MB 、NB 、NM ．（1） 若△ABE 和△FBC 是等腰直角三角形，且∠ABE =∠FBC =90°，如图1所示，则△MBN 是_____________三角形；（2） 若△ABE 和△FBC 中，BA =BE ，BC =BF ，且∠ABE =∠FBC =α，如图2所示，则△MBN 是_____________三角形，且∠MBN =_______；（3） 若（2）中的△ABE 绕点B 旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明．【难度】★★★【答案】（1）等腰直角；（2）等腰，α；（3）结论仍然成立． 【解析】（1）易证ABF ≌EBC ， AF EC ∴=，BM BN ∴=，∴AMB ≌ENB ，MBA NBE ∴∠=∠ 90MBA MBF ∠+∠=︒，90MBF NBE ∴∠+∠=︒即90MBN ∠=︒，MBN ∴为等腰直角三角形 （2）根据题意，可知ABF ≌EBC ，BM BN ∴= 即MBN 为等腰三角形，ABM EBN ∠=∠ ABE MBN α∴∠=∠=，MBN α∴∠=（3）∵ABF ≌EBC ，AF CE AFB ECB ∴=∠=∠， FM CN ∴=， MFB ∴≌NCB BM BN ∴=，MBF NBC ∠=∠MBN MBF FBN FBN NBC FBC α∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=【总结】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形和 全等三角形的判定．掌握等腰三角形和全等三角形的性 质及判定并学会灵活运用是解题的关键．ABCMEFN图2A B CNEFM图1ABCEFNM图3【例20】 已知，如图，在△ABC 中，边AB 上的高CF 、边BC 上的高AD 与边CA 上的高BE 交于点H ，连接EF ，AH 和BC 的中点为N 、M ． 求证：MN 是线段EF 的中垂线． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】连接FM 、EM 、FN 、EN∵︒=∠90BFC ，M 为BC 的中点， ∴BC FM 21=∵︒=∠90BEC ，M 为BC 的中点，∴BC EM 21=，∴ME FM =∵︒=∠90AFH ，N 为AH 的中点，∴AH FN 21= ∵︒=∠90AEH ，N 为AH 的中点，∴AH EN 21=， ∴EN FN =， ∵ME FM =，EN FN = ∴MN 是线段EF 的中垂线．【总结】考察直角三角形的性质和线段垂直平分线性质定理逆定理的综合运用．3、 推论：（1） 在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；（2） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．模块三：直角三角形性质的推论知识精讲ABCDE FNHM【例21】 （1）△【例22】 △ABC 中，AB =AC =6，∠B =30°，则BC 边上的高AD =________；（2）△ABC 中，AB =AC ，AB 上的高CD =12AB ，则顶角∠BAC =_______． 【难度】★【答案】（1）3；（2）30︒或150︒．【解析】（1）在RT ABD 中，30B ∠=︒，则132AD AB ==； （2）要分两种情况考虑，△ABC 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形； 当△ABC 是锐角三角形时，30BAC ∠=︒； 当△ABC 是钝角三角形时，150BAC ∠=︒．【总结】考查直角三角形性质的两条推论的运用以及分类讨论思想．【例23】 如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC ，在CD 上取一点E ，使AE =AB ，则∠EBC 的度数为__________． 【难度】★ 【答案】15︒．【解析】过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ，则EH BC =． 又2AB BC =，AE AB =，2AE EH ∴=，30EAB ∴∠=︒75ABE ∴∠=︒，15EBC ∴∠=︒【总结】考查直角三角形性质的推论的运用：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°例题解析A BCDEH【例24】 已知：如图，在△ABC 中，BA =BC ，∠B =120°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，求证：12AD DC =．【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】连接BD∵BA =BC ，∠B =120°， ∴︒=∠=∠30C A ∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，∴DB AD =， ∴︒=∠=∠30DBA A∵∠B =120°，∴︒=︒-︒=∠9030120DBC∵︒=∠30C ，︒=∠90DBC ，∴DC BD 21=∵DB AD =，∴DC AD 21=【总结】考察线段垂直平分线的性质和直角三角形性质的综合运用．【例25】 已知：如图，Rt △ABC 和Rt △ABD 中，DA =DB ，∠ADB =90°，BC =12AB ， ∠ACB =90°，DE ⊥AB ，联结DC ，求∠EDC 的大小． 【难度】★★ 【答案】75°． 【解析】连接CE∵DA =DB ，DE ⊥AB ，∴EB AE =∵Rt △ABC ，BC =12AB ，∴︒=∠30CAB∵Rt △ABC ，EB AE =，∴CE AE =∴ACE CAB ∠=∠，∴︒=∠+∠=∠60ACE CAB CEB ∵DE ⊥AB ，∴︒=︒-︒=∠306090DEC ∵Rt △ABC 和Rt △ABD ，EB AE =∴AB CE AB DE 21,21==，∴CE DE =∵︒=∠30DEC ，∴︒=︒-︒=∠75230180EDC 【总结】考察线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质和等腰三角形性质的综合运用．AB CDNM EDCBA【例26】 已知如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，D 为AB 上一点，且BD =14AB ．求证：CD ⊥AB ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】取AB 的中点E ，连接CE∵AB BE 21=，BD =14AB ，∴BE BD =2，∴DB ED = ∵∠ACB =90°，∠A =30°，∴AB BC 21= ∵∠ACB =90°，EB AE =，∴AB CE 21=，∴CE BC = ∵CE BC =，DB ED =，∴CD ⊥AB ．【总结】考察直角三角形的性质的应用及等腰三角形三线合一性质的运用．【例27】 已知等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 相交于点F ，过点B 作BG ⊥AD ，垂足为G ， （1） 求FG ：BF 的值；（2） 若D 、E 分别在BC 、CA 的延长线上，其他条件都不变，上述结论是否仍然成立，请说明理由．【难度】★★【答案】（1）1：2；（2）见解析．【解析】（1）∵BAE ACD ∠=∠，AE =CD ，AB =CA ，∴CAD ABE ≌△△，∴ABE CAD ∠=∠∵︒=∠+∠60BAF CAD ，∴︒=∠+∠60BAF ABE ∴︒=∠60BFG ，∴︒=∠30FBG∵BG ⊥AD ，∴BF FG 21=，即FG ：BF=1：2；（2）若D 、E 分别在BC 、CA 的延长线上，其他条件都不变，也可以用同样的方法证 明出两个三角形全等，进而得到结论．【总结】考察直角三角形的性质的应用及利用三角形的外角性质求角的度数．A BCDEFGABCDE【例28】 在△ABC 中，已知∠A=60°，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，点D 是BC 中点. （1）如果AB=AC ，求证△DEF 为等边三角形；（2）如果AB≠AC ，试猜想△DEF 是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；（3）如果CM =4，FM =5，求BE 的长度． 【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）是，理由见解析；（3）12．【解析】（1）∵BE ⊥AC ，点D 是BC 中点，∴BC DC DE 21==∵CF ⊥AB ，点D 是BC 中点，∴BC BF DF 21==，∴DF DE = ∵∠A =60°，AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴︒=∠=∠60ACB ABC ∵DC DE =，︒=∠60ACB ，∴△DEC 是等边三角形，∴︒=∠60EDC ∵DB DF =，︒=∠60ABC ，∴△BFD 是等边三角形，∴︒=∠60FDB ∴︒=︒-︒-︒=∠606060180FDE ∵DF DE =，∴△DEF 为等边三角形（2）∵BE ⊥AC ，点D 是BC 中点，∴BC DC DE 21== ∵CF ⊥AB ，点D 是BC 中点，∴BC BF DF 21==，∴DF DE = ∵∠A =60°，∴︒=∠+∠120ACB ABC ， ∵DC DE =，∴ACB DEC ∠=∠ ∵DB DF =，∴ABC DFB ∠=∠， ∴180FDE FDB EDC ∠=︒-∠-∠()()180********ABC ACB =︒-︒-∠-︒-∠ ()218060ABC ACB =∠+∠-︒=︒ ∵DF DE =，∴△DEF 为等边三角形（3）∵∠A =60°，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB ，∴︒=∠=∠30ECM FBM∴1122FM BM EM CM ==，∵CM =4，FM =5，∴102==BM EM ，， ∴12210=+=+=ME BM BE【总结】考察直角三角形性质及等边三角形性质的综合运用．ABCDE FM【例29】 已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ，（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC . （2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】(1)∵∠MAN =120°，AC 平分∠MAN ，∴︒=∠=∠60CAB CAD∵∠ABC =∠ADC =90°，∴∠ACD =∠ACB =30°，∴AC AB 21=，AC AD 21=∴AC AC AC AD AB =+=+2121； （2）过C 作CE ⊥AM ，过C 作CF ⊥AN ，垂足分别为E 、F ∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AM ，CF ⊥AN ， ∴CF CE =∵∠ABC +∠ADC =180°，∠MDC +∠ADC =180°， ∴∠EDC =∠ABC∵∠EDC =∠ABC ，CF CE =，CFB CED ∠=∠ ∴CBF CED ≌△△，∴BF ED =∴AF AE BF AF DE AE AB AD +=++-=+ ∵∠MAN =120°，AC 平分∠MAN ， ∴︒=∠=∠60CAB CAD ∵∠ABC =∠ADC =90°， ∴∠ACE =∠ACF =30°， ∴AC AE 21=，AC AF 21=∴AC AC AC AD AB =+=+2121 【总结】考察角平分线的性质和直角三角形的性质的综合运用．ABCDMNNA BCD ME F【练习1】 下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）．A 、两条直角边对应相等B 、斜边一个锐角对应相等C 、一条直角边和一条斜边对应相等D 、一条边和一个角对应相等 【难度】★ 【答案】D【解析】A 的理由是S A S ..；B 的理由是S A A ..，C 的理由是L H . 【总结】考察直角三角形全等的判定．【练习2】 如图在△ABC 中，∠ACB =90°，在AB 上截取AE =AC ，BD =BC ，则∠DCE =_________．【难度】★ 【答案】45°【解析】180DCE CDE CED ∠=︒-∠-∠180********B A︒-∠︒-∠=︒--452A B∠+∠==︒． 【总结】本题主要考查等边对等角及三角形内角和定理的综合运用．【练习3】 如图在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A =30°，则AD =_____AB 【难度】★【答案】43．【解析】∵︒=∠+∠90ACD A ，︒=∠+∠90ACD BCD ， ∴︒=∠=∠30A BCD∵︒=∠90ACB ，∠A =30°，∴AB BC 21=∵︒=∠90BDC ，︒=∠30BCD ，∴BC BD 21=，∴AB BD 41=，∴AB AD 43= 【总结】考察直角三角形的性质的运用．随堂检测ABCD【练习4】 如图，在直角△ABC 在，∠ACB =90°，AB =8cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于E ，∠A =30°，求BC 、CD 和DE 的长．【难度】★★【答案】BC =4cm ，CD=4cm ，DE=2cm ．【解析】∵∠ACB = 90°，AB = 8cm ，D 为AB 的中点，∠A =30°，∴421421====AB BC AB CD ，∵DE ⊥AC ，∠A =30°，∴221==AD DE ． 【总结】考察直角三角形的性质的运用．【练习5】 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，交AD 于点H ，且AD=BD ，AC=BH ，连接CH ．求证：∠ABC=∠BCH ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】∵ADC BDH ∠=∠90=，AC =BH ，BD AD =∴ACD BHD ≌△△， ∴DC DH = ∵AD ⊥BC ， ∴︒=∠=∠45BCH CHD∵BD AD =，BC AD ⊥，∴︒=∠=∠45BAD ABC ， ∴∠ABC =∠BCH ．【总结】考察直角三角形全等的判定和性质的运用．【练习6】 如图，已知，在锐角三角形ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F ，求证：BF =BD ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AD ⊥BC ，E 为AC 的中点，∴AC EC DE 21==，∴EDC C ∠=∠∵BDF EDC ∠=∠，∴BDF C ∠=∠ ∵∠ABC =2∠C ，∴BDF ABC ∠=∠2∵F BDF ABC ∠+∠=∠，∴F BDF ∠=∠，∴BF =BD ． 【总结】考察直角三角形的性质和三角形外角性质的综合运用．【练习7】 如图，在△ABC 中，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，D 是边BC 的中点，连接ABCDEAB CDEFABCDEHDF 、EF 、DE ． （1）求证：ED =DF ；（2）若△DEF 是等边三角形，则△ABC 应满足什么条件? 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵BE ⊥AC ，点D 是BC 中点，∴BC DC DE 21==∵CF ⊥AB ，点D 是BC 中点，∴BC BD DF 21==，∴DF DE =；（2）︒=∠60A 时，△DEF 是等边三角形． ∵BE ⊥AC ，点D 是BC 中点，∴BC DC DE 21== ∵CF ⊥AB ，点D 是BC 中点，∴BC BF DF 21==，∴DF DE =∵∠A =60°，∴︒=∠+∠120ACB ABC ， ∵DC DE =，∴ACB DEC ∠=∠ ∵DB DF =，∴ABC DFB ∠=∠， ∴180FDE FDB EDC ∠=︒-∠-∠()()180********ABC ACB =︒-︒-∠-︒-∠ ()218060ABC ACB =∠+∠-︒=︒ ∵DF DE =， ∴△DEF 为等边三角形【总结】考察直角三角形的性质和等边三角形判定的综合运用．【练习8】 如图，AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD = CD ，AC = BC ．求证：AB = BO ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】过A 作AE ⊥BC 垂足为E ，过D 作DF ⊥BC ，垂足为F∵BD ⊥CD ，BD = CD ，DF ⊥BC ，∴BC DF 21=∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AD ∥BC ， ∴四边形AEFD 是长方形，∴DF AE =∵BC DF 21=，DF AE =，AC = BC∴AC AE 21=，∴︒=∠30ACB ∵AC = BC ，∴︒=∠=∠75ABC BAO∵BD ⊥CD ，BD = CD ，∴︒=∠45DBC ，∴︒=∠30ABD ∵︒=∠75BAO ，∴︒=∠75AOB ∴AOB BAO ∠=∠，∴AB = BO【总结】考察直角三角形的性质和等腰三角形性质的应用．【练习9】 已知：如图在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 上的中线，DC =BE ，DG ⊥CE ，垂足为点G ．求证：∠AEC =3∠DCE ．【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】联结ED∵AD 是BC 边上的高，CE 是AB 上的中线，∴AB BE ED 21== ∵DC =BE ，∴DC DE =，∴DEC DCE ∠=∠ ∴DCE DEC DCE EDB ∠=∠+∠=∠2∵ED BE =，∴EDB B ∠=∠，∴DCE B ∠=∠2 ∴DCE DCE B AEC ∠=∠+∠=∠3【总结】考察直角三角形的性质和等腰三角形的性质的综合应用．【练习10】 如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE =CD ，ABDOCE FABCDEGAD 与BE 相交于点F ，CF ⊥BE . 求AF ：BF 的值．【难度】★★★ 【答案】1:2．【解析】过B 作BK ⊥AD 的垂线，垂足为K∵AC AB =，ACD BAE ∠=∠，AE =CD ， ∴CAD ABE ≌△△， ∴ABE DAC ∠=∠∴︒=∠+∠=∠+∠=∠60BAF DAC BAF ABE BFD ∵︒=∠60BFD ，BK ⊥AD ，∴︒=∠30FBK ，∴BF FK 21=∵CBF BAK ∠=∠，BFC AKB ∠=∠，BC AB = ∴BCF ABK ≌△△∴BF AK =，即BF FK AF =+∴BF BF AF =+21∴AF BF 2=，即AF ：BF=1:2【总结】考察全等三角形的判定和性质以及直角三角形性质的综合运用．【练习11】 如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，以AB 为边向外作等边ABCDFE K三角形ABD ，AE ⊥BD 于点E ，AE 交CD 于点M . （1）线段DM 与线段BC 有怎样的数量关系?并证明；（2）若△ABC 于△ABD 在AB 的同侧，CD 的延长线与AE 的延长线交于点M ，请在图2 中画出△ABD 与点M ；线段DM 与BC 仍有（1）中的数量关系吗?并证明． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，等边三角形ABD ，∴︒=∠150CAD ，AC=AD∴()︒=∠-︒=∠1518021CAD ADC∵︒=∠60ADB ，∴︒=∠45CDB∵AE ⊥BD ，∴△DME 是等腰直角三角形 ∴DE DM 2=∵等边三角形ABD ，AE ⊥BD 于点E ∴DB DE 21=，∴DB DM 22= ∵直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∴AB BC 2=∵AB DB =，∴DB BC 2= ∵DB DM 22=，∴DM BC 2= （2）成立．理由同（1）一样．【总结】本题综合性较强，一方面考察等腰直角三角形的性质 及等边三角形性质的综合运用，另一方面考查了勾股定理的 运用，教师可以选择性的讲解．课后作业ABCDME图1A BC图2【作业1】下列命题中，正确的有()个①腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 ②有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ③有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★ 【答案】C【解析】（1）（2）对，（3）错误，满足条件的三角形可以是锐角三角形也可以是钝角三角形． 【总结】考察三角形全等的判定方法．【作业2】（1）直角△ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠ACD =25°，则∠ECB =__________；（2）直角△ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，点E 是AB 的中点，∠DCE =10°，则∠B =______________． 【难度】★【答案】（1）25°；（2）40°．【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的角度之间的关系可得到答案．【总结】考察直角三角形的性质．【作业3】如图，ABC ∆中，AB AC =，DB DC =，DE AC ⊥，2AC AD =，8AB =，则AD =________，AE =____________．【难度】★★ 【答案】4；2．【解析】∵AB AC =，DB DC =，∴BC AD ⊥∵2AC AD =，∴︒=∠30C ，∴42121===AB AC AD∵DE AC ⊥，∴︒=∠=∠30B ADE ，∴221==AD AE ． 【总结】考察等腰三角形的性质和直角三角形性质的综合运用．【作业4】（1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_______；DABCEAB CD E（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________． 【难度】★★ 【答案】（1）481；（2）30°或150°． 【解析】（1）∵等腰三角形底角是75°，∴顶角为30度，则腰上的高为29，则三角形的面 积为48129921=⨯⨯；（2）注意分锐角三角形和钝角三角形两种情况分类讨论．【总结】考察直角三角形的性质．注意等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形．【作业5】已知：AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，点E 在BC 上，且AE =AD ，AB =BC ，求证：CE =CD ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】过D 作DF ⊥AB ，垂足为F∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，DF ⊥AB ， ∴四边形BCDF 是长方形， ∴BC DF =，CD BF = ∵BC AB =，∴DF AB = ∵DF AB =，AE=AD ， ∴EBA AFD ≌△△， ∴BE AF =∵BC AB =，∴BF CE = ∵CD BF =，∴CD CE =【总结】考察直角三角形全等的判定方法的运用．【作业6】已知：如图，△ABC 中，∠B =40°，∠C =20°，DA ⊥CA ，求证：CD=2AB ．ABCDE F【难度】★★ 【答案】见解析【解析】取CD 的中点E ，联结AE∵DA ⊥CA ，ED CE =∴CD CE AE 21==∴︒=∠=∠20CAE C ∴︒=∠+∠=∠40CAE C AEB∵︒=∠40B ，∴B AEB ∠=∠，∴AB AE =∵CD AE 21=，∴CD AB 21=，即AB CD 2=【总结】考察等腰三角形的判定和直角三角形的性质的综合运用．【作业7】如图，已知：△ABC 中，AB =AC ，∠A=60°，BD =CD ，BE ∥AC ，DE ⊥BE ，求证：4BE=AC . 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】连接AD∵AB =AC ，∠A=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴BC =AC∵AB =AC ，BD =CD ，∴BC AD ⊥ ∵︒=∠=∠3021BAC DAC ，BC AD ⊥，∴AC DC 21=∵BD =CD ，∴AC BD 21=∵BE ∥AC ，∴︒=∠=∠60C DBE∵DE ⊥BE ，∴BD BE 21=∵AC BD 21=，∴AC BE 41=， 即4BE=AC ．【总结】考察直角三角形的性质和等边三角形的性质的综合运用．【作业8】在等腰直角△ABC 中，D 是斜边AB 的中点，E 、F 分别在直线AC 、BC 上，ABCDEABCDE且AE =CF ，联结DE 、DF 、EF ，试判断△DEF 的形状，并加以证明． 【难度】★★【答案】等腰直角三角形．证明见解析． 【解析】等腰直角三角形．联结CD∵等腰直角△ABC 中，D 是斜边AB 的中点， ∴AB CD ⊥，︒=∠=∠=∠=∠45ACD BCD B A ， DB AD CD ==∵DB CD =，ACD B ∠=∠，AE =CF ，∴FBD ECD ≌△△ ∴DF DE =，BDF CDE ∠=∠∵︒=∠+∠90BDF CDF ，∴︒=∠+∠90CDE CDF ，即︒=∠90EDF ∵DF DE =，∴△DEF 是等腰直角三角形．【总结】考察等腰直角三角形的性质及全等三角形性质的运用．【作业9】已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别为AC 、BD 的中点． （1）求证：MN ⊥BD ；（2）当∠BAC =15°，AC =10，OB =OM 时，求MN 的长． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）联结BM ，MD∵∠ABC =∠ADC =90°，M 分别为AC 的中点∴1122BM AC DM AC ==，， ∴MD BM =∵N 分别为BD 的中点， ∴MN ⊥BD ；（2）∵∠BAC =15°，AM BM =，∴︒=∠30BMC ∵OB =OM ，∴︒=∠=∠30MBO BMC∵MN ⊥BD ，∴BM MN 21=由（1）可得：521==AC BM ，∴25=MN 【总结】考察直角三角形的性质和等腰三角形性质的综合运用．【作业10】已知：等腰直角△ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边AC 上的一个动点，A BC D EFABC DM NOD 是线段BC 上的一点，且BP =PD ，过点D 作AC 边上的高DE ，求证：PE =BO ． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】∵等腰直角△ABC 中，∴︒=∠45C∵O 是斜边AC 的中点，∴︒=∠45OBC ∴OBC C ∠=∠∵BP =PD ，∴PDB PBD ∠=∠∵C DPE PDB OBC PBO PBD ∠+∠=∠∠+∠=∠， ∴DPE PBO ∠=∠∵DPE PBO ∠=∠，POB PED ∠=∠，BP =PD ， ∴PED BOP ≌△△ ∴PE =BO ．【总结】考察等腰直角三角形的性质的应用．【作业11】如图1，已知点D 在AC 上，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点．（1）求证：△BMD 为等腰直角三角形；（2）将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°，如图2所示，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）将△ADE 绕点A 逆时针旋转135°，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）联结DM∵︒=∠90ABC ，点M 为EC 的中点．∴EC BM 21=，BCM BME ∠=∠2∵︒=∠90EDC ，点M 为EC 的中点．∴EC DM 21=，DCM EMD ∠=∠2，∴DM BM =∴22BMD BME EMD BCM DCM ∠=∠+∠=∠+∠ ()2290BCM DCM BCD =∠+∠=∠=︒∴△BMD 为等腰直角三角形；（2）延长DM 与BC 交于点NABCDPEO图1 AB CDEMABCDE图2M N∵AB DE ⊥，AB CB ⊥∴BC DE ∥，∴MCN DEM ∠=∠ ∵NMC EMD ∠=∠，MC EM =∴CNM EDM ≌△△，∴MN DM =，CN ED = ∵ED AD =，∴CN AD = ∵BC AB =，∴BN BD =∵MN DM =，∴DM BM ⊥，DM BM = ∴△BMD 为等腰直角三角形；（3）过C 作CN ∥ED 交DM 的延长线于N ∵CN ∥ED ，∴MED MCN ∠=∠∵MED MCN ∠=∠，DME CMN ∠=∠，MC EM = ∴CNM EDM ≌△△，∴MN DM =，CN ED = ∵ED AD =，∴CN AD =∵BC AB =，BAD BCN ∠=∠，CN AD =∴BCN BAD ≌△△，∴BN BD =，CBN DBA ∠=∠∵︒=∠+∠90CBN ABN ，∴︒=∠+∠90DBA ABN ，即︒=∠90DBN ∵MN DM =，∴DM BM ⊥，DM BM = ∴△BMD 为等腰直角三角形．【总结】本题综合性较强，主要考察等腰直角三角形的性质和判定，在说理时注意认真分析，添加合适的辅助线．。