221平行四边形的边角性质
平行四边形的边、角的性质
第1课时平行四边形的边、角的性质1．理解平行四边形的概念；(重点)2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)一、情境导入平行四边形是我们常见的一种图形(如图)，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？二、合作探究探究点一：平行四边形的定义如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D ＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC ＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2.∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求线段长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE ＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF ＝BF.∴AD＝BF.∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD ＝7.故答案为7.方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．【类型二】利用平行四边形的性质求角度如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为() A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对边平行，对角相等，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD 的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P 是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠DCP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠DCP＝∠FCP.∵在△PCF和△PCE中，⎩⎪⎨⎪⎧CE＝CF，∠FCP＝∠ECP，CP＝CP，∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.方法总结：本题的综合性比较强，考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等．【类型四】判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC 有何位置关系？请证明．解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的角平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵平行四边形ABCD ，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，即∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝12∠BCD .∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋12∠ADC ＝90°，即∠MDC ＋∠MCD ＝90°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．方法总结：应熟练掌握平行四边形的性质，并能求解一些简单的计算、证明等问题．探究点三：两平行线间的距离如图，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上．求证：△EGO 与△FHO 面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积．方法总结：解决问题的关键是明确同底等高的两个三角形的面积相等，再结合两平行线间的距离即可得出结论．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题三、板书设计本节课通过对平行四边形的性质的探究学习，培养了学生运用转化的数学思想，通过观察、分析、归纳，是学生养成自主学习的良好习惯，为后期的学习打基础.。
(1)平行四边形的性质(边角的特征)课件人教版数学八年级下册
E
D
第3题图
C
A
B
第4题图
当堂训练 平行四边形的边、角特征 查漏补缺
5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
DF
C
∴AB∥CD，AD=BC.
∴∠CDE=∠DEA,∠CFB=∠FBA.
∵DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC, AECF ∴∠CDE=∠ADE,∠CBF=∠FBA, ∴∠DEA=∠ADE,∠CFB=∠CBF,
∴△ABD中AB边上的高为6cm．
课堂小结 平行四边形的边、角特征 知识梳理
定 义 两组对边分别平行的四边形
平行 四边形
性质
两组对边分别平行，相等 两组对角分别相等，邻角互补
两条平行线间的距离相等, 两条平行线间的平行线段也相等
当堂训练 平行四边形的边、角特征 查漏补缺
1.在□ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135º,则∠MCD的度数是( A )
A.45° B.55° C.65° D.75°
A
D
2.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1)平行四边形两组对边分别平行且相等. (2)平行四边形的四个内角都相等.
( √ )B
( ×)
CM
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180º ( √ )
(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2和3,那么周长是10.( √ )
∴∠BAD=∠BCD.
同理可得∠A=∠C.
知识点二 平行四边形的边、角的特征
平行四边形的性质除了对边互相平行以外,还有：
平行四边形的对边相等．
平行四边形的性质有哪些
平行四边形的性质有哪些平行四边形的性质有哪些呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“平行四边形的性质有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
平行四边形的性质(1)边的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对边平行(2)角的性质：平行四边形的对角相等(3)对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分(4)平行四边形是中心对称图形平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(注意： 必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。
‚有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形)。
拓展阅读：特殊的平行四边形1.矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，(即长方形)。
矩形还有以下性质：① 矩形的四个角都是直角。
② 矩形的对角线相等。
根据矩形的性质，得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定定理 :① 对角线相等的平行四边形是矩形。
② 有三个角是直角的四边形是矩形。
③ 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形还有以下性质 :① 菱形的四条边都相等。
② 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
③ 菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。
菱形的判定定理 :① 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
② 四条边相等的四边形是菱形。
③ 有一组临边相等的平行四边形是菱形。
3.正方形四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。
正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质。
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
人教版平行四边形和梯形课堂笔记
人教版平行四边形和梯形课堂笔记在人教版数学教材中，平行四边形和梯形是初中阶段的重要几何概念。
学生在学习这两个图形时，往往需要深入理解它们的性质、特点和相关定理。
在本篇文章中，我们将深入探讨人教版平行四边形和梯形的相关知识，帮助学生更好地掌握这一部分内容。
一、平行四边形的定义和性质1.1 定义：平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
它具有以下几个重要性质：1.2 对角线性质：平行四边形的对角线互相等长，且互相平分。
1.3 边角性质：平行四边形的相邻内角互补，对角相等。
以上是平行四边形基本的性质和定义。
在实际的教学中，老师可以通过举例和实物进行讲解，帮助学生更好地理解平行四边形的特点和性质。
老师可以引导学生多加练习，加强对平行四边形性质的理解和应用。
二、梯形的定义和性质2.1 定义：梯形是指有两边平行的四边形。
它具有以下几个重要性质：2.2 底角和顶角：梯形的一对非平行边的内角互补。
2.3 对角线性质：梯形的对角线互相等长，且互相平分。
梯形作为平行四边形的一种特殊情况，也有着自己的独特性质。
在教学中，老师可以通过比较平行四边形和梯形的共同点和不同点，帮助学生更清晰地理解梯形的定义和性质。
总结回顾：在学习中，平行四边形和梯形是初中阶段的重要几何概念。
通过深入理解它们的定义、性质和相关定理，学生可以更好地掌握这一部分内容。
在教学中，老师可以通过举例、实物和练习等多种方式，帮助学生更深入地理解这两个图形的特点和性质。
个人观点和理解：对于初中阶段的学生来说，平行四边形和梯形是比较抽象和复杂的几何概念。
在教学中，老师可以引导学生进行多种思维训练，帮助他们更好地理解和应用这些知识。
除了掌握基本定义和性质，学生还应该能够灵活运用这些知识解决实际问题，培养他们的逻辑思维和数学推理能力。
结语：通过本文的探讨，相信读者对人教版平行四边形和梯形的相关知识有了更深入的了解。
在学习中，希望大家能够通过不断地练习和思考，巩固和拓展自己的数学知识，做到理论通联实际，提高数学解决问题的能力。
平行四边形的关系
平行四边形的关系平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，它具有一些独特的特点和性质。
本文将介绍平行四边形的定义、性质和应用。
一、定义平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。
它的特点是相对边相等且对角线互相平分。
二、性质1. 对边性质：平行四边形的对边是平行的，即AB || CD，AD || BC。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即AC平分BD，BD 平分AC。
3. 边角性质：平行四边形的对边上的内角互补，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠C = 180°。
4. 相等性质：平行四边形的相对边相等，即AB = CD，AD = BC。
5. 对称性质：平行四边形具有对称性，即以对角线为轴进行折叠，可完全重合。
6. 高度性质：平行四边形的高度等于任意一边在与其平行的另一边上的垂直距离。
三、应用1. 工程建设：平行四边形的特性使其在工程建设中具有广泛的应用。
例如，建筑物的门窗常常采用平行四边形的形状，既美观又稳定。
2. 地理测量：在地图绘制和测量中，平行四边形常被用于表示地物的形状和方位。
通过测量平行四边形的边长和角度，可以计算出地物的面积和位置。
3. 数学推理：平行四边形是数学中的一个重要概念，通过研究平行四边形的性质和定理，可以推导出其他几何图形的性质，进一步拓展数学知识。
4. 艺术设计：平行四边形具有简洁而稳定的形状，广泛应用于艺术设计中。
例如，平行四边形的图案常被运用于服装设计、家居装饰等领域。
5. 机械制造：在机械制造中，平行四边形的性质被广泛应用于零件的设计和加工。
通过保证平行四边形的边和角的精度，可以提高机械零件的装配精度和使用寿命。
平行四边形是一种具有特殊性质和广泛应用的几何图形。
它的定义和性质使其在工程建设、地理测量、数学推理、艺术设计和机械制造等领域发挥着重要作用。
通过深入研究和应用平行四边形的知识，我们可以更好地理解和应用几何学原理，推动科学技术的发展。
平行四边形边角的性质
我发现平行四边形的对 边相等、对角相等.
你能证明吗？
在图2-13的□ABCD中，连接AC.
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB∥DC ，BC∥AD（平行四边形的两组对边分别平行）.
∴ ∠1=∠2 ， ∠4=∠3. 又 AC =CA，
∴ △ABC≌△CDA(ASA)
∴ AB = CD，BC = DA，∠B =∠D.
(平行四边形的两组对边分别相等)
图2-15
由此得到：
夹在两条平行线间的平行线段相等.
练习 1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，
求证：AF=CE。
2、如图所示，在□ABCD中，点E,F在对角线BD上， 且AE∥CF。求证： DE＝BF。
课堂小结
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
几何语言表示：
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C； ∠B=∠D
∠A+∠C=180°；∠B+∠D=180°…
随堂练习
1.在 ABCD 中，AD=40，CD=30， A ∠B=60°，则BC= 40 ;AB= 30 ; ∠A=120°, ∠C= 120°, ∠D=60° B
2.在 ABCD 中，∠ADC=120°， ∠CAD=20°，则∠ABC= 120°， ∠CAB= 40°
D C
例1如图2-14，四边形ABCD和BCEF均为平行四边 形， AD =2cm，∠A =65°，∠E =33°，求EF和 ∠BGC.
解 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC = AD = 2cm，∠1=∠A = 65°. ∵ 四边形BCEF是平行四边形，
平行四边形的性质
平行四边形的性质平行四边形是一个具有特殊性质的四边形。
本文将介绍平行四边形的定义、性质以及相关定理，帮助读者更好地理解和应用平行四边形的知识。
一、平行四边形的定义平行四边形是一个具有两对对边分别平行的四边形。
换句话说，如果四边形的两对对边分别平行，则该四边形被称为平行四边形。
二、平行四边形的性质1. 对边性质：在平行四边形中，对边长度相等。
即相对的两条边长相等，分别记作AB = CD, BC = DA。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。
即对角线分别平分彼此。
3. 顶角性质：在平行四边形中，相邻的两个内角补角为180度。
4. 副对角线性质：平行四边形的副对角线互相等长。
即副对角线的长度相等，分别记作AC=BD。
5. 对边角性质：在平行四边形中，对边上的内角互补。
即同一边上的两个内角之和等于180度。
三、平行四边形的定理1. 平行对角线定理：如果一四边形的对角线互相平分并且互相垂直，则该四边形是平行四边形。
2. 平行四边形的三角形性质：平行四边形的两边及夹角相等的三角形是全等三角形。
3. 平行四边形的中点连线定理：平行四边形的两个顶点和对边的中点连线相交于同一点，并且这三条连线等分一条副对角线。
四、应用举例1. 判断是否为平行四边形：给定一个四边形的四个顶点坐标A(x1,y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)和D(x4, y4)，通过计算边的斜率是否相等来判断是否为平行四边形。
2. 计算平行四边形的面积：将平行四边形分割为两个三角形，计算每个三角形的面积，然后将两个三角形的面积相加，即可得到平行四边形的面积。
3. 证明平行四边形的定理：通过利用平行四边形的性质和相关定理，可以进行一些定理的证明，如平行对角线定理等。
总结：平行四边形是一个具有两对对边分别平行的四边形。
它具有对边相等、对角线互相平分、顶角互补等性质。
理解和掌握平行四边形的性质和相关定理对于解题和证明问题非常重要。
在实际应用中，我们可以利用平行四边形的性质来判断是否为平行四边形，计算面积以及进行定理的证明等。
平行四边形的性质与推导
平行四边形的性质与推导平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，它具有独特的性质与推导过程。
在本文中，我们将探讨平行四边形的性质以及相关推导过程。
一、平行四边形的性质：1. 对边和对角线性质：平行四边形的对边相等，并且对角线互相平分，即相交于对角线的两点分割对角线成相等的部分。
2. 内角性质：平行四边形的内角相邻补角相等，即相邻两个内角之和等于180度。
3. 对边角性质：平行四边形对边之间的对边角相等，即对边角的度数相等。
4. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的，即两组对边之间的边是平行的。
二、平行四边形的推导：1. 推导1：平行四边形的定义考虑四边形ABCD，如果AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。
2. 推导2：平行四边形内角和证明平行四边形的内角和为360度。
根据平行四边形的定义，得知∠ADC+∠DAB=180度，同时∠DAB+∠ABC=180度。
将两式相加，得到∠ADC+∠DAB+∠DAB+∠ABC=360度，即平行四边形的内角和为360度。
3. 推导3：平行四边形的对边平行证明平行四边形的对边是平行的。
已知平行四边形ABCD，根据定义得知AB∥CD且AD∥BC。
假设AB与CD不平行，那么考虑三角形ABD和三角形BCD，根据平行线的性质，∠BAD=∠DCB，又因为∠ABD=∠BCD，根据AA准则可得，两个三角形相似。
但是这与ABCD是平行四边形相矛盾，所以假设不成立，即AB与CD平行。
同理可证，AD与BC也是平行的。
三、结论综上所述，平行四边形具有对边和对角线相等、内角和为360度、对边角相等和对边平行的性质。
这些性质为解决平行四边形的相关问题提供了便利。
在几何学的学习中，对平行四边形的性质和推导有着重要的意义。
结尾陈述：通过对平行四边形的性质与推导的探讨，我们深入了解了这个特殊四边形的基本特征与相关定理。
熟练掌握平行四边形的性质和推导过程，可以有效解决各类几何问题，提升数学学习的能力和解题的技巧。