2018单元滚动检测卷高考数学(文)(人教A版全国通用)：

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2018单元滚动检测卷高考数学文精练检测：六数列全

单元滚动检测六数列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．(2016·苏北四市联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝________.2．数列{}a n 为等差数列，a 1，a 2，a 3为等比数列，a 5＝1，则a 10＝________. 3．若数列{}a n 满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{}a n 的前n 项和最大时，n 的值为________．4．(2016·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________.5．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是__________． 6．已知{}a n 为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8.则a 1＋a 10＝________.7．已知{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是____________．8．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{}a n 的通项公式是a n ＝________. 9．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 10．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为__________．11．(2016·常州模拟)已知S n 是数列{}a n 的前n 项和，且点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，则S 5S 3＝________.12．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是__________．13．(2016·黑龙江大庆铁人中学一模)设S n 是等比数列{}a n 的前n 项和，若S 504S 1008＝110，则S 1008S 2016＝________.14．(2016·苏州一模)对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为______________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)答案解析1．－3解析方法一由题意可得⎩⎨⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.方法二由题意可得a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 2．1解析由题意得a 22＝a 1a 3＝(a 2－d )(a 2＋d )＝a 22－d 2，所以d ＝0，a 10＝a 5＝1. 3．7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{}a n 是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，∴⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0. ∴193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7. 4．6解析设等比数列{a n }的公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3a 1＝4.又{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.又S k ＝1－2k1－2＝63，∴2k －1＝63，解得k ＝6.5．1或－12解析当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求；当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1(1－q 3)1－q＝21，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或q ＝－12. 6．－7解析由题意，根据等比数列的性质得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，设a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根，解得⎩⎨⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2.解得a 1＋a 10＝－7. 7．8，323)解析因为{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，所以q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝4，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 2(1－q 2n )1－q 2＝323(1－q 2n)∈8，323)．8．(－2)n －1解析 ∵S n ＝23a n ＋13，① ∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13.② ①－②，得a n ＝23a n －23a n －1，即a na n －1＝－2.∵a 1＝S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{}a n 是以1为首项，－2为公比的等比数列，∴a n ＝(－2)n －1. 9．1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60) ＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.10.4n n ＋1 解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)，∴S n ＝4(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)＝4nn ＋1.11.317解析由点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，得2a n －S n －2＝0，即S n ＝2(a n －1)，所以当n ≥2时，S n －1＝2(a n －1－1)，两式相减可得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，所以a 1＝2，所以数列{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，S 5S 3＝2(1－25)1－22(1－23)1－2＝25－123－1＝317. 12.n n ＋1解析 f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1.13.182解析设S 504＝a ≠0，则S 1 008＝10a .S 1 008－S 504＝9a ，所以数列S 504，S 1 008－S 504，S 1 512－S 1 008，S 2 016－S 1 512…是首项为a ，公比为9的等比数列．所以S 1 512＝91a ，S 2 016＝820a ，所以S 1 008S 2 016＝10a 820a ＝182.14．a n ＝2n ＋12n (n ∈N *)解析由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)2(n ≥2)，②①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12(n ≥2)，∴a n ＝2n ＋12n (n ≥2)．又H 1＝1a 1＝23，∴a 1＝32，也满足a n ＝2n ＋12n .综上，a n ＝2n ＋12n (n ∈N *)．15．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，根据已知有S 7＝7＋21d ＝28，解得d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .所以b 1＝lg 1]＝0，b 11＝lg 11]＝1，b 101＝lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎨⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.16．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0，解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，且n 的最小值为41. 17．解 (1)由题意，a n ＋1＝3S n ＋1，则当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1. 两式相减，得a n ＋1＝4a n (n ≥2)．又a 1＝1，a 2＝4，a 2a 1＝4，所以数列{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，故通项公式是a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)T n ＝(1＋a 1)＋(2＋a 2)＋(3＋a 3)＋…＋(n ＋a n ) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋42＋…＋4n －1) ＝n (1＋n )2＋1×(1－4n )1－4＝n ＋n 22＋4n －13.18．(1)证明 ∵b n ＝1a n，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，∴数列{}b n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解由(1)知数列{}b n 的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝12n －1. 19．证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，∴1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)·2＝2n －1，∴S n ＝12n －1.∴13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＜12.20．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意得q ＞0.由已知，得⎩⎨⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0，又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)得c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则 S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，上述两式相减，得－S n＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以S n＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.。

2018届高考数学滚动检测04第一章到第六章综合同步单元双基双测A卷文20171228296

第一章到第六章（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 【2018四川绵阳一诊】设命题p ：22<x，命题q ：12<x ，则p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：命题p ：221x x <⇒<，命题q ：2111x x <⇒-<<，所以p 是q 成立的必要不充分条件，选B. 考点：充要关系 2.若cos 22sin()4αα=--π，则cos sin αα+的值为（） A．-B ．12-C.12 D【答案】C 【解析】考点：三角变换的公式及运用.3. 【2018四川适应性测试】已知集合{}2 1 0 1 2A =--，，，，，集合{}21B x x =≤，A B =（）A.{}2 1 0 1--，，，B.{}1 1-，C.{}1 0-，D.{}1 0 1-，，【答案】D 【解析】试题分析：{}21[1,1]B x x =≤=-，所以AB ={}1 0 1-，，，选D.考点：集合运算4. 已知(1,0),(1,1)m n ==，且m kn +恰好与m 垂直，则实数k 的值是（） A.1B.－1C.1或－1D.以上都不对【答案】B 【解析】试题分析：两向量垂直，所以()0=+m n k m，所以01=+k ，解得：1-=k . 考点：向量的数量积5. 【2018河北武邑中学调研】已知()f x 满足对()(),0x R f x f x ∀∈-+=，且0x ≥时，()x f x e m =+（m 为常数），则()ln5f -的值为（） A ．4 B ．-4 C ．6 D ．-6 【答案】B 【解析】试题分析：由题设函数()f x 是奇函数,故01)0(0=+=+=m m e f ,即1-=m ,所以4151)5(ln )5ln (5ln -=+-=+-=-=-e f f ,故应选B.考点：分段函数的奇偶性及求值运算.6. 【2018黑龙江、吉林两省八校联考】已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，则k 的取值范围是（） A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】考点：函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．7. 设数列{}n a 是集合{}33|0,,s ts t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排列成的数列，即14a =，210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，…，将数列{}n a 中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表： 4 10 12 28 30 36 …200a 的值为（）A ．91933+ B ．101933+C ．92033+D ．102033+【答案】C 【解析】试题分析: 因为;3312,3310;334212010+=+=+=3231303336,3330;3328+=+=+=且1902021=+⋅⋅⋅++,所以200a 在第20行,第10个数,因此根据数表的数据的规律可知20920033+=a ,应填92033+.考点：归纳猜想等合情推理及运用．【易错点晴】本题以等腰直角三角形数列为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出每一行的数的特征和规律为;3312,3310;334212010+=+=+=3231303336,3330;3328+=+=+=,然后再确定数列中的项200a 是第20行,第10个数,最后再运用数列中各项的规律,写出数20920033+=a .8. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是偶函数，下列判断正确的是（） A.函数()f x 的最小正周期为2π B.函数()f x 的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 D.函数()f x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D 【解析】D.考点：1.正弦函数的图象；2.由)sin(ϕω+=x A y 的部分图象确定其解析式.【方法点睛】本题主要考查的是由)sin(ϕω+=x A y 的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，计算能力和数形结合的方法，属于中档题，解决此类题目主要就是利用已知函数)sin(ϕω+=x A y 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π以及函数)12(π+x f 是偶函数求出函数的解析式，然后分别对A,B,C,D 四个选项进行判断，因此熟练掌握正弦函数的图象和性质，确定出函数的解析式是解决问题的关键.9. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足222b c a bc +-=，0AB BC >，则b+c 的取值范围是（）【答案】B 【解析】考点：1.余弦定理，2.辅助角公式；3.正弦函数；10. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >，其中正确命题的个数是（）A 、 3B 、4C 、 5D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得:0767<=-a S S ，75670S S a a -=+>，所以076>->a a ，所以判断760a a d -=＜，①正确，()011211611111>=+=a a a S ，②正确，()()062127612112>+=+=a a a a S ，③不正确，数列{}n S 中的最大项为6S ，④不正确，因为076>->a a ，所以76a a >，⑤正确．考点：1．等差数列的前n 项和；2．等差数列的前n 项和的性质． 11. 函数2()(1)cos 1xf x x e =-+的图象的大致形状是（）【答案】D 【解析】试题分析：因)()(x f x f -=-,故函数)(x f y =是奇函数,且当π=x 时,0)(>x f ,故应选D. 考点：函数的奇偶性与图象的对称性的运用. 12. 已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A ()()34f ππ-<B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<【【答案】D 【解析】试题分析：令x x f x F cos )()(=,因xx x f x x f x F 2//cos sin )(cos )()(+=,故由题设可得0)(/>x F ,即函数x x f x F cos )()(=在)2,0[π上单调递增且是偶函数.又因346πππ<<,故)3()4()6(πππF F F <<,即21)3(22)4(23)6(πππf f f <<,所以()()63f ππ<,故应选D. 考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数x x f x F cos )()(=,再运用求导法则求得xx x f x x f x F 2//cos sin )(cos )()(+=,故由题设可得0)(/>x F ,即函数x x f x F cos )()(=在)2,0[π上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解. 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知直线30ax by --=与()e x f x x =在点(1,e)P 处的切线互相垂直，则ab= ．【答案】12e- 【解析】考点：1.曲线的切线；2.直线的位置关系 14.已知cos 63πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】13± 【解析】试题分析: cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭31)6(cos 1)6sin(2±=--±=-θπθπ,故应填答案13±．考点：诱导公式及同角关系的综合运用．15. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为．【答案】6 【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线,1,102x y x y x ===-围成的三角形及内部，顶点坐标为()()10101,1,1,8,,33⎛⎫⎪⎝⎭，由若// a b 可得2m x y =-+，当其过点()1,8时实数m 的最大值为6考点：1．线性规划问题；2．向量平行的性质16. 【2018江西宜春调研】已知函数()f x （x R ∈）满足()()4f x f x -=-，函数()211x xg x x x -=+-+，若曲线()y f x =与()y g x =图象的交点分别为()11,x y ， ()22,x y ， ()33,x y ，…， ()33,x y ，则()1mi i i x y =+=∑__________（结果用含有m 的式子表示）【答案】2m故答案为2m点睛：本题主要考查函数的图象的对称性的应用，通过f （-x ）=4-f （x ）可知y=f （x ）关于点（0，2）对称，化简可知g （x ）+g （x ）=4，进而y=g （x ）关于点（0，2）对称，从而曲线y=f （x ）与y=g （x ）图象的交点关于点（0，2）对称，计算即得结论．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 【2018四川双流中学联考】已知等差数列{}n a 中， 266a a +=， n S 为其前n 项和，5353S =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令()112n n nb n a a -=≥， 13b =， 12n n T b b b =++⋯+，若n T m <对一切*n N ∈成立，求最小正整数m 的值. 【答案】(1) 2133n a n =+;(2)5. 【解析】试题分析：试题解析：(1)∵等差数列{}n a 中， 266a a +=，为其前n 项和， 5353S =， ∴11156{ 355103a d a d a d +++=+=，解得11a =， 23d =， ∴2133n a n =+. (2)∵2n ≥时， 11n n nb a a -=19112121221213333n n n n ⎛⎫==- ⎪-+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当1n =时，上式成立， ∴911111123352121n S n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭911221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴911221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 递增，且91912212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 92m ≤， m Z +∈， ∴5m ≥，∴最小正整数m 的值为5.18. 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ) >0>0<<R 22ωϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，－，A x ππ的部分图像如图所示．(1)求函数y ＝f(x)的解析式； (2)当x ∈6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，时，求f(x)的取值范围．【答案】(1) f(x)＝sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭ (2)112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，考点：三角函数19. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2a B c b =-. （I ）求角A 的大小；（II ）若2c b =，求角B 的大小.【【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）6π【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理得2222a c b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，再由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，即3A π=（Ⅱ）由正弦定理得，sin 2sin C B =，再由三角形内角关系得1sin sin()sin(+B)sin 32C A B B B ππ=--==+,代入化简得tan B =，即6B π=试题解析：解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得，222cos 2a c b B ac +-=， ∵2cos 2a B c b =-，∴2222a c b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==，又A 为ABC ∆的内角， ∴3A π=.（Ⅱ）2c b =，由正弦定理得，sin 2sin C B =，即2sin 2sin()2sin()sin 3C A C C C C ππ=--=-=+，∴cos 0C =，故2C π=.∴326B A C πππππ=--=--=.考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立．（1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）12+=n b n ；（2）)32(3+=n nT n ．【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用等比数列有关知识求解；（2）借助题设运用裂项相消法求和．试题解析：考点：等比数列裂项相消求和等有关知识的综合运用．21. 【2018辽宁凌源两校联考】已知函数()22ln mx m x x f x x--=， ()2e g x x =．（1）当1m =时，求()f x 的单调区间；（2）当0m >时，若存在[]01,x e ∈使得()()00f x g x >成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1) ()f x 的单调递增区间为()0,+∞，不存在单调递减区间；(2) 24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭【解析】试题分析: （1）当1m =时， ()12ln f x x x x=--，对函数求导,令()'0f x ≥解出x 的范围,可得函数的单调递增区间为()0,+∞，即定义域内单调递增;(2) 据题意，得()()0f x g x ->在[]1,e 上有解，设()()()F x f x g x =-,则()F x 的最小值大于0,对函数求导判断单调性,进而得出最小值,解出m 的范围即可. 试题解析:（1）当1m =时， ()12ln f x x x x =--，所以()212'1f x x x =+- ()221x x -=．所以当()0,x ∈+∞时， ()'0f x ≥，所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞，不存在单调递减区间．（2）据题意，得()()0f x g x ->在[]1,e 上有解，设()()()F x f x g x =- 22ln m emx x x x=---，则()()2222222'mx m e x m e F x m x x x x ++-=+-+=，所以当0m >， []1,x e ∈时， ()'0F x >，所以()F x 在区间[]1,e 上是增函数，所以当[]1,x e ∈时， ()()max 0F x F e =>，解得241e m e >-，所以m 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭．点睛: 本题考查函数导数与单调性,恒成立有解问题.方程的有解问题可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.22. 已知函数(),0xf x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；（2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）(21,e e e ⎤-⎦．【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的有关知识求解；（2）借助题设运用分类整合思想将不等式进行等价转化,再运用导数知识求解．试题解析：（2）当0x ≤时，0,0x a e ax >-≥恒成立，当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即xe a x≤令()()()()221,0,,xx x x e x e e x e h x x h x x x x --'=∈+∞==，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =，所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201ef f a f e e e =<≤=-，即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用．。

2018年全国卷1文科数学高考卷word版(含答案)

2018年全国卷1文科数学高考卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合A={x|0≤x≤2}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1, 2}B. {1}C. {2}D. 空集2. 已知复数z满足|z|=1，则|z1|的最小值为（）A. 0B. 1C. √2D. 23. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3+a7=22，则数列的公差为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. y=x³B. y=3xC. y=x²D. y=3x5. 若函数f(x)=x²2ax+a²+2在区间（∞，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a≤1B. a≥1C. a≤0D. a≥06. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，C=120°，则sinB的值为（）A. √3/2B. 1/2C. √11/4D. √7/47. 设函数f(x)=lnxx，则f(x)在区间（0，+∞）上的最大值为（）A. 1eB. 1C. 0D. 18. 若直线y=kx+1与圆(x2)²+(y1)²=4相切，则实数k的值为（）A. 1/2B. 1/2C. 1D. 19. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，则异面直线A1D与BC1所成角的余弦值为（）A. 1/3B. 1/2C. √2/3D. √3/310. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，则数列的前n项和为（）A. 2n1B. 2nC. 2n+1D. 2n211. 若椭圆C：x²/4+y²/3=1的离心率为e，则双曲线x²/4y²/3=1的离心率为（）A. eB. 2eC. 2eD. 2/e12. 已知函数f(x)=|x1|+|x+2|，则不等式f(x)≥6的解集为（）A. (∞，3]∪[5，+∞）B. [3，3]C. [3，5]D. (∞，3)∪(5，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(x)的单调递减区间为__________。

2018年全国卷Ⅰ文数高考试题文档版(含答案)

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设1i2i 1iz -=++，则z = A ．0B ．12C ．1D ．23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．22D ．2235．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8B ．62C ．82D ．8311．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= A ．15B ．55C ．255D ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．三、解答题：共70分。

2018全国I卷高考压轴卷文科数学 Word版含答案

2018全国卷Ⅰ高考压轴卷文科数学本试卷共23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合{}1,2lg<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x N x x y x M ，则=⋂N C M R （A ）)2,0( （B ）(]2,0 （C ）[)2,1 （D ）()+∞,0 2. 若a R ∈，则“1=a ”是“()10a a -=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3. 若复数z 满足（1﹣i ）z=2+3i （i 为虚数单位），则复数z 对应点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则数列11{}n n a a +⋅的前6项和为（）A ．215 B ．415 C.511D ．1011 5. 在区间[-1,1]上任选两个数x y 和，则221x y +≥的概率为（） A ．14π-B ．128π- C. 18π- D ．124π- 6. 过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（）A．[] 7. 已知1x ，2x （12x x <）是函数x x x f ln 11)(--=的两个零点，若()1,1a x ∈，()21,b x ∈，则A ．()0f a <，()0f b <B ．()0f a <，()0f b >C ．()0f a >，()0f b >D ．()0f a >，()0f b <8. F 1，F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）79. 若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是( )A ．5B ．6 C.7 D ．810. 在ABC △中，60A ∠=，3AB AC ==，D 是ABC △所在平面上的一点. 若3BC DC =，则DB AD ⋅=A. 1-B. 2-C. 5D.9211. 有人发现,多看手机容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果：附：K 2=附表：P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 k 03.841 6.635则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为A. %99B. %5.97C. %95D. %9012. 已知函数2||33()()(3)(3)3x x f x g x b f x x x -≤⎧⎪==--⎨-->⎪⎩，，函数，，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（）A. 11(,)4-+∞ B. 11(3,)4--C. 11(,)4-∞-D. (3,0)-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018单元滚动检测卷高考数学文：综合检测卷含解析精品

综合检测卷考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．(2017·贵州调研)设集合A ＝{}x |x 2－9＜0，B ＝{}x |－1＜x ≤5，则A ∩B ＝________.2．复数2＋i 1－2i的共轭复数是________．3．(2016·扬州期末)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，则α＋β＝________.4．(2016·泰州一模)执行如图所示的伪代码，当输入a ，b 的值分别为1,3时，最后输出的a 的值为________．5．已知命题p ：“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”则綈p 为________________________．6.(2015·苏州一模)如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，点F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________．7．(2016·苏州模拟)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 8．(2016·盐城模拟)已知正项数列{}a n 的前n 项和为S n ，若{}a n 和{}S n 都是等差数列，且公差相等，则a 6＝________.9．直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b ＝________.10．(2016·云南名校联考)实数x ，y ，k 满足30,10,,x y x y x k +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩z ＝x 2＋y 2，若z 的最大值为13，则k 的值为________．11．(2016·南京、盐城模拟)某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析、随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在300,350)内的学生共有________人．12．(2016·南京模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，以F 为圆心且和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，若MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为________．13．已知函数f (x )＝ln x －a ，若f (x )＜x 2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．14．(2015·天津)已知函数f (x )＝22||,2,(2),2,x x x x -≤⎧⎨->⎩函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2016·扬州调研)已知函数f(x)＝a(2cos2x2＋sin x)＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若x∈0，π]时，函数f(x)的值域是5,8]，求a，b的值.16.(14分)如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，AB＝2AD＝23，AC＝BC，F是AB上一点，且AF＝13AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD内的射影E在BD上,如图2.(1)求证：AD⊥平面BCE；(2)求证：AD∥平面CEF.17.(14分)(2016·常州模拟)一动点P从各边长均为一个单位长度的空间四边形ABCD的点A处出发，沿A→B→C→D→A→B→C→D→A→…有规律地移动．(1)若将一枚骰子抛掷一次，其向上的点数为m，则动点P移动m个单位长度，求抛掷骰子一次，P A的长度等于一个单位长度的概率；(2)若将一枚骰子连续抛掷两次，其两次向上的点数之和为n，则动点P移动n个单位长度，求抛掷骰子两次，点P返回到点A的概率．18.(16分)(2016·镇江模拟)已知数列{}a n的前n项和S n满足2S n＝n2＋7n.(1)求数列{}a n的通项公式；(2)设T n＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1a n a n＋1，请判断16T n与a n－1a n的大小关系，并给出理由.19.(16分)(2016·南京模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝63，坐标原点到直线l：y＝bx＋2的距离为 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆相交于C，D两点，是否存在实数k，使得以CD 为直径的圆过点E(－1,0)？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.20.(16分)设函数f(x)＝ax2－x ln x－(2a－1)x＋a－1(a∈R)．(1)当a＝0时，求函数f(x)在点P(e，f(e))处的切线方程；(2)若对任意的x∈1，＋∞)，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.答案解析1．(－1,3)解析因为集合A ＝(－3,3)，B ＝(－1,5]，所以A ∩B ＝(－1,3)． 2．－i解析 ∵2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i5＝i ，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i. 3.7π6解析由0≤x <π，得π3≤2x ＋π3<7π3，由f (α)＝f (β)＝12，且α≠β，不妨设α<β，则2α＋π3＝5π6，2β＋π3＝13π6，解得α＝π4，β＝11π12，则α＋β＝7π6. 4．5解析第一次循环，a ＝1＋3＝4，b ＝4－3＝1，i ＝1＋1＝2，第二次循环，a ＝4＋1＝5，b ＝5－1＝4，i ＝2＋1＝3，结束循环，∴最后输出的a 为5. 5．∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0解析命题p ：∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0的否定是綈p ：∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0.6．4解析由题意得DA ＝AE ＝2，∵∠BAC ＝60°， ∴△ADE 为等边三角形，∴DE ＝2，∠ADE ＝60°， ∴BF →·DE →＝(BD →＋DF →)·DE→ ＝BD →·DE →＋DF →·DE →＝DA →·DE →＋12DE →·DE → ＝2×2×12＋12×2×2＝4. 7．3解析由题意得，y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32(x ＋1x )≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．8.114解析设{}a n 的公差为d ，由题意得， S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，又{}a n 和{}S n 都是等差数列，且公差相同， ∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝d2，a 1－d2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114. 9．1解析依题意知，f ′(x )＝3x 2＋a ，则⎩⎨⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.10．2解析作出满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示，z ＝x 2＋y 2的最大值为13，即OA 2＝13，而A (k ，k ＋1)，所以k 2＋(k ＋1)2＝13，解得k ＝2或k ＝－3(舍去)． 11．300解析由频率分布直方图可得成绩在300,350)的频率是1－(0.001＋0.001＋0.004＋0.005＋0.003)×50＝1－0.7＝0.3，所以成绩在300,350)的学生人数是0.3×1000＝300. 12. 2解析依题意F(c,0)到双曲线的渐近线y＝ba x的距离为d＝|bc|a2＋b2＝b，又M为圆上的点且MF与双曲线的实轴垂直，∴M的坐标为(c，b)，代入双曲线方程得c2a2－b2b2＝1，∴双曲线C的离心率e＝ca＝ 2.13．－1，＋∞)解析∵函数f(x)＝ln x－a，且f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，∴a＞ln x－x2，x∈(1，＋∞)．令h(x)＝ln x－x2，则h′(x)＝1x－2x.∵x＞1，∴1x－2x＜0，∴h(x)在(1，＋∞)上为减函数，∴当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜h(1)＝－1，∴a≥－1.14．2解析当x>2时，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2；当0≤x≤2时，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x；当x<0时，g(x)＝3－x2，f(x)＝2＋x.由于函数y＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)－g(x)＝0的根的个数．当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝5＋52或x＝5－52(舍去)；当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝3－x，无解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝－1－52或x＝－1＋52(舍去)．所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.15．解f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝2a sin(x＋π4)＋a＋b.(1)当a＝－1时，f(x)＝－2sin(x＋π4)＋b－1，由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为2k π＋π4，2k π＋5π4]，k ∈Z . (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin(x ＋π4)≤1，依题意知a ≠0.①当a ＞0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5.∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8. 16．证明 (1)由题意知，AD ⊥BD . ∵CE ⊥平面ABD ，∴CE ⊥AD . ∵BD ∩CE ＝E ， ∴AD ⊥平面BCE .(2)在Rt △ABD 中，AB ＝23，AD ＝3， ∴BD ＝3.如图，连结AE .在Rt △ACE 和Rt △BCE 中，AC ＝BC ，CE ＝CE ， ∴Rt △ACE ≌Rt △BCE ， ∴AE ＝BE .设DE ＝x ，则AE ＝BE ＝3－x . 在Rt △ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2，即3＋x 2＝(3－x )2，解得x ＝1， ∴BE ＝2. ∴BF BA ＝BE BD ＝23，∴AD ∥EF ，∵AD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， ∴AD ∥平面CEF .17．解 (1)连结AC .当AC 的长度等于一个单位长度时，骰子向上的点数m ＝1,2,3,5,6时，P A 的长度等于一个单位长度，此时所求的概率为56. 当AC 的长度不等于一个单位长度时，骰子向上的点数m ＝1,3,5时，P A 的长度等于一个单位长度，此时所求的概率为36＝12.(2)若抛掷两次的点数之和n ＝4,8,12，则点P 返回到点A ， n ＝4的结果有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种不同的结果；n ＝8的结果有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5种不同的结果； n ＝12的结果有(6,6)，共1种不同的结果．所以点P 返回到A 的结果共有9种，经分析知抛掷骰子两次的总结果数是36. 所以所求概率为936＝14.18．解 (1)因为2a n ＝2S n －2S n －1 ＝n 2＋7n －(n －1)2－7(n －1) ＝2n ＋6(n ≥2，n ∈N *)，所以a n ＝n ＋3(n ≥2，n ∈N *)，因为2S 1＝8，当n ＝1时，a 1＝4也满足上式，所以a n ＝n ＋3，n ∈N *.(2)因为1a n a n ＋1＝1(n ＋3)(n ＋4)＝1n ＋3－1n ＋4，所以T n ＝14－15＋15－16＋…＋1n ＋3－1n ＋4＝14－1n ＋4＝n4(n ＋4)，所以16T n －a n －1a n ＝4n n ＋4－n ＋2n ＋3＝3n 2＋6n －8(n ＋3)(n ＋4).设f (x )＝3x 2＋6x －8，对称轴为x ＝－1＜0，所以f (x )在1，＋∞)上为单调递增函数．因为f (1)＝1＞0，所以f (n )＞0，所以16T n －a n －1a n＞0，即16T n ＞a n －1a n.19．解 (1)依据点到直线的距离公式得2b 2＋1＝2，∴b 2＝1， ∵椭圆的离心率e ＝63，∴c 2a 2＝a 2－1a 2＝(63)2，解得a 2＝3，∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)及题意得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 23＋y 2＝1，化简得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，易知Δ＝36k 2－36＞0，∴k ＞1或k ＜－1.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 易知EC →＝(x 1＋1，y 1)，ED →＝(x 2＋1，y 2)，又以CD 为直径的圆过点E ，∴EC ⊥ED ，EC →·ED→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，又y 1＝kx 1＋2，y 2＝kx 2＋2，∴(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0，即(1＋k 2)×91＋3k 2＋(2k ＋1)×(－12k 1＋3k 2)＋5＝0，解得k ＝76＞1，∴当k ＝76时，以CD 为直径的圆过点E .20．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－x ln x ＋x －1，则f ′(x )＝－ln x ，则f ′(e)＝－1，f (e)＝－1，所以函数f (x )在点P (e ，f (e))处的切线方程为y ＋1＝－(x －e)，即x ＋y ＋1－e ＝0.(2)f ′(x )＝2ax －1－ln x －(2a －1)＝2a (x －1)－ln x ，易知，ln x ≤x －1，则f ′(x )≥2a (x －1)－(x －1)＝(2a －1)(x －1)，当2a －1≥0，即a ≥12时，由x ∈1，＋∞)，得f ′(x )≥0恒成立，所以f(x)在1，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(1)＝0符合题意．所以a≥1 2.当a≤0时，由x∈1，＋∞)，得f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0显然不满足题意，故a≤0舍去．当0＜a＜12时，由ln x≤x－1，得ln1x≤1x－1，即ln x≥1－1 x，则f′(x)≤2a(x－1)－(1－1x)＝x－1x·(2ax－1)．因为0＜a＜12，所以12a＞1.当x∈1，12a]时，f′(x)≤0恒成立，此时f(x)在1，12a]上单调递减，f(x)≤f(1)＝0不满足题意，所以0＜a＜12舍去．综上可得，实数a的取值范围为12，＋∞)．。

2018单元滚动检测卷高考数学(理)(人教A版全国通用)：综合检测一

综合检测(一)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设P ＝{}x |2x ＜16，Q ＝{}x |x 2＜4，则( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．P ⊆∁R QD ．Q ⊆∁R P 2．下列命题中，真命题的个数是( )①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； ④经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直． A ．1B ．2C ．3D ．43．(2016·北京朝阳区一模)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．42B ．19C ．8D ．34．已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)，若将它的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象的一个对称中心为( )A ．(0,0)B ．(π6，0) C ．(π12，0)D ．(π4，0)5．从5位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人．要求这3位老师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( ) A ．250种 B ．450种 C ．270种D ．540种6．已知直线x ＋y ＝a 与圆O ：x 2＋y 2＝8交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝0，则实数a的值为( ) A ．2B ．2 2C ．22或－2 2D ．4或－47．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，x ＋y －4≤0，x ≥1，则xyx 2＋y 2的最大值为( ) A.12B.91218C.310D.348．(x ＋1)2(1x －1)5的展开式中常数项为( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－19．已知抛物线y 2＝8x 上的点P 到双曲线y 2－4x 2＝4b 2的上焦点的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( ) A.y 22－x 23＝1 B ．y 2－x 24＝1C.y 24－x 2＝1D.y 23－x 22＝110．三棱锥S －ABC 及其三视图的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是( )A.1123π B.643πC ．32πD ．64π11．已知函数f (x )＝sin x －2x ，且a ＝f (ln 32)，b ＝f (log 213)，c ＝f (20.3)，则( )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞c ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d (b ，c ，d 为常数)，当x ∈(0,1)时取极大值，当x ∈(1,2)时取极小值，则(b ＋12)2＋(c －3)2的取值范围是( ) A ．(372，5) B ．(5，5) C ．(374，25)D ．(5,25)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知向量AB →，AC →的夹角为120°，|AB →|＝5，|AC →|＝2，AP →＝AB →＋λAC →，若AP →⊥BC →，则λ＝________.14．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．15．已知数列{}a n 满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2n π2)a n ＋sin 2n π2，则该数列的前12项和为________．16．已知直线y ＝11x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P ，使得△ABP 是等边三角形，则椭圆C 的离心率e ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016·桓台检测)已知函数f (x )＝－sin2x －3(1－2sin 2x )＋1. (1)求f (x )的最小正周期及其单调递减区间；(2)当x ∈－π6，π6]时，求f (x )的值域．18.(12分)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：人不赞成的概率；(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值.19.(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AD ＝PD ＝2，PA ＝22，∠PDC ＝120°，点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上．(1)若AF ＝12，求证：CD ⊥EF ；(2)设平面DEF 与平面DP A 所成二面角的平面角为θ，试确定点F 的位置，使得cos θ＝34.20.(12分)设n ∈N *，数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知S n ＋1＝S n ＋a n ＋2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b na n＝(2)1＋a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n .21.(12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点与上顶点关于直线y ＝－x 对称，又点P (62，12)在E 上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点M (1,0)作l 的垂线，垂足为Q ，试证点Q 总在定圆上.22.(12分)已知函数f (x )＝x ln x －mx 2(m 为常数)．(1)当m ＝0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若x 2－x f (x )＞1对任意x ∈e ，e 2]恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若x 1，x 2∈(1e ，1)，x 1＋x 2＜1，求证：x 1x 2＜(x 1＋x 2)4.答案精析1．B ∵P ＝{}x |2x＜16＝{}x |x ＜4， Q ＝{}x |x 2＜4＝{}x |－2＜x ＜2，∴Q ⊆P .]2．B 在①中，由平行公理得：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是真命题；在②中，经过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直，故②是假命题；在③中，由面面平行的判定定理得经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，故③是真命题；在④中，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故④是假命题．故选B.] 3．B 依次执行结果如下： S ＝2×1＋1＝3，i ＝1＋1＝2，i ＜4； S ＝2×3＋2＝8，i ＝2＋1＝3，i ＜4； S ＝2×8＋3＝19，i ＝3＋1＝4，i ≥4；所以S ＝19，故选B.]4．C 将函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝2sin2(x －π6)＋π6]＝2sin(2x －π6)的图象，即g (x )＝2sin(2x －π6)，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，当k ＝0时，函数g (x )的图象的对称中心坐标为(π12，0)．]5．C 方法一 (直接法)：这三位教师中男、女教师都要有，分为两类，有一位女教师，有二位女教师，有一位女教师的选法种数为C 25×C 13＝30，有二位女教师的选法种数为C 15×C 23＝15，共有30＋15＝45(种)不同的选法，再分配到三个学校，故有45A 33＝270(种)不同的选派方案．方法二 (间接法)：从5名男教师和3名女教师中选出3位教师的不同选法有C 38＝56(种)，三位老师全是男教师的选法有C 35＝10(种)，三位教师全是女教师的选法有C 33＝1(种)，所以“这三位教师中男、女教师都要有”不同的选派方案有56－10－1＝45(种)，再分配到三个学校，故有45A 33＝270(种)不同的选派方案．]6．C 由OA →·OB →＝0得，OA →⊥OB →， ∴△OAB 为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离d ＝2，∴由点到直线的距离公式，得|－a |2＝2，即a ＝±2 2.] 7．A 由题意作出其平面区域如图所示，由题意可得，A (135，75)，B (1,3)，则713≤y x ≤3，则2≤y x ＋x y ≤103，故xy x 2＋y2＝1x y ＋y x的最大值为12.]8．D ∵(x ＋1)2(1x －1)5＝(x 2＋2x ＋1)(1x －1)5，根据二项式定理可知，(1x －1)5展开式的通项公式为C k 5·(－1)k ·x k －5， ∴(x ＋1)2(1x －1)5的展开式中常数项由三部分构成，分别由(x 2＋2x ＋1)与(1x －1)5展开式中各项相乘得到，令k ＝3，则C 35·(－1)3·x －2，则1×(－C 35)＝－10；令k ＝4，则C 45·(－1)4·x －1，则2×C 45＝10；令k ＝5，则C 55·(－1)5·x 0，则1×(－1)＝－1； ∴常数项为－10＋10－1＝－1.] 9．C 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，∵点P 到双曲线y 24b 2－x 2b 2＝1的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3， ∴c 2＋4＝9，c ＝ 5. ∵4b 2＋b 2＝c 2， ∴b 2＝1，∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1.]10．A 由已知中的三视图可得SC ⊥平面ABC ，且底面△ABC 为等腰三角形，如图，取AC 中点F ，连接BF ，则在Rt △BCF 中，BF ＝23，CF ＝2，BC ＝4，在Rt △BCS 中，CS ＝4，所以BS ＝4 2.设球心到平面ABC 的距离为d ，则因为△ABC 的外接圆的半径为433，所以由勾股定理可得R 2＝d 2＋(433)2＝(4－d )2＋(433)2，所以d ＝2，该三棱锥外接球的半径R ＝283，所以三棱锥外接球的表面积是4πR 2＝1123π.] 11．D ∵f (x )＝sin x －2x ， ∴f ′(x )＝cos x －2＜0， ∴f (x )在R 上单调递减，∵0＜ln 32＜1，log 213＜0,20.3＞1，即20.3＞ln 32＞log 213， ∴c ＜a ＜b .]12．D 因为函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的导数为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .又由于当x ∈(0,1)时取极大值，当x ∈(1,2)时取极小值，所以⎩⎨⎧f ′(1)＜0，f ′(0)＞0，f ′(2)＞0，即可得⎩⎨⎧2b ＋c ＋3＜0，c ＞0，4b ＋c ＋12＞0，因为(b ＋12)2＋(c －3)2的范围表示以(－12，3)为圆心的圆半径的平方的范围．通过图形可得过点A 时最大，过点B 时最小，通过计算可得(b ＋12)2＋(c －3)2的取值范围为(5,25)．故选D.]13.103解析 ∵向量AB →，AC →的夹角为120°，|AB →|＝5，|AC →|＝2，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos120°＝5×2×(－12)＝－5，∵AP→＝AB →＋λAC →，AP →⊥BC →， ∴(AB →＋λAC →)BC →＝(AB →＋λAC →)(AC →－AB →)＝0，即AB →·AC →－AB →2＋λAC →2－λAC →·AB →＝0， ∴－5－25＋4λ＋5λ＝0，解得λ＝103. 14．8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8. 15．147解析由题设可得a 3＝1＋1＝2，a 4＝2×2＝4，a 5＝1×2＋1＝3，a 6＝2×4＝8，所以a 7＝4，a 8＝16，a 9＝5，a 10＝32，a 11＝6，a 12＝64，该数列的前12项和为S ＝2(1－26)1－2＋6×(1＋6)2＝126＋21＝147，故答案为147.16.32解析因为⎩⎨⎧y ＝11x ，b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2⇒x 2＝a 2b 211a 2＋b 2，y 2＝11a 2b 211a 2＋b 2，所以|OA |2＝12a 2b 211a 2＋b 2. 由题设直线OP 的方程为x ＝－11y ，所以⎩⎨⎧x ＝－11y ，b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2⇒y 2＝a 2b 2a 2＋11b 2， x 2＝11a 2b 2a 2＋11b 2，所以|OP |2＝12a 2b 2a 2＋11b 2，所以|OP |2|OA |2＝11a 2＋b 2a 2＋11b 2＝3⇒12－e 212－11e 2＝3⇒e ＝32. 17．解 f (x )＝－sin2x －3(1－2sin 2x )＋1 ＝－sin2x －3cos2x ＋1 ＝－2sin(2x ＋π3)＋1.(1)函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.f(x)＝－2sin(2x＋π3)＋1的单调递减区间是函数y＝sin(2x＋π3)的单调递增区间．由正弦函数的性质知，当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z时，函数y＝sin(2x＋π3)为单调增函数，所以函数f(x)的单调递减区间为kπ－5π12，kπ＋π12]，k∈Z.(2)因为x∈－π6，π6]，所以2x＋π3∈0，2π3]，所以sin(2x＋π3)∈0,1]．所以－2sin(2x＋π3)＋1∈－1,1]，所以f(x)的值域为－1,1]．18．解(1)由表知年龄在15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为P(ξ＝2)＝C14C25·C14·C16C210＋C24C25·C24C210＝410·2445＋610·645＝66225＝2275.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C24C25·C26C210＝610·1545＝45225＝1575，P(ξ＝1)＝C14C25·C26C210＋C24C25·C14·C16C210＝410·1545＋610·2445＝102225＝3475，P(ξ＝2)＝C24C25·C24C210＋C14C25·C14C16C210＝610·645＋410×2445＝66225＝2275，P(ξ＝3)＝C14C25·C24C210＝410·645＝12225＝475，所以ξ的分布列是所以ξ的均值E(ξ)＝6 5.19．(1)证明在△PCD中，PD＝CD＝2，∵E为PC的中点，∴DE平分∠PDC，∠PDE＝60°，∴在Rt△PDE中，DE＝PD·cos60°＝1，过E作EH⊥CD于H，则DH＝12，连接FH，∵AF＝1 2，∴四边形AFHD是矩形，∴CD⊥FH，又CD⊥EH，FH∩EH＝H，∴CD⊥平面EFH，又EF⊂平面EFH，∴CD⊥EF.(2)解∵AD＝PD＝2，P A＝22，∴AD⊥PD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，又AD⊂平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD.过D作DG⊥DC交PC于点G，则由平面PCD⊥平面ABCD知，DG⊥平面ABCD，故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0，－1，3)，又E为PC的中点，∴E(0，12，32)，设F(2，t,0)，则DE→＝(0，12，32)，DF →＝(2，t,0)，DP →＝(0，－1，3)， DA→＝(2,0,0)．设平面DEF 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，∴⎩⎨⎧12y 1＋32z 1＝0，2x 1＋ty 1＝0.取z 1＝－2，可求得平面DEF 的一个法向量n ＝(－3t,23，－2)，设平面ADP 的法向量m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DP →＝0，m ·DA →＝0，∴⎩⎨⎧－y 2＋3z 2＝0，2x 2＝0.取m ＝(0，3，1)．∴cos θ＝||cos 〈m ，n 〉＝|6－2|2·3t 2＋12＋4＝34，又t ＞0，∴t ＝43.∴当AF ＝43时，满足cos θ＝34. 20．解 (1)∵S n ＋1＝S n ＋a n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2，∴数列{}a n 是公差为2的等差数列， ∵a 1，a 2，a 5成等比数列， ∴a 22＝a 1·a 5， ∴(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋8)，解得a 1＝1， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)∵数列{}b n 满足b na n＝(2)1＋a n ，∴b n ＝(2n －1)(2)2n ＝(2n －1)2n . ∴数列{}b n 的前n 项和T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)2n ，①∴2T n ＝22＋3×23＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1，②∴①－②，得－T n ＝2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×4(2n －1－1)2－1－(2n－1)×2n ＋1＝－6＋(3－2n )×2n ＋1， ∴T n ＝6＋(2n －3)×2n ＋1.21．(1)解由左焦点(－c,0)，上顶点(0，b )关于直线y ＝－x 对称，得b ＝c ，将点P (62，12)代入椭圆得32a 2＋14b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，联立解得a 2＝2，b 2＝1，故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 和椭圆E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，所以Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0，化简并整理，得m 2＝2k 2＋1. 因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为y ＝－1k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k (x －1)，y ＝kx ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－km1＋k 2，y ＝k ＋m1＋k 2，所以x 2＋y 2＝(1－km )2＋(k ＋m )2(1＋k 2)2＝k 2m 2＋k 2＋m 2＋1(1＋k 2)2＝(k 2＋1)(m 2＋1)(1＋k 2)2＝m 2＋11＋k 2，把m 2＝2k 2＋1代入上式得x 2＋y 2＝2.(*)②当切线l 的斜率为0时，此时Q (1,1)，符合(*)式．③当切线l 的斜率不存在时，此时Q (2，0)或(－2，0)，符合(*)式．综上所述，点Q 总在定圆x 2＋y 2＝2上．22．(1)解当m ＝0时，f (x )＝x ln x ，x ＞0，则f ′(x )＝ln x ＋1.由ln x ＋1＞0，解得x ＞1e ，即f (x )在(1e ，＋∞)上单调递增；由ln x ＋1＜0，解得0＜x ＜1e ，即f (x )在(0，1e )上单调递减．综上，f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)解已知x ∈e ，e 2]，于是x 2－x f (x )＞1变形为x －1ln x －mx＞1，从而1ln x －mx ＞1x －1，即0＜ln x －mx ＜x －1，整理得ln x －x ＋1x ＜m ＜ln xx . 令g (x )＝ln x －x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx 2＜0，即g (x )在e ，e 2]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (e)＝3e2e －1.令h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，当e ＜x ＜e 时，h ′(x )＞0，即此时h (x )单调递增；当e ＜x ＜e 2时，h ′(x )＜0，即此时h (x )单调递减．而h (e)＝12e ＞h (e 2)＝2e 2，∴h (x )min ＝2e 2，∴3e 2e －1＜m ＜2e 2.(3)证明由(1)知，当m ＝0时，f (x )＝x ln x 在(1e ，＋∞)上是增函数， ∵1e ＜x 1＜x 1＋x 2＜1，∴f (x 1＋x 2)＝(x 1＋x 2)ln(x 1＋x 2)＞f (x 1)＝x 1ln x 1，即ln x 1＜x 1＋x 2x 1ln(x 1＋x 2)，同理ln x 2＜x 1＋x 2x 2ln(x 1＋x 2)，ln x 1＋ln x 2＜(x 1＋x 2x 1＋x 1＋x 2x 2)ln(x 1＋x 2)＝(2＋x 1x 2＋x 2x 1)ln(x 1＋x 2)，又∵2＋x 1x 2＋x 2x 1≥4，当且仅当x 1＝x 2时，取等号，x 1，x 2∈(1e ，1)， x 1＋x 2＜1，ln(x 1＋x 2)＜0，∴(2＋x 1x 2＋x 2x 1)ln(x 1＋x 2)≤4ln(x 1＋x 2)，∴ln x 1＋ln x 2＜4ln(x 1＋x 2)， ∴x 1x 2＜(x 1＋x 2)4.。

届人教A版高三数学文科一轮复习滚动检测试卷含答案(1)

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4 页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120 分钟，满分150 分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x∈R|y＝lg(2－x)}，N＝{y∈R|y＝2x－1}，则()A．M＝N B．M∩N＝∅C．M⊇N D．M∪N＝R2．(2015·广东阳东一中联考)函数f(x)＝1＋lg(1＋x)的定义域是( ) 1－xA．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)3．(2015·浙江嘉兴桐乡第一中学新高考调研(二))若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2015·皖南八校第三次联考)已知命题p：∀x∈R,2x>x2；命题q：∃x∈(－2，＋∞)，使得(x＋1)·e x≤1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)5．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A．6 B．－6C．0 D．12x－a)2，x≤0，6．(2014·上海)设f(x)＋1＋a，x>0. 若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( )xA．[－1,2] B．[－1,0] C．[1,2] D．[0,2]，x≤0，7．(2015·呼伦贝尔二模)已知函数f(x)x，x>0，则使函数g(x)＝f(x)＋x－m 有零点的实数m 的取值范围是( )A．[0,1) B．(－∞，1)C．(－∞，0]∪(1，＋∞) D．(－∞，1]∪(2，＋∞)8．(2015·安徽江淮名校第二次联考)已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(2＋x)＝f(6－x)，且当x≠4 时其导函数f′(x)满足xf′(x)>4f′(x)．若9<a<27，则( )A．f(2 a)<f(6)<f(log3a)B．f(6)<f(2 a)<f(log3a)C．f(log3a)<f(2 a)<f(6)D．f(log3a)<f(6)<f(2 a)9．(2015·湖北浠水实验高中上学期期中)某商店计划投入资金20 万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲、乙商品所获利润分别为P和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是P＝x，4Q a>0)，若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获利润总不小于5万元，则a 的最小值为( )A．5C．310．已知函数f(x)的取值范围是( )x2－2x＋a，x<0，x2＋1＋a，x≥0，且函数y＝f(x)－x 恰有3 个不同的零点，则实数 aA．(0，＋∞) B．[－1,0)C．[－1，＋∞) D．[－2，＋∞)11．已知命题p：－4<x－a<4，命题q：(x－2)(3－x)>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A．(－4,3] B．[－1,6]C．[－1,4) D．[－4,6]12．(2015·重庆模拟)对于函数f(x)＝4x－m·2x＋1，若存在实数x0，使得f(－x0)＝－f(x0)成立，则实数m 的取值范围是( )A．m≤12B．m≥12C．m≤1 D．m≥1B. 5D. 3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上) x (1－x )，0≤x ≤1， 13．若函数 f (x )是周期为 4 的奇函数，且在[0,2]上的解析式为 f (x )＝则x ，1<x ≤2，29 41 f ( )＋f ( 4 6)＝ .x －m ，x ≤2， 14．(2015·江苏时杨中学月考)已知 m ≠0，函数 f (x )＝m )，则实数 m 的值为．x －2m ，x >2，若 f (2－m )＝f (2＋15．若函数 f (x ) ＝log 0.5(3x 2－ ax ＋ 5)在(－ 1，＋∞) 上是减函数，则实数 a 的取值范围是．16．(2015·北京)设函数 f (x )x －a ，x ＜1， 4(x －a )(x －2a )，x ≥ (1)若 a ＝1，则 f (x )的最小值为；(2)若 f (x )恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是．三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10 分)(2015·珠海六校第二次联考)已知集合 A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}． (1)求集合 A 和∁R B ；(2)若 A ⊆B ，求实数 a 的取值范围．18．(12 分)(2015·福建八县(市)一中联考)设p：实数x 满足x2－4ax＋3a2<0(其中a≠0)，q：实数x 满足x－3<0.x－2(1)若a＝1，且p∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19.(12 分)(2015·德州第一中学月考)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3 －2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0 的解集．20．(12 分)(2015·福州上学期期末质量检测)函数f(x)＝x2－mx (m>0)在区间[0,2]上的最小值记为g(m)．(1)若0<m≤4，求函数g(m)的解析式；(2)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数h(x)为偶函数，且当x>0 时，h(x)＝g(x)．若h(t)>h(4)，求实数t 的取值范围．21.(12 分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30 天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足tg(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．22．(12 分)已知定义域为R 的函数f(x) －2x＋b是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；＝2x＋1＋2(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求k 的取值范围．答案解析1．D[集合M是函数y＝l g(2－x)的定义域，所以M＝(－∞，2)，集合N为函数y＝2x－1的值域，所以N＝(0，＋∞)，所以M∪N＝R.]－x≠0，2．C [＋x>0，∴x>－1 且x≠1，所以C 为正确选项，故选C.]3．A [“若a＝1，则|a|＝1”是真命题，即a＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1 可得a＝±1，所以“若|a|＝1，则a＝1”是假命题，即|a|＝1D⇒/a＝1.所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分不必要条件．故选A.]4．C [对于命题p：当x＝2 时，2x＝x2，∴命题p 是假命题，綈p 是真命题；对于命题q：当x＝0 时，(x＋1)·e x＝1，所以命题q 是真命题，逐项检验可知，只有(綈p)∧q 是真命题，故选C.]5．B [作出函数f(x)的图象，可知函数f(x)在(－∞，－a]上单调递减，2a在[－2，＋∞)上单调递增．又已知函数f(x)的单调递增区间是[3，＋∞)，a所以－＝3，解得a＝－6.]26．D [∵当x≤0 时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x>0 时，f(x)＝x＋1＋a≥2＋a，x当且仅当x＝1 时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解之，得－1≤a≤2，∴a 的取值范围是0≤a≤2.选D.]7．C [设函数h(x)＝f(x)＋x，当x≤0时，h(x)＝x 是增函数，此时h(x)的值域是(－∞，0]；当x>0 时，h(x)＝e x＋x 是增函数，此时h(x)的值域是(1，＋∞)．综上，h(x)的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．函数g(x)＝f(x)＋x－m 有零点，即方程f(x)＋x－m＝0 有解，也即方程m＝f(x)＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]8．D [由f(2＋x)＝f(6－x)知函数f(x)图象关于直线x＝4 对称，又∵xf′(x)>4f′(x)，∴(x－4)f′(x)>0.∴函数f(x)在(－∞，4)上是减函数，在(4，＋∞)上是增函数．又∵9<a<27，∴2<log3a<3，∴f(log3a)<f(2)＝f(6)．又∵9<a<27，∴3< a<3 3，∴2 a>23＝8.∴f(2 a)>f(8)>f(6)>f(log3a)，故选D.]9．B [设经销乙商品投入资金x 万元，由题意得20－x＋ax≥5(0≤x≤20)，整理得－x＋4 2 4ax≥0.显然，当x＝0 时，不等式恒成立；当0<x≤20 时，由－x＋ax≥0，得a≥x恒成立．因2 4 2 2为当0<x≤20 时，0<x≤5，所以a≥5，即a 的最小值为5.故选 B.]210．B [函数y＝f(x)－x 恰有3 个不同的零点等价于函数y＝－x2－3x，x<0，－x2－x＋1，x≥0的图象与直线y＝－a 有3 个不同的交点，作出图象，如图所示，可得当0<－a≤1 时，满足题意，故－1≤a<0.故选B.]11．B [由p：－4<x－a<4 成立，得a－4<x<a＋4；由q：(x－2)(3－x)>0 成立，得2<x<3，所以綈p：x≤a－4 或x≥a＋4，綈q：x≤2 或x≥3，a－4≤2，又綈p 是綈qa＋4≥3，解得－1≤a≤6，故答案为[－1,6]．]12．B [若存在实数x0，使得f(－)＝－f()，则4-x0 －m·2-x0 +1＝-4x0 ＋m·2x0 +1，整理得：2m(＋2-x0 )＝＋4-x0 ，4x0 +4-x02m＝2x0 +2-x0＝(2x0 +2-x0 )2-22x0 +2-x0＝＋2 -x0 －2，2x0 +2-x0设＋2-x0 ＝t (t≥2)，2m＝t－2，其在[2，＋∞)上为增函数，当t＝2 时，2m＝1，m＝1，所以t 2m≥1.]213.516解析因为函数f(x)的周期是4，)则29 3 3f( )＝f(8－)＝f(－)，4 4 4∵f(x)是奇函数，∴f(－3＝－f(3)＝－3×1＝－3，4 4 4 4 1641 7 7 7 7πf( )＝f(8－6 6)＝f(－)＝－f( 6 6)＝－sin6＝sinπ＝1，6 2则29 41 3 1 5f( )＋f(4 6)＝－＋＝.16 2 1614．8 或－83解析若m>0，则f(2－m)＝3(2－m)－m＝6－4m，f(2＋m)＝－(2＋m)－2m＝－2－3m，∴6－4m＝－2－3m，解得m＝8.若m<0，则f(2－m)＝－(2－m)－2m＝－2－m，f(2＋m)＝3(2＋m)－m＝6＋2m，∴－2－m＝6＋2m，解得m＝－8.3 15．[－8，－6]－1，解析设g(x)＝3x2－ax＋5－1)≥0，解得－8≤a≤－6.16．(1)－1[2，＋∞)x－1，x<1，解析(1)当a＝1 时，f(x)(x－1)(x－2)，x≥1.当x<1 时，f(x)＝2x－1∈(－1,1)，当x≥1 时，f(x)＝4(x2－3x＋2)＝－1，∴f(x)min＝－1.(2)由于f(x)恰有2 个零点，分两种情况讨论：当f(x)＝2x－a，x<1 没有零点时，a≥2 或a≤0.当a≥2 时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1 时，有2 个零点；当a≤0 时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1 时无零点．因此a≥2 满足题意．当f(x)＝2x－a，x<1 有一个零点时，0<a<2.| f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1 有一个零点，此时 a <1, 2a ≥1，因此1≤a <1.2综上知实数 a a1≤a <1 或a 217．解(1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ， ∴集合 A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }， ∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合 B ＝{x |x <－4 或 x >－2}． ∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由 A ⊆B ，得 2＋a <－4 或者－2<－2＋a . 解得 a <－6 或 a >0，所以 a 的取值范围为{a |a <－6 或 a >0}．18．解 (1)当 a ＝1 时，由 x 2－4ax ＋3a 2<0，解得 1<x <3，即 p 为真时，实数 x 的取值范围是(1,3) x －3，解得 2<x <3，即 q 为真时，实数 x 的取值范围是(2,3)．若 p ∧q 为真，则 px －2 为真且 q 为真，所以实数 x 的取值范围是(2,3)． (2)由 x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.≤2，当 a >0 时，p ：a <x <3a a ≥3，解得 1≤a ≤2；当 a <0 时，p ：3a <x <a a ≤2， ≥3无解，不合题意．所以实数 a 的取值范围是[1,2]．2<x －1<2，19．解 (1)由题意可知解得1<x <5 2<3－2x <2，2 2∴函数 g (x )的定义域为(1，5)．2 2 (2)由 g (x )≤0 得 f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)．又∵f (x )在(－2,2)上单调递减， 2<x －1<2， 2<2x －3<2，－1≥2x －3. 解得1<x ≤2，∴g (x )≤0 的解集为(1 2]． 2 2，，；由 <0m220．解(1)因为f(x)＝x2－mx2－，4因为设f(x)在区间[0,2]上的最小值记为g(m)．当0<m≤4 时，m0< ≤2，2m2所以g(m)＝＝－.4(2)当m>4 时，f(x)m在[0,2]上单调递减，4所以g(m)＝f(2)＝4－2m.－m2，0<m≤4，结合(1)可知，g(m)＝ 4－2m，m>4.因为x>0 时，h(x)＝g(x)，x2所以x>0 时，h(x)－，0<x≤4，4－2x，x>4.易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数h(x)为偶函数，且h(t)>h(4)，所以h(|t|)>h(4)，所以0<|t|<4，0，|<4，0，4<t<4，从而－4<t<0 或0<t<4.综上所述，所求实数t 的取值范围为(－4,0)∪(0,4)．21．解(1)由题意得，ω(t)＝f(t)·g(t)＝(4＋1－|t－15|)(1≤t≤30，t∈N)，t4＋1)(t＋100)(1≤t<15，t∈N)，t即ω(t)＋1)(130－t)(15≤t≤30，t∈N).t(2)①当1≤t<15，t∈N 时，ω(t)＝(4＋1)(t＋100)t＝4(t＋25)＋401≥4×2 25＋401＝441，当且仅当t＝25，即t＝5 时取等号，此时ω(t)取最小t t值，为441；②当15≤t≤30，t∈N 时，ω(t)＝(4＋1)(130－t)＝519＋(130－4t)，易知ω(t)在[15,30]上单调t t)(11511 1 2 递减，所以当 t ＝30 时，ω(t )取最小值，为 1403 . 31 因为 403 3<441，所以该城市旅游日收益的最小值为 403 1万元． 322．解 (1)∵f (x )在定义域 R 上是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －1 2＋20，∴b ＝1.(2)由(1)知 f (x )＝ 1－2x＝－1＋ 12＋2x ＋1 2 2x ＋1 设 x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝ 2x 2 - 2x 11 - 12x 1 + 1 2x 2 + 1＝ (2x + 1)(2x + 1) .∵函数 y ＝2x 在 R 上是增函数且 x 1<x 2，∴－>0.又(＋1)( ＋1)>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即 f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f (x )是奇函数，∴不等式 f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0 等价于 f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，∵f (x )为减函数，由上式推得 t 2－2t >k －2t 2.即对一切 t ∈R,3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－1.3 ∴k 的取值范围是(－∞，－1)． 3 ＝ .。

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单元滚动检测五平面向量考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA→＋BC →＋AB →等于( )A.CD →B.OC →C.DA→ D.CO→ 2．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD→＝－13AB →＋43AC → B.AD→＝43AB →＋13AC →C.AD→＝13AB →－43AC →D.AD→＝43AB →－13AC →3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →方向相反的单位向量是( )A ．(－35，45) B ．(－45，35) C ．(35，－45)D ．(45，－35)4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4D ．125．(2016·枣庄八中南校区月考)已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 方向上的投影为( ) A ．1 B.23 C.43D.126．设O ，A ，B 为平面上三点，且P 在直线AB 上，OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．不能确定7．△ABC 的内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为( ) A.π6 B.5π6 C.π3D.2π38.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．69．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( ) A.53 B.83 C ．8D ．2410．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( )A.21B.3214 C.212D ．32111．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，OC ＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A ．1 B.13 C.12D.2312．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B ·P 0C ，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 14．(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.15．设e 1、e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________．16．(2016·石嘴山三中第三次适应性考试)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN→的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图，O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，向量OA →，OB →，OC→的模分别为2，3，4.(1)求|OA→＋OB →＋OC →|；(2)若OC →＝mOA →＋nOB →，求实数m ，n 的值.18.(12分)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设向量d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，求d .19.(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.20.(12分)在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD→＝511DB →. (1)求|AB→－AC →|； (2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值.21.(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan2α的值.22.(12分)已知a ＝(3sin x ，cos x ＋sin x )，b ＝(2cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[5π24，5π12]时，对任意t ∈R ，不等式mt 2＋mt ＋3≥f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．答案精析1．B [由题意，如题图，OA→＋BC →＋AB →＝OB →＋BC →＝OC →.故选B.]2．A [由题意知AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A.]3．A [AB→＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，|AB →|＝32＋(－4)2＝5.所以与向量AB →方向相反的单位向量为－AB →|AB →|＝－(3，－4)5＝(－35，45)．故选A.] 4．B [由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，所以|a ＋2b |＝2 3.故选B.]5．B [由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0＝a 2－3a·b ＝4－3a·b ，a·b ＝43，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝432＝23.]6．C [因为点P 在直线AB 上，所以有AP→＝λAB →(λ∈R )，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，化简得OP→＝(1－λ)OA →＋λOB →，即m ＝1－λ，n ＝λ，故m ＋n ＝1.]7．B [若m ∥n ，则(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理可得(a ＋b )(b －a )－c (3a ＋c )＝0，化简为a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝5π6，故选B.]8．C [在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°，且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB→＝CB →2＋34BA →·CB →＝16＋34×42×4cos135°＝4.]9．C [因为a ∥b ，所以－2x －3(y －1)＝0，化为2x ＋3y ＝3，所以3x ＋2y ＝13(2x ＋3y )(3x ＋2y )＝13(12＋9y x ＋4x y )≥13(12＋29y x ·4x y )＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时取等号，所以3x ＋2y 的最小值是8.故选C.]10．B [设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3， ∴bc cos A ＝3，a ＝3，又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A 2，∴cos A ≥25，∴0<sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.]11．D [过C 作CE ⊥x 轴于点E (图略)．由∠AOC ＝π4，知OE ＝CE ＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE→＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.]12．D [设AB ＝4，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，P 0(1,0)，设C (a ，b )，P (x,0)， ∴PB →＝(2－x,0)，PC →＝(a －x ，b )，P 0B ＝(1,0)， P 0C ＝(a －1，b )．则由PB →·PC →≥P 0B ·P 0C ⇒(2－x )·(a －x )≥a －1恒成立，即x 2－(2＋a )x ＋a ＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a )2－4(a ＋1)＝a 2≤0恒成立， ∴a ＝0.即点C 在线段AB 的中垂线上， ∴AC ＝BC ，故选D.] 13. 5解析 ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ， ∴|λa |＝|－b |＝|b |＝22＋12＝5， ∴|λ|·|a |＝ 5. 又|a |＝1，∴|λ|＝ 5.14.12 －16解析 MN→＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16. 15.52解析向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |，又|b |＝2，a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，所以向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝52. 16．[4,6]解析如图，以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,3)，∴AB 所在直线的方程为x 3＋y3＝1，则y ＝3－x .设N (a,3－a )，M (b,3－b )，且0≤a ≤3,0≤b ≤3，不妨设a >b ， ∵MN ＝2，∴(a －b )2＋(b －a )2＝2， ∴a －b ＝1，∴a ＝b ＋1，∴0≤b ≤2， ∴CM →·CN →＝(b,3－b )·(a,3－a ) ＝2ab －3(a ＋b )＋9＝2(b 2－2b ＋3)＝2(b －1)2＋4,0≤b ≤2， ∴当b ＝0或b ＝2时有最大值6；当b ＝1时有最小值4. ∴CM →·CN→的取值范围为[4,6]． 17．解 (1)由已知条件易知，OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝－3，OA →·OC →＝|OA →|·|OC →|·cos ∠AOC ＝－4，OB →·OC→＝0， ∴|OA →＋OB →＋OC →|2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OB →·OC →)＝9， ∴|OA→＋OB →＋OC →|＝3. (2)由OC→＝mOA →＋nOB →可得， OA →·OC →＝mOA →2＋nOA →·OB →，且OB →·OC →＝mOB →·OA →＋nOB →2， ∴⎩⎨⎧4m －3n ＝－4，－3m ＋3n ＝0， ∴m ＝n ＝－4.18．解 (1)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，所以2·(3＋4k )－(－5)·(2＋k )＝0，所以k ＝－1613.(2)因为d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，又(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1. 所以⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－55，y ＝1－255.所以d ＝(20＋55，5＋255)或d ＝(20－55，5－255)． 19．解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎨⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，∴⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－4， ∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0， ∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0， ∴2×5＋3a ·b －2×54＝0， ∴a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.即a 与b 的夹角θ为π.20．解 (1)由AD→＝511DB →，得A ，B ，D 三点共线，可知|AD→|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11. 在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196，所以BC ＝14.所以|AB→－AC →|＝|CB →|＝14. (2)由(1)知，|AB→|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14.由余弦定理得，cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →) ＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2 ＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1时，k 取得最小值516.21．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2.则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22， ∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<5π4， ∴x ＋π4＝7π6，∴x ＝11π12. ∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin2α＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin2α＝0. ∴52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－35.22．解 f (x )＝a ·b ＝23sin x cos x ＋(cos x ＋sin x )(sin x －cos x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)．(1)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π]，k ∈Z .(2)当x ∈[5π24，5π12]时，π4≤2x －π6≤2π3，所以2≤2sin(2x －π6)≤2，因为对任意t ∈R ，不等式mt 2＋mt ＋3≥f (x )恒成立，所以mt 2＋mt ＋3≥f (x )max 恒成立，即mt 2＋mt ＋3≥2，即mt 2＋mt ＋1≥0恒成立．若m ＝0，符合条件；若m ≠0，则m ＞0且m 2－4m ≤0，即0＜m ≤4.所以实数m 的取值范围为0≤m ≤4.。