初三入学考试数学试题答案及解析
2024届北京景山学校初三2月开学考数学试题及答案
2024北京景山学校初三（下）开学考数 学2024年2月本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．第一部分 选择题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 根据北京市统计局发布的统计数据，2022年首都的各项事业都取得了新进展，其中GDP 总量达到41600亿元，数字41600用科学记数法可表示为（ ）A. 44.1610⨯B. 441.610⨯C. 54.1610⨯D. 50.41610⨯ 2. 有理数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b 满足b a <−，则b 的值可能是（ ）A. 2B. 2−C. 0D. 3−3. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4. 若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（ ）A. 45︒B. 60︒C. 72︒D. 90︒ 5. 关于x 的一元二次方程2(3)210x k x k −+++=根的情况是（ ）A. 无实根B. 有实根C. 有两个不相等实根D. 有两个相等实根6. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ）A. 22甲乙<S S ，x x =乙甲B. 22S S =甲乙，x x >甲乙 C. 22S S >甲乙，x x =乙甲 D. 22S S =甲乙，x x <甲乙 7. 不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ） A. 29 B. 13 C. 49 D. 238. 已知在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上一个动点，过P 作CD 、AD 的平行线分别交正方形ABCD 的边于E 、F 和M 、N ，若BP x =，图中阴影部分的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系图象大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每题2分）9. 方程3042x x=+的解是_______． 10. 分解因式：24x 8x 4−+=_______．11. 已知点()11,A m y −，()2,B m y 都在一次函数21y x =−+的图象上，那么1y 与2y 的大小关系是1y _____2y （填“>”，“=”“<”）12. 如图（示意图）所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 的高为2.4m ，测得 1.8m AB =，13.2m BC =，则建筑物CD 的高为__________m ．13. .如图，在 Rt △ABC 中，∠B ＝90°，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点 D ，E ，再分别以点 D、E 为圆心，大于DE 为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若 BG＝1，AC＝4，则△ACG 的面积是________.∠的值为__________．14. 如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos ACB=．只需添加一个条件即可证明四15. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE DF边形AECF是矩形，这个条件可以是_______（写出一个即可）．16. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m的值为__________．第三部分解答题三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：113tan 304−⎛⎫︒− ⎪⎝⎭．18. 解不等式组：2631213x x x x −<⎧⎪−⎨−+≤⎪⎩． 19. 已知2310x x −−=，求代数式(23)(23)2(1)x x x x +−−−的值．20. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．已知在ABC 中，90,30∠=︒∠=︒C A ，求证：12BC AB =．法一：如图1，在AB 上取一点D ，使得BC BD =，接CD ．法二：如图2，延长BC 到D ，使得BC CD =，连接AD ．图1 图2你选择方法_______证明：21. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO =∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接DE ，若4,120AC BCD =∠=︒，DE 的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线121y x =−+与反比例函数()20k y k x=−≠图象的一个交点为点M ．（1）当点M 的坐标为()2,m 时，求k 的值；（2）当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >，直接写出k 的取值范围．23. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．北京冬奥会的成功兴办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了两次“冬奥知识”竞赛．该校九年级共有学生480人参加了竞赛，从中随机抽取30名学生的两次竞赛成绩，小明对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：b ．将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：45x ≤，4546x <≤，4647x <≤，4748x <≤，4849x <≤，4950x <≤）某校抽取30名学生的两次“冬奥知识”竞赛成绩折线统计图c ．两次竞赛成绩的平均数、中位数如下：（1）请补全折线统计图，并标明数据；（2）请完善c 中的统计表，m 的值是 ．（3）若成绩为46.5分及以上为优秀， 根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约有 名学生成绩达到优秀；（4）通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数一定出现在4546x <≤这一组”．请你判断小明的说法 ．（填“正确”或“错误”），你的理由是 ． 24. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y (单位：克)．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()()12x y x y ，，，，并画出函数12y y ，的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足函数关系210.04+y x bx c =−+．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足函数关系()20y ax c a =+≠．请分别求出场景A ，B 满足的函数关系式；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A B x x ，，则A x B x (填“＞”，“=”或“＜”)． 25. 如图，AB 是O 的直径，C 为AB 延长线上一点．CD 为O 切线，D 为切点，OE BD ⊥于点H ，交CD 于点E ．（1）求证：BDC BOE ∠=∠；（2）若1sin 3C =，4=AD ， 求EH 和半径的长． 26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()()12,,,x m x n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为x t =．（1）若对于11x =，23x =，有m n =，求t 的值；（2）若对于11t x t −<<，223x <<，存在m n >，求t 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，连接DE ，EDC B ∠=∠．（1）求证：ED EC =；（2）连接BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF ．①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，求BAC ∠的大小．28. 在平面直角坐标系xOy 中，将中心为T 的正方形记作正方形T ，对于正方形T 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若正方形T 的边上存在点Q ，使得直线OP 与以TQ 为半径的T 相切于点P ，则称点P 为正方形T 的“伴随切点”．（1）如图，正方形T 的顶点分别为点O ，(2,2),(4,0),(2,2)A B C −．①在点123(2,1),(1,1),(1,1)P P P −中，正方形T 的“伴随切点”是_______；②若直线y x b =+上存在正方形T 的“伴随切点”，求b 的取值范围；（2）已知点(,1)T t t +，正方形T 的边长为2．若存在正方形T 的两个“伴随切点”M ，N ，使得OMN 为等边三角形，直接写出t 的取值范围．参考答案第一部分 选择题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时， n 是负数.【详解】解：41600用科学记数法表示为44.1610⨯；故选：A.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键要记住科学记数法的表示形式，正确确定a 的值以及n 的值.2. 【答案】D【分析】根据a 的范围确定出b 的范围，进而判断出b 可能的取值．【详解】解：根据数轴上的位置得：23a <<，32a ∴−<−<−，b a <−，3b ∴≤−，故b 的值可能为3−，故选：D ．【点睛】此题考查了数轴，掌握用数轴比较大小是解本题的关键．3. 【答案】C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.【详解】解：A ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项A 不符合题意；B ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项B 不符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C 符合题意；D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．4. 【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式()2180n −•︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角． 【详解】正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．5. 【答案】C【分析】先求出24b ac −，再根据结果判断即可．【详解】根据题意，得222224(3)4(21)698425(1)44b ac k k k k k k k k −=+−+=++−−=−+=−+≥，∴这个方程有两个不相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．6. 【答案】D【分析】本题主要考查了求平均数和方差，分别求出两所中学5名学生的成绩的平均数和方差，即可求解．【详解】解：根据题意得：甲所中学5名学生的成绩为60，70，70，60，80，乙所中学5名学生的成绩为70，80，80，70，90， ∴()16070706080685x =++++=甲，()17080807090785x =++++=乙， ()()()()()222222160687068706860688068565S ⎡⎤=−+−+−+−+−=⎣⎦甲， ()()()()()222222170788078807870789078565S =⎡⎤−+−+−+−+−=⎣⎦乙， ∴22S S =甲乙，x x <甲乙．故选：D7. 【答案】C【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种， ∴两次都摸到红球的概率为49， 故选：C ．8. 【答案】D【分析】设在正方形ABCD 的边长为a ，首先可证得四边形AMPE 、FCNP 都是矩形，四边形BFPM 、EPND 都是正方形，可求得22BF FP PM BM BP x =====，2EP PN ND DE a x ====−，再由ABCD BFPM EPND S S S S =−−阴影正方形正方形正方形，即可求得则y 与x 之间的函数关系，据此即可判定．【详解】解：设在正方形ABCD 的边长为a ，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，45MBP FBP ∠=∠=︒，AB CD ∥，BC AD ∥，过P 作CD 、AD 的平行线分别交正方形ABCD 的边于E 、F 和M 、N ，∴四边形AMPE 、FCNP 都是矩形，∴四边形BFPM 、EPND 都是正方形，22BF FP PM BM BP x ∴=====，2EP PN ND DE a x ====−， ABCD BFPM EPND S S S S ∴=−−阴影正方形正方形正方形22222a x a x ⎛⎫⎛⎫=−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221122a x a x =−−+−2x =−+()20,0y x x y ∴=−+≥≥，∴该函数的图象是开口向下的抛物线，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，求函数解析式，几何问题与二次函数，准确求得函数解析式是解决本题的关键．二、填空题（本题共16分，每题2分）9. 【答案】0x =【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行求解，即可． 【详解】解：3042x x =+ ∴30x =解得：0x =，经检验，0x =是原方程的解，故答案为：0x =．10. 【答案】()24x 1−．【分析】先提取公因式4后继续应用完全平方公式分解即可．【详解】解： ()()2224x 8x 44x 2x 14x 1−+=−+=−． 故答案为：()24x 1−．【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．11. 【答案】>【分析】根据一次函数解析式得出20k =−<，得出y 随着x 的增大而减小，根据1m m −<，即可求解．【详解】解：∵21y x =−+，20k =−<，∴y 随着x 的增大而减小，∵1m m −<，∴12y y >，故答案为：>．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12. 【答案】20【分析】根据正切等于对边比邻边，即可得到答案．【详解】解：由题意可得， tan BE DC A AB AC∠==，2.41.8 1.813.2DC =+， 解得20DC =，故答案为：20．【点睛】本题考查直角三角形正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切等于对边比邻边．13.【答案】2【分析】先作GH ⊥AC 于H ，由题意可得BG=GH ，再根据面积公式即可得出答案.【详解】作GH ⊥AC 于H根据题意可得AG 是∠BAC 的角平分线∴BG=GH=1 ∴1114222ABC S GH AC =⨯⨯=⨯⨯=故答案为2.【点睛】本题考查的是角平分线，需要熟练掌握角平分线的做法.14. 【答案】5【分析】取格点D ，连接BD ，根据勾股定理分别求出BD =，CD =，BC =，即得出222BD CD BC +=，说明BCD △为直角三角形，最后根据余弦的定义求解即可．【详解】解：如图，取格点D ，连接BD ．∴BD ==CD ==221310BC ，∴222BD CD BC +=， ∴BCD △为直角三角形，∴cos5CD ACB BC ∠===．． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，余弦的定义．正确的连接辅助线是解题关键．15. 【答案】AE BC ⊥（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定方法即可求解．【详解】解：菱形ABCD ，BE DF =，∴AD DF BC BE −=−，即CE AF =，且AF CE =，∴四边形AECF 是平行四边形，根据矩形的判定，①四边形AECF 是平行四边形，AE BC ⊥，∴90AEC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；②四边形AECF 是平行四边形，若CF AD ⊥，∴90AFC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；故答案为：AE BC ⊥（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查矩形，掌握矩形的判定方法是解题的关键．16. 【答案】30【分析】由乙丙的答案和得分可知第2,5题答案正确，进而判断其余6道题目的答案，再根据正确的答案判断丁的得分即可．【详解】因为乙丙的第2，525分，所以第2，5两题答案正确．又因为甲得30分，且第2，5题错误，可知其余6题答案均正确，可知这8道题目的答案为：×，×，×，√，√，×，√，×，可知丁的第2，8两题错误，所以得分为6530⨯=，则30m =．故答案为：30．【点睛】本题主要考查了推理论证，培养了学生阅读能力和逻辑推理能力，属于基础题型．第三部分 解答题三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】4−【分析】首先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算、二次根式的性质、去绝对值符号法则，进行运算，再进行二次根式的混合运算，即可求解．【详解】解：113tan304−⎛⎫︒− ⎪⎝⎭34=−−4=−−4=−【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算、二次根式的性质、去绝对值符号法则、二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．18. 【答案】562x−<≤【分析】先求解每个不等式的解集，再求它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：2631213x xxx−<⎧⎪⎨−−+≤⎪⎩①②，解不等式①，得：6x>−解不等式②，得：52x≤，∴不等式组的解集为：562x−<≤【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤并正确求解是解题关键．19. 【答案】7−【分析】根据2310x x−−=，得出231x x−=，将()()()232321x x x x+−−−化为()2239x x−−，求出结果即可．【详解】解：∵2310x x−−=，∴231x x−=，∴()()()232321x x x x+−−−224922x x x=−−+2629x x=−−()2239x x=−−219=⨯−7=−．【点睛】本题主要考查了化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．20. 【答案】见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质；法一：在AB 上取一点D ，使得BC CD =，连接CD ，推出BCD △是等边三角形，再利用等角对等边证明AD CD =，据此即可证明12BC AB =； 法二：延长BC 到D ，使得BC CD =，连接AD ，推出AC 垂直平分BD ，证明ABD △是等边三角形，据此即可证明12BC AB =． 【详解】解：法一：在AB 上取一点D ，使得BC CD =，连接CD ，∵9030，∠=︒∠=︒C A ，=60B ∴∠︒，BCD ∴△是等边三角形，60BDC ∴∠=︒，CD BD =，6030DCA A A ∴∠=︒−∠=︒=∠，AD CD DB BC ∴===，12BC AB =∴; 法二：延长BC 到D ，使得BC CD =，连接AD ，∵90ACB ∠=︒，∴AC 垂直平分BD ，∴AD AB =，∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，60B ∴∠=︒，ABD ∴是等边三角形，2AB BD BC ∴==，即12BC AB =．21. 【答案】（1）见解析 （2）DE =【分析】（1）由矩形的性质可得OE CB =，90BOC ∠=︒，结合AD EO =可得AD CB =，结合BC AD ∥，可证四边形ABCD 是平行四边形，再根据90BOC ∠=︒可证四边形ABCD 是菱形；（2）先根据已知条件和（1）中结论证明ABC 是等边三角形，进而求出AO ，BO ，再利用勾股定理解Rt DBE 即可．【小问1详解】 证明：四边形BECO 是矩形，OE CB ∴=，90BOC ∠=︒，AD EO =，AD CB ∴=，AD BC ∴∥，∴四边形ABCD 是平行四边形．90BOC ∠=︒，∴平行四边形ABCD 是菱形．【小问2详解】解：如图，连接DE ，四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AB CD ∥，AC BD ⊥，∴180BCD ABC ∠+∠=︒，120BCD ∠=︒，∴18060ABC BCD ∠=︒−∠=︒，∴ABC 是等边三角形，AC BD ⊥，4AC =，∴122AO OC AC ===，∴BO ===，∴2BD BO ==，四边形BECO 是矩形，2BE OC ∴==，90OBE ∠=︒，∴DE ===．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法．22. 【答案】（1）6k =（2）0k <或03k <≤【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合；（1）把点M 的坐标为()2,m 代入一次函数，可求出m 的值，再代入反比例函数即可求解；（2）根据题意算出一次函数过=1x −时的函数值，再根据当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >，分类讨论：①当0k >时；②当0k <时．由此即可求解．【小问1详解】解：∵点M 的坐标为()2,m ，且点M 在直线121y x =−+的图像上，∴221m −⨯+=，即3m =−，∴(2,3)M −，把(2,3)M −代入反比例函数得，2(3)6k xy −==⨯−=−，∴反比例函数解析式为6y x=−， ∴6k =．【小问2详解】解：当=1x −时，1212(1)13y x =−+=−⨯−+=，如图所示，∴当1x <−时，13y >，若当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >，∴①当0k <时，反比例函数在第一、三象限，当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >； ②当0k >时，反比例函数在第二、四象限，要使12y y >，则当1x <−时，203y <≤，即03k <≤， ∴03k <≤；综上所述，当0k <或03k <≤时，当1x <−时，对于x 的每一个值，都有12y y >．23. 【答案】（1）见解析 （2）49.5m =（3）384 （4）错误，成绩 4546x <≤的分数可以是45.5或46这两个分数，虽然这一组人数最多，但也可能出现在45x ≤或4950x <≤这两组中【分析】(1）计算出成绩为4546x <≤的学生人数，补全折线统计图即可；(2）根据平均数和中位数即可得到结论；(3）求出成绩为26.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数x 九年级的总人数即可得到结论； (4）根据众数的定义即可得到结论．【小问1详解】成绩为46分的学生人数为：301821324−−−−−=；补全折线统计图如图【小问2详解】49.5m =；故答案为：49.5．【小问3详解】1321848038430+++⨯=（名）； 故答案为：384．【小问4详解】错误，理由：成绩 4546x <≤的分数可以是45.5或46这两个分数，虽然这一组人数最多，但也可能出现在45x ≤或4950x <≤这两组中．【点睛】本题考查了频数（率）分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键． 24. 【答案】（1）见详解 （2）210.040.125y x x =−−+，225y x =−+（3）＞【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；（3）依据题意，分别求出当4y =时x 的值，即可得出答案．【小问1详解】解：由题意，作图如下．；【小问2详解】解：由题意，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足函数关系210.04y x bx c =−++. 又点()()0251020，，，在函数图象上， ∴250.041021020c b c =⎧⎨−⨯++=⎩． 解得：0.125b c =−⎧⎨=⎩． ∴场景A 函数关系式为210.040.125y x x =−−+．对于场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足函数关系2.y ax c =+又()()0251020，，，在函数图象上， ∴251015c a c =⎧⎨+=⎩． 解得：251c a =⎧⎨=−⎩． ∴场景B 函数关系式为225y x =−+．【小问3详解】解：由题意，当4y =时，场景A 中，20A x =，场景B 中，425B x =−+，解得：21B x =，∴A B x x <．25. 【答案】（1）见解析 （2）1EH =【分析】（1）连接OD ，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，根据平行线的判定与性质得到BOE ADO ∠=∠，根据切线的性质得到90CDO ∠=︒，通过等量代换即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质及三角形中位线定理，得到122OH AD ==，设OD r =，3OC r =，证明COE CAD ∽，根据相似三角形的性质，可求得OE 的长，即可求得EH 的长；再根据相似三角形的判定，可证得EDH BOH ∽，利用相似三角形的性质及勾股定理，即可求得半径的长．【小问1详解】证明：如图：连OD ，OA OD =，A ADO ∴∠=∠ AB 为直径，90ADB ∴∠=︒，AD BD ∴⊥，ADO ODB 90∠+∠=︒OE BD ⊥OE AD ∴∥，BOE A ∴∠=∠，BOE ADO ∴∠=∠ CD 为O 切线，OD CD ∴⊥，90ODE ∠=︒，90BDC ODB ∴∠+∠=︒，BDC ADO ∴∠=∠，BDC BOE ∴∠=∠；【小问2详解】解：OE BD ⊥，OB OD =，∴点H 是BD 的中点，OE AD ∥∵，点O 是AB 的中点，OH ∴是ABD △的中位线，122OH AD ∴==，BH DH =，1sin 3OD C OC ==，∴设OD r =，则3OC r =，34AC r r r ∴=+=，//OE AD ，COE CAD ∴∽，A CO CA OE D ∴=， 344r OE r ∴=， 解得3OE =，321EH OE OH ∴=−=−=，EHD BHO ∠=∠，EDH BOH ∠=∠EDH BOH ∴∽，EH DH BH OH∴=，BH DH EH OH ⋅=⋅， H 为BD 的中点，BH DH ∴=，2122DH EH OH ∴=⋅=⨯=∴在Rt ODH 中，OD ===，O ∴．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．26. 【答案】（1）2t =（2）t 的取值范围是14t <<【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．（1）根据二次函数的性质求的对称轴即可求解．（2）根据题意可得当x t ≥时，y 随x 的增大而增大；当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，设抛物线上的四个点的坐标为()1,A A t m −，(),B B t m ，()2,C C n ，()3,D D n 可得A B m m >，分情况讨论是否存在m n >即可解答．【小问1详解】解：由题意知，93a b c a b c ++=++．4b a ∴=−．22b t a∴=−=． 【小问2详解】0a >，∴当x t ≥时，y 随x 的增大而增大；当x t ≤时，y 随x 的增大而减小．设抛物线上的四个点的坐标为()1,A A t m −，(),B B t m ，()2,C C n ，()3,D D n ．∴点A 关于对称轴x t =的对称点为()1,A A t m '+．抛物线开口向上，点B 是抛物线顶点，A B m m ∴>．ⅰ．当1t ≤时，C D n n <．12t ∴+≤．A C m n ∴≤．∴不存在m n >，不符合题意．ⅱ．当12t <≤时，C D n n <．213t ∴<+≤．A C m n ∴>．∴存在m n >，符合题意．ⅲ．当23t <≤时，n ∴的最小值为B m ．A B m m >，∴存在m n >，符合题意．ⅳ．当34t <<时，D C n n <．213t ∴<−<．A D m n ∴>．∴存在m n >，符合题意．ⅴ．当4t ≥时，D C n n <．13t ∴−≥．A D m n ∴≤．∴不存在m n >，不符合题意．综上所述，t 的取值范围是14t <<．27. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②90BAC ∠=︒【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）根据等边对等角得到B C ∠=∠，进而得到EDC C ∠=∠，再根据等校对等边即可得到结论； （2）①根据题意补图即可；②延长EF 至点G ，使GF EF =，连接,,,AG BG DG AE ，则四边形BEDG 是平行四边形，然后推导ABG ACE ≌，得到ABG ACE ∠=∠，然后得到BAC BED CED ∠=∠=∠，180BED CED ∠+∠=︒即可得到结论．【小问1详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，又∵EDC B ∠=∠，∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =；【小问2详解】①如图所示,②延长EF 至点G ，使GF EF =，连接,,,AG BG DG AE ，∵点F 为BD 的中点，∴四边形BEDG 是平行四边形，∴BG DE =，BG DE ，∵,GF EF AF EF =⊥，∴AF 垂直平分EG ，∴AG AE =，由（1）得:DE CE =，又∵BG DE =，∴BG CE =，∴ABG ACE ≌，∴ABG ACE ∠=∠，又∵180ACE ABE BAC ∠+∠+∠=︒，∴180ABG ABE BAC ∠+∠+∠=︒，∴180EBG BAC ∠+∠=︒，∴180EBG BAC ∠+∠=︒，∵BG DE ，∴180EBG BED ∠+∠=︒，又∵180EBG BAC ∠+∠=︒，∴BAC BED ∠=∠，∵180BAC ABC C ∠+∠+∠=︒，180CED EDC C ∠+∠+∠=︒，EDC ABC ∠=∠，∴BAC CED ∠=∠，又∵BAC BED ∠=∠，∴BAC BED CED ∠=∠=∠，∵180BED CED ∠+∠=︒，∴2180BAC ∠=︒，∴90BAC ∠=︒．28. 【答案】（1）①23,P P ；②42b −≤≤−−或02b ≤≤（2）1122t −−−≤≤或1122t −+−≤≤ 【分析】（1）①根据新定义，即可求解；②分0b ≥，0b ≤时，分别讨论，设直线y x b =+与坐标轴分别交于点,D E ，作EF DE ⊥交x 轴于点F ，过点T 作TQ DE ⊥于点Q ，则DEF DQT ∽2TQ ≤≤，即可得出b 的范围；（2）依题意，1TQ ≤≤，进而得出OT ≤≤，即()2221OT t t =++，解一元二次方程，结合图形，即可求解．【小问1详解】解：①正方形T 的顶点分别为点O ，()2,2A ，()4,0B ，()2,2C −∴()2,0T ，则正方形T 的边长为42⨯=42TQ ≤≤，∵23TP TP ===T 到23,OP OP ，而T 到1OP∴在点()12,1P ，()21,1P ，()31,1P −中，正方形T 的“伴随切点”是()21,1P ，()31,1P− 故答案为：23,P P ．2TQ ≤≤，如图所示，当0b ≥时设直线y x b =+与坐标轴分别交于点,D E ，作EF DE ⊥交x 轴于点F ，过点T 作TQ DE ⊥于点Q ∴OE OD b ==，DE EF ===，2DF b =∵EF QT ∥，∴DEF DQT ∽ ∴EF DF QT DT= 当2TQ =时，∴222b b=+解得：2b =或0b =（舍去）当TQ =22b b=+，解得：0b =，2TQ ≤≤∴02b ≤≤当0b ≤时，如图所示，过点O 作OF DE ⊥于点F ，∵OF TQ ∥，∴DTQ DOF ∽ ∴TQ TD OF OD= 当2TQ =时，2b b −−−解得：2b =−当TQ =2b b −−−， 解得：4b =−，∴42b −≤≤−；综上所述，42b −≤≤−或02b ≤≤；【小问2详解】解：∵点(),1T t t +，正方形T 的边长为2．∴1TQ ≤≤`∴2MN ≤≤T 在MN 上时取得等于号，∵OMN 为等边三角形，T 为正方形的中心，则TM TN =∴OT MN ⊥∴12TM OM =，则OT ==OT ≤≤∵()2221OT t t =++，即()22316t t ≤++≤∴当()2221t t ++=12t =或12t =当()2221t t ++=，解得：12t =或12t =∴()22316t t ≤++≤的解集为：1122t −−−≤≤或1122t −−≤≤．∴1122t −−≤≤或1122t −−+≤≤． 【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的性质与判定，切线的性质，正方形的性质，勾股定理，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．。
浙江初三初中数学开学考试带答案解析
浙江初三初中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径A．5B．10C．8D．62.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、单选题1.若⊙O的半径为，且＜OA，则点A在（）A. ⊙O内B. ⊙O外C. ⊙O上 D不能确定2.小明制作了十张卡片，上面分别标有1~10这十个数字，从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是（）A．B．C．D．3.二次函数y=－x2+2x+4的最大值为（）A．6B．5C．4D．34.将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣1）2+4B．y=（x﹣4）2+4C．y=（x+2）2+6D．y=（x﹣4）2+65.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．6.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，则EF的长是( )A. B. C. D.7.如图，点A，B，C都在⊙O上，∠A=∠B=20°，则∠AOB等于（）A．40°B．60°C．80°D．90°8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB＇C ＇，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ( )A．πB．2πC．πD．4π三、填空题1.数3和12的比例中项是 .2.已知线段AB=2，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC= 。
九年级第一学期入学考试参考答案与试题解析
入学考试参考答案与试题解析一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）BADAB DBACA BC二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）13.3 14.直角15. 2 16. x ≥−117. 14 18. 8三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计66分 ）19.解：3给分点：第一步计算负整数指数幂、零指数幂、根式的化简 共4分第二步计算结果 2分 共6分20.【答案】解：∵ C ，D 两村到E 站的距离相等．∵ DE =CE ，∵ DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，∵ ∠A =∠B =90∘，∵ AE 2+AD 2=DE 2，BE 2+BC 2=EC 2，∵ AE 2+AD 2=BE 2+BC 2……………………………………………..2分设AE =x ，则BE =AB −AE =(17−x)∵DA =12km ，CB =5km ，∵ x 2+122=(17−x)2+52，解得：x =5，∵ AE =5km ．……………………………………..6分没有分析过程只有计算过程扣2分，分析过程不完善但合理不扣分，若无计算过程只有结果该步骤只给2分21.【答案】证明：∵ AF // CE ，∵ ∠AFE =∠CEF ，∵ ∠DFA =∠BEC ，……………………………………..2分在△ADF 和△CBE 中，∵ {DF =BE∠DFE =∠BEF AF =EC，∵ △ADF ≅△CBE(SAS)，……………………………………..4分∵ AD =BC ，∵ ∠ADB =∠DBC ，∵ AD // BC ，∵ 四边形ABCD 是平行四边形．……………………………………..6分证明三角形全等的步骤没有按照大括号中条件逐一摆出来但过程合理不扣分，学生的证明只要过程都合理只有书写的问题不扣分22.【答案】（1）24米 ……………………………………..4分（2） 8米 ……………………………………..4分计算分析过程完备的每小问4分，，如果没有分析过程只有计算过程给每小问3分，若只有结果给2分23.【答案】（1）25 50 ……………………………………..2分(2)平均数为5.3个……………………………………..2分众数为5个，中位数为5个……………………………………..2分（3）50+40200×1800=810（名）．答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名．……………………………………..3分计算平均数要有计算算式给2分，结果算错有算式正确给1分，众数和中位数直接写结果即可各1分24.【答案】解：(1)根据题意得：y =(100+10x)×(6−x)=−10x 2−40x +600. ……………………………………..4分(2)令y =−10x 2−40x +600中y =280，则有280=−10x 2−40x +600，……………………………………..2分即x 2+4x −32=0，解得：x =−8（舍去），或x =4. ……………………………………..2分答：若要平均每天盈利280元，则每千克应降价4元. ……………………………………..1分第一问必须化成一般式，没有化成一般式前面的式子写对了给2分；第二问计算若没有算出—8只算出4的不扣分，25.【答案】解：（1）∵ 二次函数y =−x 2+2x +m 的图象与x 轴的一个交点为A(−1, 0)， ∵ 将点B(−1, 0)代入y =−x 2+2x +m 中，得：−1−2+m =0，解得：m =3； ……………………………………..2分∵ 二次函数的解析式为：y =−x 2+2x +3，∵ 当y =0时，−x 2+2x +3=0，解得：x =3或x =−1，∵ B(−1, 0)； ……………………………………..2分（2）设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，有：{3k +b =0b =3， 解得{k =−1b =3， 故直线BC:y =−x +3；抛物线y =−x 2+2x +3的对称轴为x =1，连接BC 交对称轴于点P ，如图，设点P 坐标(1, t)，把(1, t)代入y =−x +3得t =2，故点P 坐标为P(1, 2)；……………………………………..3分（3）∵ 当x =0时，y =3，∵ C(0, 3)，∵ 设二次函数图象上有一点Q(x, y)使S △ABQ =S △ABC ，∵ AB ⋅|y Q |=AB ⋅|y C |，∵ |y Q |=|y C |，∵ y C =3，∵ |y Q |=3，∵ y Q =±3，∵ 当y =3时，−x 2+2x +3=3，解得：x =0或x =2，∵ 点Q 的坐标为(2, 3)．∵ 当y =−3时，−x 2+2x +3=−3，解得：x =1+√7或x =1−√7，∵ 点Q 的坐标为(1+√7, −3)或(1−√7, −3)．综上所述，Q 点坐标为Q 1(2, 3)，Q 2(1+√7, −3)，Q 3(1−√7, −3)．……………………………………..3分得分率估计不高，所以第一问设置分值高一点是4分，第二问第三问只要结果正确都给3分，过程不完善的不扣分26.【答案】解：【答案】（1）不能，理由如下：∵ 1、2、3的倒数分别为1、12、13，∵ 12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12∵ 实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”； ……………………………………..3分 （2）①∵ a 、b 、c 均不为0，∵ x 1，x 2，x 3都不为0，∵ 直线y =2bx +2c(bc ≠0)与x 轴交于点A(x 1, 0)，∵ 0=2bx 1+2c ，解得x 1=−c b ，联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx +2c =ax 2+3bx +3c ，即ax 2+bx +c =0，∵ 直线与抛物线交与B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)两点，∵ x 2、x 3是方程ax 2+bx +c =0的两根，∵ x 2+x 3=−b a ，x 2x 3=c a ，∵ 1x 2+1x 3=x 2+x 3x 2x 3=−b a c a =−b c =1x 1，∵ x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”； ……………………………………..5分②∵ x 2=1，∵ a +b +c =0，∵ c =−a −b ，∵ a >2b >3c ，∵ a >2b >3(−a −b)，且a >0，整理可得{a >2b 5b >−3a，解得−35<b a <12， ∵ P(c a , b a ) ∵ OP 2=(c a )2+(b a )2=(−a−b a )2+(b a )2=2(b a )2+2b a +1=2(b a +12)2+12， 令m =b a ，则−35<m <12且m ≠0，且OP 2=2(m +12)2+12，∵ 2>0，∵ 当−35<m <−12时，OP 2随m 的增大而减小，当m =−35时，OP 2有最大临界值2650，当m =−12时，OP 2有最小临界值12， 当−12<m <12时，OP 2随m 的增大而增大，当m =−12时，OP 2有最小临界值12，当m =12时，OP 2有最大临界值52， ∵ 12≤OP 2<52且OP 2≠1，∵ P 到原点的距离为非负数，∵ √22≤OP <√102且OP ≠1．……………………………………..2分 第一问3分，第二问的第一小问过程合理即给5分，第二小问只要结果出来了都给2分。
2024年江苏省苏州市、常熟市九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】
2024年江苏省苏州市、常熟市九年级数学第一学期开学考试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．4，5，6C ．8，13，5D ．1，12、（4分）矩形是轴对称图形，对称轴可以是（）A ．1l B ．2l C ．3l D ．4l 3、（4分）以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）A ．1，2，3B ．1，1，C ．2，4，5D ．6，7，84、（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数k y x =的图象上有三点()()()2, 2, 4,, , P Q m M a b -，若0a <且PM PQ >，则b 的取值范围为（）A ．4b <-B ．140b b <--<<或C ．10.b -<<D ．410b b <--<<或5、（4分）如图，小颖为测量学校旗杆AB 的高度，她在E 处放置一块镜子，然后退到C 处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B ．已知小颖的眼睛D 离地面的高度CD ＝1.5m ，她离镜子的水平距离CE ＝0.5m ，镜子E 离旗杆的底部A 处的距离AE ＝2m ，且A 、C 、E 三点在同一水平直线上，则旗杆AB 的高度为（）A ．4.5mB ．4.8mC ．5.5mD ．6m 6、（4分）等腰三角形的一个内角为80︒，则该三角形其余两个内角的度数分别为（）A ．50︒，50︒B ．80︒，20︒C ．80︒，50︒D ．50︒，50︒或80︒，20︒7、（4分）如图，过点A 0（1，0）作x 轴的垂线，交直线l ：y ＝2x 于B 1，在x 轴上取点A 1，使OA 1＝OB 1，过点A 1作x 轴的垂线，交直线l 于B 2，在x 轴上取点A 2，使OA 2＝OB 2，过点A 2作x 轴的垂线，交直线l 于B 3，…，这样依次作图，则点B 8的纵坐标为（）A ．）7B ．27C ．2（8D ．（）98、（4分）如图，已知点A 在反比例函数6y x =（0x >）的图象上，作Rt ABC ∆，边BC 在x 轴上，点D 为斜边AC 的中点，连结DB 并延长交y 轴于点E ，则BCE ∆的面积为（）A ．3B ．C ．D ．6二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）Rt △ABC 与直线l ：y ＝﹣x ﹣3同在如图所示的直角坐标系中，∠ABC ＝90°，AC ＝A （1，0），B （3，0），将△ABC 沿x 轴向左平移，当点C 落在直线l 上时，线段AC 扫过的面积等于_____．10、（4分）如图已知四边形ABCD 中，AB=CD，AB//CD 要使四边形ABCD 是菱形，应添加的条件是_____________________________（只填写一个条件，不使用图形以外的字母）.11、（4分）计算：111m m m -=--.12、（4分）反比例函数y＝4a x +的图象如图所示，A，P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB 中，PB∥y 轴，AB∥x 轴，PB 与AB 相交于点B．若△PAB 的面积大于12，则关于x 的方程(a－1)x 2－x＋14＝0的根的情况是________________．13、（4分）若函数y=(m+1)x+(m 2-1)(m 为常数)是正比例函数,则m 的值是____________。
初三上学期入学数学试卷word空白卷附详细答案
初三(上)入学数学试卷一、选择题(共10小题)1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).2.下列分式是最简分式的是( ).A.2a3a2bB.2a4bC.a+ba2+b2D.a2−aba2−b23.下列分解因式正确的是( ).A.x2+y2=(x+y)2B.2x y+4x=2(x y+2x)C.x2−2x−1=(x−1)2D.x2−1=(x+1)(x−1)4.下列变形中，正确的是( ).A.ba=bcacB.1a−1b=1a−bC.bm2am2=baD.a+abb+ab=ab5.若不等式组的解集为3x−1＜−7，则以下数轴表示中正确的是( ).6.若关于x的一元二次方程为a x2+b x+5=0(a≠0)的解是x=1，则2021−a−b的值是( ).A.2016B.2020C.2025D.20267.如图，要测定被池塘隔开的A、B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC、BC，并分别找出它们的中点D、E，连接DE.现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则A、B两点间的距离为( ).A.50mB.48mC.45mD.35mA. B.D.A. B. D.8.如图，Rt △ABC 的两直角边AB 、BC 的长分别是9、12.其三条角平分线交于点O ，将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ︰S △BCO ︰S △CAO 等于( ).A.1︰1︰1B.1︰2︰3C.3︰4︰5D.2︰3︰4 9.如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是( ). A.27 B.13.5 C.20 D.151O.已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE.过点A 作AE 的垂线交DE 于点P.若AE=AP=1，PB=√6，下列结论中正确结论的个数是( ). ①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为√3；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB =12+√2.A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题(共5小题）11.因式分解：a x 2−4ay 2=________.12.把方程x 2+2x −3=0化成(x +m)2=n 的形式，则m+n 的值是________.l3.直线l 1：y=a x −b 与直线l 2：y=−k x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则第9题图第10题图A DCBEP第8题图BCAO第7题图DACEB关于x 的不等式−a x +b ＞k x 的解集为________.14.若关于x 的分式方程x+m x−3+2m 3−x=4的解为非负数，则实数m 的取值范围是________.15.如图，线段AB 的长为10，点D 在AB 上，△ACD 是边长为3的等边三角形，过点D 作与CD 垂直的射线DP ，过DP 上一动点G(不与D 重合)作矩形CDGH ，记矩形CDGH 的对角线交点为O ，连接OB ，则线段BO 的最小值为________. 三、解答题(共6小题）16.(5分)解一元二次方程：2x 2+6x −2=0. 17.(6分)先化简(x 2x+1−x +1)÷x 2−1x 2+2x+1，再从−1，0，1中选择合适的x 值代入求值.18.(8分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A(5，2)，B(5，5)，C(1，1).(1)画出△ABC 向左平移5个单位得到的△A 1B 1C 1，点A ，B ，C 的对应点分别为点A 1，B 1，C 1.(2)画出△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 1，点A 1，B 1的对应点分别为点A 2，B 2.(3)请直接写出四边形A 2B 2B 1C 1的面积.第15题图ADBHPCOG第13题图19.(8分)如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F.(1)求证：四边形BDFC是平行四边形.(2)若BC=BD，求四边形BDFC的面积.D20.(8分)科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径.当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器.开工第一天生产200万个，第三天生产288万个.试回答下列问题.(1)求前三天生产量的日平均增长率.(2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天.①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.21.(10分)如图1，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连接EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于F. (1)直接写出线段OE 与OF 的数量关系：______________.(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，过点A 作AM ⊥BE ，AM 交DB 的延长线于点F ，其他条件不变.问(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由.(3)如图3，当BC=CE 时，求∠EAF 的度数.22.(10分)在平面直角坐标系中，点A 坐标为(0，4)，点B 坐标为(−3，0)，连接AB ，过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，点E 是线段AO 上的一动点. (1)如图1，当AE=3OE 时. ①求直线BE 的函数表达式.②设直线BE 与直线AC 交于点D ，连接OD ，点P 是直线AC 上的一动点(不与A ，C ，D 重合），当S △BOD =S △PDB 时，求点P 的坐标.图1 D CB EO FAM图3D CFBE OMA图2DCFB E O MA(2)如图2，点M 在y 轴上，在平面直角坐标系上是否存在点N ，使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.初三入学数学试卷一、选择题(共10小题)1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).1.解：【轴对称图形与中心对称图形】A 与D 是轴对称图形，B 既是轴对称也是中心对称图形，C 既不是轴对称也不是中心对称图形，故选B 。
安徽初三初中数学开学考试带答案解析
安徽初三初中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在1，0，2，-3这四个数中，最大的数是（）A．1B．0C．2D．-32.在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）3.计算3a－2a的结果正确的是（）A．1B．a C．－a D．－5a4.把－9x分解因式，结果正确的是（）A．x（－9）B．x C．x D．x（x+3）（x－3）5.一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．76.如图，□ABCD中，下列说法一定正确的是（）A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB="BC"7.关于x的一元二次方程－3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．m＞B．m＜C．m=D．m＜－8.一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17B．15C．13D．13或17二、填空题1.二次函数y=a+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜,y随x的增大而减小D．当－1＜x＜2 时y＞02.计算2÷x= ；3.据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人.将618 000 000用科学计数法表示为；4.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若BC=6，则DE= ；5.如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为；6.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于。
三、计算题计算：四、解答题1.先化简，再求值：（）·（－1），其中x=2.如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.（1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.3.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。
初三开学数学试卷答案
1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…D. -3答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。
选项D中的-3可以表示为-3/1，是有理数。
2. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，则∠BAC的度数是（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°答案：C解析：在等腰三角形中，底边上的高同时也是底边的中线，因此∠BAC=90°。
3. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^5答案：B解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)，只有选项B中的函数y=x^3满足这一条件。
4. 已知一元二次方程x^2-5x+6=0，下列选项中，不属于方程的根的是（）A. 2B. 3C. 1D. 6答案：D解析：解一元二次方程x^2-5x+6=0，可以通过因式分解得到(x-2)(x-3)=0，因此方程的根是x=2和x=3，选项D中的6不是方程的根。
5. 下列各数中，属于实数集R的是（）A. √-1B. 0.1010010001…C. πD. √4答案：B解析：实数集R包括有理数和无理数。
选项B中的数是一个无限不循环小数，属于无理数，因此是实数集R的元素。
6. 若a+b=7，ab=12，则a^2+b^2的值是（）答案：49解析：根据平方差公式，a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=7^2-2×12=49。
7. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点坐标是（）答案：(2,-3)解析：关于x轴对称，点的横坐标不变，纵坐标取相反数。
8. 已知函数y=kx+b，若该函数图象经过点(1,2)和(3,6)，则k和b的值分别是（）答案：k=2，b=0解析：将点(1,2)和(3,6)代入函数y=kx+b，得到方程组：k+b=23k+b=6解得k=2，b=0。
山东初三初中数学开学考试带答案解析
山东初三初中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．（﹣a3）2=a5C．3a•a2=a3D．2.如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC.若∠1=20°，则∠2的度数为（）.A.25°B.65°C.70°D.75°3.2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（）A．1.2×10-9米B．1.2×10-8米C．12×10-8米D．1.2×10-7米4.已知x﹣=3，则4﹣x2+x的值为（）A．1B．C．D．5.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 图中描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）.A．修车时间为15分钟B．学校离家的距离为2000米C．到达学校时共用时间20分钟D．自行车发生故障时离家距离为1000米6.某校九年级8位同学一分钟跳绳的次数排序后如下：150，164，168，168，172，176，183，185，则由这组数据中得到的结论错误的是（）.A．中位数为170B．众数为168C．极差为35D．平均数为1717.如图，⊙O中，半径OA=4,∠AOB=120°，用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是（）.A．1B．C．D．28.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）.A．7B．8C．9D．109.分式方程的解是（）.A．x=0B．x=－1C．x=±1D．无解10.如图为二次函数（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b="0" ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）.A．1B．2C．3D．411.如图，A，B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（）.A．S=2B．S="4"C．2＜S＜4D．S＞412.在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（）.A．B．C．D．二、填空题1.计算=．2.分解因式：x3-4x2-12x= ．3.当x=时，的值为零．4.一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为 .5.如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱形门所在圆的半径为 m．6.观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2014个单项式是三、解答题1.“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．请根据以上信息回答：(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？(2)将两幅不完整的图补充完整；(3)若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．2.为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥．如图所示，测量队在点A处观测河对岸水边有一点C，测得C在北偏东60°的方向上，沿河岸向东前行30米到达B处，测得C在北偏东45°的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度(结果保留根号)．3.某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%．其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数．(1)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；(2)设该公司获得的总利润(总利润＝总销售额－总成本)为w元，求w与x之间的函数关系式．当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？4.如图所示的矩形包书纸中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度.（1）设课本的长为acm，宽为bcm，厚为ccm，如果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去3cm，用含a，b，c的代数式，分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽；（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典，你能用一张长为43cm，宽为26cm的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由.5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求该抛物线的解析式．（2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．山东初三初中数学开学考试答案及解析一、选择题1.下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．（﹣a3）2=a5C．3a•a2=a3D．【答案】D.【解析】A．a+a=2a≠a2,故本选项错误；B.（﹣a3）2=a6≠a5，故本选项错误；C．3a•a2=3a3≠a3，故本选项错误；D．，正确.故选D.考点: 1.合并同类项；2.积的乘方；3.同底数幂的乘法.2.如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC.若∠1=20°，则∠2的度数为（）.A.25°B.65°C.70°D.75°【答案】B.【解析】∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠1=20°，∴∠ACE=20°+45°=65°，∵a∥b，∴∠2=∠ACE=65°，故选B．考点: 1.等腰直角三角形；2.平行线的性质.3.2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（）A．1.2×10-9米B．1.2×10-8米C．12×10-8米D．1.2×10-7米【答案】D.【解析】0.00000012=1.2×10-7故选D.考点: 科学记数法---表示较小的数.4.已知x﹣=3，则4﹣x2+x的值为（）A．1B．C．D．【答案】D.【解析】∵x-=3，∴x2-1=3x∴x2-3x=1，∴原式=4-（x2-3x）=4-=．故选D．考点: 1.代数式求值；2.分式的混合运算．5.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 图中描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）.A．修车时间为15分钟B．学校离家的距离为2000米C．到达学校时共用时间20分钟D．自行车发生故障时离家距离为1000米【答案】A.【解析】由图可知，修车时间为15-10=5分钟，可知A错误；B、C、D三种说法都符合题意．故选A．考点: 1.函数的图象；2.分段函数.6.某校九年级8位同学一分钟跳绳的次数排序后如下：150，164，168，168，172，176，183，185，则由这组数据中得到的结论错误的是（）.A．中位数为170B．众数为168C．极差为35D．平均数为171【答案】D.【解析】把数据按从小到大的顺序排列后150，164，168，168，172，176，183，185，所以这组数据的中位数是（168+172）÷2=170，168出现的次数最多，所以众数是168，极差为：185-150=35；平均数为：（150+164+168+168+172+176+183+185）÷7=170.8，故选D．考点: 1.极差；2.算术平均数；3.中位数；4.众数.7.如图，⊙O中，半径OA=4,∠AOB=120°，用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是（）.A．1B．C．D．2【答案】B．【解析】∵⊙O中，半径OA=4，∠AOB=120°，∴扇形弧长为：l=，则由圆锥的底面圆的周长为：．解得：．故选B．考点: 圆锥的计算.8.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）.A．7B．8C．9D．10【答案】C．【解析】∵△DEF由△DEA翻折而成，∴EF=AE=5，在Rt△BEF中，∵EF=5，BF=3，∴，∴AB=AE+BE=5+4=9，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=9．故选C．考点: 翻折变换（折叠问题）.9.分式方程的解是（）.A．x=0B．x=－1C．x=±1D．无解【答案】D.【解析】方程两边都乘以(x2-1)得：x+1-2(x-1)=4解得：x=-1,经检验：x=-1是增根，所以原方程无解.故选D.考点: 解分式方程.10.如图为二次函数（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b="0" ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）.A．1B．2C．3D．4【答案】C．【解析】①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x=，则有，即2a+b=0；③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当-1＜x＜3时，y＞0．故选C．考点: 二次函数图象与系数的关系.11.如图，A，B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（）.A．S=2B．S="4"C．2＜S＜4D．S＞4【答案】B.【解析】设点A的坐标为（x，y），则B（-x，-y），xy=2．∴AC=2y，BC=2x．∴△ABC的面积=2x×2y÷2=2xy=2×2=4．故选B．考点: 反比例函数系数k的几何意义.12.在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（）.A．B．C．D．【答案】A．【解析】画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这两个球上的数字之和为奇数的有4种情况，∴这两个球上的数字之和为奇数的概率为：．故选A．考点: 列表法与树状图法.二、填空题1.计算=．【答案】.【解析】根据负整数指数幂、零次幂、特殊三角函数值、二次根式、绝对值的意义进行计算即可求出答案.试题解析：原式=.考点: 实数的混合运算.2.分解因式：x3-4x2-12x= ．【答案】x（x+2）（x-6）．【解析】首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．试题解析：x3-4x2-12x=x（x2-4x-12）=x（x+2）（x-6）．考点: 1.因式分解-十字相乘法等；2.因式分解-提公因式法.3.当x=时，的值为零．【答案】x=-1.【解析】根据分式的值为零，分子等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．试题解析：根据题意得，|x|-1=0且x2+2x-3≠0，由|x|-1=0得：x=1或x=-1由x2+2x-3≠0知x≠-3或x≠1故x=-1.考点: 分式的值为零的条件．4.一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为 .【答案】-1．【解析】先根据一次函数y=kx+b过（2，3），（0，1）点，求出一次函数的解析式，再求出一次函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标，即可求出答案．试题解析:一次函数y=kx+b过（2，3），（0，1）点，∴，解得： k＝1，b＝1，一次函数的解析式为：y=x+1，∵一次函数y=x+1的图象与x轴交于（-1，0）点，∴关于x的方程kx+b=0的解为x=-1．考点: 一次函数与一元一次方程.5.如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱形门所在圆的半径为 m．【答案】2.6.【解析】连接OA，由垂径定理易得出AD的长度，在Rt△OAD中，可用半径表示出OD的长，根据勾股定理即可求出半径的长度．试题解析：连接OA；Rt△OAD中，AD=AB=1米；设⊙O的半径为R，则OA=OC=R，OD=5-R；由勾股定理，得：OA2=AD2+OD2，即：R2=（5-R）2+12，解得R=2.6（米）；考点: 垂径定理的应用.6.观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2014个单项式是【答案】4027x．【解析】先看系数的变化规律，然后看x的指数的变化规律，从而确定第2014个单项式．试题解析：系数依次为1，3，5，7，9，11，…2n-1；x的指数依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，可见三个单项式一个循环，故可得第2014个单项式的系数为4027；∵，∴第2014个单项式指数为1，故可得第2014个单项式是4027x．考点: 单项式.三、解答题1.“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．请根据以上信息回答：(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？(2)将两幅不完整的图补充完整；(3)若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．【答案】（1）600；（2）补图见解析；（3）3200；（4）.【解析】（1）用B小组的频数除以B小组所占的百分比即可求得结论；（2）分别求得C小组的频数及其所占的百分比即可补全统计图；（3）用总人数乘以D小组的所占的百分比即可；（4）列出树形图即可求得结论．试题解析：（1）60÷10%=600（人）．答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2）如图；（3）8000×40%=3200（人）．答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．（4）如图；（列表方法略，参照给分）．P（C粽）=．答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．考点: 1.条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图；4.列表法与树状图法.2.为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥．如图所示，测量队在点A处观测河对岸水边有一点C，测得C在北偏东60°的方向上，沿河岸向东前行30米到达B处，测得C在北偏东45°的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度(结果保留根号)．【答案】（15+15）米．【解析】过点C作CD⊥AB于D．分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，运用三角函数定义求解．试题解析：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x米．在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD=CD=x米．在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AB=30米，AD=AB+BD=（30+x）米．∵，即．∴x=15+15．答：这条河的宽度为（15+15）米．考点: 解直角三角形的应用-方向角问题.3.某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%．其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数．(1)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；(2)设该公司获得的总利润(总利润＝总销售额－总成本)为w元，求w与x之间的函数关系式．当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1) y=-10x+1000，50≤x≤70；(2) 70,6000.【解析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，利用图象经过点（60，400）和（70，300），利用待定系数法求解即可；（2）用x表示总利润，得到W=-10x2+1500x-50000，根据二次函数最值的求法求当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元．试题解析：（1）最高销售单价为50（1+40%）=70（元），根据题意，设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），∵函数图象经过点（60，400）和（70，300），∴，解得 k=-10，b=1000，∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+1000，x的取值范围是50≤x≤70；（2）根据题意，w=（x-50）（-10x+1000），W=-10x2+1500x-50000，w=-10（x-75）2+6250，∵a=-10，∴抛物线开口向下，又∵对称轴是x=75，自变量x的取值范围是50≤x≤70，∴w随x的增大而增大，∴当x=70时，w=-10（70-75）2+6250=6000（元），最大值∴当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元．考点: 1.二次函数的应用；2.一次函数的应用.4.如图所示的矩形包书纸中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度.（1）设课本的长为acm，宽为bcm，厚为ccm，如果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去3cm，用含a，b，c的代数式，分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽；（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典，你能用一张长为43cm，宽为26cm的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由.【答案】(1)长为：（2b+c+6）cm，宽为：（a+6）cm; (2)不能，理由翙解析.【解析】（1）结合图形，知：矩形包书纸的长是课本的宽的2倍、课本的厚度以及6cm的和；矩形包书纸的宽是课本的长和6cm的和．（2）设折叠进去的宽度为xcm．结合（1）的结论，列不等式组，求得x的取值范围，即可说明．注意此题要考虑两种情况：字典的长与矩形纸的宽方向一致时；字典的长与矩形纸的长方向一致时．试题解析:（1）矩形包书纸的长为：（2b+c+6）cm，矩形包书纸的宽为：（a+6）cm．（2）设折叠进去的宽度为xcm．分两种情况：①字典的长与矩形纸的宽方向一致时，根据题意，得，解得x≤2.5．所以不能包好这本字典．②当字典的长与矩形纸的长方向一致时．根据题意，得解得x≤-6．所以不能包好这本字典．综上，所给矩形纸不能包好这本字典．考点: 一元一次不等式组的应用.5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）连接OF，通过切线的性质证OF⊥FH，进而由FH∥BC，得OF⊥BC，即可由垂径定理得到F是弧BC的中点，根据圆周角定理可得∠BAF=∠CAF，由此得证；（2）求BF=FD，可证两边的对角相等；易知∠DBF=∠DBC+∠FBC，∠BDF=∠BAD+∠ABD；观察上述两个式子，∠ABD、∠CBD是被角平分线平分∠ABC所得的两个等角，而∠CBF和∠DAB所对的是等弧，由此可证得∠DBF=∠BDF，即可得证；（3）由EF、DE的长可得出DF的长，进而可由（2）的结论得到BF的长；然后证△FBE∽△FAB，根据相似三角形得到的成比例线段，可求出AF的长，即可由AD=AF-DF求出AD的长．试题解析：（1）证明：连接OF∵FH是⊙O的切线∴OF⊥FH∵FH∥BC，∴OF垂直平分BC∴，∴∠1=∠2，∴AF平分∠BAC（2）证明：由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠1+∠4=∠5+∠3∵∠1+∠4=∠BDF，∠5+∠3=∠FBD，∴∠BDF=∠FBD，∴BF=FD（6分）（3）解：在△BFE和△AFB中∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠AFB，∴△BFE∽△AFB∴，∴BF2=FE•FA∴，EF=4，BF=FD=EF+DE=4+3=7，∴∴AD=AF-DF=AF-（DE+EF）=.考点: 1.切线的性质；2.角平分线的性质；3.垂径定理；4.相似三角形的判定与性质.6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求该抛物线的解析式．（2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．【答案】(1) y=x2-4x+3；(2) y=x+或y＝−x−；(3) （2，1.5），（2，-1.5），（2，-6），（2，6）．【解析】（1）根据函数图象过x轴上两点M（1，0）和N（3，0），设出函数两点式，将D（0，3）代入解析式，求出a的值，即可求出函数解析式；（2）根据过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，再由AC=3，BC=4，求出B点坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（3）设⊙P与AB相切于点Q，与x轴相切于点C；证出△ABC∽△PBQ，得到，求出PC的长，即可求出P点坐标．试题解析:（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），∴假设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3），将D（0，3），代入y=a（x-1）（x-3），得：3=3a，∴a=1，∴抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）=x2-4x+3；（2）∵过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，∴AC×BC=6，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，∴二次函数对称轴为x=2，∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：（2，4）或（2，-4），一次函数解析式为；y=kx+b，当点B为（2，4）时，∴，解得：，∴y=x+；当点B为（2，-4）时，，解得，∴y＝−x−，∴直线AB的解析式为：y=x+或y＝−x−；（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，设⊙P与AB相切于点Q，与x轴相切于点C；∴PQ⊥AB，AQ=AC，PQ=PC，∵AC=1+2=3，BC=4，∴AB=5，AQ=3，∴BQ=2，∵∠QBP=∠ABC，∠BQP=∠ACB，∴△ABC∽△PBQ，∴，∴，∴PC=1.5，P点坐标为：（2，1.5），同理可得（2，-1.5），（2，-6），（2，6）．考点: 二次函数综合题.。
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初三数学入学考试
答案： 一、填空题
1、_ 4、x≥3
2、 5、
3、 6、7.5
7、AB＝CD 或∠ A＝∠ 或 AD//BC 等 C 8、14a2 解析： 9、12.6 10、0 0
二、选择题 11、C 12、A 13、B 14、D
三、解答题 17、解：原式＝1－8＋3＋2＝－2．
18、解：法一：列表如下： A A B C 法二：画树状图如下： AA BA CA B AB BB CB C AC BC CC
因此他表演的节目不是同一类型的概率是 19、解：猜想：BM＝FN
．
证明：在正方形 ABCD 中，BD 为对角线，O 为对称中心, ∴ BO＝DO ,∠ BDA＝∠ DBA＝45° ． ∵ GEF 为△ABD 绕 O 点旋转所得， △ ∴ OB＝OF, ∠ F＝∠ BDA ，∠ BOM＝∠ FON． ∴ OBM≌ OFN （ASA） BM＝FN． △ △ ，∴ 20、解： （1）35万；补图略 （2）51－32＝19万； （3）230÷6≈38.3万； （4）38.3× 184＝7047.2>7000， 估计世博会结束时，参观的总人数能达到组委会的预期目标． 21、解： （1）在 Rt△ABC 中，∠ ABC＝45° ， ∴ AC＝BC＝AB· sin45° ＝ ．
在 Rt△ADC 中，∠ ADC＝30° AD＝ ，∴ ∴ AD－AB＝ －4≈1.66，
，
∴ 改善后滑滑板会加长约1.66米． （2）这样改造能行，理由如下：
∴ 6－2.07≈3.93>3， ∴ 这样改造能行． 22、解：设购买甲种设备 台，则购买乙种设备(12－ )台， 购买设备的费用为： 安装及运输费用为： ． ；
由题意得： 解之得：2≤x≤4． ∴ 可购甲种设备2台，乙种设备10台或购甲种设备3台，乙种设备9台，或购 甲种设备4台，乙种设备8台． 23、(1)证明：连结 OE． ∵ ED∥ OB，∴ 1＝∠ ∠ 2，∠ 3＝∠ OED， 又 OE＝OD，∴ 2＝∠ ∠ OED，∴ 1＝∠ ∠ 3． 又 OB＝OB，OE＝ OC，∴ BCO≌ BEO（SAS） △ △ ， ∴ BEO＝∠ ∠ BCO＝90° ，即 OE⊥ AB，∴ 是⊙ 切线． AB O
（2）解：∵ F＝∠ ∠ 4，CD＝2· OC＝10；由于 CD 为⊙ 的直径， O 在 Rt△CDE 中有：ED＝CD· 4＝CD· DFE＝ sin∠ sin∠ ∴ ． ，
在 Rt△CEG 中，
,
∴ EG＝
，∴
．
24、解： （1）y2＝500＋30x． （2）依题意得： ，解得：25≤x≤40．
（3）∵ W＝x·1－y2＝x(170－2x)－(500＋30x)＝－2x2＋140x－500， y ∴ W＝－2(x－35)2＋1950，而25<35<40，∴ x＝35时，W 当 即，月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元． 25、解： （1） 四边形 ABCO 是平行四边形， ∴ OC＝AB＝4， 抛物线 过点 B，∴ c＝2．
最大
＝1950，
由题意，有
解得
所求抛物线的解析式为
（2）将抛物线的解析式配方，得 ∴ 抛物线的对称轴为 x＝2，
欲使四边形
为等腰梯形，
则有 OP＝QE，即 BP＝FQ，
（3）欲使以点 P、B、O 为顶点的三角形与以点 Q、B、O 为顶点的三角形
相似， 有 即 PB＝OQ 或 OB2＝PB· QO． ① P、Q 在 轴的同侧．当 BP＝OQ 时， ＝ 若 ， 或
当 ② 若
时，
即
解得 ，∴ t＝4．
在 轴的异侧．当 PB＝OQ 时，
当 OB2＝PB· 时， QO
，即
，解得
，故舍去，
∴ 当
或
或
或
秒时，以 P、B、O 为顶点的三角形与
以点 Q、B、O 为顶点的三角形相似．
。