专升本高数一
山东专升本高数一很难嘛(二)
山东专升本高数一很难嘛（二）引言概述：山东专升本考试中的高等数学一科目在很多考生中都被认为是一门难度较大的科目。
本文将从五个大点来阐述山东专升本高数一是否真的很难。
正文内容：1. 高数一难度的原因：- 知识体系庞大：高数一的知识点众多，包括极限、连续性、导数与微分、积分与定积分等，需要花费较大的时间和精力去理解和掌握。
- 难解的题目：高数一的题目通常涉及到推导、证明和计算，其中一些题目较为复杂，需要考生有深入的理解和解题能力。
- 抽象性强：高数一中存在一些抽象的概念和方法，需要考生具备一定的逻辑思维和数学抽象能力。
2. 高数一的备考方法：- 掌握基础知识：在备考过程中，考生应该系统地学习高数一的基础知识，建立起扎实的数学基础。
- 培养解题技巧：高数一的解题过程中，考生应该积累解题经验，学会灵活运用各类解题方法和技巧。
- 多做题、多练习：通过大量的习题训练，考生可以提高对高数一知识的掌握程度，增强解题能力。
3. 高数一的应试技巧：- 熟悉考纲：考生应该详细了解高数一的考纲和考试要求，把握好重点和难点。
- 理解题意：在做题过程中，考生应该认真阅读题目，并确保理解题意，避免因理解偏差导致答案错误。
- 善于转换思路：对于一些复杂的题目，考生可以尝试从不同角度入手，灵活转换解题思路。
4. 高数一的备考建议：- 制定合理的学习计划：考生应该根据自身情况，制定出合理的高数一备考计划，合理分配时间和精力。
- 寻找学习资源：考生可以利用各类学习资源，包括教材、习题集、在线课程等，帮助自己更好地理解和掌握高数一知识。
- 高效学习方法：在备考过程中，考生应该采取高效的学习方法，如拆解难点、重点突破等，提高学习效率。
5. 高数一并非不可攀登的高峰：- 合理心态：考生应该具备积极的备考心态，相信自己的能力并坚持努力，不要被困难吓倒。
- 勤奋学习：通过持续的学习和练习，考生可以逐渐攀登高数一的学习难度，取得好成绩。
总结：虽然山东专升本高数一考试被普遍认为是一门难度较大的科目，但通过合理的备考方法、应试技巧和努力学习，考生可以克服困难，取得好成绩。
专升本高数一答题技巧
专升本高数一答题技巧
专升本高数一答题技巧：
1. 了解考纲和题型：熟悉考试的大纲和考题类型,了解考察的知识点和重点。
2. 注重基础知识：高数一是建立在高中数学基础上的，因此要牢固掌握高中数学的基本概念、公式和运算法则。
3. 划分知识点：将高数一的知识点按照重要程度进行划分，优先学习和掌握重要的知识点。
4. 理解概念和原理：高数一的考试注重解题的原理和概念的理解，可以通过多理解公式的推导过程以及定理的证明过程来加深对知识点的理解。
5. 做大量练习题：通过做大量的练习题来巩固知识点，提高解题能力和速度。
6. 学会归纳总结：将学习过的知识点进行归纳总结，形成知识体系，方便复习和查漏补缺。
7. 多参考教材和参考书：选择适合自己的教材和参考书进行学习，不仅有助于理解知识点，还可以扩展思维和解题思路。
8. 注意细节和题目要求：解答问题时要仔细阅读题目的要求，注意计算的细节和步骤。
9. 善用公式和定理：熟练掌握高数一中的重要公式和定理，可以快速解题并提高得分。
10. 考前冲刺复习：在考前进行冲刺复习，回顾知识点，做题，强化记忆，增加信心。
同时，保持良好的心态和充足的精力，有利于发挥自己的最佳水平。
专升本高数第一章极限与连续
金融领域
连续复利在金融领域中有着广泛 的应用，如债券、股票、基金等 投资产品的价值计算。
100%
保险领域
在保险领域中，连续复利可以用 于计算保险产品的未来价值，帮 助客户了解保险合同未来的收益 情况。
80%
养老金领域
在养老金领域中，连续复利可以 用于计算个人养老金账户的未来 价值，帮助个人了解自己退休后 的养老金收益情况。
极值的计算
对于可导的函数，其一阶导数为0的点可能是极值点。然后通过判断二阶导数的正负来判断是极大值还是极小值。 如果二阶导数大于0，则为极小值；如果二阶导数小于0，则为极大值。
极值的应用
最大最小值问题
在生产、生活中经常遇到求最大最小值的问题，极值的概念可以用来解决这类问题。例如，在经济学中求成本最低、 利润最大的方案等。
02
(1) lim(x->0) (sin x / x)
03
(2) lim(x->0) ((1 + x)^(1/x))
04
(3) lim(x->∞) ((1 + 1/x)^x)
连续复利部分的习题
(2) A = P(1 + r/n)^nt / (1 + r/n)^n
(1) A = P(1 + r/n)^nt
单调性
如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该区间 内导数大于等于0或小于等于0。
极值点
如果函数在某一点的导数为0，且该点两侧的 导数符号相反，则该点为极值点。
04
函数的单调性与极值
单调性的判断方法
01
02
03
定义法
导数法
图像法
通过比较函数在某区间内任意两点x1和 x2的函数值f(x1)和f(x2)，判断单调性。 如果f(x1)<f(x2)，则函数在此区间内单 调递增；反之，则单调递减。
山东专升本高数一很难嘛(一)
山东专升本高数一很难嘛（一）引言：山东高等教育院校专升本考试是广大非全日制学历教育学员的重要途径之一。
其中，高等数学一科目一直以来都备受学员关注。
本文将就山东专升本高等数学一科目的难度进行深入探讨，分析其存在的问题，旨在帮助学员更好地备考。
正文：1. 知识范围广泛：- 线性代数：包括向量、矩阵、行列式等基本概念和性质。
- 极限和连续：涉及函数的极限、连续性、导数以及相关定理。
- 一元函数微积分：包括函数的不定积分、定积分、微分方程等内容。
- 微分方程：涉及常微分方程、一阶线性微分方程、高阶线性微分方程等。
- 概率论与数理统计：涉及概率、随机变量、统计推断等。
2. 理论与实践相结合：- 理论方面，考生需要掌握各个知识点的基本概念、公式以及定理证明。
- 实践方面，考生需要熟练运用相关概念和技巧解决问题，特别是在计算题和应用题中的应用能力。
3. 题目难度较大：- 高数一科目的试题设计注重考查考生的综合能力，题目往往涉及多个知识点的综合运用。
- 部分题目需要灵活运用所学知识，结合实际问题进行分析和解答，考验考生的思维能力和创新能力。
4. 解题思路较为繁琐：- 高数一科目的题目解答往往需要严密的逻辑推理和严谨的计算过程，错一步都可能导致最终答案的错误。
- 考生需要建立逐步解题的思维方法，合理运用已学知识，准确理解题意，避免在解题过程中出现偏差。
5. 学习方法与备考建议：- 克服对高数一科目的畏难心理，制定合理的学习计划，按部就班地进行复习。
- 理解每个知识点的内涵和外延，注重基础知识的扎实掌握。
- 通过大量的练习题，熟练掌握解题技巧和方法，提高应用能力。
- 善于总结归纳，建立知识框架，帮助记忆和理解。
- 注重查漏补缺，及时解决自己的问题，借助教材和相关学习资料进行复习。
总结：山东专升本高等数学一科目的确存在一定的难度，学员们在备考过程中需要有扎实的基础知识和严谨的解题思路。
通过制定合理的学习计划和有效的备考方法，相信考生们一定能够克服困难，取得优异的成绩。
山东专升本高数1第一章函数极限和连续
第一章函数、极限和连续【考试要求】一、函数1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．4．掌握函数的四则运算与复合运算．5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．二、极限1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限．4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．7．熟练掌握分段函数求极限的方法．三、连续1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限．5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．【考试内容】一、函数（一）函数的概念1．函数的定义：设数集D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简记为()y f x =，x D ∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域．说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f 外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“g ”、“F ”、“ϕ”等，相应的，函数可记作()y g x =，()y F x =，()y x ϕ=等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作()y y x =，这一点应特别注意．2．函数的解析（公式）表示法（1）函数的显式表示法（显函数）：()y f x =形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如2cos xy xe x =-，13sin ln x x e y x e x-=++等． （2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程310x y +-=解出y =就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如1,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩ 是由两个解析式表示的定义域为(,)-∞+∞的一个函数．（4）由参数方程确定的函数：如果自变量x 与因变量y 的关系是通过第三个变量t 联系起来 ()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ （t 为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程2cos2sin x t y t=⎧⎨=⎩表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆．（二）函数的几种特性1．有界性设函数()f x的定义域为D，数集X D⊂，如果存在正数M，使得()f x M≤对任一x X∈都成立，则称函数()f x在X上有界．如果这样的M不存在，就称函数()f x在X上无界．说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数M 是函数()f x 的一个界，则比M 大的数都是函数()f x 的界．2．单调性设函数()f x 的定义域为D ，区间I D ∈．如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当.12x x <.时，恒有12()()f x f x <，则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的；如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x >，则称函数()f x 在区间I 上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．3．奇偶性设函数()f x 的定义域D 关于原点对称．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=恒成立，则称()f x 为偶函数．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=-恒成立，则称()f x 为奇函数．例如：()c o s f x x =、2()f x x =都是偶函数，()s i n f x x =、()a r c t a n f x x =是奇函数，而()s i nc o s f x x x =+则为非奇非偶函数．偶函数的图形关于y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证．4．周期性设函数()f x 的定义域为D ．如果存在一个正数l ，使得对于任一x D ∈有()x l D ±∈，且()()f x l f x +=恒成立，则称()f x 为周期函数，l 称为()f x 的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数s i nx 、c o s x 都是以2π为周期的周期函数，函数tan x 是以π为周期的周期函数．（三）函数的运算1．和差积商运算设函数()f x ，()g x 的定义域依次为1D ，2D ，12D D D φ=≠ ，则我们可以定义这两个函数的下列运算：（1）和（差）f g ±：()()()()f g x f x g x ±=±，x D ∈；（2）积f g ⋅：()()()()f g x f x g x ⋅=⋅，x D ∈；（3）商f g ：()()()f f x x g g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，\{()0,}x D x g x x D ∈=∈．2．反函数（函数的逆运算） 对于给定的y 是x 的函数()y f x =，若将y 当作自变量而x 当作因变量，则由关系式()y f x =所确定的函数()x y ϕ=称为函数()f x 的反函数，记为1()y f x -=，()f x 叫做直接函数．若直接函数()y f x =的定义域为D ，值域为M ，则反函数1()y f x -=的定义域为M ，值域为D ．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线y x =对称．3．复合函数（函数的复合运算） 设函数()y f u =的定义域为f D ，函数()u g x =的定义域为g D ，且其值域g f R D ⊂，则由下式确定的函数[()]y f g x =，g x D ∈称为由函数()u g x =与函数()y f u =构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量．说明：g 与f 能构成复合函数的条件是函数g 的值域g R 必须含在函数f 的定义域f D 内，即g f R D ⊂，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．（四）基本初等函数与初等函数1．基本初等函数幂函数：y x μ=（R μ∈是常数）； 指数函数：x y a =（0a >且1a ≠）； 对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠，特别当a e =时记为ln y x =）； 三角函数：2222sin 22sin cos cos2cos sin 12sin 2cos 1x x x x x xx x ==-=-=-，cos y x =，tan y x =，cot y x =，221sec cos sec 1tan sin cos 09098990y x xx xxlokiujkLKO ppp ===+，csc y x =；反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =．以上五类函数统称为基本初等函数．说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记．（1）反正弦函数arcsin y x =：是由正弦函数sin y x =在区间[,]22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[,]22ππ-．（2）反余弦函数arccos y x =：是由余弦函数cos y x =在区间[0,]π上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[0,]π．（3）反正切函数arctan y x =：是由正切函数tan y x =在区间(,)22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(,)22ππ-． （4）反余切函数cot y arc x =：是由余切函数cot y x =在区间(0,)π上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(0,)π．2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：22sin cos y x x =，()(),[()]x f x g x xe g f x -===，ln(y x =+，2arccos(1)y x =-等都是初等函数．在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数．二、极限（一）数列的极限1．数列极限的定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n x A ε-<都成立，那么就称常数A 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于A ，记为lim n n x A →∞=或n x A →（n →∞）．如果不存在这样的常数A ，就说数列{}n x 没有极限，或者说数列{}n x 是发散的，习惯上也说lim n n x →∞不存在． 说明：数列极限中自变量n 的趋向只有一种，即n →∞，虽然含义表示正无穷，但不要写做n →+∞，注意与函数极限的区别．2．收敛数列的性质性质（1）：（极限的唯一性）如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一． 性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界．说明：对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得对一切n ，都有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的，否则称数列{}n x 是无界的．性质（3）：（收敛数列的保号性）如果lim n n x A →∞=，且0A >（或者0A <），那么存在正整数N ，当n N >时，都有0n x >（或0n x <）．（二）函数的极限1．函数极限的定义（1）0x x →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某个去心邻域内有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作lim ()x x f x A →=或()f x A →（当0x x →）． 说明：函数的左极限0lim ()x x f x A -→=或0()f x A -=；右极限0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=；左极限与右极限统称单侧极限．函数()f x 当0x x →时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即00()()f x f x -+=．（2）x →∞时函数的极限：设函数()f x当x 大于某一正数时有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X ，使得当x满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()x f x A →∞=或()f x A →（当x →∞）． 说明：此定义包含lim ()x f x A →+∞=和lim ()x f x A →-∞=两种情况．2．函数极限的性质（以0x x →为例）性质（1）：（函数极限的唯一性）如果0lim ()x x f x →存在，那么这极限唯一．性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果0lim ()x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤． 性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果0lim ()x x f x A →=，且0A >（或0A <），那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >（或()0f x <）．（三）极限运算法则1．如果0lim ()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，则有（1）000lim[()()]lim ()lim (x x x x x x f x g x f x g →→→±=±；（2）000lim[()()]lim ()lim (x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅；（3）000lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x f x A g x g x B →→→==，其中0B ≠；（4）00lim[()]lim ()x x x x cf x c f x →→=，其中c 为常数；（5）00lim[()][lim ()]n n x x x x f x f x →→=，其中n 为正整数．2．设有数列{}n x 和{}n y ，如果lim n n x A →∞=，lim n n y B →∞=，则有 （1）lim()n n n x y A B →∞±=±； （2）lim()n n n x y A B →∞⋅=⋅； （3）lim n n nx A y B →∞=，其中0n y ≠（1,2,n = ）且0B ≠．3．如果()()x x ϕψ≥，而0lim ()x x x A ϕ→=，0lim ()x x x B ψ→=，则A B ≥．4．复合函数的极限运算法则：设函数[()]y f g x =是由函数()u g x =与函数()y f u =复合而成，[()]f g x 在点0x 的某去心邻域内有定义，若00lim ()x x g x u →=，0lim ()u u f u A →=，且存在00δ>，当00(,)x U x δ∈ 时，有0()g x u ≠，则00lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==． 说明：本法则以0x x →为例，其他趋向下亦成立．（四）极限存在准则1．准则I 如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时，有n n n y x z ≤≤，（2）lim n n y A →∞=，lim n n z A →∞=， 那么数列{}n x 的极限存在，且lim n n x A →∞=． 准则I ' 如果函数()f x 、()g x 及()h x 满足下列条件：（1）当0(,)x U x r ∈ （或x M >）时，()()()g x f x h x ≤≤，（2）0()lim ()x x x g x A →→∞=，0()lim ()x x x h x A →→∞=， 那么0()lim ()x x x f x →→∞存在，且等于A ． 说明：准则I 及准则I '称为夹逼准则．2．准则II 单调有界数列必有极限．准则II ' 单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）（五）两个重要极限1．00sin sin 2lim 1,lim 12x x x x x x→→==，可引申为()0002sin ()lim 1()sin ()lim 1,()0()sin 222lim lim ,5tan353150:sin ,,,tan ,arcsin 1,ln(1)x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x xe x ϕϕϕϕϕϕ→→→→==→⋅==⋅→-+ ，式中不管自变量x 是哪种趋向，只要在此趋向下()0x ϕ→即可（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）．2．10lim(1)1lim(1)xx x x x ee x →→∞+=+= 或 1lim(1)x x e x →∞+=，可引申为1()()021122lim [1()]2lim (1)1x x xx x x x ee x ϕϕϕ→-++--→∞+=⎡⎤-+=⎢⎥+⎣⎦（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）或()()1lim (1)()x x e x ϕϕϕ→∞+=（()x ϕ→+∞或()x ϕ→-∞时亦成立）．说明：数列亦有第二种极限形式，即1lim(1)n n e n→∞+=．两个重要极限是考试的必考内容，请大家务必好好掌握．（六）无穷小和无穷大1．定义（1）无穷小的定义：如果函数()f x 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，那么称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小量（简称无穷小）．特别地，以零为极限的数列{}n x 称为n →∞时的无穷小． 说明：以后我们再提到无穷小时，把数列{}n x 当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量x 的某一趋向下才有意义．（2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．说明：在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，如果()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大． 2．无穷小的比较设α，β均为自变量同一趋向下的无穷小，且0α≠，（1）如果lim 0βα=，则称β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=；（2）如果lim βα=∞，则称β是比α低阶的无穷小；（3）如果lim 0c βα=≠，则称β与α是同阶无穷小；（4）如果lim 1βα=，则称β与α是等价无穷小，记作~αβ； ．3．无穷小的性质（1）有限个无穷小的和是无穷小．（2）常数与无穷小的乘积是无穷小．（3）有限个无穷小的乘积是无穷小．（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设α，β，α'，β'均为自变量同一趋向下的无穷小，且~αα'，~ββ'，lim βα''存在，则lim lim ββαα'='（lim 表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）． 说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．0x →时sin ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()x x ϕϕ； 0x →时tan ~x x ，可引申为0x →时sin ~arc x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()arc x x ϕϕ；0x →时211cos ~2x x -，可引申为()0x ϕ→时，211cos ()~()2x x ϕϕ-； 0x →时11~x n-，可引申为()0x ϕ→时，11~()x nϕ-； 0x →时1~x e x -，可引申为0x →时ln(1)~x x +，可引申为()0x ϕ→时，ln(1())~()x x ϕϕ+．三、连续（一）连续的概念1．连续的定义连续性定义（1）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果000lim lim[(x x y f x ∆→∆→∆=+∆，则称函数..在点0x 连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）．连续性定义（2）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()y f x =在点0x 连续．2．左连续、右连续及区间连续（1）左连续：0lim ()x x f x -→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x -=；（2）右连续：：0lim ()x x f x +→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x +=；（3）区间连续：若函数()f x 在区间每一点都连续，则称()f x 为该区间上的连续函数，或者说函数()f x在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数()f x 在右端点连续是指左连续，()f x 在左端点连续是指右连续．说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．（二）函数的间断点1．定义：设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：（1）在0x x =处没有定义；（2）虽在0x x =处有定义，但0lim ()x x f x →不存在；（3）虽在0x x =处有定义，且0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠，则函数()f x 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点．2．分类：（1）第一类间断点：如果0x 是函数()f x 的间断点，但左极限0()f x -和右极限0()f x +都存在，那么0x 称为函数()f x 的第一类间断点．00()()f x f x -+=时称0x 为可去间断点，00()()f x f x -+≠时称0x 为跳跃间断点．（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．（三）闭区间上连续函数的性质1．有界性与最值定理：在闭区间[,]a b 上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值．2．零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()0f ξ=．3310,(0,1)()1,[0,1],(0)1,(1)1,(0,1),()0x x f x x x x f f f ξξ+-==+-∈=-=∈= 3．介值定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()f a A =及()f b B =，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f C ξ=（a b ξ<<）．【典型例题】【例1-1】求复合函数．1．设()12x f x x=-，求[()]f f x ． 解：求[()]f f x 就是用()f x 代替x然后化简，得12[()]1221212xx x f f x x x x x-==---⋅-．2．设2,01()3,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩，()x g x e =，求[()]f g x ．解：当01x e ≤≤即0x ≤时，22[()]()x x f g x e e ==，当12x e <≤即0ln 2x <≤时，[()]3x f g x e =，故2,0[()]3,0ln 2x x e x f g x e x ⎧≤=⎨<≤⎩． 【例1-2】求函数的定义域． 1．()ln(1)f x x =+-．解：由arcsin(21)x -可得1211x -≤-≤，即01x ≤≤；由可得arcsin(21)0x -≥，即0211x ≤-≤，112x ≤≤；由ln(1)x -可得10x ->，即1x <，故原函数的定义域为三部分的交集，即1[,1)2． 2．2()arccos(2)2f x x x x =+---．10x -≥，即..；由220x x --≠即(1)(2)0x x +-≠可得1x ≠-且2x ≠；由arccos(2)x -可得121x -≤-≤，13x ≤≤，故原函数的定义域为三部分的交集，即为[1,2)(2,3] ．【例1-3】判断函数的奇偶性．1．设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试判定下列函数的奇偶性．（1）()()()()f x f x g x g x +-++- 解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x +-与()()g x g x +-均为偶函数，故其和亦为偶函数．（2）()()()()f x f x g x g x --++- 解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x --为奇函数，()()g x g x +-为偶函数，故其和为非奇非偶函数．2．判定函数()ln(f x x =+的奇偶性．解：因()ln(f x x -=-+ln(x =-+1ln x=+)()x f x =-+=-，故原函数为奇函数．【例1-4】计算下列极限．1．22212lim()n n n n n→∞+++ ． 解：当n →∞时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：。
成人高考专升本高数一答题技巧
成人高考专升本高数一答题技巧一、仔细阅读题目在答题前，首先要仔细阅读题目，理解题目要求的内容和条件，明确题目类型和所需知识范围。
这样可以避免误解题目或遗漏重要信息。
二、分析解题思路根据题目类型和条件，选择合适的解题方法和思路。
高数一的题目通常涉及到代数、函数、极限、导数等知识点，需要熟练掌握这些基本知识。
例如，对于代数题，可以尝试使用方程式或不等式的方法来解决；对于函数题，可以画出函数图像来辅助理解；对于极限题，可以运用极限的定义或性质来推导。
三、熟练掌握基本知识高数一的题目通常涉及到代数、函数、极限、导数等知识点，需要熟练掌握这些基本知识。
在答题前，可以先回顾一下这些知识点的基本概念和性质，以及相互之间的联系和区别。
这样可以更好地理解和解决题目。
四、选择题使用适当方法选择题可以使用代入、排除、图像等办法选出答案，提高解题速度和准确性。
例如，对于数值型选择题，可以代入特殊值或排除法来找出正确答案；对于含有未知数的选择题，可以画出函数图像来辅助判断。
五、大题要有步骤大题不要空着，根据题目要求和所给条件，写出相关的公式或步骤。
即使不会做，也要尝试写出与题目相关的公式或步骤，这样可以得分。
同时，要注意逻辑清晰和步骤完整。
六、注意小题巧解小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值等方法，排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法。
例如，对于范围型小题，可以运用数形结合的方法来判断；对于存在型小题，可以尝试使用特值法来验证。
七、快速审阅全卷快速审阅全卷，了解题型和分值分布，合理安排答题时间和顺序。
这样可以更好地把握答题进度和重点内容。
同时，要注意时间的分配和优先级，确保能够及时完成答题。
总之，在成人高考专升本高数一的答题中，要注意仔细阅读题目、分析解题思路、熟练掌握基本知识、选择题使用适当方法、大题要有步骤、注意小题巧解以及快速审阅全卷等方面。
通过这些技巧的应用，可以提高解题速度和准确性，从而取得更好的成绩。
2023 山东专升本 高数一 证明题的解析
2023年山东地区专升本高数一证明题的解析一、证明题的基本要求专升本高数一考试中的证明题，通常要求考生根据已知条件，运用相关数学知识和定理，证明或推导出所需的结论。
这类题目考查考生的逻辑推理能力、数学知识的掌握程度以及解决问题的能力。
二、解题步骤1. 理清题意和已知条件在解决证明题之前，首先需要仔细阅读题目，理解题意，并清楚已知条件。
只有明确了题目的要求和已知条件，才能有针对性地展开证明的过程。
2. 运用相关数学知识和定理根据题目的要求和已知条件，需要灵活运用所学的数学知识和相关定理，探索解决问题的可能途径。
在证明的过程中，常见的数学方法包括利用数学归纳法、反证法、几何推理等。
3. 严密的逻辑推理在证明题的解答过程中，需要严密的逻辑推理，步步为营。
每一步的推导都要确保合乎逻辑，推理过程的连贯性和严密性非常重要。
同时需要注意符号的正确运用，避免因符号错误导致整个证明过程出现问题。
4. 结论的呈现在得出最终的结论之后，需要以清晰明了的语言将结论呈现出来。
结论的呈现需要简练明了，语言准确，避免出现歧义。
三、解题技巧与注意事项1. 对定理的熟练掌握在解答证明题时，需要对相关数学定理有一个熟练的掌握。
不仅需要了解定理的内容，还要了解定理的适用条件和推导过程。
只有对定理有一个深刻的理解，才能更好地运用到证明题中去。
2. 多多练习在准备专升本高数一考试时，需要多多练习证明题。
通过不断的练习，可以提高自己的逻辑推理能力和解决问题的能力，熟悉各种类型的证明题，积累解题经验。
3. 严格按照题目要求进行证明在解答证明题时，需要严格按照题目要求进行证明。
不能随意增加或减少已知条件，也不能跳过中间推导过程。
要紧抠题意，一步一步地进行论证，确保证明的完整性和正确性。
4. 仔细审题，不漏掉任何已知条件在解答证明题之前，需要认真审题，确保把题目中的所有已知条件都纳入考虑范围，因为有时候题目中可能会隐藏一些条件，对解题过程有重要的作用。
专升本-高数一-PPT课件
例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
n t, x o t cy （1 ） ． y a x
）
1 x , 1 y ( ) 1 - x （2） ．y2 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
故函数的定义域为：{( x , y ) | x 0 且 x y 0} （2）要使函数有意义必须满足
故
x2 x 2 0 x 1 或 x 2 ，即 ， x 2 x20 D ( 2, 1) (2, ) ．
二、 极限
1．概念回顾
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． x2 9
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． 解： lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x 知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
数。
: D g ( D ) D f: D f( D ) g 1 1 1
f g : D f [ g ( D ) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1 ； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
则 lim
am x x b x n n
m
m a bn a1 x a0 0 b1 x b0
mn mn mn
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x0 cos x 1
x0 (1 cos 2x)ln(1 x)
（3） lim x[ln( x 2) ln x] （05 年.10 月） x
知识点： 用等价无穷小代换求极限
设 , ', , '都是无穷小， 如果 ~ ', ~ '，则lim lim ' ．
n
n
1
，lim(1 t) t e
，
lim(1 1 ) x e
t0
x
x
1
u( x) 0, lim(1 u( x)) u( x) e x
适用特点1
解：（1） lim (e x x
1
x)x
lim e(1
x
x ex
)
1 x
lim e(1
x
给定函数链
则复合函数为 f g : D f [g(D) ]
6. 初等函数
由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ ）
(1) y 2x2 1；
(2) y x3 2sin x ；
(3) y x 1．
6.1 cos x ~ x2 ， 导出 u( x) 0时，1 cos u( x) ~ u( x)2
2
2
例 11.
(1)
lim 1 cos 3x .（05 年 7 月）(2) x0 1 cos 4 x
ln sin x
lxim（ 2x）2 .
(05 年 10 月)
2
知识点： 洛必达法则
故 y 2x2 1为偶函数．
(2) f ( x) ( x)3 2sin( x) x3 2sin x f ( x) ， 故
y 3 x 2 s 为i 奇xn函数，图形关于原点对称。
(3) f ( x) x 1，它既不等于 f ( x) ，也不等于 f ( x) ，故
'
解： （1）因为 e x 1 ~ x, cos x 1 ~ 1 x2 2
所以
x(e x 1)
lim
lim
xx
2
x0 cos x 1 x0 1 x2
2
（ 2 ） 因 为 ex2 1 ~ x2 ，
sin 3x
~
3x
，1
cos 2x
~
1 2
(2
x)2
2x2
ex
xx
1 ex
e )x
1
lim e (1 x
x ex ex
ex
)
x
e e0
e
1
（2）lim x 1 2x lim(1 2 x) x
1 (2)
lim(1 2 x)2x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx0
x0
x0
1
1
lim[(1 2 x)2 x ](2) [lim(1 2 x)2 x ](2) e2
lim
x x0
f (x)
A.
f ( x0 ) f ( x0 )
lim
x x0
lim
x x0
f (x) f (x)
A A
3）特殊极限：无穷大和无穷小
若当lim u 0，则称变量u为无穷小量(或无穷小)．
lim u , lim u , lim u ，则称变量u为无穷大量(或无穷大)
（2）要使函数有意义必须满足
x2
x
2
0 ，即
x20
x
1或 x x 2
2
，
故
D (2,1) (2,)．
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
1．概念回顾
1）数列极限
lim
n
an
A
, 函数极限
lim f ( x) A． x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
lim
n
5n+1
3n2
（2）、 lim x osc x （05 年 10 月） x x sin x
解：（1）
5n 4n1
lim
n
5n+1
3n2
lim n
1 5
1 52
(
4 5
)n1
1 3( 3 )n1
5
1 5
1 52
lim( 4 )n1 n 5
2
2
2
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 、 0 。 0
其它类型的未定式 ，0 ，00 , 0 , 1 可转化为分式型的未定 式，从而可以用洛必达法则。
（1） z 1 ln( x y); x
知识点：定义域
（2） f ( x) ln( x2 x 2) sin x x 2
多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似，使表达式有意
义的点的集合。
解：（1）由函数的表达式可知：
x 0 且 x y 0． 故函数的定义域为：{( x, y) | x 0 且 x y 0}
a an 0
n
解：(1) (2)
tan x
sin x 1
sin x 1
lim
lim
lim
11 1
x0 x x0 x cos x x0 x limcos x
x0
令u kx ，x 0等价于u 0,
sin kx
sin kx
sin u
lim
lim
k lim k 1 k k
4）极限与无穷小得关系定理 u A u A ， 其中 是该极限过程中的无穷小
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等
例 5：
求 lim x
x5 x2 9
．
解：
15
lim
x
x5 x2 9
lim
x
x 1
x2 9
n
n
n3 n
lim n
3 n1
3 1 1
lim
n
3
n 3 n n 1 3 1 2
n
1
例 8.（1） lim (e x x) x （06 年 1 月) （2） lim x 1 2x
x
x0
知识点：重要极限
lim(1 1 ) n e
知识点： 函数的奇偶性
若对于任何 x ，恒有 f (x) f (x)成立，则称 f (x)是奇函数。若
对于任何 x ，恒有 f ( x) f (x)成立，则称 f (x)是偶函数．
奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于 y 轴对称．
解：(1) f ( x) 2( x)2 1 2x2 1 f ( x)，
3. arcsin x ~ x， 导出 u( x) 0时，arcsin u( x) ~ u( x)
4. ex 1 ~ x，
导出 u( x) 0 时，eu( x) 1 ~ u( x)
5.ln(1 x) ~ x ， 导出 u( x) 0时，ln1 u( x) ~ u( x)
，
ln(1 x) ~ x
所以
e x2 1 sin 3x
x2 (3x) 3
lim
x0
(1
cos 2x)ln(1
x)
lim x0
(2 x2 )
x
2
（3）
lim
x[ln( x
2)
ln
x]
lim
x ln(1
2 )
lim
x
2
2
x
x
x x x
一、 函数 二、极限 三、连续
一、 函数 概念回顾
1. 一元函数的概念
函数为特殊的映射:
其中
定义域
值域
2. 二元函数的概念
函数为特殊的映射:
定义域 其中
值域
3. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
4. 反函数 设函数
5. 复合函数
为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
(2)
ln
lxim（
sin x 2x）2
lim
x
-
1 cos x
sin x
2 2（
2 x）
lim
x
-
1 4sin
cos
x（
x 2 x）
2
2
2
1
cos x 1 sin x 1
lim
x
-
4sin
x
lxim（
2 x）
-
4
lim
x
2
8
1 3lim( 3 )n1
1 5
n 5
cos x （2） lim x cos x lim 1 x 1
x x sin x x 1 sin x x
例 7 . （1）lim( n 3 n n n )（06 年） n （2）lim( n 3 n) n 1. （05 年） n
注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加
减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换．