f分布t分布与卡方分布

布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

2

当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的

i

2

(n)，它的分

分布称为自由度等于 布密度

p(z )=

n 的

1 A

n

X

2

2- n

2 0,

n

-1

.+处 2 -u , 0u 2

e du ,

2

分布，记作Z

z _2

e

其他,

称为Gamma 函数，且】1 =1，

式中的『-=I

2

分布是非对称分布，具有可加性，即当

丫与Z

_

I - = n 。

2

相互独立，且丫

2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z 〜2(n+m )。 Y+Z= X

+

§1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布

卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分

证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2

分布的定义以及上述随机变 量的相

互独立性，令 丫=X 2

+X 2

+

…+X -, z=x 备+X 2+2+

…

+X

n+m ，

即可得到丫+Z 〜2

(n +m )。 2. t 分布若X 与丫相互独立，且

X 〜N(0,1) , 丫〜2

(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度

等于n的t分布，记作Z〜t (n),它的分布密度

；z2 V .n丿n 1 ~Y。

”心L

P(z)=―；=

时(殳)I

请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t

分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F分布若X与丫相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于

n m

m的F分布，记作Z〜F (n, m)，它的分布密度

2

P (Z

(m nz) 2

n m

n m

------ i

n

——1 z2

-

,z 0 n m

2 2

0,

其他。

请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度

1

的次序有关，当 Z 〜F (n , m )时，刁〜F (m ,n )。 4. t 分布与F 分布的关系

若 X 〜t(n ),贝y Y=X 2

〜F(1, n )。

证：X 〜t(n), X 的分布密度p(x)=———

佑严卫

Y =X 2

的分布函数 F Y (y ) =P{Y

Y=X 1 2的分布密度 P Y （y ）= 当厂0 时，F Y （y ）=o, P Y （y ）=o ; 当 y >0 时，F Y （y ） =P{- y vxv y }

=_y

y p （x ）dx =2 o y

p （x ）dx ,

V n

y2

与第一自由度等于 1、第二自由度等于

n 的F 分布的分布密

o

度相同，因此Y=X 〜F(1, n )

为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各 自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位 数表。有关分位数的概念如下：

4. 常用分布的分位数

1) 分位数的定义

分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，

根据应用的

需要，有三种不同的称呼，即a 分位数、上侧a 分位数与双 侧a 分位数，它们的定义如下：

当随机变量X 的分布函数为 F(x )，实数a 满足0 入}=1 - F(入)=a 的数入,

双侧a 分位数是使P{X<入1}=F （入1）=0.5 a 的数入1、使 P{X>

入2}=1 - F（入2）=0.5 a 的数入2。

因为1- F（入）=a , F（入）=1 - a,所以上侧a分位数入就是1 - a分位数X 1 - a；

F（入1）=0.5 a , 1- F（入2）=0.5 a，所以双侧a 分位数入1 就是0.5 a分位数X 0.5 a ,双侧a分位数入2就是1- 0.5 a 分位数X 1-0.5 a。

2）标准正态分布的a 分位数记作U a, 0.5 a分位数记作

u 0.5 a，1- 0.5 a 分位数记作 U 1- 0.5 a。

P(x) p(x)

X o X

当 X 〜N(0,1)时，P{X

P{X

P{X

根据标准正态分布密度曲线的对称性，