卡方分布概念及表和查表方法
生物统计学—卡方检验
独立性检验
步骤： 1. 提出无效假设，即认为所观测的各属性之间
没有关联 2. 规定显著性水平 3. 根据无效假设计算出理论数 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值，
再和计算的卡方值进行比较。 如果接受假设，则说明因子之间无相关联，
是相互独立的 如果拒绝假设，则说明因子之间的关联是显
著的，不独立
一、2X2列联表的独立性检验
设A、B是一个随机试验中的两个事件，其中A可能
出现r1、r2个结果，B可能出现c1、c2个结果，两 因子相互作用形成4个数，分别以O11、O12、O21、 O22表示，即
2X2列联表的一般形式
r1 r2 总和
c1 O11 O21 C1＝O11＋O21
c2 O12 O22 C2＝O12＋O22
解：（1）假设 H0 : 鲤鱼体色F2性状分离符合3:1 对 H A : 鲤鱼体色F2性状分离不符合3:1
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算： 计算鲤鱼体色的理论值
体色 F2理论尾数
青灰色 1201.5
红色 400.5
总数 1602
k
cc2 i 1
Oi Ei
0.5 2 301.63
1
2
2
xx
将样本方差代入，则：c
2
(k
1) s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
假设
H 0:
2
2 0
,
适用右尾检验 ，其否定区为： c 2 c2
假设
H
0:
2
2 0
,
适用左尾检验
，其否定区为：
c
2
c2 1
假设
[论文]卡方分布及其它分布
![[论文]卡方分布及其它分布](https://img.taocdn.com/s3/m/c68006e8b307e87100f6964a.png)
[论文]卡方分布及其它分布卡方分布一、卡方分布的定义:若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布)，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和?ξi?2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布(chi-square distribution)，其中参数 n 称为自由度。
: 二、卡方分布的性质:2(1) (可加性) 设~ Y,,i,1,？,k,且相互独立，则n,,iii2 Y，？，Y~,,kn,1,这里 n,n,,,,.,,ii22(2) E(,),n，,, Var(,),2n，4,. n,n,,,证明 (1)根据定义易得。
2Y可表示为)设Y~,,则依定义， (2n,,222 Y,X，？，X，X,,1n1n其中X~N(0,1),i,1,？,n,1,X~N(,,1),且相互独立，于是inn2E(Y),E(X),(1),i,1i n2Var(Y),Var(X).(2),i,1i因为1,i,1,？,n,1,,22(),()，(),EXVarXEX ,iii1，,,i,n.,代入(1)，第一条结论可得证。
直接计算可得4EX,3,i,1,？,n,1,i 42EX,,，6,，3.n于是2422Var(X),EX,(EX),3,1,2,i,1,？,n,1, iii2422 Var(X),EX,(EX),2，4,.nnn代入(2)便证明了第二条结论。
三、卡方分布的概率密度函数:nx,1,,122,当,0xex,n,n,,2 ,，，fx2,2,,,x2,,,,0，其他,设随机变量X1,....Xn相互独立且都服从N(0，1)。
现在来推导随机变数,^2,,^2，.....，,^2的分布。
1n11，，，，,，？,的密度函数为,^,x^2，？，x^21n1nn2，，2n^ 2222,当z,0时，P,z,P,，？，X,z,0,,，，,,，，1n1xx-，，^2，？，^2 11n2222,,，，,,当z,o时，P,，，,z,P,，？X,z,Dz？ed,x1n,,n2，，2n22其中Dx为n维x空间内由不等式所定的区域。
卡方
• 概述：卡方检验是以卡方分 布为基础的一种常用假设检 验方法，主要用于分类变量
• 两个或多个样本率的比较 • 两组构成比资料的比较 • 分类资料的相关分析
1.卡方分布 定义：设随机变量X1,X2,...,Xn 相互独立，且Xi（i=1，2， ...,n）服从标准正态分布 N(0,1),则它们的平方和服从 自由度为n的 2 分布。
⑶ 当n＜40或T＜1时，不能用卡方检验，改用四格表确 切概率计算法。
• 例1. 用某种药物鼻注组与某种药物鼻注加肌注维 生素B12两种处理方法,观察大白鼠鼻咽癌发病率的 比较如表所示
处理 某种药物鼻注 +维生素 B12组 某种药物鼻注组 38 (c) 91 3 (d) 21 41 112 发癌鼠数 53 (a) 未发癌鼠数 18 (b) 合计 71
• 例题：某厂生产的某种型号的电池，其寿命（ 以h计）长期以来服从方差 2 =5000的正态分布 。现有一批电池，从它的生产情况来看，寿命的 波动性有所改变，现在随机抽取26只电池，测 出其样本方差为9200，问根据这一数据能否推 断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变 化（a=0.02）？
bcad用某种药物鼻注组与某种药物鼻注加肌注维生素b12两种处理方法观察大白鼠鼻咽癌发病率的比较如表所示处理未发癌鼠数合计某种药物鼻注维生素71某种药物鼻注组3841912111212两种处理方法疗效水平相等12两种处理方法疗效水平不相等bcad219141711123818计算自由度查界值自由度n10051384结论因为拒绝原假设某种药物鼻注加肌注维生素b12的未发癌鼠率为
1. H0：药物鼻注组与某种药物鼻注加肌注维生素 B12 两种处理方法疗效水平相等 H1： 药物鼻注组与某种药物鼻注加肌注维生素 B12 两种处理方法疗效 水平不相等 2. 计算 2 值
卡方分布上下分位点的转化
卡方分布上下分位点的转化
（最新版）
目录
1.卡方分布简介
2.卡方分布上下分位点的概念
3.卡方分布上下分位点的转化方法
4.实际应用案例
5.总结
正文
【1.卡方分布简介】
卡方分布（Chi-squared distribution）是一种概率分布，主要用于假设检验中，尤其是用于拟合优度检验和独立性检验。
卡方分布的形状取决于自由度（degrees of freedom，df），自由度等于分子（分子中各项的自由度之和）减去分母（分子中各项的自由度之和）。
【2.卡方分布上下分位点的概念】
卡方分布的上下分位点是指在某个置信水平下，卡方分布曲线上对应的点。
例如，卡方分布的 95% 分位点，就是指在卡方分布曲线上，从负无穷大到该点的面积为 95%。
上下分位点是统计学中常用的一种描述概率分布的方式。
【3.卡方分布上下分位点的转化方法】
由于卡方分布没有解析解，所以通常需要通过查表或者使用统计软件来获取卡方分布的上下分位点。
具体转化方法如下：
1）先计算卡方值：根据观测值和期望值计算卡方值，公式为：χ2=Σ[(观测值 - 期望值)/期望值]。
2）查表或使用统计软件：根据卡方值和自由度，在卡方分布表中查找对应的分位点，或者使用统计软件进行计算。
【4.实际应用案例】
例如，在独立性检验中，我们通常会使用卡方分布来检验两个变量是否相关。
假设我们有一组观测值，我们首先计算期望值，然后计算卡方值，接着根据卡方值和自由度查找卡方分布表，得到相应的上下分位点，最后比较卡方值与上下分位点的大小，从而判断两个变量是否相关。
卡方检验
卡方检验(Chi-square test)Li Junrongstat9@7.1 四格表资料的χ2检验χ2检验(Chi-square test)是现代统计学的创始人之一，K. Pearson（1857-1936）于1900年提出的一种具有广泛用途的统计方法，可用于两个或多个率（或者构成比）之间的比较，计数资料的关联度分析，拟合优度检验等。
一、卡方检验的基本思想卡方分布⏹属连续型分布⏹可加性是其基本性质⏹唯一参数，即自由度(1) 自由度为1的χ2分布若Z N ~(,),01则Z 2的分布称为自由度为1的χ2分布.(chi-square distribution),记为χ()12或χ21(). 图形:从纵轴某个点开始单调下降,先凸后凹.02468100.00.10.20.3 2220.05(1)0.05/22220.01(1)0.01/23.84(1.96)6.63(2.5758)Z Zχχ======(2) νZ Z Z ,...,,21互相独立,均服从N (,)01,则22221...νZ Z Z +++的分布称自由度为 ν的χ2分布,记为χν()2或)(2νχ,或简记为χ2.* 图形:单峰,正偏峰;自由度ν很大时,2()νχ近似地服从正态分布.有2()2(),22Z ννχνχννν-=服从均数为，方差为的正态分布.00.10.20.30.40.50369121518¿¨·½Öµ×Ý·ß×ÔÓɶȣ½1×ÔÓɶȣ½2×ÔÓɶȣ½3Óɶȣ½62/)12/(2222)2/(21)(χνχνχ--⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ=ef 3.847.8112.59P ＝0.05的临界值χ2分布（chi-square distribution ）性质:若χνχν2122(),()互相独立, 则χνχν2122()()+服从χ2分布, 自由度=+νν12 χνχν2122()()-服从χ2分布, 自由度=-νν12卡方检验的基本思想组别有效无效合计有效率(%)试验组99 5 10495.20(p 1)对照组7521 9678.13(p 2)合计1742620087.00(p c )表7-1两组降低颅内压有效率的比较实际频数A (actual frequency)理论频数T (theoretical frequency)nn n column row T C R =⨯=总例数合计列合计行)()(RC四格表(fourfold table)它反映了理论数与实际数的吻合情况，该统计量近似地服从自由度为ν的卡方分布。
卡方检验
2 0 •查附表8 2界值表： .05(1) 3.84
(P475)
P<0.05，按α=0.05，拒绝H0，接受H1，可认为两
19
药疗效不同，A药疗效优于B药。
四格表专用公式
2 ( ad bc ) n 2 ( a b )(c d )(a c )(b d )
+ T1
T2
b
d
a
c
a+b
c+d n
式中，a、b、c、d为四格表 的四个实际频数据，N为总合计
a+c b+d
数，N=a+b+c+d。对四格表资料
与 检验公式完全等价。
2
2 ( ad bc ) n 2 (a b)(c d )(a c)(b d )
(30 49 10 11) 2 100 40 60 41 59 31.86
处理组 甲药 乙药 合计 有效人数 23 46 69 无效人数 8（3.9） 2 10 合计 31 48 79 有效率(%) 74.19 95.83 87.34
• H0： 1=2 ，即甲、乙两药疗效相同 H1： 12 ，即甲、乙两药疗效不同 α=0.05
24
• 由于，故四格表中有一格1<T<5，且n=79>40，所以 值需校正。
30
• H0:1=2=3,即三种方案有效率相同
H1:三种方案的有效率不同或不全相同
α=0.05
2 n (
i 1 j 1 R C
Ai2 j
ni m j 512 352 59 2 254 ( 100 145 80 145 74 145 49 2 452 152 1) 100 109 80 109 74 109 22.80
混合卡方分布表
混合卡方分布表【实用版】目录1.混合卡方分布表的定义和含义2.混合卡方分布表的性质和特点3.混合卡方分布表的应用领域和实际例子4.混合卡方分布表的计算方法和工具5.混合卡方分布表的局限性和未来发展方向正文混合卡方分布表是一种在统计学中广泛应用的分布表，它是由两个或两个以上的卡方分布相加而成的。
混合卡方分布表的定义和含义是指，当一组数据由多个独立的卡方分布组成时，其联合分布就是混合卡方分布。
混合卡方分布表的性质和特点主要表现在，它的形状取决于各个卡方分布的自由度、协方差矩阵和权重。
具体来说，当各个卡方分布的自由度相同且协方差矩阵为单位矩阵时，混合卡方分布表就退化为一个卡方分布。
混合卡方分布表的应用领域非常广泛，它常用于构建置信区间、假设检验和回归分析等。
例如，在构建置信区间时，我们可以使用混合卡方分布表来计算某个参数的置信区间；在假设检验中，我们可以使用混合卡方分布表来计算某个检验统计量的 p 值；在回归分析中，我们可以使用混合卡方分布表来计算回归系数的置信区间。
混合卡方分布表的计算方法和工具有很多，例如，我们可以使用统计软件（如 R、Python 和 SPSS 等）来计算混合卡方分布表，也可以使用手动计算的方法（如查表或使用公式等）来计算混合卡方分布表。
尽管混合卡方分布表在统计学中有着广泛的应用，但它也存在一些局限性，例如，它的计算过程比较复杂，需要考虑多个卡方分布的自由度、协方差矩阵和权重等因素，因此，对于一些复杂的问题，可能需要使用其他的统计方法来解决。
此外，随着数据科学的发展，混合卡方分布表可能需要进行一些改进和拓展，以适应新的数据形式和分析需求。
总的来说，混合卡方分布表是一种重要的统计工具，它在构建置信区间、假设检验和回归分析等方面有着广泛的应用。
第10章_卡方分布和列联表
北京理工大学管理与经济学院
列联表是由两个或两个以上变量进行交叉分类的频 数分布表,它包含有观测值频数和期望值频数.卡方检 验通常被用来检验列联表两变量间的独立性. 列联表中心位置是一个矩阵,行和列分别代表两个 变量,中心矩阵中的每个数据,都反映着来自于两个方 面的信息.
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中心矩阵每一单元的期望值频数的计算公式为: fr ∑ ∑, fc
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�
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卡方统计量:
( fo f e )2 χ2 = ∑ fe
式中:
f
o
为某一类别的观测值频数; 为某一类别的期望值频数(建立在原假设 H 0 成立的前提下).
f
e
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拟合优度检验是检验随机样本的总体分布与某种特定 分布拟合的程度(在一定的标准上),也就是检验观测 值与理论值之间的接近程度(也就是在一定的显著性水 平上). 卡方拟合优度检验通常为单侧检验,且一般情况下, 卡方分布的尾部为拒绝域.
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在进行卡方拟合优度检验时,自由度的计算公式如下:
df = k m 1
式中,k 为数据类别的个数, m 为样本数据中估计的参数 个数.
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检验步骤: 第一步,提出原假设和备择假设.一般情况下,原假设 H0 设为观测值( 频数集)与期望值(频数集)之间是一致的.备择假设 H1设为观测值 与期望值之间不一致. 第二步,计算出卡方统计量和卡方临界值. 第三步,比较第二步的结果,得出结论.
第10章 卡方分布和列联表 10章
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卡方分布
卡方分布是一种概率分布,在参数估计中把它用于方 差的估计和假设检验.在非参数统计中,它具有更为广 泛的用途. 本章我们将要掌握卡方检验用于拟合优度检验和变量 间的独立性检验等方法. 卡方检验通常被用在如下两个方面:与比例有关的检 验;与比例之间的差别有关的检验.
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若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分
布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，
其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。
中文名 卡方分布 外文名 chi-square distribution
别 称 西格玛分布 提出者 Friedrich Robert Helmert
提出时间 1863 应用学科 统计学
目录
1 简介
2 定义
3 性质
4 概率表
简介
分布在数理统计中具有重要意义。 分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，
后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于
1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义
若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立
同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和
构成一新的随机变量，其分布规律称为 分布（chi-square distribution），
卡方分布
其中参数 称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由
度不同就是另一个 分布。记为 或者 （其中 ， 为限制条件数）。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度 很大时， 分布近似
为正态分布。
对于任意正整数x， 自由度为 的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
性质
1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数
的增大， 分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。
2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度 的增大，分布向正无穷方向延伸（因
为均值 越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差 越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若 互相独立，则： 服从 分布，自由度为
。
5) 分布的均数为自由度 ，记为 E( ) = 。
6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为 D( ) = 。
概率表
分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在
分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过 分布表中列出不同的自由度来表示，
卡方分布临界值表
在 分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同 P 值一样，列出概率值，只不过这里
的概率值是 值以上 分布曲线以下的概率。由于 分布概率表中要列出很多 分布
的概率值，所以 分布中所给出的 P 值就不象标准正态分布中那样给出了400个不同的
P 值，而只给出了有代表性的13个值，因此 分布概率表的精度就更差，不过给出了常
用的几个值，足够在实际中使用了。
查 分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的 值。如上图所示的单侧
概率 (7)=的查表方法就是，在第一列找到自由度7这一行，在第一行中找到概率这一列，
行列的交叉处即是。
表中所给值直接只能查单侧概率值，可以变化一下来查双侧概率值。例如，要在自由度
为7的卡方分布中，得到双侧概率为所对应的上下端点可以这样来考虑：双侧概率指的是在
上端和下端各划出概率相等的一部分，两概率之和为给定的概率值，这里是，因此实际上上
端点以上的概率为2=，用概率查表得上端点的值为16，记为 2(7)=16。下端点以下的概
率也为，因此可以用查得下端点为，记为 2(7)=。
当然也可以按自由度及 值去查对应的概率值，不过这往往只能得到一个大概的结
果，因为 分布概率表的精度有限，只给了13个不同的概率值进行查表。例如，要在自
由度为18 的 分布查找 =30对应的概率，则先在第一列找到自由度18，然后看这一
行可以发现与30接近的有与，它们所在的列是与，所以要查的概率值应于介于与之间，当
然这是单侧概率值，它们的双侧概率值界于与之间。如果要更精确一些可以采用插值的方法
得到，这在正态分布的查表中有介绍。
为什么从正态总体中抽取出的样本的方差服从 分布
在抽样分布理论一节里讲到，从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的n个正态
随机变量ξ1，ξ2，…，ξn的一次取值，将n个随机变量针对总体均值与方差进行标准化
得(i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的，因此按照 分布的定义，应该服从参
数为 的 分布。
如果将总体中的方差σ2 用样本方差 s2代替，它是否也服从 分布呢理论上可以
证明，它是服从 分布的，但是参数 不是n而是n-1了，究其原因在于它是n-1个独立
同分布于标准正态分布的随机变量的平方和。
我们常常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由
度的方法是：若式子包含有n个变量，其中k个被限制的样本统计量，则这个表达式的自由
度为 n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这n个变量，其中ξ1-ξn-1相互独立，ξn为
其余变量的平均值，因此自由度为n-1。
附卡方表
n/P
1 … … … …
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
注：1. 当n充分大时，χ2（n）的值近似等于【Zα + SQRT(2n-1)】的平方/2
2. =， =。