χ2分布临界值表
第八章习题
5.无线电厂生产一种高频管，其中一指标服从正态 无线电厂生产一种高频管， 无线电厂生产一种高频管 个管， 分布N(µ,σ2)，今从一批产品中抽取 个管，测得其 ，今从一批产品中抽取8个管 分布 指标数据如下： 指标数据如下：68,43,70,65,55,56,60,72.当总体均 当总体均 未知时， 值µ未知时，能否认为该厂生产的高频管的某指标 未知时 (α = 0.05) 的标准差为σ=80？ 的标准差为 ？
(α = 0.10 )
解：H 0：µ1＝µ 2
H1：µ1 ≠ µ 2
X−Y 2.74 1.61 + 5 4
2 2
2 (已知σ1 , σ 2 , 两总体均值的双边U检验) 2
构造统计量 U =
N
H 0为真
~
（ ,1 0 ）
查表u
1－ 1－
α
2
＝u0.95＝1.64
由样本值可得
原假设H 0的拒绝域 W = { U > 1.64} 2.14 − 1.8 U= = 2.31 2 2 2.74 1.61 + 5 4 U = 2.31 > 1.64
查表t
1－
α 2
(18)＝2.拒绝域
统计量的值
T = 1.474
接受H 0，认为处理前后无差异
T = 1.474 > 2.1009
3.某厂使用 、B两种不同的原料生产同一类型产品， 某厂使用A、 两种不同的原料生产同一类型产品 两种不同的原料生产同一类型产品， 某厂使用 分别在A、 一星期的产品中取样进行测试 一星期的产品中取样进行测试， 分别在 、B一星期的产品中取样进行测试，取A种 种 原料生产的样品220件，B种原料生产的样品 件 种原料生产的样品205件， 原料生产的样品 种原料生产的样品 件 测得平均重量和重量的方差如下： 测得平均重量和重量的方差如下：
x2检验
2
A T
2
T 411.25 19.81 20.58 297.59
321 41.25
2
444 358.15
358.15
2
4.
v=（3-1）（4-1）=6， 则P<0.05，拒绝H0，认为三个地区的人群血型分布构成不同或不全相同。 查χ2界值表
服从x2分布，计算出x2值后，查表判断这么大的 x2是否为小概率事件，以判断建设检验是否成立。
χ2分布（chi-square distribution）
0.5 0.4 0.3
f ( ) 2( / 2) 2
2
1
2
( / 21)
e
2 / 2
Ý ß ×·
×Ó ¶ £ 1 Ô É È ½
0.2 0.1 0.0 0 3
3.84
×Ó ¶ £ 2 Ô É È ½ ×Ó ¶ £ 3 Ô É È ½ ×Ó ¶ £ 6 Ô É È ½
P＝0.05的临界值
7.81 12.59
6
9 12 ¿ ·Ö ¨½ µ
15
18
自由度一定时，P值越小， x2值越大。 当P 值一定时，自由度越大， x2越大。 v=1时， P=0.05， x2 =3.84 P=0.01， x2 =6.63 P=0.05时， v=1， x2 =3.84 v=2， x2 =5.99
计数资料的统计推断
教师：数学统计教研室
胡冬梅
卡方检验是χ2检验(Chi-square test) 是现代统计学的创始人之一，英国人K . Pearson（1857-1936）于1900年提出的 一种具有广泛用途的统计方法，是分类 计数资料的假设检验方法,可用于两个 或多个率间或构成比之间的比较，计数 资料的关联度分析，拟合优度检验等等。
关于χ2分布的样本题怎么计算
关于χ2分布的样本题怎么计算χ2分布是概率论与数理统计中常用的一种概率分布，主要用于对样本数据的假设检验。
本文将介绍如何计算和使用χ2分布解决一个具体的样本题。
假设有一个实验，研究一个鸟种的性别比例。
调查了100只鸟的性别，并得到以下数据：雌性：35只雄性：65只现在要判断这只鸟群的性别分布是否符合已知的性别比例。
假设已知鸟群性别比例是1：1，即雌性和雄性各占一半。
我们可以使用χ2分布来检验这个假设。
首先，我们需要建立假设和备择假设：假设H0：鸟群的性别比例符合1：1备择假设H1：鸟群的性别比例不符合1：1然后，我们进行计算。
首先要计算卡方值（χ2值），计算公式为：χ2 = Σ((Oi - Ei)² / Ei)其中，Oi表示观察值，即实际测得的数量；Ei表示期望值，即按照假设得出的数量。
在这个例子中，假设雌性和雄性各占一半，则期望值分别为50只。
通过计算我们可以得到卡方值：χ2 = ((35-50)²/50) + ((65-50)²/50) = 6.5接下来，我们需要根据自由度和显著性水平确定拒绝域。
在这个例子中，自由度为1（观察数据的分类数目减1），我们选择显著性水平为0.05。
查阅χ2分布表，可以得到临界值χ2_0.05(1) ≈ 3.841。
因为计算得到的卡方值 6.5大于临界值 3.841，我们可以拒绝原假设，即鸟群的性别比例不符合1：1。
最后，我们可以计算p值来表示拒绝原假设的程度。
p值表示了在原假设成立的情况下，观察值出现的概率。
在这个例子中，p值约等于0.01。
因为p值小于0.05，我们可以得出结论：鸟群的性别比例不符合1：1，并且这种差异是显著的。
在参考内容方面，可以提供χ2分布表供读者参考。
由于不能提供链接，可以在文中直接列出一部分χ2分布表，帮助读者查找他们需要的临界值。
可以使用以下形式进行列举：卡方值自由度=1 自由度=2 自由度=3 ...0.001 0.000 0.020 0.115 ...0.010 0.004 0.051 0.216 ...0.025 0.102 0.103 0.352 ......0.975 3.841 5.991 7.815 ......通过参考内容和示例计算，读者可以更好地理解和应用χ2分布进行样本问题的分析。
8.3.2 独立性检验
拓展深化 [微判断] 1．概率值α越小，临界值xα越大． 2．独立性检验的思想类似于反证法． 3．独立性检验的结论是有多大的把握认为两个分类变量有关系．
(√ ) (√) (√)
[微训练] 1．如果根据小概率α＝0.01的χ2检测试验，认为H0成立，那么具体算出的数据满
足( ) 附表：
α
0.05
xα
大学专科以上学历 大学专科以下学历
合计
积极支持教 不太赞成教育
育改革
改革
39
157
29
167
68
324
合计
196 196 392
对于教育机构的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？
解 零假设为H0：成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度 无关． 根据表中数据，计算得
χ2＝392×1（963×9×19166×7－681×573×2429）2≈1.78. 因为1.78<2.706＝x0.1， 根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，所以我们没有理由 说成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度有关．
注：该年级在此次考试中数学成绩优秀的有 360 人，非优秀的有 880 人．
解 零假设为H0：数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀都无关系． 列出数学成绩与物理成绩的2×2列联表如下：
物理优秀
物理非优秀
合计
数学优秀
228
132360数源自非优秀143737
880
合计
371
869
1 240
将表中数据代入公式，得
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
α
0.1
卡方分布概念及表和查表方法
卡方分布概念及表和查表方法若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。
中文名卡方分布外文名chi-square distribution别称西格玛分布提出者Friedrich Robert Helmert提出时间1863应用学科统计学目录1简介2定义3性质4概率表简介分布在数理统计中具有重要意义。
分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），卡方分布其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。
记为或者（其中，为限制条件数）。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
性质1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。
2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为。
5) 分布的均数为自由度，记为E( ) = 。
χ2分布查表举例
χ2分布查表举例χ2分布是概率统计学中常用的一种分布，它是根据正态分布的平方和而得到的。
在实际应用中，我们经常需要查找χ2分布表来计算一些与χ2分布相关的概率或统计量。
本文将以一个具体的例子来详细介绍如何使用χ2分布表进行查表。
1. 问题描述假设有一批产品，我们想要检验其质量是否符合标准。
我们从这批产品中随机抽取了100个样本，并对每个样本进行了质量检测。
现在我们想要判断这批产品的整体质量是否符合标准，即判断总体质量是否服从某个特定的分布。
2. 假设检验为了判断总体质量是否符合某个特定的分布，我们需要进行假设检验。
假设我们已经知道总体质量服从一个特定的理论分布（比如正态分布），那么我们可以通过观察样本数据来判断这个假设是否成立。
3. 计算χ2统计量在进行假设检验时，我们需要计算一个统计量来衡量观察值与理论值之间的差异程度。
对于χ2检验而言，该统计量就是χ2统计量。
4. 计算自由度在计算χ2统计量之前，我们需要先确定自由度。
自由度是指可以独立取值的变量的个数。
对于χ2检验而言，自由度的计算方法是样本个数减去1。
5. 查找临界值根据假设检验的要求，我们需要设定一个显著性水平（一般为0.05），来判断观察值与理论值之间的差异是否显著。
为了确定是否拒绝原假设，我们需要查找χ2分布表来找到与给定显著性水平相对应的临界值。
6. 比较统计量与临界值将计算得到的χ2统计量与查找得到的临界值进行比较。
如果统计量大于临界值，则拒绝原假设；如果统计量小于等于临界值，则接受原假设。
7. 例子假设我们观察到样本数据中有60个产品符合标准，40个产品不符合标准。
我们想要判断这批产品整体质量是否符合标准。
根据样本数据，我们可以计算出χ2统计量。
根据公式：χ2 = Σ((O-E)^2 / E)其中，O表示观察到的频数，E表示期望的频数。
假设这批产品整体质量符合标准，那么我们可以根据标准来计算期望频数。
假设有100个样本，60%符合标准，40%不符合标准。
0卡方检验
总之，χ2值越小，说明实际观察与理论假设
越吻合，当根据样本算出的χ2值大于理论上 在α=0.05 水准处的 χ2 值界值时，可以认为 实际观察与理论假设不符。
假设检验的过程：
⑵ 建议χ2统计量和自由度
பைடு நூலகம்
2 i 1
9
Ai Ti
Ti
2
9.937 ， k 1 s 9 1 2 6
2
检验
【教学要求】
掌握：独立样本2×2列联表资料（四格表）χ2检验；
熟悉：四格表资料的Fisher确切概率法
了解：1.连续型随机变量的χ2分布；
2.样本的拟合优度检验的基本思想。
假设检验
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计
假设检验
定量变量
定性变量
教学内容
1. χ2分布和拟合优度检验 2.独立样本2× 2列联表资料的χ2检验 3. 2× 2列联表资料的确切概率法 4 .配对设计资料的χ2检验 5.独立样本R×C列联表资料的χ2检验
如果H0假设成立，那么Ai与Pi之差就不会很大，
故可用Ai 与Pi 之间的差异程度反映该样本的频率分
布是否与H0确定的理论分布相符。K.Pearson提出：
2
i 1
k
Ai Ti 2
Ti
可证明当H0成立时，χ2统计量近似地服从自由度v =k-1
的χ2分布。
若计算Ti时，有s个总体参数是用样本估计量替代的，
ß ×¸ Ý
× Ô Ó É ¶ È £ ½ 1
0.2 0.1 0.0 0 3
× Ô Ó É ¶ È £ ½ 2 × Ô Ó É ¶ È £ ½ 3 × Ô Ó É ¶ È £ ½ 6