f分布t分布与卡方分布
6个常见分布的分布律或密度函数
1.均匀分布（Uniform Distribution）: 这种分布的密度函数是一条平行于坐标轴的直线，表示所有取值的概率相同。
2.正态分布（Normal Distribution）: 这种分布又称高斯分布，是一种对称的分布，其概率密度函数是一个钟形曲线。
3.指数分布（Exponential Distribution）: 这种分布的密度函数是一条指数形的曲线，常用来描述随机事件的发生时间间隔。
4.卡方分布（Chi-square Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线。
5.t分布（t Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线，但比卡方分布的峰值低。
6.F分布（F Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条双峰曲线。
卡方分布t分布和F分布的概念与应用
卡方分布t分布和F分布的概念与应用卡方分布、t分布和F分布的概念与应用卡方分布、t分布和F分布是概率统计中常见的三种概率分布。
它们在统计学中有着广泛的应用，能够帮助我们进行假设检验、构建置信区间等分析工作。
本文将分别介绍卡方分布、t分布和F分布的概念，以及它们在实际问题中的具体应用。
一、卡方分布卡方分布是以统计学家Karl Pearson命名的一类概率分布。
卡方分布常用于计算一组独立同分布的随机变量的平方和的分布。
它的概率密度函数取决于自由度参数，自由度越大，卡方分布的形状越接近正态分布。
卡方分布的应用非常广泛。
例如，在假设检验中，我们可以使用卡方分布来判断一个样本是否符合某种理论分布。
同时，卡方分布还可以用于计算观察值与理论值之间的差异，从而评估模型的拟合程度。
此外，卡方分布还可以用于计算置信区间和预测区间。
二、t分布t分布是根据正态分布和卡方分布引出的一种概率分布。
t分布的曲线形状与自由度有关，当自由度较小时，曲线较为平缓，自由度增加时，曲线逐渐接近于标准正态分布。
t分布的一个重要应用是在小样本情况下的假设检验。
当总体标准差未知，并且样本容量较小（通常小于30）时，我们需要使用t分布来估计总体均值的置信区间。
此外，t分布还可以用于对两个样本均值的差异进行比较，判断是否存在显著差异。
三、F分布F分布是以统计学家Ronald Fisher命名的一种概率分布。
F分布常用于方差分析和回归分析等统计方法中。
它是两个独立卡方分布的比值的分布。
F分布的形状取决于两个自由度参数。
F分布在方差分析中起着重要作用。
方差分析可以帮助我们判断不同组之间是否存在显著差异，而F分布可以用于计算F统计量，以确定差异是否显著。
此外，F分布还常用于线性回归分析中，用于比较回归模型的拟合优度。
总结卡方分布、t分布和F分布是统计学中常见的三种概率分布。
它们在假设检验、置信区间估计、拟合优度分析等统计任务中有着广泛的应用。
熟练掌握这些概率分布的概念和特性，对于进行统计分析和研究是非常重要的。
t分布f分布和卡方分布和中心极限定理的区分
t分布、f分布和卡方分布是统计学中常见的概率分布，它们各自具有特定的性质和应用。
中心极限定理是统计学中的重要定理，它与这些分布有着密切的关系。
本文将从理论和应用两个方面来分析并区分t 分布、f分布和卡方分布，以及它们与中心极限定理的关系。
一、理论分析（一）t分布1. 概念：t分布是统计学中常用的一种概率分布，用于从小样本中得出总体参数的估计。
t分布的形状类似于标准正态分布，但是尾部更厚，且随着自由度的增加而逐渐接近正态分布。
2. 特点：t分布的参数由自由度决定，自由度越大，t分布越接近于正态分布。
在小样本情况下，使用t分布进行统计推断比使用正态分布更为准确。
3. 应用：t分布常用于小样本的假设检验和置信区间估计，例如学生 t 检验用于比较两组样本均值的差异。
（二）f分布1. 概念：f分布是一种连续概率分布，常用于分析两组方差的比较。
f分布的形状呈右偏态，且具有两个自由度参数。
2. 特点：f分布的参数由两个自由度参数确定，其中一个自由度用于分别计算分子和分母的自由度。
f分布的数学表达式较为复杂，常使用统计软件进行计算。
3. 应用：f分布常用于方差分析和回归分析中，用于判断多个总体方差是否相等。
（三）卡方分布1. 概念：卡方分布是概率论和统计学中常用的一种连续概率分布，其定义来源于标准正态分布。
2. 特点：卡方分布的参数由自由度确定，自由度越大，卡方分布越接近于正态分布。
卡方分布常用于样本方差的推断和拟合优度检验。
3. 应用：卡方分布广泛应用于拟合优度检验、独立性检验、方差分析等统计推断中，是统计学中不可或缺的重要工具。
（四）中心极限定理1. 概念：中心极限定理是统计学中的重要定理，指出在一定条件下，大量独立随机变量的均值的分布近似服从正态分布。
2. 特点：中心极限定理适用于样本容量较大且独立同分布的情况。
它为统计推断提供了理论基础，使得在实际应用中可以更加准确地进行推断和估计。
3. 应用：中心极限定理在实际应用中被广泛地运用，例如样本均值的抽样分布、置信区间估计、假设检验等方面。
f分布t分布与卡方分布
布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
2当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的i2(n)，它的分分布称为自由度等于 布密度p(z )=n 的1 AnX22- n2 0,n-1.+处 2 -u , 0u 2e du ,2分布，记作Zz _2e其他,称为Gamma 函数，且】1 =1，式中的『-=I2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z_I - = n 。
2相互独立，且丫2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z 〜2(n+m )。
Y+Z= X+§1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2分布的定义以及上述随机变 量的相互独立性，令 丫=X 2+X 2+…+X -, z=x 备+X 2+2+…+Xn+m ，即可得到丫+Z 〜2(n +m )。
2. t 分布若X 与丫相互独立，且X 〜N(0,1) , 丫〜2(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t (n),它的分布密度；z2 V .n丿n 1 ~Y。
”心LP(z)=―；=时(殳)I请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布若X与丫相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作Z〜F (n, m)，它的分布密度2P (Z(m nz) 2n mn m------ in——1 z2-,z 0 n m2 20,其他。
请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有关，当 Z 〜F (n , m )时，刁〜F (m ,n )。
t分布f分布和卡方分布的关系
t分布f分布和卡方分布的关系
t分布、F分布和卡方分布是统计学中常用的概率分布，它们之间有着紧密的关系和相互作用。
我们来看看t分布和F分布。
t分布是一种用于小样本推断的概率分布，适用于总体标准差未知的情况。
而F分布是一种用于比较两个样本方差是否显著不同的概率分布。
如果我们将两个相互独立的t分布的平方和进行标准化，就可以得到F分布。
因此，可以说t 分布是F分布的特殊情况。
接下来，我们再来看看卡方分布。
卡方分布是一种用于推断总体方差的概率分布，适用于总体标准差已知的情况。
卡方分布的形状取决于自由度，自由度越大，卡方分布越接近正态分布。
当自由度为1时，卡方分布就是指数分布的特殊情况。
总结一下，t分布、F分布和卡方分布之间的关系是：t分布是F分布的特殊情况，而F分布是卡方分布的特殊情况。
它们在统计学中有着广泛的应用，可以帮助我们进行推断和比较，从而更好地理解数据和总体的特征。
虽然这些概率分布在统计学中有着严格的定义和推导过程，但我们可以简单地理解它们的关系，以便更好地应用于实际问题中。
通过掌握它们的特点和应用场景，我们可以更准确地进行统计推断和数据分析，为决策提供科学依据。
无论是在科学研究、医学诊断还是
经济分析中，这些概率分布都扮演着重要的角色，对于推动人类社会的进步和发展起着不可替代的作用。
简述卡方分布,t分布,f分布的定义
简述卡方分布,t分布,f分布的定义
卡方分布也叫卡方检验分布，是常见的概率分布，由英国数学家卡方发现，故称之为卡方分布。
数学家卡方的主要工作是统计学分布的概率期望，他在19世纪20年代发现卡方分布，他还拓展了卡方分布，发现和推导出它的非等距变量的统计分布。
卡方分布的定义：它是一种从n个标准正态分布中自由度为k的独立变量中提取的统计概率分布，其中n个独立变量的平方和服从卡方分布。
二、t分布
t分布也叫t牛顿分布，是一种概率分布，由卡普牛顿在19世纪20年代发现，故称之为t分布。
它是统计学中又一种重要的概率分布。
t分布的全称是Student t分布，因为它主要在学生t检验中使用，故又称之为Student t分布。
t分布的定义：Student t分布是由自由度为k的一组独立变量的统计概率分布。
该分布与卡方分布非常相似，但是它不是一个单位正态分布的统计分布，因此其期望值不是0。
实际上，当自由度很大时，t分布可以趋近于正态分布。
三、F分布
F分布也叫F检验分布，是一种不可能概率分布，由比利时统计学家卡默特在20世纪初发现，故称之为F分布。
F分布的定义：它是由自由度分别为m和n的两组独立样本对比的统计概率分布，m为数据的自由度。
两个样本之间的方差比服从F分布。
总结：
卡方分布是一种从n个标准正态分布中自由度为k的独立变量中提取的统计概率分布，其中n个独立变量的平方和服从卡方分布。
t 分布是由自由度为k的一组独立变量的统计概率分布，而F分布是由自由度分别为m和n的两组独立样本对比的统计概率分布。
三大分布
0.4
f n ( x)
N(0,1) n = 10 n=5 n=2 n=1
0.3
0.2
0.1
0 -3
-2
-1
0
1
2
x
3
t-分布的概率密度函数
t分布的性质
1．以0为中心，左右对称的单峰分布； 2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确 切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越 小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分 布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线
2 2
2
F
X / n1
n n Γ ( 1 2 2 ) n1 n1 n2 f n1 , n 2 ( x ) Γ ( 2 ) Γ ( 2 ) n 2
n1 n 2
x 0,
n1 2
1
n1 1 x n2
t
n (x ) s
~ t ( n 1)来自 结论二：F sx1 , x2 , , x m
sx / 1
2 2 y
2
/
2 2
~ F ( m 1, n 1)
设 的样本，且此两样本相互独立，记
sx
2
2 y N ( 1 , 1 ) 的样本，1 , y 2 , , y n 是来自
sx / 1
2
2
( n 1) s
2 2
s /
2 y
2 2
~ F ( m 1, n 1)
所以
结论三：
( x y ) ( 1 2 ) sw 1 m n 1
~ t ( m n 2)
sw
( m 1) s ( n 1) s
f分布t分布和卡方分布
§1、4 常用得分布及其分位数1、 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。
2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。
证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。
2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。
请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。
这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。
3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。
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P(z)= 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30 时，t§ 1.4 常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，ZH X ：的i分布称为自由度等于 n 的2分布，记作Z 〜2(n),它的分旳=石。
•/ 2分布是非对称分布'具有可加性'即当Y 与Z 相互独立，且 Y 〜 2(n), Z 〜 2(m)，贝U Y+Z 〜 2(n+m)。
证明：先令X i 、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1),再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令 Y =X 2+X 2+…+X 2, z=x n 1 +X n 2+…+X n m ，即可得到 Y+Z 〜2(n+m) 2. t 分布若X 与Y 相互独立，且 X 〜N(0,1) , Y 〜2 (n)，贝U Z = X 丫的分布称为自由度等于n 的t 分布，记作Z 〜t (n)，它的分布密度布密度式中的.=0称为Gamma®数，且 ■ 1 =1, Y+Z= X+X■+1 2 n P ( z 0 其他, n .n -(n )分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得 到。
3. F 分布若X 与Y 相互独立，且X 〜2(n)，丫〜2(m), 则Z= X 丫的分布称为第一自由度等于 n 、第二自由度等于n mm 的F 分布，记作 Z 〜F (n, m),它的分布密度n-iz2 -,z 0 n m 2 20, 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当 Z 〜F (n, m)时，—〜F (m ,n) Z4. t 分布与F 分布的关系12；Y=X 2 的分布函数 F Y (y ) =P{YV y }=P{X 2<y } 当尸 0 时，F Y (y)=0, p Y (y )=0 ;当 y >0 时，F y (y ) =P{- y <X< y }=_； p(x)dx =2 0 p(x)dx , p(z)= (m n z) 2 其他。
若 X 〜t( n )，则 Y=X 〜F(1, n ) o证：X 〜t( n ) , X 的分布密度 P(x )= < 2丿 2与第一自由度等于 1、第二自由度等于 n 的 F 分布的分布密 度相同，因此Y=X 2〜F （1, n ）。
为应用方便起见， 以上三个分布的分布函数值都可以从各 自的函数值表中查出。
但是，解应用问题时，通常是查分位 数表。
有关分位数的概念如下：4. 常用分布的分位数1）分位数的定义 分位数或临界值与随机变量的分布函数有关， 根据应用的 需要，有三种不同的称呼，即 a 分位数、上侧a 分位数与双 侧a 分位数，它们的定义如下：当随机变量X 的分布函数为 F （X ），实数a 满足0 <a <1 时， a 分位数是使 P{X< x a }=F （x a ）=a 的数 x a ，上侧a 分位数是使P{X >入}=1 - F （入）=a 的数入,双侧a 分位数是使 P{X<入1}=F （入1）=0.5 a 的数入仆使 P{X> 入 2}=1 - F （入 2）=0.5 a 的数入 2。
因为1- F （入）=a , F （入）=1- a ,所以上侧a 分位数入就是 1- a 分位数 X 1- a ；F （入1）=0.5 a , 1- F （入2）=0.5 a ，所以双侧a 分位数入1就 是0.5 a 分位数X 0.5 a ,双侧a 分位数入2就是1- 0.5 a 分位 数 X 1-0.5a 。
2）标准正态分布的 a 分位数记作 u a ， 0.5a 分位数记作 u 0.5a ， 1- 0.5a 分位数记作 u 1- 0.5a 。
P (x) P (x)Y=X 2的分布密度nn21-1 y2 1 n p Y (y)=F ・ 2 2 (n y) 2J £ O x当 X 〜N(0,1)时，P{XV U a }=F o,i (U a )= a, P{X<U 0.5 a }= F 0,1 (U 0.5 a )=0・5 a ,P{X<U i- 0.5 a }= F 0,1 (U 1-0.5a )=1 - 0・5a 。
根据标准正态分布密度曲线的对称性，当 a =0・5 时，U a =0 ；当 a <0.5 时，u a <0。
u a =- u 1- a 。
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数， 则先查出u 仁a ,然后得到u a =- U 仁a 。
论述如下：当 X 〜N(0,1)时，P{X< u a }= F 0,1(u a )= a , P{X< u 1- a }= F 0,1 (u 1- a )=1- a ,P{X> u 1- a }=1- F 0,1 (u 1- a )= a ,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，u a =- u 1- a o 例如， u 0.10=- u 0.90=-1.282,u =- ■ u =- 1.645,u 0.01 = - ■ u 0.99 = - 2.326,u 0.025 :-u =-1.960,u 0.005 = - u 0.995=- 2.576。
又因为P{|X|V U i-o.5a }=1- a，所以标准正态分布的双侧a分位数分别是U 1- 0.5 a和-U 1- 0.5 a。
标准正态分布常用的上侧a分位数有：a =0.10 , u 0.90=1.282 ;a =0.05 , u 0.95=1.645;a =0.01 , u 0.99=2.326 ;a =0.025 , u 0.975=1.960 ;a =0.005 , u 0.995=2.576。
3)卡平方分布的a分位数记作2a (n)。
2a (n)>0 ,当X 〜2(n)时，P{X< 2a (n)}= a。
例如，20.005 (4)=0.21 , 20.025 (4)=0.48 ,20.05 ⑷=0.71 , 20.95 (4)=9.49 ,20.975(4)=11.1 , 20.995 (4)=14.9。
4) t分布的a分位数记作t a(n)。
当X〜t (n)时，P{XVt a (n)}= a，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有t a (n)=- t 1- a (n)，论述同U a =- u 1- a o 例如，t o.95 (4)=2.132 , t 0.975 (4)=2.776 , t 0.995 (4)=4・604, t 0.005 (4)= -4・604, t0.025 (4) =- 2.776, t 0.05 (4)=- 2.132。
另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到t a(n)，可用u a作为t a(n)的近似值。
o X O XX o x5) F分布的a分位数记作F a(n , m)。
F a (n , m)>0,当X〜F (n , m)时，P{X<F a (n , m)}= a。
另外，当a较小时，在表中查不出 F a(n, m),须先查1 、”、「一F i- a (m, n)，再求F a (n, m)= 。
论述如下：Fi_«(m , n )当X 〜F(m, n)时，P{Xv F 1- a(m, n)}=1 - a,11 11卩{丄＞}=1- a ,卩{丄＜}= a , X F 1 -a (m,n) X F1 -:又根据F分布的定义，—〜F(n, m), P{ —＜F a(n, m) }= a , XX1因此F a (n, m)= ——F^(m , n )例如，F 0.95 (3,4)=6.59 , F 0.975 (3,4)=9.98 ,F 0.99(3,4)=16.7 , F 0.95 (4,3)=9.12 ,F 0.975 (4,3)=15・4 , F 0.99 (4,3)=28・7,1 1 1F 0.01 (3,4)= —, F 0.025 (3,4)= —, F 0.05 (3,4)=—-28.7 15.1 9.12【课内练习】1. 求分位数①20.05(8),②20.95(12)。
2. 求分位数①t 0.05(8),②t 0.95(12)3. 求分位数①F0.05(7,5)，②F0.95(10,12)。
4. 由u 0.975=1・960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
6. 若X 〜2(4), P{XV0.711}=0.05 , P{X<9.49}=0.95，试写出有关的分位数。
7. 若X 〜F(5,3) , P{X<9.01}=0.95 , Y 〜F(3,5), {Y<5.41}= 0.95,试写出有关的分位数。
8. 设X i、X 2、…、X io相互独立且都服从N(0,0.09)分布, 试求P{\ 2>1.44}。
X ii习题答案：1.①2.73,②21.0。
2.①-1.860,② 1.782。
3.①丄，②3.37。
4.1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.9604.88为双侧0.05分位数。
5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132 为双侧0.1分位数。
6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05 分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。
7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，丄与5.41为双侧0.1分位数，丄与9.01 5.419.01为双侧0.1分位数。
8. 0.1。