配方法的解题功能
人教版九年级数学上册《配方法的妙用》课件
五、评点总结
小结 拓展
1.完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,
∴该方程一定有两个不相等的实数根. ∴该方程一定有两个不相等的实数根.
2.a ±2ab+b =(a±b) . 一配、方温 法故的而作知用新在2（于配改方变法代在数一式元的二原2次有方结程构中，的是应求用解）变2形的一种手段．
1.求 4x2 y2 2y 4x 15 的最小值. 解：原式= (4x2 4x 1) ( y2 2y 1) 13 = (2x 1)2 ( y 1)2 13 ∵ (2x 1)2 0 ( y 1)2 0 ∴ (2x 1)2 ( y 1)2 1313
∴它的最小值是13.
2.证明方程没有实数根 x8 x5 x2 x 1 0
解：移项，得 2x2 x 1
系数化为1，得 x 2 x 1 22
配方，得
x2
x
1
2
1
1 2
2 4 2 4
(x 1)2 9
4
16
x 1 4
3 4
或
x 1 4
3 4
x1
1 2
x2 1
二、配方法在求二次函数中的应用.
例2：通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值.
y 1 x2 x 5
配方法的妙用 ∴该方程一定有两个不相等的实数根.
小结 拓展
∴该方程一定有两个不相等的实数根. 配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段．
a2±2ab+b2 =(a±b)2. 配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段．
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式, 例4：关于x的一元二次方程 x2＋(k+1)x-k-3＝0 四、配方法在“最值”问题中的相关应用. 三、配方法在因式分解中的应用. 四、配方法在“最值”问题中的相关应用. 小结 拓展
初中数学方法篇一：配方法
数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。
2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。
例2、化简526-的结果是___________________.点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy ay x ）来化简。
3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。
例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。
点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。
4．配方法在解某些二元二次方程中的应用解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。
例4、解方程052422=+-++y x y x 。
点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组⎩⎨⎧=-=+0102y x 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。
5．配方法在求最大值、最小值中的应用在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。
可以使我们求出所要求的最值。
例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________.点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。
“配方法”及其应用 【完整版】
“配方法”及其应用把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．例1．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．开方，得12112x x ==-，． 通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．一、用于比较大小例2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数解：（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.二、用于因式分解例3．分解因式：42221x x ax a +++-．解：42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．说明：这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．三、用于求待定字母的值例4．若实数x y ，满足224250x y x y +--+=的值是（ ）Ａ．1Ｂ．32+Ｃ．3+Ｄ．3-解：对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，．3====+ 说明：本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．四、用于求最值例5．多项式21x x -+的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．54 Ｃ．12 Ｄ．34解：21x x -+21324x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故选Ｄ． 说明：此例是“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．五、用于证明例6．证明方程85210x x x x -+++=没有实数根．证明：85210x x x x -+++=85221344244393x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 224132202433x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即对所有实数x ，方程左边的代数式的值均不等于0，因此，原方程没有实数根．说明：这是“配方法”在代数证明中的应用，要证明方程85210x x x x -+++=没有实数根.似乎无从下手，而用“配方法”将其变成完全平方式后，便“柳暗花明”了．以后，我们学习了函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．。
初中数学中配方法的五种用途的详细剖析
cc518学习网精品学习资料总目录配方法是将一个式子或一个式子的某一部分化为完全平方式或几个完全平方式的和或差.许多数学题都可以通过配方法进行求解。
本文笔者将会详细剖析初中数学中配方法的五种用法。
类型一.解一元二次方程例1 用适当的方法解一元二次方程:x2-2x-143=0.分析此方程中常数项较大，使用公式法或者因式分解法解比较繁琐易错，由于二次项系数为l，并且一次项的系数是偶数，因此使用配方法比较好.类型二.求代数式的值例2 已知x-y=3,y-z=2,求x2+y2+z2-xy-yz-xz的值.分析代数式有三个未知数，而已知只给出两个方程，所以解不出x、y、z的值，可考虑用配方法及整体思想解题.类型三.分解因式例3 分解因式:x4+x2+1.分析此代数式既不能直接提取公因式，也不符合公式形式，因此无法直接分解因式.仔细观察题目发现中间项系数如果为2时，即符合完全平方公式.由此可考虑使用配方法解决.类型四.判定方程根的情况例4 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0，求证:无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根.分析要判断方程根的情况，需要对一元二次方程根的判别式△的值进行讨论.类型五.求最值例5 ：某专卖店在销售过程中发现“兴乐”牌童装平均每天可售出20套，每套盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，该店决定采取适当降价措施，扩大销售量增加盈利，减少库存.经市场调查发现，如果每套童装降价1元，那么平均每天可多售出2套，问:每套童装降价多少元时，专卖店平均每天盈利最多?每天盈利最多是多少元?分析实际生活的问题，往往可以通过建立适当的函数解析式，求函数的最值来解决.而求函数的最值是通过配方法来完成的.本题中“平均每天盈利”是“每套童装售价”的函数，故考虑用函数来解决.。
配方法的作用
配方法的作用一、阅读思考把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。
运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。
熟悉以下基本等式：1、()2222a ab b ±+=2、()()222222a b c ab bc a b c +++++=++3、()()()22222212a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++±±±=±+±+±⎣⎦ （一）利用配方法解题须注意（1）具有较强的配方意识。
即由已知条件的平方特征或隐含的平方关系（如2m =）能联想起配方法；（2）兼有整体把握已知条件的能力，即善于把某项拆开又重新与其他项组合，得到完全平方式。
（二）小试牛刀1、若269y y -=-，则yx =_______；2、填空：()22672x x -+=-，它的最______（填“大”或“小”）值为2；3、()221-=()211y --=()21z -=二、问题解决 【求值】1、若有理数x 、y()12x y z =++，求()2x yz -的值。
2、已知2210m n mn m n +++-+=，求11m n+的值。
【判断形状】3、已知三角形ABC 的三边为a,b,c,且满足c bcac b 22224442222+=++a。
确定试这个三角形的形状。
【求最值】4、设x 、y 为实数，求代数式2254824x y xy x +-++的最小值。
【求整数解】5、方程22229129x y x y xy ++-=的非负整数解是__________三、数学冲浪1、已知2a b -=2b c -=222a b c ab bc ac ++---=______2、若a 、b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab +=______A 、8-B 、16-C 、8D 、163、设0a b >>，223a b ab +=，则a ba b+-的值为（ ）ABC 、2D4、实数a 、b 、c 满足2617a b +=-，2823b c +=-，2214c a +=，则a b c ++=_____5、已知a 、b 、c 均为实数，且4a b +=，2210c ab -=-，求ab 的值。
配方法应用举例
配方法应用举例配方法是一种非常重要的数学方法，在解决数学问题上应用非常广泛、有效。
下面结合实例对配方法的应用做以简单说明，以期对同学们有所协助。
一、用配方法能够分解因式。
例1 将x 2+4x+3分解因式。
分析：在没有学过“十字相乘法”的情况下，采用配方法就非常方便了。
解：x 2+4x+3=（x 2+4x+4）-1=（x+2）2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)二、用配方法能够判定二次三项式值的正、负性。
例2 求证无论x 取何值，代数式2x 2－6x+5的值恒大于零。
分析：同学们在没有学习二次函数之前，是无法解答的。
若用配方法，这类问题就迎刃而解了。
解：这是因为2x 2－6x+5=2(x 2－3x )+5=2[(x 2－3x+49)－49]+5=2(x －23)2－29+5=2(x －23)2+21＞0。
例3 求证：无论ｙ为何值，－10y 2+5y-4的值恒小于零。
解：这是因为－10y 2+5y-4=-10（ｙ2－21ｙ）-4=-10［(ｙ2－21ｙ+161)-161)-4=-10(ｙ－41)２－827﹤０ 三、用配方法能够求出二次三项式的最大值（或最小值）。
例４ 求当x 取何值时，代数式2x-2x 2-1的值最大？最大值是多少？分析：这是一道关于二次函数极值的问题，用配方法解答此题显得更浅显易懂。
解：2x-2x 2-1=-2（x 2-x ）-1=-2[(x 2-x+41)-41]-1=-2(x-21)2-21；因为无论x 取何值 -2(x-21)2≤0,所以 -2(x-21)2-21≤-21，当x=21时，代数式2x-2x 2-1的值最大,最大值是-21。
例5 代数式4y 2+8y-7有最大值还是有最小值？解：4y 2+8y-7=4（y 2+2y ）-7=4[(y 2+2y+1)-1]-7=4(y+1)2-11；因为4(y+1)2≥0，所以4(y+1)2-11≥-11，故当y=-1时，代数式4y 2+8y-7有最小值，最小值是-11。
配方法在解题中的应用
一
同 理 ，９ ｂ ２ — １ ８ ｂ ＝ （ ９ ｂ 一 ｌ ８ 西 ＋ ９ ） 一 ９ ＝ （ ３ ｂ 一 ３ ）
［ ２ ］ 钱佩玲 ． 中学 数 学思 想 方 法 【 Ｍ】 ． 北京 ：
北 京师 范大 学出版 社 ， ２ ０ ０ １ ．
点评 ： 利 用 配 方 法 求 值 常 常 需 要 利 用
１ 利 用配 方法求 二 次 函数最 值
例ｌ ： 某 农 家 旅 游 公 司 有 客 房３ ０ ０ 间， 每
变换 等 问题 。
关键词： 配方法 完全平方公式 二次函数 二 次三项式
中图分类号 ： Ｇ ４ ２ ０
． 文献标识码 ： Ａ
文章编号： ｌ ６ ７ ３ ～ ９ ７ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） １ ０ （ ｃ ） 一 ０ ０ ７ ８ 一 ｏ １
形成 一定的 数学思 想方法， 是 数 学 课
２ －２ ａ ＝（ ａ －２ ａ ＋１ ） 一１ ＝（ Ⅱ 一１ ） 一ｌ 在 教 学 中的 重 要 性 。 在 教 学 中， 使 学 生 掌 握 则得 到 。ａ
种 方法 ， 未 解 决 一 些 其 他 的 问 题 找 到 很
并灵活地运用“ 配方 法” 思考并解决问题 ，
将 大 大 地锻 炼 和 提 高 学 生 的 数学 思 维 能 力
例３ ： 化简， ／ ５ ． ２
分析 ： 化 简 就 是 将 根 式 化 为 最 简 二 次
算中考 ， ２ ０ １ ０ （ １ ０ ） ： ３ ６ — ３ ７ ．
九年级数学上册第4章配方法在解题中的巧妙的应用(青岛版)
配方法在解题中的巧妙的应用配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，还是挖掘题目当中隐含条件的有力工具。
它不仅可以用来解一元二次方程,，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用，下面分别阐述如下：一. 用于求字母的值例1 已知,6134222x xy x y x =+++则x,y 的值分别为______.分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式,从而求出两个未知数的值. ∵,6134222x xy x y x =+++∴,09644222=+-+++x x xy y x∴()().03222=-++x xy ∵()().03,0222≥-≥+x xy ∴xy+2=0,x-3=0,∴xy=-2,x=3. 将x=3代入xy=-2中解得.32-=y ∴ x=3,.32-=y二. 用于证明代数式非负例2 用配方法证明:不论x 为任何实数,代数式5.442+-x x 的值恒大于0.分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a +正数”的形式.证明: ∵()()22225.025.4445.44+-=++-=+-x x x x x ,又∵()022≥-x ,∴05.442φ+-x x∴不论x 为任何实数,代数式5.442+-x x 的值恒大于0.三. 用于比较大小例3 若代数式,15,87102222+++=+-+=a b a N a b a M 则M-N 的值( )A. 一定是负数B.一定是正数C. 一定不是负数D.一定不是正数分析: M-N=)15(1)8710(2222++++-+a b a a b a=1587102222----+-+a b a a b a=().03233412922φ+-=++-a a a 故选B.四. 用于因式分解例4 分解因式:22412a ax x x -+++=_____________.分析:原式=()()()()222222422241212122a x x a ax x x x a ax x x x --+=+--++=-++-+ =()().1122a x x a x x +-+-++五. 用于判定三角形的形状例5 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足,0222=---++ac bc ab c b a ，则△ABC 的形状为_______________.分析:等式两边乘以2,得,022*******=---++ac bc ab c b a配方，得()()(),022*******=+-++-++-a ca c c bc b b ab a即()()().0222=-+-+-a c c b b a由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC 是等边三角形.六. 用于求代数式的最值例6 利用配方法求7422--=x x y 的最大值或最小值.分析:求最大值或最小值,必须将它们化成()c b x a y ++=2的形式,然后再判断,当a ＞0时,它有最小值c;当a ＜0时,它有最大值c.解: ()()91227122742222--=--+-=--=x x x x x y∵(),0122≥-x ∴(),99122---φx故它的最小值是-9.评注:配方法是求一元二次方程根的一种方法,也是推导求根公式的工具,并且也是解决其他问题的方法.其用途相当广泛.。
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第三讲：配方法的解题功能
一、知识纵横：
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值，解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛应用。
运用配方法解题的关键是恰当的“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式。
二、例题分析
例1、（1）、多项式52454222-+-++y x y xy x 的最小值是多少？
此时y x ,的值分别是什么？
（2）、已知有理数z y x ,,满足)(213222z y x z y x ++=
-++， 求、3)(-++z y x 的值。
例2、如果,3
2211-=+=-z y x 问、z y x ,,分别为何值时，222z y x ++有最小值，最小值是多少？
例3、怎样的整数c b a ,,满足不等式： .2332
22c b ab c b a ++≤+++
例4、求方程21714222=+-n mn m 的自然数解。
例5、已知z y x ,,满足⎩⎨
⎧=+-=-+3262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值。
三、基础巩固：
1、若,03)(2222=+++-++z y x z y x 则=-++xyz z y x 3433 ，
2、若,3,22222=-=-c b b a 则=---++222222444a c b c b a c b a ，
3、若z y x ,,满足,5=+y x ,92-+=y xy z 那么=++z y x 32 ，
4、两个多项式之积是,32422+++-b a b a 则这两个多项式分别是：
、 ， 5、已知,052422=+--+y x y x 则1
2---+y x y x 的值是 。
四、能力提高：
1、已知,3,3222=++=++c b a c b a 则201020092008c b a
++的值是 ， 2、已知,04,42=++=-c ab b a 则=+b a ，
3、如果,2422
2
y xy y x +≤++则y x ,的值分别是 、 ， 4、在△ABC 中，BC=a,AC=b,AB=c,且满足22224442
1c b c a c b a +=+
+ 则△ABC 的形状是 ， 5、若,94101242
2+++-=y y xy x M 那么当=x ，=y 时，M 的值最小，M 的最小值是 。
6、若有理数c b a ,,满足,92
22=++c b a 则代数式： 222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 。
五、综合创新：
1、已知、a c b ,是△ABC 的三边长，且满足,12,12,1222
2222a c
c c b b b a a =+=+=+求△ABC 的周长。
2、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次的产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可以生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利最大的产品是第k 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），求k 的值。