电磁场原理习题与解答(第4章)

第四章习题答案4-4 设磁矢量位的参考点为无穷远处，计算一段长为2m 的直线电流I 在其中垂线上距线电流1m 的磁矢量位值。

解：选圆柱坐标，在z '处取元电流段z e I l I'dz d ＝，元电流段 产生的元磁矢量位为z 0e R4z Id A d πμ'=整个线电流产生的磁矢量位：C e R z Id 4A z 2l 2l 0+'=⎰-//πμ 其中 22z R '+=ρ，电流有限分布，参考点选在无穷远处，所以积分常数C 为零。

()()z e 2l 2l 2l 2l 2I e z z Id 4A 22220z 2l 2l 220 ////ln //++-++='+'=⎰-ρρπμρπμ将 l =2 ，1=ρ 带入上式，得z 0e 222I A11π-+=ln μ4.5解：由恒定磁场的基本方程，磁感应强度一定要满足0B ∇=，因此，此方程可以作为判断一个矢量是否为磁感应强度B的条件。

4-6 相距为d 的平行无限大平面电流，两个平面分别在2d z -=和2d z =且平行与xO y 平面。

相应的面电流密度分别为x e k 和y e k,求由两个无限大平面分割出来的三个空间区域的磁感应强度。

解：由例题4-7结果，分别求出面电流x e k 和y e k产生的磁场，然后应用叠加原理，x e k产生的磁场为：ρy图4-4⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<->-2d z e 2K 2d z e 2K B y 0y 01,,)()(μμ＝ y e k产生的磁场为⎪⎩⎪⎨⎧><-2),(22),(2002d z e K d z e K B x xμμ＝ 由叠加原理知：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-<<-+--<-=2),(222,)(22),(2000d z e e K d z d e e K d z e e K B xy x y x yμμμ4-7 参见教材例4.84-8 如题图4-8所示，同轴电缆通以电流I ，求各处的磁感应强度。

解：选圆柱坐标，应用安培环路定律：in 0I l d B lμ=⎰∙当10R <<ρ时：内导体上的电流密度：z21e R I J π= I R B e d e B l d B l 2120202ππρμπραρφφπ===∙∙⎰⎰ φπρμπρμe R I B R I B 2102102,2==∴当21R R <<ρ时I B l d B l02μπρ==⎰∙题图4-8φπρμπρμe I B IB 2,200==∴当 32R R <<ρ时外导体上的电流密度：()z2223e R R IJ -=π I R R R B l d B l )1(222232220---==⎰∙ρμπρ φρπρμρπρμe R R R I B R R R I B )(2)(,)(2)(2223223022232230--=--=∴ 当ρ<3R 时0=⎰∙ll d B0=∴B4-9略4-10有内半径为1R ，外半径为2R ，厚度为h ，磁导率为μ（)0μμ>>的圆环形铁芯，其上均匀绕有N 匝线圈，线圈中电流为I ，如题4-10所示。

求铁芯中的磁感应强度和铁芯截面上的磁通以及线圈的磁链。

解：由于磁场为轴对称场，建立圆柱坐标系 φρe )(∙=B B 用安培环路定理可得：φφρπρρe I μN B NI H I N H NIl H π2e 22πd l ===⇒=∴∙∙⎰ 122R 1R m ln 2d 2d 2d 2d R R h I N μh I N h I N e h e I N s d B m πρπρμρπρμρπρμφφ==Φ===Φ⎰∙∙由于每匝交链的磁通都相等122122m R R h N I R R h I N N ln2L ln2m πμψπμΦψ====,题4.10图12222R R h I N I W ln4L 21m πμ==4-11 在无限大磁媒质分界面上，有一无限长直线电流I ，如题图4-11所示。

求两种媒质中的磁感应强度和磁场强度。

解：由分界面衔接条件 2121 0)(B B B B e n==-∙选用圆柱坐标，利用安培环路定理有：()φμμρμμμμμμe IB B IB B l d B l d B l H l l21212122112211l πd 21+===⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∴⎰⎰⎰∙∙∙()φμμρμe I μB H 111 212π+== ， ()φμμρμe I μB H 222211π+==4-14、如题图4-14所示，有内半径为1R ，外半径为2R ，厚度为h ，磁导率为μ（)0μμ>>的圆环形铁芯，其上均匀绕有N 匝线圈，求线圈的自感。

若将铁芯割掉一小段，形成空气隙，空气隙对应的圆心角为α∆，求线圈的自感。

解：铁心被切去一小段后，形成空气隙，由安培环路定理得：IN l d H l d H NIl H l l=+⇒=⎰⎰⎰∙∙∙2121l dB B B B B e n===-∙21210)( I N B l d B l d B l l =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+∆=+∙∙⎰⎰ραπμαρμμμ)(211020121[]φρα∆πμα∆μμμe I N B)(2 00-+=∴[]120000)(2d )(2R R I N h h I N NN 2R R m m 21ln α∆πμα∆μμμρα∆πμα∆μμμΦψ-+=-+==⎰1202122mR R h μμN R R hN Ilnln α∆μμπμα∆πμα∆μμμψ)(2)(2L 0000-+=-+==2m L 21I W =题图 4-14题图 4-114-15解：选圆柱坐标，电流与z 轴重合，图4-15（a ）、（b ）所示无限长直导线中电流I 在距导线ρ处的磁感应强度为φπρμe 20I B =直线m n 的方程为：（两点式）()a bd-=ρ2z ()φφρρρe d 2e d z d a b ds -== 该磁场在（a ）中的三角形线框产生的磁通和磁链为：()())ln (2I d 2I d 222I d 0ba a0ba a0m m ab a a b b d a bda bds B s +-=-=-==Φ=ψ⎰⎰⎰++∙πμρρπρμρρπρμ)b ln (2M 0m aa ab b d I +-=ψ=πμ 同理，磁场在（b ）中的三角形线框产生的磁通和磁链为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅+=-+⋅==Φ=ψ⎰⎰+∙b a b a b a b d b d b a B ba aln )(2I d )(2I s d 00Sm m πμρρπρμ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅+==b a b a ln b)(a b 2d IM 0mπμψ（b ）（a ） 图4-15N(a+b ,d /2)ozP(ρ,z )4-18解：由于是均匀磁化， 0M 为常数。

在圆柱内部磁化电流面密度为：0e M M J z m =⨯∇=⨯∇=磁化体密度为： n m e M K⨯=其中 n e为表面的法向方向。

在圆柱的两个端面，其外法向方向分别为z e±，代入上式可知端面上0K m =，不存在磁化电流线密度。

在圆柱的侧面ρe e n=，故侧面上的磁化电流线密度为：φρe M e e M K 0z 0m =⨯=由此可见，要求永久磁化圆柱沿轴线的磁场，就是求磁化电流线密度 φe M K 0m= 在空间沿轴各处的磁感应强度。

圆柱上的磁化电流可以视为若干个小圆环电流，每个小圆环电流为'dz M dz'K dI 0m m ==式中 'dz 是小圆环的宽度，每个小圆环在轴线上某点均产生磁感应强度。

利用圆环电流在其中心轴线一点的磁感应强度的表达式，可利用 m dI 在轴线上产生沿轴线方向的磁感应强度为232202023222m 0])'z z (a [2'dz M a ])'z z (a [2a dI dB -+=-+=μμ}])l z (a [z l ])l z (a [z -l {2M ])'z z (a [2'dz M a l l B 21222122002322020-+++-+=-+-=⎰μμ 磁感应强度的方向沿 z e的方向MB H e }])l z (a [z l ])l z (a [z -l {2M B 0z 2122212200-=-+++-+=μμ 当 l z l -≤≤ 时z 0z 212221220e M e }])l z (a [z l ])l z (a [z -l {2M H --+++-+=当 l z >或l z -< 时，0M =z 212221220e }])l z (a [z l ])l z (a [z -l {2M H -+++-+=4-19解：选择1I 和2I 的参考方向，使1I 产生的磁通与2I 成右手螺旋关系，使2I 产生的磁通与1I 成右手螺旋关系，则互感系数为正值；选择1I 和2I 的参考方向，使1I 产生的磁通与2I 成左手螺旋关系，使2I 产生的磁通与1I 成左手螺旋关系，则互感系数为负值。

4-20解：由对称性分析知,A仅为圆柱坐标系中ρ的函数，且只有φ分量当a ≤ρ时 0A 1=⨯∇⨯∇()z 1z 1A 10A 000A e e e e φφφρφρρρρρρρρ∂∂==⨯∇∂∂1/1/)(()()0A 1A 000A 11z1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-=∂∂=⨯∇⨯∇∂∂φφφφρφρρρρρρρρρρe e e e 1/1/)(解得 ρρφ21C A +=1C同理 a >ρ时 ， 0A 2=⨯∇⨯∇解得 ρρφ42C A +=3C当0→ρ时，1A 为有限值；∞→ρ时，2A为有限值，所以0C 0C 32==,由边界条件 a 2a 1A A ===ρρ|| aC a C 41=⇒(1)K A A =∂∂-∂∂==a 12a 1111ρρρμρμ|| 即：K 0a 2a 1μρρρρ=∂∂-∂∂==||A A K aC C 0241μ=+⇒ （2）联立求解（1）（2）得 2KC 01μ=， 2Ka C 204μ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=φφρμρμe 2Ka e K 21A 200 )a ()a 0(>≤<ρρ⎩⎨⎧=⨯∇=0e K A B 0ρμ)a ()a 0(>≤<ρρ。