2018-2019年上海市进才中学高三上期中数学试卷

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2018-2019学年上海市浦东新区高三(上)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，20分）1.已知a∈R，则“a>1”是“1a<1”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】解：a∈R，则“a>1”⇒“1a<1”，“1a<1”⇒“a>1或a<0”，∴“a>1”是“1a<1”的充分非必要条件．故选：A．“a>1”⇒“1a <1”，“1a<1”⇒“a>1或a<0”，由此能求出结果．本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A. y=1xB. y=e−xC. y=−x2+1D. y═lg|x|【答案】C【解析】解：由于y=1x为奇函数，故排除A；由于y=f(x)=e−x，不满足f(−x)=−f(x)，也不满足f(−x)=f(x)，故它是非奇非偶函数，故排除B；由于y=−x2+1是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递减，故C满足条件；由于y=lg|x|是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，故排除D，故选：C．利用函数的单调性和奇偶性的定义，逐一判断各个选项中的函数是否满足条件，从而得出结论．本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．3.函数f(x)=x−12的大致图象是()A. B.C. D.【答案】A 【解析】解：因为−12<0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，排除选项B、C；又f(x)的定义域为(0,+∞)，故排除选项D，故选：A．筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．4.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A. log a b⋅log c b=log c aB. log a b⋅log c a=log c bC. log a bc=log a b⋅log a cD. log a(b+c)=log a b+log a c【答案】B【解析】解：对于A，log a b⋅log c b=log c a⇒log a b=log c alog c b，与换底公式矛盾，所以A不正确；对于B，log a b⋅log a a=log a b，⇒log a b=log c blog c a，符合换底公式，所以正确；对于C，log a bc=log a b⋅log a c，不满足对数运算公式log a(xy)=log a x+log a y(x、y>0)，所以不正确；对于D，log a(b+c)=log a b+log a c，不满足log a(xy)=log a x+log a y(x、y>0)，所以不正确；故选：B．通过对数的换底公式以及对数运算公式log a(xy)=log a x+log a y(x、y>0)，判断选项即可．本题考查对数的运算法则，基本知识的考查．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设x∈R，则不等式|x−3|<1的解集为______．【答案】(2,4)【解析】解：∵x∈R，不等式|x−3|<1，∴−1<x−3<1，解得2<x<4．∴不等式|x−3|<1的解集为(2,4)．故答案为：(2,4)．由含绝对值的性质得−1<x−3<1，由此能求出不等式|x−3|<1的解集．本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．6.设全集U=R.若集合Α={1,2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=______．【答案】{1,4}【解析】解：∵全集U=R，集合Α={1,2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴(∁U B)={x|x>3或x<2}，∴A∩(∁U B)={1,4}，故答案为：{1,4}．本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键.本题考查了推理判断的能力．7.已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数，则实数a=______．【答案】0【解析】解：由奇函数定义有f(−x)=−f(x)，则f(−1)=a−2=−f(1)=−(a+2)，解得a=0．由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．本题考查奇函数定义．8.现在学校开了物理、化学、生物、政治、历史、地理六门学科，小茗同学将来准备报考的高校某专业要求必须选择物理，其它两门课可以任意选择，则小茗同学有______种不同的选科方法(用数字作答)．【答案】10【解析】解：根据题意，小茗同学必选物理，在其他5科中任选2科即可，则小茗有C52=10种选法；故答案为：10．根据题意，分析可得小茗同学在其他5科中任选2科即可，由组合数公式计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及组合数公式的计算，属于基础题．9.设常数a∈R，函数f(x)=1og2(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1)，则a=______．【答案】7【解析】解：∵常数a∈R，函数f(x)=1og2(x+a)．f(x)的反函数的图象经过点(3,1)，∴函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3)，∴log2(1+a)=3，解得a=7．故答案为：7．由反函数的性质得函数f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3)，由此能求出a．本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为______．【答案】2√2【解析】解：∵xy=1，∴y=1 x∴x2+2y2=x2+2x2≥2√x2⋅2x2=2√2，当且仅当x2=2x2，即x=±√24时取等号，故答案为：2√2由已知可得y=1x，代入要求的式子，由基本不等式可得．本题考查基本不等式，属基础题．11.在(1+x)7的二项展开式中，x2项的系数为______(结果用数值表示)．【答案】21【解析】解：二项式(1+x)7展开式的通项公式为T r+1=C7r⋅x r，令r=2，得展开式中x2的系数为C72=21．故答案为：21．利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．12.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=______．【答案】−2【解析】解：∵当x>0时，f(x)=x2+1x，∴f(1)=1+1=2．∵函数f(x)为奇函数，∴f(−1)=−f(1)=−2．故答案为：−2．当x>0时，f(x)=x2+1x，可得f(1).由于函数f(x)为奇函数，可得f(−1)=−f(1)，即可得出．本题考查了函数奇偶性，属于基础题．13.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．【答案】16【解析】解：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为C42，乙同学的选法种数为C42，则两同学的选法种数为C42⋅C42种.两同学相同的选法种数为C42．由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为C42C42⋅C42=1C42=16．故答案为：16．利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题．14.函数f(x)={log12x,x≥12x,x<1的值域为______．【答案】(−∞,2)【解析】解：当x≥1时，f(x)=log12x≤log121=0；当x<1时，0<f(x)=2x<21=2．所以函数f(x)={log12x,x≥12x,x<1的值域为(−∞,2)．故答案为(−∞,2)．通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域，然后取并集得到原函数的值域．本题考查了函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后取并集.是基础题．15.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=______cm2．【答案】2600π【解析】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积S =(50+80)×20π×2×12=2600πcm 2．故答案为：2600π将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可．本题考查圆柱的侧面积，考查计算能力，是基础题．16. 已知函数f(x)=|x −2|+1，g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不等实数根，则实数k 的取值范围是______．【答案】(12,1)【解析】解：由题意，作图如图，方程f(x)=g(x)有两个不等实数根可化为函数f(x)=|x −2|+1与g(x)=kx 的图象有两个不同的交点，g(x)=kx 表示过原点的直线，斜率为k ，如图，当过点(2,1)时，k =12，有一个交点，当平行时，即k =1是，有一个交点，结合图象可得，12<k <1；故答案为：(12,1)．由题意作图，由临界值求实数k 的取值范围．本题考查了方程的根与函数的交点的关系，同时考查了函数的图象的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 设集合A ={x|x 2−x −12<0}，B ={x|x 2<a 2,a >0}，(1)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩∁R B =⌀，求实数a 的取值范围．【答案】解：A =(−3,4)，B =(−a,a)； (1)若B ⊆A ，则{a ≤4−a≥−3，得0<a ≤3； ∴实数a 的取值范围为(0,3]； (2)∁R B =(−∞,−a]∪[a,+∞)； ∵A ∩∁R B =⌀； ∴{a ≥4−a≤−3；解得a ≥4；∴实数a 的取值范围为[4,+∞)．【解析】(1)可解出A(−3,4)，B =(−a,a)，根据B ⊆A 可得{a ≤4−a≥−3，从而可解出a 的取值范围； (2)先求出∁R B =(−∞,−a]∪[a,+∞)，根据A ∩∁R B =⌀可得到{a ≥4−a≤−3，解出a 的取值范围即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．18. A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．【答案】(1)证明：用反证法.设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解：取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，由于E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则EG 平行且等于12BD ，FG 平行且等于12AC ，所以相交直线EF 与EG 所成的锐角或直角即为异面直线EF 与BD 所成的角．由AC ⊥BD ，AC =BD ，可得EG ⊥GF ，EG =GF.故等腰Rt △EGF 中，有∠FEG =45∘，即异面直线EF 与BD 所成的角为45∘．【解析】(1)假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，得到A 、B 、C 、D 在同一平面内，矛盾． (2)取CD 的中点G ，利用三角形中位线的性质找出异面直线成的角∠FEG ，把此角放在一个三角形中，解此三角形，求出此角的大小．本题考查异面直线的证明方法，及求异面直线成的角，属于中档题．19. 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，(2)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90∘，M 为线段AB 的中点，如图，求直线PM 与圆锥底面所成的角的大小．【答案】解：(1)PB =4，OB =2，∴该圆锥母线的高PO =√PB 2−OB 2=2√3……3分又圆锥的底面积S =4π，………………………4分 ∴圆锥的体积V =13×4π×2√3=8√33π…………………………6分 (2)连结OM ，则∠PMO 即为所求.……8分在等腰直角三角形AOB 中，OM =√2，……10分在Rt △POM 中，tan∠PMO =4√2=2√2……12分∴∠PMO =arctan2√2，∴直线PM 与圆锥底面所成的角的大小为arctan2√2.…………14分【解析】(1)求出圆锥母线的高，求出圆锥的底面积，然后求解圆锥的体积． (2)连结OM ，则∠PMO 即为所求通过求解三角形，得到结果．本题考查圆锥的体积以及直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20. 某企业生产某种商品x 吨，此时所需生产费用为(x 2−100x +10000)万元，当出售这种商品时，每吨价格为p 万元，这里p =ax +b(a,b 为常数，x >0)(1)为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？ (2)如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求a ，b 的值．【答案】解：(1)商品的生产费用平均为x 2−100x+10000x=x +10000x−100≥2√x ⋅10000x−100=100当且仅当x =100时，取等号，∴当产量x =100吨时，生产费用平均最低； (2)设出售x 吨时，利润是y 元，则根据题意有：y =(ax +b)x −(x 2−100x +10000)=(a −1)x 2+(b +100)x −10000 =(a −1)[x +b+1002(a−1)]2−(a −1)[b+1002(a−1)]2−10000，∵x =120时利润最大，∴a −1<0，即a <1，−b+1002(a−1)=120，① 又160=120a +b ，②联立①②，解得：a =−16，b =180．【解析】(1)表示出商品的生产平均费用，利用基本不等式可求最值；(2)设出售x 吨时，利润是y 元，根据售价−进价=利润列出关系式，利用二次函数与一次函数的性质列出关于a 与b 的方程，求出方程的解即可得到a 与b 的值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．21. 已知函数f(x)=log a (8−2x )(a >0，且a ≠1)．(1)求定义域；(2)若函数f(x)的反函数是其本身，求a 的值； (3)求函数y =f(x)+f(−x)的值域．【答案】解：(1)由8−2x >0，解得x <3；所以其定义域为(−∞,3)．(2)由f(x)=log a (8−2x )(a >0，且a ≠1) 解得x =log 2(8−a y )，互换x 、y ，得y =log 2(8−a x )，由于函数f(x)的反函数是其本身，所以a =2．(3)y =f(x)+f(−x)=log a (8−2x )+log a (8−2−x )=log a (65−8(2x +2−x ))，x ∈(−3,3)．∵2x +2−x ≥2√2x ⋅2−x =2，当且仅当x =0时等号成立． ∴65−8(2x +2−x )的取值范围是(0,49]．∴当a >1时，y =log a (65−8(2x +2−x ))≤log a (65−16)=log a 49 ∴当a >1时，函数y =f(x)+f(−x)的值域是(−∞,log a 49]．当0<a <1时，y =log a (65−8(2x +2−x ))≥log a (65−16)=log a 49 ∴当0<a <1时，函数y =f(x)+f(−x)的值域是[log a 49,+∞)．【解析】(1)直接利用函数的定义，解不等式求出结果． (2)利用函数的关系式求出a 的值．(3)利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：对数函数的运算问题的应用，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。

上海市金山中学2018届高三数学上学期期中试题201809100299

（）

f 3 x 1 f x 4 的解集为
A .
1 , 4
B. ,

1 4
C. 0,
D. , 0
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知在等比数列 an 中， a1 1 ，且 a2 是 a1 和 a3 1 的等差中项．（1）求数列 an 的通项公式；（2）若数列 bn 满足 bn 2n 1 an (n N ) ，求 bn 的前 n 项和 S n ．
1 2 x 40 x (万元)；当年产量不小于 80 2
8100 2180 (万元)，若每台设备售价为 100 万元，通过市场分析,该企 x
业生产的电子设备能全部售完. （1）求年利润 y (万元)关于年产量 x （台）的函数关系式；
-3-
（2）年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利题 5 分，共 20 分） 13.关于 x 、 y 的二元一次方程组
x 5y 0 的系数行列式 D 为 2 x 3 y 4
C.
（
）
A.
0 5 4 3
B.
1 0 2 4
1 5 2 3
D.
6 0 5 4
)
14.设 a, b 都是不等于 1 的正数，则“ a b 1 ”是“ log a 3 log b 3 ”的什么条件 ( A .充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要
．
10. 设 f
- 1
( x) 为 f ( x) =

上海市金山中学2018-2019学年上学期期中高考数学模拟题

上海市金山中学2018-2019学年上学期期中高考数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.2．已知函数(5)2()e22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（） A ．2e B ．e C ．1 D ．1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力． 3．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（）1111] A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π4．已知全集U R =，{|239}xA x =<≤，1{|2}2B y y =<≤，则有（）A ．A ØB B ．A B B =C ．()R A B ≠∅ðD ．()R A B R =ð5．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 6．已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（）A ．3B ．2C ．1D ．08．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )。

2018-2019学年上海中学高三上学期期中数学试卷

一、填空题1．设全集I ＝R ，A ＝{x|x 2−3x −10≥0}，B ＝{x|x 2−4≤0}，则（∁I A ）∪（∁I B ）＝__________2．不等式312+-x x ＞1的解集为____________． 3．若指数函数y ＝a x 的定义域和值域都是[2，4]，则a ＝__________；4．函数f （x ）＝x 2−4x （x ≤0）的反函数为_____________；5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列{nS n }是首项为3，公差为2的等差数列，若 b n ＝a n 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，则使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值为__________．6．如果函数f （x ）＝122+⋅-x x a a 是奇函数，则实数a ＝__________． 7．设函数f （x ）＝ln （12+x −x ），若a ，b 满足不等式f （a 2−2a ）＋f （2b −b 2）≤0，则当1≤a ≤4时，2a −b 的最大值为__________；8．若A ＝{x|2≤2x ≤4}，B ＝{x|11+-x x ＜a}，若A ∩B ＝∅，则数a 的取值围为___________； 9．若不等式29x -≤k （x ＋2）−2的解集为区间[a ，b]，且b −a ＝2，则k ＝_________．10．对函数设f 0（x ）＝|x|−20，f n （x ）＝|f 1-n （x ）|−1（n ∈N*），则函数y ＝f n （x ）的零点个数a n 的通项公式为_____________；11．{a n }为等差数列，则使等式|a 1|＋|a 2|＋..＋|a n |＝|a 1＋1|＋|a 2＋1|＋…＋|a n ＋1|＝|a 1＋2|＋|a 2＋2|＋…＋|a n ＋2|＝|a 1＋3|＋|a 2＋3|＋…＋|a n ＋3|＝2018能成立的数列{a n }的项数n 的最大值为______________；12．已知a c ＞2b ＞0，则a 2＋)2()1(42b c a b c -+＋22223+++c c c 的最小值是___________；二、选择题13．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A 、|a −b|≤|a −c|＋|b −c|B 、a 2＋21a ≥a ＋a 1 C 、|a −b|＋b a -1≥2D 、|3+a −1+a ≤2+a −a14．设A 、B 、C 是三个集含，则“A ∩B ＝A ∩C ”是“B ＝C ”的（）条件A 、充分非必要B 、必要非充分C 、充要D 、既非充分又非必要15．函数f （x ）的反函数图象向左平移1个单位，得到曲线C ，函数g （x ）的图象与曲线C 关于y ＝x 成轴对称，那么g （x ）＝（）A 、f （x ＋1）B 、f （x −1）C 、f （x ）＋1D 、f （x ）−116．已知函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数，且在R 上时单调递增函数，函数g （x ）＝f （x −3）＋x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g （a 1）＋g （a 2）＋…＋g （a 9）＝27，则a 1＋a 2＋…＋a 9＝（）A 、18B 、9C 、27D 、81三、解答题17．若数列{a n }是递增的等差数列，其中a 3＝5，且a 1，a 2，a 5成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）求{|a n −50|}的前n 项和S n 的通项公式．18．对于两个实数a ，b ，min{a ，b}表示a ，b 中的较小数，已知函数f （x ）＝min{3＋log 41x ，log 2x}．（1）请画出函数f （x ）的图象；（2）请写出函数f （x ）的基本性质．19．某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为y ＝px 2（p ＞0，1≤x ≤16，x ∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．20．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋41 （a ，b ∈R ），且f （−1）＝0，对任意实数x ，f （x ）≥0成立．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若c ≥0，解关于x 的不等式f （x ）＞（c ＋41）x 2−23x ＋（c ＋41）；（3）求最大的m （m ＞1）使得存在t ∈R ，只需x ∈[1，m]，就有f （x ＋t ）≤x ．21．已知数列{a n }的各项均为正数，且都小于1，a 1＝21，a 21+n −2a 1+n ＝a 2n −a n （n ∈N*），设数列的前n 项和为S n ．（1）用a 1+n 表示S n ；（2）求证：a 1+n ＜a n ，并且43−n 21＜S n ＜43；（3）记b n ＝11+n a −n a 2，求证：b n ≤23．。

2018-2019学年第一学期高三数学附加期中调研测试参考答案

2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷数学 (附加) 参考答案与评分标准 2018．1121．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（本题满分10分）证明：（1）∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ，∵四边形AFBC 内接于圆,∴∠DAC =∠FBC ，∵∠EAD =∠F AB =∠FCB ， ∴∠FBC =∠FCB ，∴FB = FC . ……………5分(2) ∵AB 是圆的直径，∴∠90ACD ︒=，∵120EAC ︒∠=，1602DAC EAC ︒∠=∠=，30D ︒∠=，在Rt △ACB 中，∵BC = 6，∠BAC =60°，∴AC又在Rt △ACD 中，∠D =30°，AC ∴AD 10分B ．（本题满分10分）解：由1-⋅=A A E 可知，1221073701a b a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A 所以141ab -=，7210b -=，1431a -+= …………………3分所以5,3a b ==； …………………5分所以13275--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，232()8175f λλλλλ-==-+-， …………………8分由()0f λ=，14λ=24λ= …………………10分C ．（本题满分10分）解：（1）由22sin cos 1αα+=，所以圆C 的普通方程22(2)4x y -+=，………………3分又点O 为极点，Ox 为极轴，所以222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，所以圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=； ………6分（2）设OA 的中点为00(,)ρθ，则00(2,)A ρθ，所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，所以OA 的中点所在曲线的极坐标方程为2cos ρθ=． …………………10分D ．（本题满分10分）解：因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝(3，1)·(x ＋2，14－x )…………………3分≤3＋12·(x ＋2)＋(14－x )＝8, …………………5分当且仅当x ＋214－x ＝31,即x ＝10时取等号． …………………7分所以f (x )＋g (x )的最大值是8． …………………8分所以a <8，即实数a 的取值范围是(－∞,8)．…………………10分22．（本题满分10分）解： (1)在△PAB 中，因为=2PA，PB =1AB ，所以222=+PA AB PB ，所以PB ⊥AB ．所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． …………………1分所以(1,0,0)A ，(0,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,3,0)D，P ，(1,1,0)CD uu u r =，(0,2,PC u u u r =．易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1)n ． ……2分设平面PCD 的一个法向量为=(,,)x y z m ，则0,0.CD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u r m m即0,2.x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 令=2z，则=m ． ……………………4分设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,α⋅=<>==⋅n mn m n m 即二面角P CD A --． …………………6分 (2)因为点E 在棱PA ，所以AE AP uu u r uu u r λ=，[0,1]λ∈．因为=1AP u u u r （-，所以=)AE λu u u r （-，(1)BE BA AE u u r u u r u u u r λ=+=-．又因为//BE 平面PCD ，m 为平面PCD 的一个法向量，所以0BE uur ⋅=m1)0λ-+=，所以1=3λ． …………………9分所以2(3BE uur =，所以==BE BE uur ． …………………10分23．（本题满分10分）解：(1)法一：由已知102cos sin cos ()()()x x x f x f x x x x''===--， …………………1分故21223sin cos cos 2sin 2cos ()()()()x x x x x f x f x x x x x x '''==--=-++， …………………2分所以12228(),()22f f ππ=-=ππ，即12()2f π＋2()022f ππ=． …………………3分法二：由已知得：0()cos xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()sin f x xf x x '+=-， …………………1分即01()()sin cos()2f x xf x x x π+=-=+，类似可得：1222()()cos cos()2f x xf x x x π+=-=+，所以12()2f π+23()0222f COS πππ==． …………………3分 (2)由已知得：0()cos xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()sin f x xf x x '+=-，即01()()sin cos()2f x xf x x x π+=-=+，类似可得：1222()()cos cos()2f x xf x x x π+=-=+， 2333()()sin cos()2f x xf x x x π+==+，3444()()cos cos()2f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()cos()2n n n nf x xf x x -π+=+对所有的n Ν*∈都成立． …………………6分 ①当1n =时，由上可知等式成立；② 假设当n k =时等式成立，即1()()cos()2k k k kf x xf x x -π+=+．因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x xf x --+'''+=++=++，(1)[cos()]sin()()cos[]2222k k k k x x x x πππ+π''+=-++=+，所以1(1)(1)()()cos[]2k k k k f x xf x x ++π++=+．因此当1n k =+时，等式成立． …………………9分综合①，②可知等式1()()cos()2n n n nf x xf x x -π+=+对所有的n *∈Ν都成立．令4x π=，可得1()()cos()()44442n n n nf f n *-πππππ+=+∈Ν．所以1()())444n n nf f n Ν*-πππ+=∈． …………………10分。

2018届上海市进才中学高三上学期期中数学试题

绝密★启用前2018届上海市进才中学高三上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上递增的是（） A ．2x y = B ．ln y x = C ．1y x x =-D ．1y x x=+2．在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C >”是“ABC ∆为锐角三角形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充分必要条件3．函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是（） A ．[]()arcsin 0,1y x x =∈ B ．[]()arcsin 1,1y x x =∈-C ．[]()arcsin 1,1y x x π=-∈-D ．[]()arcsin 0,1y x x π=-∈4．对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M =，则满足条件的非空集合M 的个数是（） A ．11 B ．12C ．15D ．16第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．已知集合{}13A x x =-<<，集合{}230B x x x =-≤，则AB =__________.6．2249lim 37n n n n +=-+_________.7．方程()()2lg 3lg 35x x -=-的解集是_________.8．不等式2101x x-<-的解集是_________. 9．已知角α的终边过点()3,4-，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 10．若将函数()sin(2)3f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()sin 2g x x =的图象，则ϕ的最小值为______．11．若函数()()2,0,0x x g x f x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则()f x =_________.12．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，数列{a n }的通项公式为________．13．已知()32,,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是______.14．已知 >0,在函数y=2sin x 与y=2cos x 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 ，则 =_____. 15．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.16．已知数列{}n a 中，若1a 0=，2*k k 1i a k (i N ,2i 2,+=∈≤<1,2,3...)k =则满足i 2i a a 100+≥的i 的最小值为______．三、解答题17．已知函数()24coscos 2sin 22x f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，A 为钝角，且22A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =1c =，求ABC ∆的面积. 18．无穷数列{}n a 满足()*1212242n n n a a na n N -++++=-∈. （1）求1a 、2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式及其各项的和.19．某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道1M 、2M （宽度忽略不计），已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，且90CAD BAD ︒∠+∠=. （1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、圆2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若景观步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元、0.9千元，如何设计圆1M 、圆2M 的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到0.1千元）？20．设数列{}n a 满足12a =，21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-.（1）求证：数列{}n b 为等比数列；（2）对于大于2的正整数q 、r （其中q r <），若25b 、q b 、r b 三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(),q r ；（3）若数列{}n c 满足()()()32*1214n nn n c b n N λ-⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，是否存在实数λ，使得数列{}n c 是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由. 21．对于在某个区间[),a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[),x a ∈+∞，有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 的一个弱渐近函数.（1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的一个弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：函数()3g x x =是函数()2f x =在区间[)4,+∞上的弱渐近函数；（3）试问：函数()2121x f x x =+与函数()()221xf x e x -=--（其中e 为自然对数的底数）在区间[)1,+∞上是否存在相同的弱渐近函数？如果存在，请求出对应的弱渐近函数应满足的条件；如不存在，请说明理由.参考答案1．C 【解析】【分析】分析各选项中函数的奇偶性和这些函数在区间()0,∞+上的单调性，从而可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，设()2xf x =，定义域为R ，关于原点对称，()()22xxf x f x --===，该函数为偶函数，且当0x >时，()2xf x =，该函数在区间()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数ln y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，且该函数在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，设()1g x x x=-，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11g x x x g x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，由于函数y x =在区间()0,∞+上为增函数，函数1y x=在区间()0,∞+上为减函数，所以，函数()1g x x x=-在区间()0,∞+上为增函数；对于D 选项，设()1h x x x =+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11h x x x h x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，由双勾函数的单调性可知，函数()1h x x x=+在区间()0,1上为减函数，在区间()1,+∞上为增函数，则该函数在区间()0,∞+上不单调. 故选：C. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉一些基本初等函数的奇偶性与单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 2．D 【解析】由题意可知，ABC ∆中至少有两个角是锐角，可设A 、B 为锐角，再由充分条件和必要条件的定义可得出结论. 【详解】由于直角三角形和钝角三角形中有两个锐角，锐角三角形中三个内角全为锐角，在ABC ∆中，可设A 、B 为锐角，则cos 0A >，cos 0B >.若cos cos cos 0A B C >，则cos 0C >，C ∴为锐角，则ABC ∆为锐角三角形，即“cos cos cos 0A B C >”⇒“ABC ∆为锐角三角形”；若ABC ∆为锐角三角形，则C 为锐角，所以，cos 0C >，可得出cos cos cos 0A B C >，即“ABC ∆为锐角三角形”⇒“cos cos cos 0A B C >”.因此，“cos cos cos 0A B C >”是“ABC ∆为锐角三角形”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查了角的属性与其余弦值符号之间的关系，考查推理能力，属于中等题. 3．D 【解析】【分析】求出函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域，作为其反函数的定义域，再由原函数的定义域可得出其反函数. 【详解】当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]sin 0,1y x =∈，则函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数定义域为[]0,1，当[]0,1x ∈时，arcsin 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则arcsin ,2x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，且[]()sin arcsin sin arcsin x x x π-==，因此，函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是[]()arcsin 0,1y x x π=-∈.【点睛】本题考查反三角函数的求解，解题时要注意原函数的定义域的限制，考查计算能力，属于中等题. 4．A 【解析】【分析】根据题意，0M ∉且1M ∉，且2、4不同时在集合M 中，对集合M 分两种情况讨论：①2M ∉且4M ∉；②2和4有且只有一个在集合M 中，分别列举出符合条件的集合M ，即可得出答案. 【详解】2111==，200==，由题意可知0M ∉且1M ∉，由于242=，所以，2和4不同时在集合M 中.①当2M ∉且4M ∉时，则符合条件的集合M 有：{}3、{}5、{}3,5，共3种； ②若2和4有且只有一个在集合M 中，则符合条件的集合M 有：{}2、{}2,3、{}2,5、{}2,3,5、{}4、{}3,4、{}4,5、{}3,4,5，共8种.综上所述，满足条件的非空集合M 的个数是3811+=. 故选：A. 【点睛】本题考查满足条件的集合个数的求解，列举出满足条件的集合即可，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 5．{}03x x ≤< 【解析】【分析】解出集合B ，然后利用交集的定义可求出集合A B .【详解】{}{}23003B x x x x x =-≤=≤≤，因此，{}03A B x x ⋂=≤<.故答案为：{}03x x ≤<. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 6．43【解析】【分析】在分式的分子和分母中同时除以2n ，利用常见数列的极限即可计算出所求极限值. 【详解】由题意可得22229449404lim lim 173730033n n n n n n n n→∞→∞+++===-+-+-+. 故答案为：43.【点睛】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 7．{}2 【解析】【分析】根据对数相等得出2335350x x x ⎧-=-⎨->⎩，解出即可.【详解】()()2lg 3lg 35x x -=-，根据对数相等得出2335350x x x ⎧-=-⎨->⎩，即232053x x x ⎧-+=⎪⎨>⎪⎩，解得2x =，因此，方程()()2lg 3lg 35x x -=-的解集是{}2.故答案为：{}2. 【点睛】根据考查简单的对数方程的求解，同时也要注意真数大于零的限制，考查运算求解能力，属于基础题. 8．()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意得出21010x x -<⎧⎨->⎩或21010x x ->⎧⎨-<⎩，解出这两个不等式组即可得出原不等式的解集.【详解】2101x x -<-，得21010x x -<⎧⎨->⎩或21010x x ->⎧⎨-<⎩，即1211x x ⎧<⎪⎨⎪-<<⎩或1211x x x ⎧>⎪⎨⎪-⎩或，解得112x -<<或1x >，因此，不等式2101x x -<-的解集是()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查分式不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 9【解析】【分析】利用三角函数的定义求出cos α和sin α的值，然后利用两角差的余弦公式可计算出cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α==-，4sin 5α==，因此，34cos 422252510πααα⎛⎫⎛⎫-=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：10. 【点睛】本题考查利用三角函数的定义和两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 10．6π；【解析】因为函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到sin(22)3y x πϕ=+- ,所以22()()036k k Z k k Z ππϕπϕπϕ-=∈∴=+∈>∴ ϕ的最小值为6π11．2x -- 【解析】【分析】设0x >，可得出0x -<，求出()g x -，由奇函数的定义可得出()()f x g x =--，即可得出答案. 【详解】设0x >，可得出0x -<，则()2xg x --=，因此，函数()y g x =为奇函数，则()()2xf xg x -=--=-.故答案为：2x --. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，考查计算能力，属于中等题.12．22n n na +=* ()n N ∈ ．【解析】∵a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2-a 1=2，a 3-a 2=3，……，a n -a n-1=n （n≥2），由累加法可得a n -a 1=2+3+…+n=2(1)(2)222n n n n -++-=∵a 1＝1， ∴22n n na +=（n≥2）.∵当n=1时，也满足22n n na +=，22n n n a +∴=（n ∈N *）. 13．()(),01,-∞⋃+∞ 【解析】【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个根，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围【详解】解：∵()()g x f x b =-有两个零点，∴()f x b =有两个根，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()y f x =在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()y f x =单调递增，故不符合题意④当0a =时，函数()y f x =单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想． 14．【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，（）（），.考点：三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解. 15【解析】【分析】由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1a 的值. 【详解】设数列{}n a 的公比为0q >，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，由()()()()()1239101f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-得121011210111a a a a a a a ⎛⎫+++-+++=- ⎪⎝⎭，即()10101111111111a q a q a q q⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=---①，由61a =，得511a q =②，联立①②解得1a =. 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于中档题. 16．128 【解析】【分析】由题意可得222(1)100i i a a k k +=++≥，得到k 的最小值，从而解得．【详解】解：2,i a k = ()*1,22,1,2,3...k k i k N i +=∈≤<12222k k i ++∴≤<，()221i a k ∴=+222(1)100i i a a k k ∴+=++≥，故7k ≥；故i 的最小值为72128=，故答案为128．【点睛】本题考查了数列和不等式，注意i 与2i 的关系对k 的影响即可，属于中档题.17．（1）π；（2【解析】【分析】（1）利用二倍角的降幂公式可将函数()y f x =的解析式化简为()sin 2f x x =，再利用正弦型函数的周期公式可得出答案；（2）由22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭结合A 为钝角可求出A 的值，利用余弦定理求出b 的值，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）()1cos 4sin 2sin 2sin 2sin cos 2sin sin 22xf x x x x x x x x +=⋅⋅-=+-= 因此，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=；（2）由22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得sin A =，又A 为钝角，所以23A π=，. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，故213122b b ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，整理得220b b +-=，0b >，解得1b =，因此，11sin 2224ABCSbc A ==⋅=. 【点睛】本题考查三角函数周期的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查运算求解能力，属于中等题.18．（1）11a =，212a =，314a =；（2）112n n a -=；各项和为2.【解析】【分析】（1）分别令1n =、2、3，代入题中等式可求出1a 、2a 、3a 的值；（2）令2n ≥，由1212242n n n a a na -++++=-可得()121212142n n n a a n a --++++-=-，将两个等式相减可求出n a ，再对1a 是否满足n a 在2n ≥的表达式，即可求出数列{}n a 的通项公式，可知该数列为等比数列，并利用无穷等比数列各项和公式可得出答案. 【详解】（1）依题意：11112412a -+=-=； 22224112a +⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即得212a =； 3312132223344224a --++⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得3334a =，所以314a =；（2）当2n ≥时，()121122142n n n n a a n a na --++++-+=-，① 可得()121212142n n n a a n a --++++-=-，② ①-②得，()()122111212211244222222n n n n n n n n n n n n n nna ------+-+++++⎛⎫=---=-== ⎪⎝⎭，所以112n n a -=，显然当1n =时，11a =也适合上式，所以当*n N ∈时，均有112n n a -=， 11112121222n n n n n n a a -+-===，所以，数列{}n a 是以1为首项，以12为公比的等比数列，故无穷数列{}n a 各项的和1121112a S q ===--. 【点睛】本题考查利用数列的递推关系式求数列中项的值，同时也考查了利用n S 求通项以及无穷等比数列和的计算，考查运算求解能力，属于中等题.19．（1）圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米；（2）1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈千元.【解析】【分析】（1）直接利用锐角三角函数的定义可计算出两圆的半径；（2）设1M A Dα?，可得24M ADπα?-，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后得出总造价y （千元）关于α的函数表达式，并利用基本不等式可求出y 的最小值，利用等号成立求出对应的tan α的值，即可计算出两圆的半径长. 【详解】（1）依题意，圆1M 的半径1tan 306034.63M B AB =⋅=⋅=≈（米）， ()tan 60tan 4531tan15tan 604521tan 60tan 4513--=-===++圆2M 的半径(260tan1560216.1M C =⋅=≈（米），答：圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米；（2）设1M ADα?，则24M ADπα?-，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故景观步道的总造价为260tan 0.8260tan 0.94y ππαπα⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭.1tan 2128tan 9128tan 911tan 1tan απαπααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+⋅=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()181281tan 171217841tan παππα⎡⎤⎡⎤=++-≥⋅=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦（当且仅当()1tan 0,12α=∈时取等号），当()1tan 0,12α=∈时，1tan 1tan 41tan 3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，答：设计圆1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈（千元）.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是建立函数模型的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．（1）证明见解析；（2）()(),3,5q r =；（3）存在，且实数λ的取值范围是348,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义结合数列{}n a 的递推公式证明出1n nb b +为非零常数，即可证明出数列{}n b 为等比数列；（2）由（1）中的结论求出等比数列{}n b 的通项公式，然后分225q r b b b ⨯=+、225q r b b b =+、225r q b b b =+三种情况讨论，结合等比数列和指数运算可求出q 、r 的值，由此可得出结果；（3）求得14644n n n c λ⎛⎫=+⋅⋅- ⎪⎝⎭，作差1134804nn n n c c λ+⎛⎫-=⋅-⋅⋅- ⎪⎝⎭，分n 为奇数和偶数两种情况求解不等式10n n c c +->恒成立问题，利用参变量分离法求出实数λ的取值范围. 【详解】（1）由21241n n a a n n +=+-+，()()()22112122n n a n n a n n +∴++-+=+-，即12n nb b +=，又11110b a =-=≠，∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）知()1*2n n b n N -=∈，25b 、qb、r b 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若225q r b b b ⨯=+，则211110222q r ---⨯=+，2121225q r ----∴+=，又q r <，21212132123524q r q r ----⎧=+==⎧∴⇒⎨⎨=+==⎩⎩，()(),3,5q r ∴=； ②若225q r b b b =+，则121122522q r ---⨯=⨯+，122225q r +--∴-=，左边为偶数，右边为奇数，∴不成立； ③若225r q b b b =+，同理也不成立. 综合①②③得，()(),3,5q r =；（3）依题意()3114146444n nnnnn c λλ-⎛⎫⎛⎫=+-=+⋅⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则1111114644643480444n nnn n n n n c c λλλ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⨯⋅---⋅⋅-=⋅-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.若λ存在，则10n n c c +->对*n N ∈恒成立. ①当n 为奇数时，23480n λ>-⋅，其中当1n =时，2max334805n ⎡⎤-⋅=-⎢⎥⎣⎦，故35λ>-； ②当n 为偶数时，23480n λ<⋅，其中当2n =时，2min 3484805n ⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，故485λ<. 综上所述，存在实数348,55λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得数列{}n c 是单调递增数列. 【点睛】本题考查等比数列的证明、利用等差中项的性质求参数，同时也考查了利用数列的单调性求参数，涉及不等式恒成立问题的处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 21．（1）[]4,4-；（2）见解析；（3）存在，()2g x x b =+，其中22,1b e⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由弱渐近函数的定义得出min 4m x ≤=，由此可求出实数m 的取值范围；（2）当4x ≥时，利用分子有理化结合放缩法证明出()()01g x f x <-≤，结合弱渐近函数的定义可证明结论成立；（3）假设存在满足题意的弱渐近函数()g x kx b =+，根据弱渐近函数的定义得出()()11f x g x -≤和()()21f x g x -≤，可求得2k =以及实数b 所满足的不等式组，解出即可得出满足题意的若渐近函数()y g x =的解析式. 【详解】（1）依题意，当[)4,x ∈+∞时，()()331mf xg x x x x-=+-≤恒成立，即1mm x x≤⇒≤恒成立，故4m ≤，所以，实数m 的取值范围是[]4,4-；（2）当4x ≥时，()()3232262222g x f x x x x x x x-=-=-=->-10x=>，()()323234241222g x f x x x x x x x-==-<⋅-=≤，. 故()()()()011g x f x g x f x <-≤⇒-≤，得证；（3）假设存在满足题意的弱渐近函数()g x kx b =+，()()()()212222122111x f g x kx b x kx b k x b x x x x -=--=-+--=-+--+++，若2k ≠，由于当1x ≥时，2011x <≤+，故(]222,11b b b x --∈----+，但是，当x →+∞时，()2k x -→±∞，故()()f x g x -→±∞，不符合“()()1f x g x -≤恒成立”的要求，所以2k =，此时()()(][]1222,11,11f g x b b x b x -=--∈----⊆-+，则2111b b --≥-⎧⎨--≤⎩，解得：21b -≤≤；()()()()221222x x f g x x e x b b e x ---=---+=---，当1x ≥时，10xee -<≤，故2222,2[1,1]xb e b b e -⎡⎫---∈-----⊆-⎪⎢⎣⎭，得22121b eb ⎧---≥-⎪⎨⎪--≤⎩，解得：231b e -≤≤--. 综上所述，函数()2121x f x x =+与函数()()221xf x e x -=--在区间[)1,+∞上存在相同的弱渐近函数，对应的弱渐近函数是()2g x x b =+，其中22,1b e ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数新定义的理解和应用，涉及函数不等式恒成立问题，解题的关键就是正确理解“若渐近函数”的定义，考查推理能力以及解决问题的能力，属于中等题.。

上海市进才中学高三数学测试题(1)

上海市进才中学高三数学测试题(1)一、填空题（每小题4分，本题满分48分）1．复数)12(cos 2sin -+=θθi z 是纯虚数，则θ= . 2. 设4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，且5)2003(=f ，则)2004(f = .3．已知正ABC ∆的边长为32，则到三个顶点的距离都为1的平面有_________个.4．已知α、β是方程02ln ln 22=--x x 的两个根，则=+αββαlog log _________.5．如果)(x f 是定义在)3,3(-上的偶函数，且当03≤<-x 时，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0sin )(<x x f 的解集为 .6．规定记号“∆”表示一种运算，即+∈++=∆R b a b a b a b a 、，. 若31=∆k ，则函数()x k x f ∆=的值域是___________.7．已知32cos 2,cos sin ,43sin ππx x -依次成等比数列，则x 在区间[)π2,0内的解集为 .8. 已知数列}{n a 中，1562+=n n a n ，则数列}{n a 的最大项是第项. 9．有一组数据：)(,,,,321321n n x x x x x x x x ≤≤≤≤ ，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的n x ，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的1x ，余下数据的算术平均值为11. 则1x 关于n 的表达式为__________；n x 关于n 的表达式为_______. 10．椭圆192522=+y x 上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是________________. 11. 设{}4,3,2,1=I ，A 与B 是I 的子集，若{}3,2=B A ，则称),(B A 为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是 .（规定),(B A 与),(A B 是两个不同的“理想配集”）12．已知集合A 、B 、C ，{}直线=A ，{}平面=B ，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，下列命题中: ①c a b c b a //⇒⎩⎨⎧⊥⊥；②c a b c b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//；③c a b c b a //////⇒⎩⎨⎧；④c a b c b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥// 正确命题的序号为__________（注：把你认为正确的序号都填上）二、选择题（每小题4分，本题满分12分）13．已知非零向量b a ,，则222||||||b a b a -=+是a 与b 垂直的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．若q p n m <<,，且⎩⎨⎧<-->--0))((0))((n q m q n p m p ，则m 、n 、p 、q 的大小顺序是 ( ) （A ）m <p <q <n （B ）p <m <q <n （C ）m <p <n <q （D ）p <m <n <q15．关于x 的方程02cos cos cos 22=--C B A x x 有一个根为1，则△ABC 中一定有( ) （A ）B A = （B ）C A = （C ）C B = （D ）2π=+B A16.函数x x y 22-=在区间],[b a 上的值域是]3,1[-,则点),(b a 的轨迹是图中的线段（）（A ）AB 和AD （B ）AB 和CD（C ）AD 和BC （D ）AC 和BDx y o -3 -1三、解答题（本题满分86分）17．若复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且2,)31()3(121=+=-z i z i z ，求1z .（本题12分）18．三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，若ac b c a +=+222且2:)13(:+=c a ，求角C 的大小. （本题14分）19．长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点.（1）求证：直线⊥AE 平面E D A 11；（本题15分）（2）求三棱锥E D A A 11-的体积；（3）求二面角11A AD E --的平面角的大小.20．学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费用为S 元，用电炉烧开水每吨开水费用为P 元52.05++=n m S ， n n P -+=76202.10其中m 为每吨煤的价格，n 为每百度电的价格. 如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则用煤烧水，否则就用电炉烧水. （本题14分）（1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；（2）如果每百度电价不低于60元，则用煤烧时每吨煤的最高价是多少？21. 已知椭圆)0(122222>=+b b y b x （本题15分）（1）若圆320)1()2(22=-+-y x 与椭圆相交于A 、B 两点且线段AB 恰为圆的直径，求椭圆方程；（2）设L 为过椭圆右焦点F 的直线，交椭圆于M 、N 两点，且L 的倾斜角为600. 求NFMF 的值.22．（理科）已知二次函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=的定义域为]1,1[-,且|)(|x f 的最大值为M . （本题16分）（Ⅰ）试证明M b ≤+|1|；（Ⅱ）试证明21≥M ；（Ⅲ）当21=M 时，试求出)(x f 的解析式. A B C D E A 1 B 1 C 1D 1高三数学测试题(1) 参考答案一、填空题 1. Z k k ∈+,2ππ； 2. 3； 3．8； 4．4-； 5．)1,0()1,3( --； 6．),1(+∞； 7．⎭⎬⎫⎩⎨⎧1217,1213,125,12ππππ 8. 12、13； 9．9;11+-n n ； 10．（±5，0）； 11. 9； 12．② 二、选择题13．C ； 14．B ； 15．A ； 16. B三、解答题17．⎩⎨⎧-==⇒∴-=⇒⎩⎨⎧=+++-=-+∴112)31)(()3)((22b a b a b a i bi a i bi a 或⎩⎨⎧=-=11b a ，则i z -=1或i z +-=1 18．由212222222=-++=+ac b c a ac b c a 可得=cos B ，故B =600，A +C =1200. 于是sin A =sin(1200-C )=C C sin 21cos 23+，又由正弦定理有：213sin sin +==c a C A ，从而可推出sin C =cos C ，得C =450.19．（1）依题意：E A AE 1⊥，11D A AE ⊥，则⊥AE 平面E D A 11.（2）.312212131311111=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∆-AE S V E D A E D A A （3）取1AA 的中点O ，连OE ，则1AA EO ⊥、11D A EO ⊥，所以⊥EO 平面11A ADD .过O 在平面11A ADD 中作1AD OF ⊥，交1AD 于F ，连EF ，则EF AD ⊥1,所以EFO ∠为二面角11A AD E --的平面角.在AFO ∆中，.sin 55111=⋅=∠⋅=AD D A OA OAF OA OF .5=∠∴EFO tg20．（1）由题意得：n n n m -+=++76202.1052.05，即17642--+=n n m )760(≤<n .（2）由S ≤P 得153)176(2151764)76(22+---=+-+--≤n n n m ∵60 ≤n ≤76，∴0≤n -76≤4 ∴当n -76=1时，153max =m ，此时n =75. 答：每吨煤的最高价为153元.21.（1）181622=+y x （2）∴7249+=NF MF 或7249-=NF MF .22.（Ⅰ）证明：∵|1||)1(|b a f M +-=-≥, |1||)1(|b a f M ++=≥|1||1|2b a b a M ++++-≥|1|2|)1()1(|b b a b a +=++++-≥∴|1|b M +≥（Ⅱ）证明：依题意，|)1(|-≥f M ，|)0(|f M ≥, |)1(|f M ≥又|1||)1(|b a f +-=-,|1||)1(|b a f ++=,|||)0(|b f =∴|1||)1(|4b a f M +-=-≥|1|||2|1|b a b b a +++++-=2|)1(2)1(|=+++-+-≥b a b b a ∴21≥M（Ⅲ）依21=M 时，21|||)0(|≤=b f ,2121≤≤-b ① 同理21211≤++≤-b a ② 21211≤+-≤-b a ③ ②+③得：2123-≤≤-b ④ 由①、④得：21-=b . 当21-=b 时，分别代入②、③得：01001=⇒⎩⎨⎧≤≤≤≤-a a a ，因此212)(-=x x f .。

上海市上海中学2018-2019学年高三上学期期中数学试题(教师版)

2019届上中高三上期中数学试卷一、填空题1. 设全集I R =，{}2|3100A x x x =--≥，{}2|40B x x =-≤，则()()I I C A C B ⋃=_________；【答案】(,2)(2,)-∞-⋃-+∞ 【解析】【分析】先计算集合A 得到{}25I C A x x =-<<，再计算集合B 得到{}22I C B x x x =><-或，再计算()()I I C A C B ⋃得到答案.【详解】{}{}2|3100=|52A x x x x x x =--≥≥≤-或，{}25I C A x x =-<<{}{}2|4022B x x x x =-≤=-≤≤，{}22I C B x x x =><-或 ()()(,2)(2,)I I C A C B ⋃=-∞-⋃-+∞故答案为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞【点睛】本题考查了集合的混合运算，意在考查学生的计算能力. 2. 不等式2113x x ->+的解是_________；【答案】(,3)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】不等式化简得到403x x ->+，计算得到答案. 【详解】2121411004333x x x x x x x --->∴->∴>∴>+++或3x <- 故答案为(,3)(4,)-∞-⋃+∞【点睛】本题考查了解不等式，属于基础题型.3. 若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.【详解】当1a >时：函数()x y f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()x y f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 4. 函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】分析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列，若2nn b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为__________. 【答案】5 【解析】【分析】根据等差数列定义求得数列{}n a 的前n 项和n S ；由1n n n a S S -=-求得数列{}n a 的通项公式，利用2n n b a =求得数列{}n b 的通项公式，进而求得数列{}n b 的前n 项和n T ；依次代入求解即可得到n 的最小值．【详解】因为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列所以()312nS n n=+-⨯ ，化简得22n S n n =+则()()21211n S n n -=-+- 所以1n n n a S S -=-()()()222211n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-当1n = 时，113S a == 所以41n a n =- 因为2n n b a =所以122438416532664,,,,,b a b a b a b a b a b a ======⋅⋅⋅ 所以12481622n n n T a a a a a a -=++++⋅⋅⋅+()()()()()345122*********n n ++=-+-+-⋅⋅⋅-+- 3451222222n n n ++=++⋅⋅⋅++-328n n +=--所以()()241121121810S T +=⨯++--= ()()252222222832S T +=⨯++--= ()()263323323874S T +=⨯++--= ()()2744244248152S T +=⨯++--=()()2855255258348S T +=⨯++--= 所以使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为5【点睛】本题考查了等差数列通项公式、等差数列前n 项和公式、等比数列前n 项和公式的综合应用，熟练掌握数列的性质和应用，属于难题．6. 如果函数2()21x xaf x a -=⋅+是奇函数，则实数a =_________；【答案】±1 【解析】【分析】讨论定义域包含0和定义域不包含0两种情况，计算得到答案.【详解】函数2()21x xaf x a -=⋅+是奇函数当定义域包含0时：1(0)011af a a -==∴=+，此时21()21x x f x ，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++，满足；当定义域不包含0时：即02101a a +=∴=-此时21()(0)21x xf x x =≠-++，2112()()2121x xx x f x f x --+-+-===--+，满足. 综上所述：1a =± 故答案为±1【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数，漏解是容易发生的错误.7. 设函数())f x x =，若,a b 满足不等式()()22220f a a f b b-+-≤，则当14a ≤≤时，2a b -的最大值为_________；【答案】10 【解析】【分析】判断函数为奇函数和单调递增函数，根据不等式得到()()20a b a b -+-≥，画出可行域和目标函数，根据平移得到最值.【详解】())())()()0f x x f x x f x f x =∴-=∴+-=，奇函数；())lnf x x ==，易知y x =单调递增，故()f x 单调递减.()()()()222222022f a a f b b f a a f b b -+-≤∴-≤-+故()()222220a a b b b a b a ∴--++--≥≥()()2014a b a b a ⎧-+-≥⎨≤≤⎩如图所示：画出可行域和目标函数2z a b =-，根据平移得到答案当4,2a b ==-时，有最大值为10【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，线性规划，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.8. 若{}|224xA x ≤≤，1|1xB x a x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围为_________；【答案】13a ≤- 【解析】【分析】计算集合{}12A x x =≤≤，AB =∅等价于在[]1,2上11xa x -≥+恒成立，计算 21()1x f x -++=的最小值得到答案. 【详解】{}{}|22412xA x x x =≤≤=≤≤，11xB xa x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭A B =∅，等价于在[]1,2上11x a x -≥+恒成立，即122111x x x a --+=-+++≤ 设21()1x f x -++= 易知函数[]1,2单调递减，min 1()(2)3f x f ==-，故13a ≤- 故答案为13a ≤-【点睛】本题考查了集合的关系求参数，将A B =∅等价于在[]1,2上11xa x -≥+恒成立是解题的关键. 9. 29(2)2x k x -≤+解集为区间,ab ，且2b a -=，则k = ．2 【解析】【详解】试题分析：如图所示，不等式29(2)2x k x -≤+-的解集为[],a b ，且2b a -=，所以必有3b =，又2b a -=，解得1a =，则直线(2)2y k x =+-，过点(1,22)，代入解得2k =．考点：直线与圆的位置关系及其应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中涉及到不等式的解法转化为直线与半圆的位置关系、直线的点斜式方程的应用等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题能力，以及数形结合、转化思想的应用，本题的解答中把不等式问题转化为直线与圆的位置关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．10. 对函数设0()||20f x x =-，()*1()()1n n f x f x n N -=-∈，则函数()n y f x =的零点个数n a 的通项公式为_________；【答案】()*22192120n n n a n N n n +≤⎧=∈⎨+≥⎩【解析】【分析】先计算124,6a a ==，根据题意得到递推公式114n n a a +-=+或112n n a a +-=+，计算得到答案. 【详解】计算易知：124,6a a ==()*1()()1n n f x f x n N -=-∈，则1()()10()1n n n f x f x f x +=-=∴=±当()1n f x =-时，得到1()()11n n f x f x -=-=-即1()0n f x -=，对应数列为1n a -；当()1n f x =时，得到1()()11n n f x f x -=-=即1()2n f x -=，（1()2n f x -=-舍去）122()()12()3n n n f x f x f x ---=-=∴=，继续迭代得到()1f x n =即()10()()1201201f x f x n x n x n =-=∴-=+∴=±+ 当18n ≤时：方程的解的个数为4，114n n a a +-=+，22n a n =+；当19n =时：方程的解的个数为3，2018341a a =+=；当20n ≥时：方程的解的个数为2，112n n a a +-=+，21n a n =+. 综上所述：()*22192120n n n a n N n n +≤⎧=∈⎨+≥⎩故答案为()*22192120n n n a n N n n +≤⎧=∈⎨+≥⎩ 【点睛】本题考查了数列的通项公式，函数的零点问题，综合性强，得出数列的递推公式是解题的关键. 11. {}n a 为等差数列，则使等式1212111n n a a a a a a +++=++++++12122223332018n n a a a a a a =++++++=++++++=能成立的数列{}n a 的项数n 的最大值为_________；【答案】50 【解析】【分析】根据题意得到数列项数为偶数设为2n k =，根据关系得到3d >，计算得到关系式22018k d =，计算得到答案.【详解】{a n }为等差数列，则使等式|a 1|+|a 2|+…+|a n |，＝|a 1+1|+|a 2+1|+…+|a n +1|，＝|a 1+2|+|a 2+2|+…+|a n +2|，＝|a 1+3|+|a 2+3|+…+|a n +3|，则：数列{a n }中的项一定满足10n n a a -⎧⎨⎩＞＜或100n n a a -⎧⎨⎩＜＞，且项数n 为偶数，设n ＝2k ，等差数列的公差为d ，首项为a 1，不妨设100k k a a +⎧⎨⎩＞＜，则：a 1＜0，d ＞0，且：a k +3＜0，由1030k k a a +⎧⎨+⎩＞＜，可得d ＞3，所以：|a 1|+|a 2|+..+|a n |＝﹣a 1﹣a 2﹣a 3﹣…﹣a k +a k +1+a k +2+…+a 2k ，＝﹣2（a 1+a 2+a 3+…+a k ）+（a 1+a 2+a 3+…+a k +a k +1+…+a 2k ）＝﹣2（()112k k ka d ++）+（()122122k k ka d ++），＝k 2d ＝2018，由于：d ＞3，所以：k 2d ＝2018＞3d 2，解得：k 2＜672，故：k ≤25，故：n ≤50．故答案为50．【点睛】本题考查了数列的项数的计算，确定项数为偶数和3d >是解题的关键.12.已知20b >>，则232241222c c c a c ++++++的最小值是_________. 【答案】17 【解析】【分析】根据均值不等式消去b()22228181321(2c c c a c+++≥=，再结合基本不等式的性质以及对勾函数的单调性即可求解．【详解】()22228181321c c c a c+++≥=，当且仅当2b ＝2b 时取等号，则()22322222413212112221c c c c a a c c a c c +++++≥+++++≥=当且仅当()222321c a ca +=，21121c c =+时取等号，设2t ==≥，当且仅当1c =时取等号，()12488t t t t t ϕ⎛⎫⎪=+=+ ⎪⎪⎝⎭在[)2,+∞上单调递增，所以()min 216117ϕϕ==+=．即232241222c c c a c ++++++的最小值是17，当且仅当12a b c ===时取等号．故答案为：17．【点睛】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及转化思想的应用．属于难题．二、选择题13. 设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（） A. ||||||a b a c b c -≤-+-B. 2211a a a a+≥+ C. 1||2a b a b-+≥-≤【答案】C 【解析】【分析】逐项判断，可得答案. 对于A ，由绝对值三角不等式易得恒成立；对于B ，作差法比较大小，可得B 恒成立；对于C ，对,a b 取一组特殊值，代入可得C 不恒成立；对于D ，作差法证明不等式22≤成立，两端开方，可得D 恒成立.【详解】a ，b ，c 是互不相等的正数.对于A ，()()||||||a c b c a c b c a b -+-≥---=-，当且仅当()()0a c b c --≤时，等号成立，故A 恒成立；对于B ，由()22432222(1)11110a a a a a a a a a a a a-++--+⎛⎫+-+==≥ ⎪⎝⎭，得2211a a a a +≥+，故B 恒成立；对于C ，当2,3a b ==，不等式不成立，故C 不恒成立；对于D ，((222323a a -=++-++2=，又()()()()()()32120,321a a a a a a a a +-++=-<∴+<++，220<∴-<，22,∴<<<D 恒成立.故选：C .【点睛】本题考查绝对值三角不等式、作差法比较大小和基本不等式，属于中档题. 14. 设A 、B 、C 是三个集合，则“A B A C ⋂=⋂”是“B C =”的（）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】【分析】先判断必要性，再取A =∅，排出充分性，判断得到答案. 【详解】当B C =时，A B A C ⋂=⋂成立，必要性；当A B A C ⋂=⋂时，取A =∅，BC 为任意集合均满足，不充分. 故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.15. 函数()f x 的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线C ，函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（） A.()1f x +B. ()1f x -C. ()1f x +D. ()1f x -【答案】D 【解析】【分析】根据平移得到曲线C ：()11fx -+，再根据()g x 是()11f x -+的反函数，计算得到答案.【详解】函数()f x 的反函数为()1f x - ，向左平移一个单位得到曲线C ：()11f x -+函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，则()g x 是()11f x -+的反函数即1()()1()()1y f x y f x g x f x +=∴=-∴=- 故选D【点睛】本题考查了反函数的计算，意在考查学生对于反函数知识的掌握情况.16. 已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()(3)g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12927g a g a g a +++=，则129a a a +++=（）A. 18B. 9C. 27D. 81【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣x ）+f （x ）＝0，又由g （x ）＝f （x ﹣3）+x 且g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，可得f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27，结合等差数列的性质可得f （a 1﹣5）＝﹣f （a 9﹣5）＝f （5﹣a 9），进而可得a 1﹣5＝5﹣a 9，即a 1+a 9＝10，进而计算可得答案．【详解】根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数，则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27，即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0，又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， ∴a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6，则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27；故选C ．【点睛】本题考查了数列的计算，函数性质的应用，构造函数y ＝f （x ）+x 是解题的关键.三、解答题17. 若数列{}n a 是递增的等差数列，其中35a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}50n a -的前n 项和n S 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）()2250,2525625,26n n n n S n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩ 【解析】【分析】（1）根据中35a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，联立方程组计算得到答案. （2）讨论25n ≤和26n ≥两种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）3125a a d =+=；1a ，2a ，5a 成等比数列.，则()()222151114a a a a d a a d =⋅∴+=+ 解得：1a 1,d 2，（15,0a d ==）（舍去），故21n a n =-（2）取*215026,n a n n n N =-≥∴≥∈当25n ≤时：5050512n n a a n -=-=- ，()249512502n n n S n n +-==-当26n ≥时：5050251n n a a n -=-=-，()()()22526125125 (625256252)nn n n S a a n S +--=+++=+=-+综上所述：()2250,2525625,26n n n n S n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩ 【点睛】本题考查了数列的通项公式，绝对值前N 项和，分类讨论计算是解题的关键.18. 对于两个实数a ，b ，{}min ,a b 表示a ，b 中的较小数，已知函数124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭.（1）请画出函数()f x 的图像；（2）请写出函数()f x 的基本性质.【答案】（1）详见解析；（2）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）根据143log x +和2log x 的大小关系，得到1423log ,4()log ,04x x f x x x +≥⎧⎪=⎨⎪<<⎩画出函数图像得到答案.（2）根据函数图像得到函数的定义域，值域，单调区间. 【详解】（1）124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭当1243log log x x +≤时，即2213log log 42x x x -≤∴≥时，14()3log f x x =+；当04x << 时，2()log f x x =综上所述：1423log ,4()log ,04x x f x x x +≥⎧⎪=⎨⎪<<⎩ 画出函数图像，如图所示：（2）根据图像知：()f x 的定义域为()0,∞+；值域为(),2-∞；在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减.【点睛】本题考查了函数的图像，函数性质，根据函数值的大小关系得到分段函数是解题的关键. 19. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为)*21,116,y px p x x N =>≤≤∈，并且前4个月区域外的需求量为20万吨.（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超出油库的容量，试确定m 的取值范围. 【答案】（1）()*1010116,M mx x x x x =--≤≤∈N ；（2）71924m ≤≤ 【解析】【分析】（1）先计算50p =，第x 个月共进原油mx ，区域内调出x，区域外调出10吨，计算得到答案.（2）要求剩余油量不超过油库容量，所以030M ≤≤恒成立，转化为恒成立求参数取值问题，再利用换元法求函数最值即可求解．【详解】（1）由条件得202100p ==，所以*16,)y x x =≤≤∈N10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）．（2）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x N mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩恒成立，()*101116,201m x x x N m x ⎧≥-++⎪⎪≤≤∈⎨⎪≤+⎪⎩恒成立，t =，则114t ≤≤， 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立，由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号），212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）．故m 的取值范围是71924m ≤≤．【点睛】本题主要考查的是函数的实际应用问题及利用换元法研究函数的最值、解决恒成立问题，属于难题．20. 已知函数21()(,)4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式2131()424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）求最大的()1mm >使得存在t R ∈，只需[]1,x m ∈，就有()f x t x +≤.【答案】（1）2111()424f x x x =++；（20c 时，()0,x ∈+∞；1c ≥时，∅；01c <<时，11x c c ⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）9m = 【解析】【分析】（1）根据()1104f a b -=-+=和20b a ∆=-≤联立求解得到答案. （2）讨论0c，1c ≥和01c <<三种情况，分别计算得到答案.（3）假设存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f （x +t ）≤x ．那么当x ＝1时也成立确定出t 的范围，然后研究当x ＝m 时也应成立，利用函数的单调性求出m 的最值．【详解】（1）()1104f a b -=-+=，()0f x ≥恒成立，则20b a ∆=-≤ 且0a > 即2221111001,44411()4242f x x x a a a a b ⎛=⎫⎛⎫+-≤∴-≤∴==∴ ⎪⎝+ ⎪⎭+⎝⎭ （2）2131()424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22111131424424x x c x x c ⎛⎫⎛⎫++>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 220cx x c ∴-+<当0c时：解得0x >；当0c >时：244c ∆=-故当1c ≥时：2440c ∆=-≤，不等式无解；故当1c <时：2440c ∆=->，不等式解x <<综上所述：0c 时，()0,x ∈+∞；1c ≥时，∅；01c <<时，x ∈⎝⎭（3）假设存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f （x +t ）≤x ．取x ＝1，有f （t +1）≤1，即14（t +1）212+（t +1）14+≤1，解得﹣4≤t ≤0，对固定的t ∈[﹣4，0]，取x ＝m ，有f （t +m ）≤m ，即14（t +m ）212+（t +m ）14+≤m ．化简有：m 2﹣2（1﹣t ）m +（t 2+2t +1）≤0，解得1﹣t ≤m ≤1﹣t故m ≤1﹣t ≤1﹣（﹣4）=9 当t ＝﹣4时，对任意的x ∈[1，9]，恒有f （x ﹣4）﹣x 14=（x 2﹣10x +9）14=（x ﹣1）（x ﹣9）≤0．∴m 的最大值为9．【点睛】本题考查了函数的解析式，解不等式，存在问题和恒成立问题，将不等式转化为对应的方程是解题的关键.21. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且都小于1，112a =，()22*112n n n n a a a a n N ++-=-∈，设数列的前n 项和为n S .（1）用1n a +表示n S ；（2）求证：1n n a a +<，并且313424n n S -<<；（3）记112n n nb a a +=-，求证：n b ≤【答案】（1）211324n n n S a a ++=-+；（2）详见解析；（3）详见解析【解析】【分析】（1）变换得到()()221122n n n n n a a a a a ++-=--，累加得到答案.（2）根据()()1120n n n n n a a a a a ++=-+->得到证明；计算12nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，234n n n S a a -=+得到证明.（3）先计算1b =112n n nb a a +=-单调递减，得到答案. 【详解】（1）()()22221111222n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++---=-∴=- 累加得到：()()22211111132224n n n n n aa a a a S a ++++=---=-+ （2）()()()()1122112022n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++=-=---+->数列{}n a 的各项均为正数，且都小于1，故120n n a a ++-<，故1n n a a +<()2111133332204444n n n n n S a a a a ++++=-+=-+<+=； 221120n nn n aa a a ++=--<，故1212nn n n a a a +⎛⎫<∴≤ ⎪⎝⎭122133331244442n n n nn n n a a S a a a ++⎛⎫=-+=+>-+≥- ⎪⎝⎭-，故313424n n S -<<（3）112a =，2221122a a a a -=-，解得212a =-，112n n n b a a +=-，则12112b a a =-=22112211111111222122n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a ++++++∴=∴-=----=--- 故11212112n n n n n b a a a a ++=-=--- ()()()222211111112n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++-=∴-=+---=-故()()2112121111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++-=<=--+-+()()()()()11211211212212112121122n n n n n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a a a a a ++++++++++----=--+=+--------()()()()()11212101122n n n n n n a a a a a a ++++⎡⎤--+<⎢⎥----⎣⎦< 故1n n b b +<故当1n =时，数列最大为n b ≤【点睛】本题考查了数列的单调性，最值，前N 项和，综合性强，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.。

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进才中学2018学年高三第一学期期中考试
一、填空
1.已知tan 2α=-，且α为第四象限角，则sin α=
.2.已知集合101x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭
，则R C A =.3.求2222123lim n n n n n
n →∞⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭ .4.已知函数()()2, 22,2x x f x f x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.
5.已知()sin 2f x a x bx =++，若()20182019f -=，则()2018f =
.6.满足()()2arccos arccos 2x x >的实数x 的取值范围是.
7.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知：()2,1m = ,()cos ,cos cos n c C a B b A =+ 且
m n ⊥ ，求角C =
.8.若存在正数x 使221x
x m x <成立，则实数m 的取值范围是.
9.已知函数()()30f x x k x k k =-+->，若当34x ≤≤时，()f x 都能取到最小值，则实数k 的取值范围是.
10.已知数列{}n a 中，1112,1
n n a a a +==-
+，若k 是5的倍数，且2k a =，求所有满足条件的k 的表达式.11.已知1710,2
m m >≠，直线1:l y m =与函数4log y x =的图像从左至右相交于点A B 、，直线24:1l y m =
+与函数4log y x =的图像从左至右相交于点C D 、，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，b a 的最小值是.12.已知,a b R ∈且对任意x R ∈，不等式cos 2cos 21a x b x +>无解，当实数b 取得最大值时，方程
[]1cos 0,0,20182
b x x -=∈的解的个数为.
二、选择题13.等差数列{}n a 的前10项和为30，前20项和为100，则它的前100项和为（
）
A.1300
B.1700
C.2100
D.2600
14.函数()43x g x =⨯的图像可看成将函数()3x f x =的图像（）
A.向左平移3log 4个单位得到
B.各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到
C.向右平移3log 4个单位得到
D.各点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的14倍得到15.已知函数()()20f x x tx t t =+-<，若集合(){}0,A x f x x Z =<∈有且只有一个元素，则实数t 的取
值范围是（
）A.(],4-∞- B.[]9,4-- C.9,42⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D.9,42⎛⎤-- ⎥⎝⎦
16.已知数列{}n a 的通项公式为2511,n a a n n a n =-+
是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（）A ．[]40,25-- B.[]40,0- C.[]25,25- D.[]
25,0-三、解答题
17.若()()()()()2sin cos 102
f x wx wx wx w =-->的图像的最高点都在直线()0y m m =>上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π.（1）求w 和m 的值；（2）已知A ∠是ABC ∆的一个内角，若点,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是函数()f x 图像的一个对称中心，求函数()3,0,2A y f x x ⎡⎤=∈⎢⎣⎦的值域.18.已知二次函数()2
23f x mx x =--，若不等式()0f x <的解集为()1,n -（1）解关于x 的不等式：()2
2411x x n m x -+>+-；（2）已知实数()0,1a ∈，且关于x 的函数()[]()
141,2x x y f a a x +=-∈的最小值为-4，求a 的值.
19.本题满分14分
根据预测，某地第n *
()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），
其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
20.本题满分16分
如图所示，在平面直角坐标系xOy 上放置一个边长为1的正方形PABC ，此正方形PABC 沿x 轴滚动（向左或者向右均可），滚动开始时，点P 在原点处，例如：向右滚动时，点P 的轨迹起初是以点A(1,0)为圆
心，1为半径的
14
圆弧，然后以点B 与x 轴交点为圆心，PB 长度为半径……..，设点P （x,y ）的纵坐标与横坐标的函数关系式是(),y f x x R =∈，该函数相邻两个零点之间的距离为m 。

（1）写出m 的值，并求出当[4,4]x m m ∈-时,点P 轨迹与x 轴所围成图形的面积S ，研究该函数的性质并填写下面的表格
函数性质
结论
奇偶性
单调性递增区间递减区间零点
（2）已知方程()f x a x =在区间[8,8]-上有11个根，求实数a 的取值范围
（3）写出函数(),[42,42],y f x x k k k Z =∈-+∈的表达式
21．给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意的*n N ∈，都有2n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “比较接近”
（1）设{}n a 是首相为1，公比为
14
的等比数列，*12,,n n b a n N +=+∈，判断数列{}n b 是否与{}n a “比较接近”（2）设数列{}n a 的前四项为：12342,4,6,16a a a a ====，{}n b 是一个与{}n a 比较接近的数列，记集合{/,1,2,3,4}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m
（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 比较接近，且在213220192018,,,b b b b b b --- 中至少有1009个为正，求d 的取值范围
参考答案
1、25
5-2、(](),11,∞-+∞ 3、1
24、7
5、2015-
6、10,2⎛
⎤ ⎥⎝⎦7、23
π
8、()1,-+∞9、4,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦10、155k n =-（n N *∈）11、6412、322
13-16、CACB 17.（1）()cos(216f x x π=++，1ω=，2m =；（2）3A π=，值域31]2+.18.（1）1m =，3n =，解集(,1)(2,)-∞+∞ ；（2）13
a =.19.（1）935辆；（2）第42个月底，保有量最大，为8782辆，大于容纳量8736辆.
20.（1）4m =，88S π=+，性质如表；函数性质
结论奇偶性
偶函数单调性
递增区间
[4,42]
k k +，k ∈Z 递减区间
[42,4]k k -，k ∈
Z 零点4x k
=，k ∈
Z
（2）1(512；（3）4241
414()441
4142k x k k x k
f x k x k k x k -≤<--≤<=≤<++≤≤+.
21.（1）接近；（2）3或4；（3）4d >-.。