数学：第二章一元二次方程复习课件(北师大版九年级上)
阅读与理解1
生活中的数学问题
1.能用用长为22厘米的铁丝折成一个面积为32平方 厘米的矩形吗？
解 : 矩形的一边长为xm, 则另一边长为(11-x)cm. 根据题意, 得
x(11 x) 32
整理得 :
x 2 11x 32 0, b 2 4ac (11)2 4 1 32 7 0.
A
Q
B
P
C
1.想一想:用什么方法解方程简单?(先独 立完成,再同桌探讨)
(1) ( x 3) 2
2
(2) x
2
6x 5
2
(3)
x 1 3x
2
2
(4) (2x 3) 4(2x 3)
2
(5) (3x 2) 4( x 3)
(6)
x 9 x 3
2
已知:3是方程x2 mx 12 0的一根, 求另一根及m的值.
动点问题:(可小组探讨)
• 3、方程2x2+3x－k=0根的判别式是 ； 当k 时，方程有实根。 • 4、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根， 则m= 。 • 5、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则 m= 。
6．解下列方程
• • • • • (1) 3x2－48＝0 (2)（x＋a)2＝225 (3) 2x2＋7x-4＝0 (4) 2x2－x＝5 (5) (3x-1)2＝6x-2 （直接开平方法）； （直接开平方法）； （配方法）； （公式法）； （因式分解法）；
7、 已知等腰三角形的底边长为 8，腰长是方程x2-9x+20=0的一根， 求等腰三角形的周长。
• 8.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6 厘米，BC=8厘米，点P从点B出发，沿 BC以1厘米／秒 的速度向点C移动，点Q 从点C出发，沿折线CAB以2厘米／秒 的 速度向点B移动。问： • (1)经过多少秒后，PQ平分⊿ABC的面积。 • (2)经过多少秒后，⊿CPQ为直角三角形。
1审，2设，3列，4解，5验，6答。
课前热身(独立完成)：
ax2 bx c 0(a 0) 1.一元二次方程的一般形式是_________________. b b2 4ac x 2 2.一元二次方程 ax bx c 0的求根公式是 _______________ . 2a 3 3 2 x1 , x2 (b 2 4ac 0) 3.方程4 x 9 0的根是______________.
解 : 把x=3代入方程中得
2
3 3m 12 0 3m 21 m 7 2 当m 7时, 方程为 : x 7 x 12 0
( x 3)( x 4) 0 x 3 0或x 4 0 x1 3, x2 4 答 : m值为 7, 另一根为4.
阅读与理解3
• 如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点， AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从 点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向 点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s 的速度向D移动.（1）P、Q两点从出发 开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？（2）P、Q两点从出 发开始到几秒时，点P和点Q的 距离是10 cm？
本章要求掌握内容
• 1.会区分一元二次方程，会写一元二次方程的一般形 式。 • 2.会用一元二次方程的四种方法（开平方法，配方法， 公式法，分解因式法）灵活解一元二次方程。 • 3.阅读训练:会用一元二次方程解决实际问题. • 4.(补充)根的判别式及根与系数的关系.
5.解一元二次方程的实际问题一般步骤是：
2 2
x1 0, x2 4.方程x x的根是__________.1
2
≠-1 5.当m _______ 时,方程(m+1)x2 3x 2 0是一元二次方程.
4 6.已知一元二次方程3x 2 kx 4 0的一根是2,则k的值为_______.
7.解下列方程: (1)2x 2 1 x
方程无解
答 : 用22厘米的铁丝不能折成面积为32平方厘米的矩形.
阅读装柜在销售中发现：“宝乐” 牌童装平均每天可售出20件，每件盈利 40元.为了迎接“十· 一”国庆节，商场决 定采取适当的降价措施，扩大销售量， 增加盈利，减少库存.经市场调查发现： 如果每件童装降价4元，那么平均每天就 可多售出8件.要想平均每天销售这种童装 上盈利1200元，那么每件童装应降价多 少元？
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北师大版九年级上册数学《用因式分解法解一元二次方程》一元二次方程说课教学课件复习
小颖是这样解的 :
小明是这样解的 :
解 : x2 3x 0. x 3 9. 2
这个数是0或3.
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
x2 6x 9 (x 3)2; x2 5x 6 (x 2)(x 3);
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4x2 12x 9 ?. 3x2 7x 4 ?.
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6; 而x2 7x 6 (x 1)(x 6);
树状图
第一枚硬币 第二枚硬币
所有可能出 现的结果
正
正
(正，正)
开始
反
(正，反)
先分组进行试验，然后累计各组的试验数据，分别 计算这三个事件发生的频数与频率，并由此估计这 三个事件发生的概率.
课时1 用树状图或表格求概率
思考
你认为这个游戏公平吗？ 连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”，“两枚 “一枚正面朝上、一枚反面朝上”，这三个事件发生的概
通过大量重复试验我们发现， 在一般情况下，“一枚正面朝上、一枚反面朝上”发生的 两个事件发生的概率. 所以，这个游戏不公平. 它对小凡比较有利.
课时1 用树状图或表格求概率 新课引入 问题 2. 如何计算等可能概型的概率？
一般的，如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 种结果，那么事件 A 发生的概率为：
P A =m. n
北师大九年级数学上册《一元二次方程》课件(共17张PPT)
1.判断下列哪些是一元二次方程
(×1)4x25y22 (×5)y2 1 80
y
×23x429 ×62x3y0
3y2 1 y√
3
4x2 0 √
×7 x2 3 x 4x2 7 8 ×a2x b xc0
(a、b、c为常数 )
考点1、一元二次方程的概念及相关问题。
1、一元二次方程定义： 把握住：①整式方程②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2 2、一元二次方程一般形式：
3x24x10
49x2212 0 1
强调：在选择解方程的方法时， 应先考虑直接开平方法和因式分解法； 再考虑用配方法，最后考虑用公式法．
考点3、一元二次方程根的判别式。
3.根的判别式△=___b_2－__4_a_c_： （1）△＞0时 __原__方__程__有__两__个__不__相__等__的__实__数根 （2）△＝0时 __原__方__程__有__两__个__相__等__的__实__数__根 （3）△＜0时 __原__方__程__无__实__数__根__________
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
(×1)4x25y22 (×5)y2 1 80
y
×23x429 ×62x3y0
3y2 1 y√
3
4x2 0 √
×7 x2 3 x 4x2 7 8 ×a2x b xc0
(a、b、c为常数 )
考点1、一元二次方程的概念及相关问题。
1、一元二次方程定义： 把握住：①整式方程②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2 2、一元二次方程一般形式：
3x24x10
49x2212 0 1
强调：在选择解方程的方法时， 应先考虑直接开平方法和因式分解法； 再考虑用配方法，最后考虑用公式法．
考点3、一元二次方程根的判别式。
3.根的判别式△=___b_2－__4_a_c_： （1）△＞0时 __原__方__程__有__两__个__不__相__等__的__实__数根 （2）△＝0时 __原__方__程__有__两__个__相__等__的__实__数__根 （3）△＜0时 __原__方__程__无__实__数__根__________
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程复习课件
二、解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
针对训练
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ A ）
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）.
公式法：a 1，b -4，c -1.
【易错提示】求出m值有两个1和-1，由于原方程是一元二次 方程，所以1不符合，应引起注意.
针对训练
2. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值 为 -1 .
考点三 一元二次方程的解法
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ A ）
A. (x-1)2=6
B.(x+2)2=9
b2 - 4ac=-42 -4 1 -1 =20 0.
方程有两个不相等的实数根
x b
b2 4ac -4
20 2
5.
2a
2 1
x1 2 5, x2 2 5.
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）.
配方法：移项，得x2 4x 1. 配方,得x2 4x 22 1 22.
三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤：
第2章 一元二次方程复习 北师大版数学九年级上册课件(54张ppt)
【解析】当k+1=0,即k=-1时,方程为-2x+1=0,解得 x= 1 .
2
当k+1≠0,即k≠-1时,Δ=(-2)2-4(k+1)≥0,解得k≤0
且k≠-1.
综上所述,k的取值范围是k≤0.
【明·技法】 根据b2-4ac判断根的情况的“三步骤”
(1)将方程化为一般形式,确定a,b,c的值. (2)求出b2-4ac的值. (3)根据b2-4ac的值与0的大小关系判断一元二次方程 根的情况.
答:乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为 100元.
适用于方程一边等 于0,另一边易因式 分解的情况
【题组过关】
1.(2019·广东模拟)关于x的一元二次方程(m-2)x2
+3x+m2-4=0有一个根是0,则m的值为
世纪金榜导
学号( B )
A.2
B.-2
C.-2或2
D.0
2.(2019·资阳中考)a是方程2x2=x+4的一个根,则代数 式4a2-2a的值是____8____. 3.(2019·南京秦淮区期中)关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)配方后为(x+1)2=d(d 为常数),则 b =____1____. 世纪金榜导学号
【明·技法】 一元二次方程的解法最优选择
解法
形式
备注
直接开
x2=p(p≥0)
应用于特殊结构
平方法 (mx+n)2=p(p≥0,m≠0) 的方程
配方法 (x-m)2=n(n≥0)
最基本的方法
解法
形式
备注
公式法
ax2+bx+c=0
北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》单元复习课件
第二章 一元二次方程单元复习
一元二次方程的应用类型：互赠、握手问题，增长率 （病毒传染）问题，面积问题，营销问题，勾股定理问 题等．
互赠、握手问题 1.毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一
张照片，一共送出90张照片，设会上有x人，根据题 意，可列方程为__x_（__x_－__1_）__＝__9_0_. 2.举行篮球比赛，每两个队进行一场比赛，共赛了15场， 参加比赛的队伍有___6__支．
解：设横、竖彩条的宽度分别为2x cm，3x cm，
则（20－6x）（30－4x）＝20×30×
1－
1 3
，
解得x1＝
5 6
，x2＝10.
当x1＝
5 6
，横彩条宽度为
5 ×2＝
6
5（cm），
3
竖彩条宽度为 5 ×3＝ 5（cm）.
6
2
当x2＝10，10×2＝20， 不符合题意，舍去．
15.（2023·深圳光明区校级月考）2023年杭州亚运会吉 祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35 元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价 格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的 销售量为400件．
上底多4，则可列方程为__12_（__x＋__x_＋_4_）__（__x＋ __1_）_＝ __6__.
7.一个长方形的面积为8 m2，长比宽多2 m，设长方形的 宽为x m，根据题意，可列方程为 ___x_（__x_＋__2_）__＝__8__.
8.用长8 m的绳子围成一个面积为4 m2的长方形，设长方 形一边为x m，根据题意，可列方程为_x_（__4_－__x_）__＝__4．
（1）求y与x之间的函数关系式． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
一元二次方程的应用类型：互赠、握手问题，增长率 （病毒传染）问题，面积问题，营销问题，勾股定理问 题等．
互赠、握手问题 1.毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一
张照片，一共送出90张照片，设会上有x人，根据题 意，可列方程为__x_（__x_－__1_）__＝__9_0_. 2.举行篮球比赛，每两个队进行一场比赛，共赛了15场， 参加比赛的队伍有___6__支．
解：设横、竖彩条的宽度分别为2x cm，3x cm，
则（20－6x）（30－4x）＝20×30×
1－
1 3
，
解得x1＝
5 6
，x2＝10.
当x1＝
5 6
，横彩条宽度为
5 ×2＝
6
5（cm），
3
竖彩条宽度为 5 ×3＝ 5（cm）.
6
2
当x2＝10，10×2＝20， 不符合题意，舍去．
15.（2023·深圳光明区校级月考）2023年杭州亚运会吉 祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35 元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价 格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的 销售量为400件．
上底多4，则可列方程为__12_（__x＋__x_＋_4_）__（__x＋ __1_）_＝ __6__.
7.一个长方形的面积为8 m2，长比宽多2 m，设长方形的 宽为x m，根据题意，可列方程为 ___x_（__x_＋__2_）__＝__8__.
8.用长8 m的绳子围成一个面积为4 m2的长方形，设长方 形一边为x m，根据题意，可列方程为_x_（__4_－__x_）__＝__4．
（1）求y与x之间的函数关系式． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
【最新】九年级数学北师大版上册课件：第二章一元二次方程 复习 (共33张PPT)
3. 根据题中的等量关系列出方程。
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
2.一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方
程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为
、
和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
① ax2 bx c 0
（ ×）
② x3 1
（× ）
x
③ (2x 3)(；2x 3) 4x2 2x 3 （ × ）
程
配方法： 适应于任何一个一元二次方程
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式 一元二次方程的应用 的积，右边是0的方程
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找 出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表 示未知量。
2.若a是方程
的一个根，则代数
式
的值是＿＿＿＿
3. 解方程：
( x2 1)2 5( x2 1) 4 0
一元二次方程的定义
把握住：一个未知数，最高次数是2， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a 0）
一
直接开平方法：
元
二
次 方ห้องสมุดไป่ตู้
一元二次方程的解法 型
适应于形如（x-k）² =h（h>0）
③求b2－4ac的值；
④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式 求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
4．分解因式法 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程变形为右边是0的形式； (2)将方程左边分解因式； (3)令方程左边的每个因式为0，转化成两 个一次方程； (4)分别解这两个一次方程，它们的解就 是原方程的解．
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
2.一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方
程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为
、
和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
① ax2 bx c 0
（ ×）
② x3 1
（× ）
x
③ (2x 3)(；2x 3) 4x2 2x 3 （ × ）
程
配方法： 适应于任何一个一元二次方程
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式 一元二次方程的应用 的积，右边是0的方程
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找 出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表 示未知量。
2.若a是方程
的一个根，则代数
式
的值是＿＿＿＿
3. 解方程：
( x2 1)2 5( x2 1) 4 0
一元二次方程的定义
把握住：一个未知数，最高次数是2， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a 0）
一
直接开平方法：
元
二
次 方ห้องสมุดไป่ตู้
一元二次方程的解法 型
适应于形如（x-k）² =h（h>0）
③求b2－4ac的值；
④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式 求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
4．分解因式法 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程变形为右边是0的形式； (2)将方程左边分解因式； (3)令方程左边的每个因式为0，转化成两 个一次方程； (4)分别解这两个一次方程，它们的解就 是原方程的解．
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程解法复习课件
请你谈一谈 某学校要建一个长方形花园，花园一边靠墙（墙长18米）,另三边用花形铁栅栏围成，铁栅栏长为35米。
④适当方法：(2x-3)(x-4) = 3 ① 方程有两个不等实根
一块矩形耕地的尺寸如图所示：要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且保证余下的可耕地面
在本节课中的收获与困惑 积为9600米2 ，那么水渠应挖多宽？
②方程有两个相等实根
③方程无实数根
4、一元二次方程的解法：
课堂检测
C．m = -2 D．
m ≠ ±2
为
，常数项为
。
4、 AD是⊿ABC的高，四边形EFHG是面积为15cm2的矩形，BC=10cm，AD=8，求矩形的长和宽。
解方程： 2、一元二次方程的一般形式：
① 花园的面积能达到150m2吗？
有一根为零，求m的值及另一根。
① x – 2 2 5、（x+3)2=2x(x+3)
有一个解为2，那么k的值为 。 ① 花园的面积能达到150m2吗？
2 x–3=0
③分解因式法：2（x-3）2 = x2 – 9
A．m = ± 2 B．m = 2
一块矩形耕地的尺寸如图所示：要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且保证余下的可耕地面
D
应用题
一块矩形耕地的尺寸如图所示：要在这块地 上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠， 如果水渠的宽相等，而且保证余下的可耕地 面积为9600米2 ，那么水渠应挖多宽？
64米
162米
某学校要建一个长方形花园，花园一 边靠墙（墙长18米）,另三边用花形铁 栅栏围成，铁栅栏长为35米。 ① 花园的面积能达到150m2吗？
④适当方法：(2x-3)(x-4) = 3 ① 方程有两个不等实根
一块矩形耕地的尺寸如图所示：要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且保证余下的可耕地面
在本节课中的收获与困惑 积为9600米2 ，那么水渠应挖多宽？
②方程有两个相等实根
③方程无实数根
4、一元二次方程的解法：
课堂检测
C．m = -2 D．
m ≠ ±2
为
，常数项为
。
4、 AD是⊿ABC的高，四边形EFHG是面积为15cm2的矩形，BC=10cm，AD=8，求矩形的长和宽。
解方程： 2、一元二次方程的一般形式：
① 花园的面积能达到150m2吗？
有一根为零，求m的值及另一根。
① x – 2 2 5、（x+3)2=2x(x+3)
有一个解为2，那么k的值为 。 ① 花园的面积能达到150m2吗？
2 x–3=0
③分解因式法：2（x-3）2 = x2 – 9
A．m = ± 2 B．m = 2
一块矩形耕地的尺寸如图所示：要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且保证余下的可耕地面
D
应用题
一块矩形耕地的尺寸如图所示：要在这块地 上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠， 如果水渠的宽相等，而且保证余下的可耕地 面积为9600米2 ，那么水渠应挖多宽？
64米
162米
某学校要建一个长方形花园，花园一 边靠墙（墙长18米）,另三边用花形铁 栅栏围成，铁栅栏长为35米。 ① 花园的面积能达到150m2吗？
201612北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程全章复习PPT课件
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程
济南市中学
本章知识要点 1.一元二次方程的定义，及一元二次 方程的一般形式。 2.一元二次方程的解法。 3.用一元二次方程的解实际问题。
定义：只含有一个未知数，并且未 知数的最高次幂为二次的整式方程叫一 元二次方程。
一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0 (其中a、b、c为 常数，a≠0)
细心填一填
1 1 ( x ___) (1) x 2 x _____
2
2
2
4 (2) x 8 x _____ 4 ( x ___) 5 5 2 2 （ ） (3) y 5 y _____ 2 ( y ___) 2
2 2
2
2
(4) y
2
2 1 （1） 1 y ____ 4 ( y __) 4 2
2
注意选择适当的 解方程的方法!
2 1.2x -x-2=0
2.3x2-5x-2=0 3.x2-6x+8=0 4. (x-2)2=9(x+3)2
注意选择适当的 解方程的方法!
一个两位数，十位数字与个 位数字之和是5，把这个数的个 位数字与十位数字对调后，所 得的新的两位数与原来的两位 数的乘积是736，求原来的两 位数。
一元二次方程的解法
1. 直接开平方法 如 x2=3, (x-1)2=16 2+2x-3=0 如 x 2. 配方法 2+2x-1=0 如 3x 3. 公式法 4.分解因式法： 如（1）提公因式法 （2）公式法 （3） x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
列一元二次方程解实际问题的 步骤和方法 1.审题；2.设未知数；3.列方程；4.解 方程；5.检验；6.写出答案。 列一元二次方程解实际问题的 常见类型 1.数字问题；2.面积问题；3.直角三角 形三边关系（勾股定理）；4.行程问题； 5.增长率问题。
济南市中学
本章知识要点 1.一元二次方程的定义，及一元二次 方程的一般形式。 2.一元二次方程的解法。 3.用一元二次方程的解实际问题。
定义：只含有一个未知数，并且未 知数的最高次幂为二次的整式方程叫一 元二次方程。
一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0 (其中a、b、c为 常数，a≠0)
细心填一填
1 1 ( x ___) (1) x 2 x _____
2
2
2
4 (2) x 8 x _____ 4 ( x ___) 5 5 2 2 （ ） (3) y 5 y _____ 2 ( y ___) 2
2 2
2
2
(4) y
2
2 1 （1） 1 y ____ 4 ( y __) 4 2
2
注意选择适当的 解方程的方法!
2 1.2x -x-2=0
2.3x2-5x-2=0 3.x2-6x+8=0 4. (x-2)2=9(x+3)2
注意选择适当的 解方程的方法!
一个两位数，十位数字与个 位数字之和是5，把这个数的个 位数字与十位数字对调后，所 得的新的两位数与原来的两位 数的乘积是736，求原来的两 位数。
一元二次方程的解法
1. 直接开平方法 如 x2=3, (x-1)2=16 2+2x-3=0 如 x 2. 配方法 2+2x-1=0 如 3x 3. 公式法 4.分解因式法： 如（1）提公因式法 （2）公式法 （3） x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
列一元二次方程解实际问题的 步骤和方法 1.审题；2.设未知数；3.列方程；4.解 方程；5.检验；6.写出答案。 列一元二次方程解实际问题的 常见类型 1.数字问题；2.面积问题；3.直角三角 形三边关系（勾股定理）；4.行程问题； 5.增长率问题。
北师大版九年级第二章《一元二次方程》复习+.ppt课件
整理得x 2 5x 6 0. 解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3, 或5 x 5 3 2.
答 : 这两个数为32或23.
快乐学习 5
几何与方程
5 .将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm 的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容 积是400cm3,求原铁皮的边长.
整理得 :
x 2 56 x ( ) 196 4 4
x 2 56 x 0,
2
解得 : x 56, x 0不合题意, 舍去. 1 2
答 : 不剪, 可围成一个正方形的其面积能等于196cm2 .
快乐学习 3
几何与方程
解 : 3.设剪下的一段为xcm, 根据题意, 得
几何与方程
6 . 一直角三角形的斜边长7cm,一条直角边比另 一条直角边长1cm,求两条直角边长度.
解 : 设一条直角边为xcm, 根据题意, 得
整理得 :
x 2 ( x 1) 2 7 2.
x 2 x 24 0.
1 97 解得 : x . 2 1 97 1 97 x1 ; x2 (不合题意, 舍去). 2 2 1 97 1 97 x 1 1 . 2 2 1 97 1 97 答 : 两条直角边分别为 cm和 cm.
快乐学习 7
几何与方程
7 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm, 在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小 路的面积为246cm2,求小路的宽度.
解 : 设小路的宽度xm, 根据题意, 得
15+2x
(20 2 x)15 2 x 25 15 246.
2.5一元二次方程的根与系数的关系 课件 北师大版数学九年级上册
感悟新知
(4)x11 ＋x12=x1x＋1x2x2； (5)xx21＋xx12=x22x＋1x2x21=(x1＋x2x)12x－2 2 x1x2； (6) |x1 －x2 |= (x1－x2)2 = (x1＋x2)2－4 x1x2 .
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 【母题 教材P51习题T3】已知关于x 的一元二次方 程x2－6x＋q=0 有一个根为2，求方程的另一个根 和q 的值.
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数 两根同为负数 两根异号，且正根的绝对值大 两根异号，且负根的绝对值大
感悟新知
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
感悟新知
∴－ba2－4·1a＝1.∴b2＝a2＋4a. ∴t＝10a－b2＝－a2＋6a＝－(a－3)2＋9. ∵－(a－3)2≤0， ∴t＝－(a－3)2＋9≤9，即 t 的最大值为 9.
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 二次项系数为1 的一元二次方程的性质
1. 以x1，x2 为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系
12，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12=0
B. x2＋7x＋12=0
C. x2＋7x－12=0
D. x2－7x－12=0
感悟新知