函数在现实生活中应用

数学教学中的生活教育反思
――函数在现实生活中的应用
钱学恒
一，不同函数在生活中的运用
1，一次函数在生活中的运用
一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。

当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。

例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。

这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。

俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。

”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。

下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。

我们再去超市中经常会遇到“选择性优惠”，很多人在面对不同的优惠方式时往往会中了商家的圈套，选择了那一种不值的优惠方式，但是，运用一次函数的知识可以很好地解决这个问题。

比如，有一次在美廉美超市购物，在快结账的出口的地方经常有一些促销的商品，有一次看见了一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。

更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。

其下还有前提条件是：购买茶壶3
只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。

由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。

设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x>3且x∈N)，则
用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60;
用第二种方法付款y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72.
接着比较y1y2的相对大小.
设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12.
然后便要进行讨论：
当d>0时，0.5x-12>0,即x>24;
当d=0时，x=24;
当d<0时，x<24.
综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数在4—23之间时，法（1）便宜.
可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！
2，二次函数在生活中的运用
由于二次函数拥有一个极点，通过这个点可以求出这个函数的最大值或者最小值来解决一些问题。

比如说，建粮仓的问题，列如：一个农场打算建一个粮仓，但是由于原料有限，必须利用有限的资源来达到最大的效益，下面是一些数据：
已经有了一堵墙，材料总长为120米，粮仓必须是正方形或者长方形，问如何建面积最大。

做了个草图，如右图所示：
由于是长方形，我们设宽为x ，则长
为120-x ，面积为(120-x)x, 展开为-x 2 +120x ，根据其性质。

可以得出当x=60时，
函数有最大值等于3600
又例如：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?
分析：
如果每件衬衫降价x 元，那么商场平均每天可多售出2x 件，则平均每天可售出(20+2x)件，每件盈利(40-x)元．
解：设每件衬衫降价x 元，那么商场平均每天可多售出2x 件．根据题意，得商场平均每天盈利
y =(20+2x)(40 -x)
=-2x 2 +60x+800．
根据函数的性质，可以得出当x=15时，函数有最大值1250
根据上面这两个例子，我们可以发现，二次函数在生活当中也有着重要的作用。

3,分段函数在生活中的运用
120 - 2x x x
前文写到一次与二次函数在生活中的运用，其实，分段函数在生活中也有如多应用之处，下面是一个列子：
1, 近年来，由于用电紧张，用电成本增加，为使居民节约用电，浙江省2004年8月1日抄见电量开始执行新的居民生活用电价格。

一户一表居民用户实施阶梯式累进电价：月用电量低于50千瓦时（含50千瓦时）部分不调整；月用电量在50千瓦时—200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.03元；月用电量超过200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.10元。

执行峰谷电价的居民用户以总电量与阶梯基数比对进行计算。

居民合表用户和学校等集体用户的电价每千瓦时上调0.02元。

双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行。

对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半按原电价计算，另一半按照调整后新电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量。

另：未安装峰谷电的用户价格为每度0.53元；安装峰谷电的用户计价方法为：从早上8时至晚上10时为峰电，价格为每度0.56元，从晚上10时至次日早上8时为谷电，价格为每度0.28元。

下面我们根据几个例子来体现以下分段函数的好处
（1）若甲用户未安装峰谷电，单月抄表，某月抄见总电量为150度，按规定他应缴纳多少电费？
150×0.53＋（150－50）×0.03＝82.5元
（2）若乙用户已安装峰谷电，单月抄表，某月抄见总电量为285度，其中峰电150度，谷电135度，按规定他应缴纳多少电费？
150×0.56＋135×0.28＋（200－50）×0.03＋（285－200）×0.10＝134.8元
根据这些简单的计算并不能算出如何合理的用电才能最节约，于是我们用分段函数将甲，乙的用电和应该交的电费的函数关系列出如下：
（1）对于甲用户：设他某月抄见电量为x 度，应缴纳电缆费
为y 元，则
0.53[0,50]0.53(50)0.03
(50,200]0.53(20050)0.03(200)0.10(200,)x x y x x x x x x ∈⎧⎪=+-⨯∈⎨⎪+-⨯+-⨯∈+∞⎩
① （2）对于乙用户：设他某月抄见电量为x 度，其中谷电量为
y （0≤y ≤x ）度，应缴纳电缆费为z 元，则
0.56()0.28[0,50]0.56()0.28(50)0.03
(50,200]0.56()0.28(20050)0.03(200)0.10(200,)
x y y x z x y y x x x y y x x -+∈⎧⎪=-++-⨯∈⎨⎪-++-⨯+-⨯∈+∞⎩
② 假设两用户抄见电量相同，均为x 度。

由①②知，两用户在
缴纳费用新标准下，上涨的费用是相同的。

所以要比较两用户的费用，只需比较0.53x 与0.56（x －y ）＋0.28y 的大小，则应讨论谷电量y 在总电量x 中所占百分比的多少。

当0.53x <0.56（x －y ）＋0.28y 时，解得328
y x <
，即谷电量占总
电量百分比小于11%时，甲用户比较划算；
当0.53x ＝0.56（x －y ）＋0.28y 时，即谷电量占总电量百分比
约等于11%时，两用户缴纳费用相等；
当0.53x >0.56（x －y ）＋0.28y 时，即谷电量占总电量百分比
大于11%时，乙用户比较划算。

通过上面这个列子，我们可以体会到分段函数在现实生活中
的重要用途。

4，三角函数在生活的应用
三角函数身为我们新接触的一个新函数，其实在现实生活中也是有实际的利用的，下面见下面这个列子：
如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中A TPS 是一座半径为90米的扇形小山，P 是弧TS 上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建在一个边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场PQCR 面积的最大值和最小值。

解：设)900(οο<<=∠θθPAB
延长RP 交AB 于M ，则θcos 90=AM ，θsin 90=MP 故矩形PQCR 的面积为 令)21( cos sin ≤<+=t t θθ 则 21cos sin 2-=⋅t θθ 故 当2=t 时 )(132429000140502max m S ≈-=
当9
10=t 时 )(9502min m S = 答：长方形停车场PQCR 面积的最大值是1324平方米，最小值是950平方米。

A B C
D T
S P Q
R M θ
二，后记
通过上面这几个列子的解析，相信大家对函数在生活中
的运用有了更多的了解，其实数学并不是枯燥的计算和分析，其实在生活中也有许多地方利用到函数的知识，所以为了以后可以更好地解决生活中的实际问题，我们要学好数学，以后为祖国的建设做出自己的贡献。