小波变换及其应用2014
小波变换及其在信号处理中的应用
小波变换及其在信号处理中的应用小波变换（Wavelet Transformation），是用来处理时-频局部分析的一种具有多分辨率的信号分析工具。
小波变换涉及到基函数与尺度函数的选择和求解，能够将时间域和频率域相结合，从而得到更加清晰、准确的分析结果。
因此，在信号处理中应用极为广泛。
一、小波变换的原理及基本概念小波变换其实就是把一个时域信号进行分解或重构，在分解中进行多分辨率分析，在重构中实现还原。
在进行小波变换处理时，我们需要先选定一组小波基函数，对原始信号进行一定的变换，从而实现信号的时间-频率分析。
小波基函数被分为一个系列，常见的有Daubechies小波、Haar小波、Coiflets小波、Symlets小波等。
这些小波函数不仅具有平滑性和对称性，而且能够在不同尺度上实现信号的精确分析，可以更加准确的描述信号的局部性质。
二、小波变换在信号处理中的应用小波变换具有很强的局部分析能力，不仅仅可以把时域和频率域联系在一起，还可以对复杂的信号进行分解和重构，从而得出更加准确的分析结果。
因此，在信号处理中，小波变换有着非常广泛的应用，如：1、地震探测地震信号是一个典型的非平稳信号，使用小波变换可以对地震信号进行多分辨率分析和孔径分辨率优化，从而提高地震探测的准确性。
2、医学图像处理在医学图像处理中，小波变换能够使用不同的小波函数对图像进行分解和重构，从而实现图像的去噪、增强、分割等处理，提高图像处理的效果和准确性。
3、音频处理小波变换可以将音频信号进行分解和重构，从而对音频进行时-频局部分析和处理，可用于音频去噪、降噪、分割、信号提取等，提高音频处理的效果和准确性。
4、金融分析小波变换可对金融数据进行分解，实现不同尺度、不同频率、不同时间的分析，提供金融数据的多维度分析，有利于对股市趋势进行判断和预测。
5、图像压缩小波变换能够将图像进行分解，通过去掉一些高频细节信息，实现图像压缩，从而实现图像的存储与传输，提高图像传输的速度和效率。
小波变换及应用(图像识别)
基于小波分析的视觉检测技术研究
不同特征的字符识别效果比较
特征
Hu矩 小波系数表示的矩 Zernike矩
所用特征数
7 7 26
识别准确率
75.4％ 73.7％ 98.7％
26
小波矩 37
99.4％
100％
基于小波分析的视觉检测技术研究
相似汉字识别样本
基于小波分析的视觉检测技术研究
相似汉字的识别结果
旋转不变性小波矩
• Zernike矩中的径向多项式 {Rnm ( )} 是一 个定义在变量 全局范围内的函数，因 而其所提取的特征也是图像的全局特征； 如果我们能够定义一个在变量 局部范 围内的函数，则其所提取的特征也应是 图像的局部特征 。 • 小波分析是一种多分辨率分析。因此局 部函数可以取为小波函数
55 50 45 40 35 30 25 20 15 10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
小波矩特征 ◇：mip00002的特征； * ：mip000021的特征； + ：mip00003的特征； ○ ：mip000031的特征； △：mip00004的特征； □ ：mip000041的特征；
基于小波分析的视觉检测技术研究
旋转不变性小波矩的推导
母小波
( , ) g ( )e
1 2
j
( s ,s )( , ) ( , ) s1 g (s1 ( )) s2 e
js2 ( )
旋转后的信号
f ( , )
f ( , )
Wf 0 ((s1 , s2 ), ( , )) Wf 1 ((s1 , s2 ), ( , ))
小波变换及其应用
小波变换及其应用小波变换是一种数学工具，可以将时间或空间上的信号分解成不同频率的成分。
它广泛应用于信号处理、图像压缩、模式识别、金融分析等领域。
本文将介绍小波变换的基本原理、算法和应用。
一、基本原理小波变换采用一组基函数，称为小波基。
小波基是一组具有局部化和可逆性质的基函数。
它们具有一个中心频率和一定的时间或空间长度，可以表示不同频率范围内的信号。
小波基函数可以表示为：y(t) = A * ψ(t - τ)/s其中，y(t)是信号的值，A是尺度系数，ψ是小波基函数，τ是位移参数，s是伸缩系数。
通过改变A、τ、s的值，可以得到不同频率、不同尺度的小波基。
小波变换的基本思想是将信号分解成不同频率的小波基函数，在不同尺度上进行分解，得到信号的多尺度表示。
具体来说，小波变换包括两个步骤：分解和重构。
分解：将信号按照不同频率和尺度进行分解，得到信号的局部频谱信息。
分解通常采用多层小波分解，每一层分解都包括高频和低频分量的计算。
重构：将小波分解得到的频域信息反变换回时域信号，得到信号的多尺度表示。
重构也采用多层逆小波变换，从小尺度到大尺度逐层反变换。
二、算法小波变换的算法有多种，包括离散小波变换（DWT）、连续小波变换（CWT）和快速小波变换（FWT）等。
其中离散小波变换最常用，具有计算速度快、计算量小、精度高等优点。
下面简要介绍DWT算法。
离散小波变换是通过滤镜组将信号进行分解和重构的过程。
分解使用高通和低通滤波器，分别提取信号的高频和低频成分。
重构使用逆滤波器，恢复信号的多尺度表示。
DWT的算法流程如下：1. 对信号进行滤波和下采样，得到低频和高频分量；2. 将低频分量进一步分解，得到更低频和高频分量；3. 重复步骤1和2，直到达到最大分解层数；4. 逆小波变换，将多尺度分解得到的信号重构回原始信号。
三、应用小波变换在信号和图像处理中有广泛应用。
其中最常见的应用是压缩算法，如JPEG2000和MPEG-4等。
小波变换在医学图像分析中的应用及其实例
小波变换在医学图像分析中的应用及其实例医学图像分析是现代医学领域中的重要研究方向之一，其目的是通过对医学图像的处理和分析，提取出有用的信息，帮助医生做出准确的诊断和治疗决策。
而小波变换作为一种有效的信号处理方法，已经被广泛应用于医学图像分析中。
小波变换是一种时频分析方法，与传统的傅里叶变换相比，具有更好的局部性和时频分辨率。
在医学图像分析中，小波变换可以用于图像去噪、边缘检测、特征提取等方面。
首先，小波变换可以用于医学图像的去噪。
在医学图像中，噪声是不可避免的，会影响到医生对图像的判断和分析。
而小波变换通过将图像分解为不同频率的子带，可以更好地分离图像中的噪声和信号。
通过对低频子带进行阈值处理，可以去除图像中的噪声，提高图像的质量。
其次，小波变换可以用于医学图像的边缘检测。
在医学图像中，边缘信息对于病变的定位和诊断非常重要。
而小波变换可以通过对图像进行多尺度分析，提取出不同尺度下的边缘信息。
通过对小波系数进行阈值处理和边缘检测算法，可以准确地提取出图像中的边缘信息，帮助医生做出准确的诊断。
另外，小波变换还可以用于医学图像的特征提取。
在医学图像中，不同病变具有不同的形态和纹理特征，通过提取这些特征可以帮助医生对病变进行分类和诊断。
而小波变换可以通过对图像进行多尺度分析，提取出不同尺度下的纹理特征。
通过对小波系数进行统计分析和特征提取算法，可以得到图像的纹理特征，用于病变的分类和诊断。
举个例子来说明小波变换在医学图像分析中的应用。
假设有一幅乳腺X光片，医生希望通过图像分析来判断是否存在肿瘤。
首先，医生可以使用小波变换对图像进行多尺度分解，得到不同频率的子带图像。
然后，医生可以对低频子带图像进行阈值处理，去除图像中的噪声。
接着，医生可以对高频子带图像进行边缘检测，提取出图像中的边缘信息。
最后，医生可以对小波系数进行统计分析，提取出图像的纹理特征。
通过对这些特征进行分类和诊断，医生可以判断出是否存在肿瘤。
图像处理中的小波变换算法及应用
图像处理中的小波变换算法及应用随着计算机技术的不断进步和发展，图像处理技术也得到了极大地提升和拓展。
小波变换作为一种新颖、实用的信号分析方法，已经广泛地应用于各种领域，特别是在图像处理领域中更是如此。
本文将介绍小波变换算法的基本概念、原理和应用。
一、小波变换算法的基本概念小波变换（Wavelet Transform）是一种基于时间-频率分析的数学工具，起源于哈尔小波，它可以将时间和频率分隔开来，可以生成比傅里叶变换更加精细的图像，更加精确地反映了信号的时间和频率信息。
小波分析的关键是选用不同的小波基函数（Wavelet Function）。
小波基函数是一个数学函数，通过不同的小波基函数的组合可以快速地对信号进行分解和重构。
小波基函数通常有多种不同的类型，如海涅小波、Daubechies小波、Symmlet小波等，每个类型又包含了不同的级别，即小波基函数的阶数，用于调整小波分析的分辨率和精度。
二、小波变换算法的原理小波变换算法包括离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）两种类型。
离散小波变换是对离散信号进行分析的，而连续小波变换则是用于连续信号分析。
在这里，我们主要介绍离散小波变换算法。
离散小波变换将原始信号分解成一组小波基函数的线性组合，每个小波基函数对应一个不同的频率，这样可以对信号进行不同尺度的分析。
小波分解的过程可以采用多层分解的方式，每一层分解后得到的是一个低频分量和一个高频分量，然后将低频分量再进行分解，直到分解到指定的层数为止。
连续小波变换通过将信号与窗口函数进行卷积得到小波系数，进而得到频谱。
它的计算方式与傅里叶变换类似，但连续小波变换可以同时提供时间和频率信息，更加适合于非平稳信号的分析。
三、小波变换算法的应用小波变换算法在图像处理中的应用非常广泛，例如：1. 压缩。
小波变换可以将信号分解为不同的频率分量，可以通过选择保留重要的分量来达到压缩的效果。
小波变换的压缩效果比傅里叶变换更加优秀，同时也可以将信号进行逐步近似，得到不同精度的压缩结果。
小波变换及其应用
小波变换及其应用
小波变换是一种多尺度分析的信号处理技术，可以将信号分解为不同
频率和时间尺度的小波分量，从而提供了更全面的信息，具有很广泛的应用。
以下为小波变换的主要应用：
1.信号压缩：小波变换具有如同离散余弦变换（DCT）、小波重构等
变换可压缩性，可以通过选取一定的小波基，剔除高频噪声等方法将信号
压缩到较小的尺寸。
2.信号去噪：小波变换能够将信号分解为多个尺度和频段的小波系数，因而，小波变换可以应用于信号去噪。
在小波域中对噪声尺度和频段进行
分析和滤波，可有效地去除噪声，使信号更加真实。
3.图像处理：小波变换可以将图像分为低频和高频两个部分，分别表
示图像中大面积变化和微小变化的部分。
图像压缩往往采用这种特性进行
处理。
4.音频处理：小波变换也是音频处理领域中广泛应用的技术。
对语音
信号进行小波分析，可以提取其频率、语气、声调信息等，为音频处理提
供更多信息。
5.金融数据分析：小波变换也被广泛应用于金融领域中，用于对金融
数据进行分析和预测。
通过小波分解，可以提取出不同的时间尺度和频率
对应的信息，进一步了解金融市场的趋势和波动情况。
总之，小波变换在信号处理、图像处理、音频处理、金融领域等方面
都具有广泛的应用。
小波变换及其在图像处理中的典型应用PPT课件
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的某些特征， 如边缘、纹理等。
小波变换可以将图像分解为不同频率的子图像，通过调整 小波系数，可以突出或抑制某些特征。增强后的图像可以 通过小波逆变换进行重建，提高图像的可视效果。
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THANKS
实现方式
通过将输入信号与一组小波基函 数进行内积运算，得到小波变换 系数，这些系数反映了信号在不 同频率和位置的特性。
特点
一维小波变换具有多尺度分析、 局部化分析和灵活性高等特点， 能够有效地处理非平稳信号，如 语音、图像等。
二维小波变换
定义
二维小波变换是一种处理图像的方法，通过将图像分解成不同频率和方向的小波分量， 以便更好地提取图像的局部特征。
实现方式
02
通过将小波变换系数进行逆变换运算，得到近似信号或图像的
原始数据。
特点
03
小波变换的逆变换具有重构性好、计算复杂度低等特点，能够
有效地恢复信号或图像的原始信息。
03
小波变换在图像处理中的 应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少 存储空间和传输带宽的需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率 的子图像，保留主要特征，去除冗余 信息，从而实现图像压缩。压缩后的 图像可以通过解压缩还原为原始图像。
图像融合
利用小波变换将多个源图像融合成一个目 标图像，实现多源信息的综合利用。
通过小波变换将多个源图像分解为不同频 率的子图像，根据一定的规则和权重对各个 子图像进行融合，再通过逆变换得到融合后 的目标图像。图像融合在遥感、医学影像、 军事侦察等领域有广泛应用，能够提高多源
信息的综合利用效率和目标识别能力。
小波变换原理与应用ppt课件
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
幅度 A |Y(f)|
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
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t 平面上 (t )e
it
的窗：
1 2
可见，当窗函数确定后，窗不随时间和频率的变化而变化。
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一 什么是小波
F ( , )
T 1 f s 2 fc fs
fs N , ; tn nT , f n f tn ; f k k ,ck F f k T N
Tp
ck f n e
n 0
N 1
j
2 k n N
,k 0 : N 1
n k 1 N 1 j 2N f n ck e ,n 0 : N 1 N k 0
Fk ,m F f k ,tm =F kF ,mT ,k ,m 0 : N 1
Fk ,m f nn m e
n 0
N 1
j
2 k n N
2 n 1 N 1 N 1 jNk f n Fk ,mn m e N k 0 m 0
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yanshi(1,1/10,3)
yanshi(1,1/2,3) yanshi(1,1,3)
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一 什么是小波
加窗傅里叶变换的离散型：
Tp f 1 1 T f s 2 f c ,N ,F s ; fs T N NT f n f tn f nT ,n 0 : N 1；
m tm mT ,m N : N
=
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0， t Ae (t ) ei0t ( 0)
2
ˆ 0， () e j -0 Ae
2 -0
4
( 0)
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一 什么是小波
对于给定的非平稳信号 f (t ) ,人们感兴趣的是信号在特 定的时间的频率成分。就像在音乐演奏中，演奏者需要知 道在什么时候演奏什么音调一样。 为了进行时-频定位分析，引入窗函数 (t ) ，形成加窗 傅里叶变换：
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演示： function yanshi(A,B,p)
fs=3000;Tp=50;T=1/fs;N=Tp/T;F=fs/N; t=-(N-1)*T:T:(N-1)*T; f=0:F:(N-1)*F; y=exp(-t).*(sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*1000*t));%信号 z=A*exp(-B*(t-p).^2);%窗函数 x=z.*y;%时刻p时窗下信号 s=x(N:2*N-1); c=fft(s); subplot(3,1,1); plot(t,x); subplot(3,1,2); c1=c(4975:5025)/300; plot(f(4975:5025),abs(c1)); subplot(3,1,3); c2=c(49950:50050)/300; plot(f(49950:50050),abs(c2));
f (t ) t eit dt
内的信息.
1 表达了信号在窗 2
的减小，时间分辨率变低，频率分辨率变高；
的增加，时间分辨率变高，频率分辨率变低。
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f (t ) 1 2
F ( )eit d
但不能体现这个频率成分是哪个时刻或哪个时间段的。即 不能提供时-频定位信息。因此，傅里叶变换是分析平稳
信号的有力工具。
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一 什么是小波
傅里叶变换离散型DFT（或FFT）： 假设信号的持续时间为 Tp ，含最高频率 fc 。采样间隔：
R R
ˆ d
2 2
d
=0
窗半径：
t t t dt R 1/ 2 t 2 dt R
* 2
= 1 4
12
2 * 2 ˆ d R ˆ 1/ 2 2 ˆ d R
F (w ,t ) = ò
+¥
-¥
f (t )j ( t - t ) e-频局部定位信息，且
f (t ) = 1 2p
ò ò
-¥
¥
+¥
-¥
F (w ,t )j ( t - t ) eiw t dt dw
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一 什么是小波
2 让我们从信号 f t L R 的分析谈起！
傅里叶变换：F ( ) f (t )，e
it
=
f (t )e it dt
能表示信号 f 的各频率成分的大小，且
一 什么是小波
例：窗函数 (t ) Aet ( 0) 的作用
2
ˆ () A e (t ) Aet ( 0)
2
4
2
( 0)
窗的中心： t *
t
R R
t t dt
2 2
dt
0
2 12
*
ˆ