1.2 第一课时 排列与排列数公式 课件(北师大选修2-3)

2．判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列．
(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞 赛有几种不同选法？ (2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数 学竞赛有几种不同选法？
(3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？
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解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序
答案：1 返回
x 8．(1)解方程 3A8＝4Ax－1； 9 x (2)解不等式：A6<6Ax 2. 6
－
1≤x≤8， 解：(1)由 1≤x－1≤9，
得 2≤x≤8.
又 3Ax＝4Ax－1， 8 9 3×8×7×…×(8－x＋1)＝4×9×8×7×…×(9－x＋2)，
3×8×7×…×(9－x)＝4×9×8×7×…×(11－x)， 3×(10－x)(9－x)＝4×9， (10－x)(9－x)＝12， x2－19x＋78＝0， x1＝6，x2＝13(舍)， 综上可知，原方程的解为x＝6. 返回
(1)A3 ＝10×9×8＝720. 10
(4 分)
A5＋A4 9×8×7×6×5＋9×8×7×6 9 9 (2) 6 ＝ A10－A5 10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6 10 9×8×7×6×5＋1 6 3 ＝ ＝ ＝ . (8 分) 10×9×8×7×6×5－1 10×4 20
被安排时，是否与顺序有关．
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[精解详析] 问题．
(1)选2名同学开会没有顺序，不是排列
(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问 题．
(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．
(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是 有顺序的，是排列问题．
Hale Waihona Puke Baidu
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[一点通]
判定是不是排列问题，要抓住排列的本质
[一点通]
在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序
排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，
在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位
并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能 不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．
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3．由1,2,3三个数字可组成________个不同数字的三位 数． 解析：三位数有123,132,213,231,312,321共6个． 答案：6
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问题3：若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一
项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下
午的活动．请列出来． 提示：甲上乙下，甲上丙下，乙上甲下，乙上丙下， 丙上甲下，丙上乙下． 问题4：问题1和问题3有何特点？ 提示：都与顺序有关．
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排列的定义
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照 一定的
问题3：从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个 没有重复数字的四位数？
提示：有6×5×4×3＝360种．
问题4：上述几个问题是如何解决的？ 提示：都利用了分步乘法计数原理． 问题5：若从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成 一列，有多少种不同的排法？
提示：有n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种．
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排列数
排列数定 义及表示 排列 数公 式 乘积 式 阶乘 式 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 的 所有排列的个数， 叫作从 n 个不同元素中
Am 表示 取出 m 个元素的排列数，用符号 n
Am＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n
n！ Am＝ n－m！ (n，m∈N＋，m≤n) n
顺序 排成一列， 叫作 从n个不同的元素中任意取出m个
元素 的一个排列.
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已知数字1,2,3,4,5,6. 问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字，能构成多少个
没有重复数字的两位数？
提示：有6×5＝30个． 问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个 没有重复数字的三位数？ 提示：有6×5×4＝120个． 返回
排列数 的性质
An＝ n！；A0 ＝ 1 ；0！＝1 n n
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1．判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素后是否考虑顺序，与
顺序有关的是排列 ，否则就不是排列．
2．排列与排列数是两个不同的概念．排列是一个 具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数，它是 一个具体的数．
特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与 顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相 同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关
键．
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1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人
中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的 三点中的任两点所作直线的条数为6. 其中为真命题的是 A．①② C．②③ 答案：A 返回 B．①③ D．①②③ ( )
－ Am－11· n－m An－m n－1！ n (3) ＝ · (n－m)！· An－1 [n－1－m－1]！ n－1
1 ＝1. n－1！
(12 分)
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[一点通]
m (1)排列数的第一个公式 An ＝n(n－1)…(n－
m＋1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方 程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从 n 起连续 写出 m 个数的乘积即可． (2)排列数的第二个公式 Am＝ n n！ 适用于与排列数 n－m！
1≤x≤6， (2)由 1≤x－2≤6，
得 3≤x≤6，且 x∈N＋.
又 Ax<6Ax 6 6
－2
6！ 6！ ⇒ <6· 6－x！ 6－x＋2！ ⇒(8－x)(7－x)<6 ⇒x2－15x＋50<0 ⇒(x－10)(x－5)<0 ⇒5<x<10. 综上可知 x＝6，不等式解集为{6}．
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[例 3]
(12 分)计算下列各题：
－ A5＋A4 Am－11· n－m An－m 9 9 n 3 (1)A10；(2) 6 ；(3) . A10－A5 An－1 10 n－1
[思路点拨] 对(1)(2)，直接用排列数的连乘形式公式计 算；对(3)，可利用排列数阶乘形式的公式证明．
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[精解详析]
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[例1]
下列哪些问题是排列问题：
(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？
(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？
(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？ (4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？ [思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是选出的元素在
有关的证明、解方程、解不等式等．
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5．已知A 2 ＝132，则n等于 n
A．11 C．13 B．12 D．14
(
)
解析：A 2 ＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0.因 n
为n∈N＋，所以n＝12.
答案：B
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m 6．已知 A10＝10×9×…×5，那以 m＝________.
解析：由排列数公式，得m＝6.
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4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，
A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C， D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图 如图．
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所以符合题意的所有排列是：
BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD， CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA.
排成一个三位数，写出所得到的所有三位数． [思路点拨] 可按顺序分步解决，然后利用树形图列
出所有的排列．
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[精解详析]
画出下列树形图，如下图．
由上面的树形图知，所有的三位数为： 123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312, 314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24个三位数． 返回
理解教材 新知 第 1 部 分
知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三
第 一 章
§2
第 一 课 时
把握热点 考向
应用创新 演练
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问题1：若甲、乙、丙三人站成一排照相，有哪些站法？ 请列举出来．
提示：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，
丙乙甲． 问题2：甲乙丙与甲丙乙是同一种站法吗？ 提示：不是．它们的顺序不同．
答案：6
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2A5＋3A6 9 9 7．计算： 6 ＝________. 9！－A10 解析：法一：
2×9×8×7×6×5＋3×9×8×7×6×5×4 原式＝ 9×8×7×…×1－10×9×…×5 2＋12 14 ＝ ＝ ＝1. 4×3×2－10 14 9！ 9！ 2 3 2 ＋3 ＋ 4！ 3！ 4！ 3！ 2＋3×4 法二：原式＝ ＝ ＝ ＝1. 10 10！ 4！－10 1－ 9！－ 4！ 4！
无关． (2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物 理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结 果，即与顺序有关． 不同排列为张红 张红；李明 李明；李明 张红；张红 赵华；赵华
赵华；赵华
李明．
(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关.
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[例2]
从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同数字
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排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素 有关，而且与元素的排列顺序也有关．在判断一个问
题是否是排列问题时，可按下列方法进行：
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