黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2020-2021学年高三年上学期期末考试理科数学试题教师版

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专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)

专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一求无参函数的单调区间万能模板内容使用场景知函数()f x 的解析式判断函数的单调性解题模板第一步计算函数()f x 的定义域；第二步求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二判定含参数的函数的单调性万能模板内容使用场景函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0；第三步根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三由函数单调性求参数取值范围万能模板内容使用场景由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步根据题意转化为相应的恒成立问题；第三步得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间；（2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性；（2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性；（2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（）（1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数．（1）若，证明：在单调递增；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数．（1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数．（1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点．【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。

吉林油田第十一中学2020-2021学年高三上学期第二次阶段考试数学(理)试题

2021届高三第二次阶段考试数学理试卷一、选择题（每题的四个选项中只有一个正确，每题5分，共60分.）1. 如果集合U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，A ={2，4，8}，B ={1，3，4，7}，那么（∁U A ）∩B 等于（） A. {}4 B. {1,3,4,5,7,8}C. {}2,8D. {1,3,7}D根据集合的基本运算求解即可. 由题{}1,3,5,6,7UA =,故{}1,3,7UA B ⋂=故选D本题主要考查集合的基本运算,属于基础题型.2. 已知1()5P AB =，2()5P A =，则()P BA ∣等于（） A. 225 B. 12 C. 35D.14B直接利用条件概率公式求解.因为1()5P AB =，2()5P A =，所以1()52))512((P AB P BA P A ===∣，故选：B 本题主要考查条件概率的求法，属于基础题.3. 已知集合{}22355M a a =-+，，，集合{}216103N a a =-+，，，且{}23M N =，，则a 的值是（） A. 1或2 B. 2或4C. 2D. 1C 因为 {}23M N =，，所以有 2,3N M ∈∈ ，所以 223536102a a a a ⎧-+=⎨-+=⎩，解得2a = ，故选C4. 下列结论错误的是（）A. 命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”.B. 若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题.C. 命题p ：“0x ∀≥，都有1x e x ≥+”，则命题p 的否定为：00,x ∃<使001xe x <+D. “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件. C根据逆否命题的定义判断A 的正误；根据复合命题真假关系判断B 的正误；利用全称命题的否定的特征判断C 的正误；利用充分不必要条件判断D 的正误.解：对于A ，命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”故A 正确；对于B ，当p 假q 假时，才有p q ∨为假命题，故B 正确；对于C ，命题p ：“0x ∀≥，都有1x e x ≥+”，则命题p 的否定为：00,x ∃≥使001xe x <+，故C错误，对于D ，2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，前者推出后者，后者不能推出前者，所以D 正确；故选：C ．本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大． 5. 已知p ：2x <；q ：220x x --<，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B分别求出p 、q 对应的不等式的解，进而可选出答案. 由题意，222x x <⇔-<<，即p ：22x -<<；22012x x x --<⇔-<<，即q ：12x -<<，所以q p ⇒，pq ，即p 是q 的必要不充分条件.故选：B.本题考查绝对值不等式及一元二次不等式的解法，考查命题的充分性与必要性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题. 6. 若随机变量X 的分布列如下所示且E (X )＝0.8，则a 、b 的值分别是（） A. 0.4，0.1 B. 0.1，0.4 C. 0.3，0.2 D. 0.2，0.3B由随机变量X 的分布列概率之和为1得到0.5a b +=，再结合E (X )＝0.8求解. 由随机变量X 的分布列得：0.20.31a b +++=，所以0.5a b +=，又因为()10.20120.30.8E X a b =-⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.4b =，所以0.1a =，故选：B7. 在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为 A. 0.28 B. 0.12 C. 0.42 D. 0.16B两人考试相互独立，所以是相互独立事件同时发生的概率，按照公式求即可. 甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.30.40.12⨯=．选B. 本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.8. 设随机变量ξ服从16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)P ξ=的值是（）A. 516B.316C.58D. 38A分析】根据二项分布公式，计算概率.16,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()636153216P C ξ⎛⎫∴==⋅= ⎪⎝⎭.故选：A本题考查二项分布，属于基础题型.9. 若随机变量14,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()21D X E X ++=（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6D利用二项分布的期望和方差公式分别求得()E X 、()D X ，再结合期望的性质可求得所求代数式的值. 因为随机变量14,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1422E X =⨯=，()21412D X ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，因此，()()()()212112216D X E X D X E X ++=++=+⨯+=.故选：D.10. 一只袋内装有m 个白球，n m -个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于23)mnn m A A -（的是（） A. (3)P X = B. (2)P X ≥ C. (3)P X ≤ D. (2)P X =D当2X =时，前2个拿出白球的取法有2m A 种，再任意拿出1个黑球即可，有1n m C -种取法，在这3次拿球中可以认为按顺序排列，由此能求出结果．当2X =时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有2m A 种取法，再任意拿出1个黑球即可，有1n m C -种取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即3n A ，21233()(2)m n m mn nA C n m A P X A A --===．故选：D ．本题考查超几何分布概率模型，考查运算求解能力，属于基础题. 11. 下列关于回归分析的说法中错误的是（）A. 由样本数据得到的回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点的中(),x y B. 甲、乙两个模型的2R 分别约为0.9和0.8，则模型甲的拟合效果更好C. 若残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，则说明选用的模型比较合适D. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线D根据回归分析的基本思想逐项排除即可.A 项，由回归直线方程可知，回归直线一定经过样本中心(),x y ，故A 项表述正确；B 项，相关指数R 2取值越大，说明残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B 项表述正确；C 项，残差图可用于判断模型的拟合效果，残差点较均匀地落在水平的带状区域，说明拟合效果较好，模型较合适；残差点之间相差越大，形成的带状区域越宽，则拟合效果越差，故C 项表述正确；D 项，回归直线就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法，找拟合效果最好的直线，不一定经过样本数据点最多的那条直线，故D 项表述错误；故选：D. 本题主要考查回归分析的基本思想及应用.12. 已知集合{}|1A x x =≥，集合{}|33,B x a x a a R =-≤≤+∈.若B A ⊆，则实数a 的取值范围（）. A. (],2-∞ B. []0,2 C. []04， D. []22-，A先判断集合B 是集合A 的子集，再分B =∅和B ≠∅两种情况讨论求实数a 的取值范围即可. 解：因为B A ⊆，所以集合B 是集合A 的子集，当B =∅时，则33a a ->+，解得0a <，满足题意；当B ≠∅时，则33a a -≤+且31a -≥，解得：02a ≤≤，综上所述：实数a 的取值范围为(],2-∞故选：A.本题考查利用集合的包含关系求参数的范围，还考查了分类讨论的数学思想，是基础题. 二.填空题(每题的四个选项中只有一个正确，每题5分，共20分)13. 已知()21,X N σ～，若()20.8P ξ<=，则()02P ξ<<=______．0.6由正态分布的对称性得正态密度曲线的对称轴为1x =，进而根据题意得()120.3P ξ<<=，故()()100.6222P P ξξ<<=<<=解：因为()21,X N σ～，所以正态密度曲线的对称轴为1x =因为()20.8P ξ<= 所以()120.3P ξ<<=，所以()()1220.3022.60P P ξξ<<=⨯=<<= 故答案为：0.614. 已知x 与y 之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为 2.10.25y x =-，则m 的值为______．m =4.5由题得52x =，1(15.5)4y m =+，解方程15(15.5) 2.10.2542m +=⨯-即得解. 由题得15(1234)42x =+++=，11( 3.2 4.87.5)(15.5)44y m m =+++=+，所以15(15.5) 2.10.2542m +=⨯-，所以 4.5m =. 故答案为：m =4.5结论点睛：回归方程经过样本中心点(,)x y ，这个结论是回归方程的一个重要知识点，要理解掌握并灵活运用.15. 若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围__________．13a -<<由题意：x 2＋(a －1)x ＋1＞0恒成立．则对应方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实数根．则Δ＝(a －1)2－4＜0，即a 2－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3.16. 已知盒中装有()1n n >个红球和3个黄球，从中任取2个球（取到每个球是等可能的），随机变X 表示取到黄球的个数，且X 的分布列为：则n =________；()E X =________． (1). 3 (2). 1由分布列中的数据，结合古典概率可知2231(0)5n n C P X C +===，即可求n ，然后求出1X =，2X =的概率，由期望公式求()E X ；由题意知：2231(0)5n n C P X C +===，解之得：3n =或12n =-(舍去)；∴由3n =，有：1133263(1)5C C a P X C ====，23261(2)5C b P X C ====，由2131()0121555n E X np ===⨯+⨯+⨯=∑；故答案为：3；1本题考查了利用分布列部分数据，结合古典概型的概率求参数并补全分布列中的数据，由所得完整的分布列数据求期望，属于简单题；三、解答题(共40分)17. 已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |4<x <10}. （1）求A B ；（2）求(∁R A )∩B ；（1）[3，10)；（2）[7，10). （1）利用集合的并集运算求解.（2）先求得集合A 的补集，再利用交集运算求解. （1）因为集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |4<x <10}. 所以A B =[3，10)；（2）因为集合A ＝{x |3≤x <7}，所以{|3RA x x =<或}7x ≥，所以(∁R A )∩B=[7，10)；18. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.（1）45x <<；（2）523m ≤≤（1）由p q ∧为真，可知,p q 都为真，进而求出命题,p q ，可得到答案；（2）先求出命题,p q ，由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，可得p 是q 的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m 的取值范围.详解】由27100x x -+<，解得25x <<，所以p ：25x <<，又22430x mx m -+<，且0m >，解得3m x m <<，所以q ：3m x m <<. （1）当4m =时，q ：412x <<，因为p q ∧为真，所以,p q 都为真，所以45x <<.（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为p ：25x <<，q ：3m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得523m ≤≤.本题考查一元二次不等式的解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.19. 某中学在2020年元旦校运动会到来之前，在高三年级学生中招募了16名男性志愿者和14名女性志愿者，其中男性志愿者，女性志愿者中分别有10人和6人喜欢运动会，其他人员均不喜欢运动会.（1）根据题设完成下列22⨯列联表：（2）能否有95%的把握认为喜欢运动会与性别有关？并说明理由.注：()()()()()()22n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++临界值表：（1）填表见解析；（2）没有95%的把握认为喜欢运动会与性别有关. （1）根据题中条件直接得出数据填入表中；（2）计算出卡方值，和3.841比较可判断. （1）（2）2230(10866) 1.158(106)(68)(106)(68)K ⨯⨯-⨯=≈++++, 因为1.158 3.841<，所以没有95%的把握认为喜欢运动会与性别有关. 本题考查数据的处理，以及独立性检验，属于基础题.20. 在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题可能性均为12. （1）求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；（2）设这4名考生中选做第15题学生数为ξ个，求ξ的分布列．（1）12；（2）分布列见解析. （1）根据题意，甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB AB +”，结合相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且1(4,)2B ξ，结合概率的计算公式求得相应的概率，即可求解.（1）设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB AB +”，且事件A 、B 相互独立．所以11111()()()()()(1)(1)22222P AB AB P A P B P A P B +=+=⨯+-⨯-=.（2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且1(4,)2B ξ，则4444111()()(1)()(0,1,2,3,4)222k k k k P C C k ξ-=-==，所以变量ξ的分布列为：独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略：1、在求n 次独立重复试验中事件发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求解；2、在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键时理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率.。

江西省贵溪市实验中学高中部2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

贵溪市实验中学高中部2020-2021学年第一学期期末考试高一数学试卷时间120分钟，满分150分.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2,4210,{3}U A x x x B x x ==-->=∈>R N ∣∣，则()UA B ⋂=（）A. {37}xx <∣ B. {33}x x -∣ C. {4.5,6}D. {4,5,6,7}【答案】D 【解析】【分析】按集合补运算并化简集合后求交. 【详解】{}24210{37}UA x x x x x =--=-∣∣，(){37}{4,5,6,7}U A B x x ∴⋂=∈<=∣N故选:D.2. 设0.813a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.93b =，0.80.7log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：0.80.8013313a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.90.8331b a ∴=>=>，又0.80.70.70.7log log 1c =<=，c a b ∴<<.3. cos45sin75sin 45sin165︒︒+︒︒的值为（）A.B. C.12D. 12-【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式进行化简，即可求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，可得cos45sin75sin 45sin165︒︒+︒︒cos45cos15sin 45sin15=︒︒+︒︒()cos 4515cos302=︒-︒=︒=. 故选：A .【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查运算与求解能力，属于基础题. 4. 将函数sin(2)6y x π=-图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（） A. 3x π=B. 6x π=C. 12x π=D. 12x π=-【答案】C 【解析】试题分析：将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移4π个单位得到sin 2sin 2463y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令232122k x k x πππππ+=+∴=+，当0k =时得对称轴为12x π= 考点：三角函数性质 5. 函数3()ln f x x e=-的零点所在区间为（） A. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,eC. ()2,e eD. ()23,e e【答案】C【分析】根据对数函数性质判断函数在()0,∞+上是增函数，再通过计算又1f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1)f ，()f e ，2()f e ，发现2()()0f e f e ⋅<，即可得到零点所在区间.【详解】3()ln =-f x x e在()0,∞+上是增函数，又1133ln10⎛⎫=-=--< ⎪⎝⎭f e e e e ，33(1)ln10=-=-<f e e ，33l )10n (=-<-=f e ee e ，2233)0ln (2-=-=>e f e e e，2()()0∴⋅<f e f e ，根据零点存在性定理可知，函数3()ln f x x e=-的零点所在的大致区间是()2,e e故选：C6. 已知向量a ，b 满足||1a =，||3b =，且a 与b 的夹角为6π，()(2)+⋅-=a b a b （）. A.12B. 32-C. 12-D.32【答案】A 【解析】【分析】由向量的数量积运算公式展开计算即可.【详解】2221()(2)221cos62a b a b a +a b b +π+⋅-=⋅-=-=，故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的公式及其运算性质，属于基础题7. 已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是（） A. 15,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B. 15,22⎛⎫⎪⎝⎭C. 31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】由题得函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)3f =，再根据函数的图象得到2232x -<-<，解不等式即得解.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)3f -=，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)3f =，因为(23)3f x -<，所以2232x -<-<，所以1522x <<. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8. 已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A. b a c <<B. c b a <<C. b c a <<D. a b c <<【答案】A 【解析】【分析】推导出函数()f x 为()1,+∞上的增函数，且有()()11f x f x +=-，可得出52a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则()()21f x f x >，所以，函数()f x 为()1,+∞上的增函数，由于函数()1f x +是偶函数，可得()()11f x f x +=-，1335112222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53212>>>，因此，b a c <<.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.9. 设向量,a b →→满足1a b →→==，12a b →→⋅=，则()a x b x R →→+∈的最小值为（）A.B.C. 1D.【答案】B 【解析】【分析】两边平方，得出2a xb →→+关于x 的二次函数，从而得出最小值.【详解】解：222222132124a x b a x a b x b x x x →→→→→→⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，a x b →→+=故选：B.【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题. 10. 若函数()22xf x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是( ) A. (2,0)- B. (1,0)- C. (0,1)D. (0,2)【答案】D 【解析】分析】【详解】作函数g (x )=|2x −2|的图象如下,∵函数f (x )=|2x −2|−b 有两个零点, 结合图象可知,0<b <2，本题选择D 选项.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令f (x )=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )＜0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点．11. 函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是（）A. ()5221212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， B. ()51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， C. ()511221212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， D. ()5111212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式变形,然后求出sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的增区间得答案. 【详解】解:sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故选：B.【点睛】本题主要考查了诱导公式的应用以及正弦函数的单调性，属于基础题. 12. 数学中一般用{}min ,a b 表示a ，b 中的较小值．关于函数(){}min sin 3cos ,sin 3cos f x x x x x =+-有如下四个命题：①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的图象关于直线3π2x =对称； ③()f x 的值域为[]22-,； ④()f x 在区间ππ,64⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增．其中是真命题的是（）． A. ②④ B. ①②C. ①③D. ③④【答案】A 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，利用图象确定函数的性质，判断各个命题．【详解】根据题意作出()y f x =的部分图象如图所示(图中实线部分)，因为函数π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭和π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期均为2π，所以()f x 的最小正周期为2π，故①错误；由图可知()f x 的图象的对称轴位于两条正弦曲线的交点处，由sin 3sin 3x x x x +=-得cos 0x =，所以()ππ2x k k =+∈Z ，所以②正确；当()π2π2x k k =+∈Z 时，()f x 取得最大值1，且容易看出()f x 的最小值为2-，所以()f x 的值域为[]2,1-，故③错误；当ππ,64x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时πππ,3212x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，可得()f x 在区间ππ,64⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故④正确．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的基本性质，求三角函数的周期、对称轴、值域以及单调性．解题方法是数形结合思想方法，作出函数的图象，通过图象确定函数的性质，得出结论．二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13. 若tan 2θ=，则θθθθ+=-sin 2cos 2sin 3cos ________.【答案】4 【解析】【分析】θθθθθθ++=--sin 2cos tan 22sin 3cos 2tan 3，然后可得答案. 【详解】因为tan 2θ= 所以θθθθθθ+++===--⨯-sin 2cos tan 22242sin 3cos 2tan 3223故答案为：414. 已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2()log 1f x x =-，则()3f =_________. 【答案】2- 【解析】【分析】求出()3f -的值，利用奇函数的定义可求得()3f 的值.【详解】因为()f x 为奇函数，当0x <时，()2()log 1f x x =-，()23log 42f ∴-==，因此，()()332f f =--=-. 故答案为：2-.15. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，点O 为对角线AC 与BD 的交点，点E 在边CD 上，且2DE EC =，则OE =________.（用a ，b 表示）【答案】1126b a + 【解析】【分析】结合平面向量共线定理及线性运算即可求解．【详解】解：由题意可得，23DE DC =， ∴1223OE OD DE BD DC =+=+，()121111232626AD AB AB AD AB b a =-+=+=+，故答案为：1126b a +．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．16. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当(]0,1x ∈时，()21log f x x=，若函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点，则实数m 的取值范围是__________.【答案】742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】根据条件，易得函数()f x 是关于()1,0对称，以2为周期的奇函数，再根据(]0,1x ∈时，()21log f x x=，在同一坐标系中作出函数()y f x =，()sin y x π=的图象，利用数形结合法求解. 【详解】因为()f x 奇函数，且()()20f x f x -+=，所以()()2f x f x -=-，即函数()f x 是关于()1,0对称，以2为周期的奇函数，又(]0,1x ∈时，()21log f x x=，在同一坐标系中作出函数()y f x =，()sin y x π=的图象如图所示：因为函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点，所以函数()y f x =，()sin y x π=在区间[]1,m -上有且仅有10个交点，由图知：实数m 的取值范围是742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故答案为：742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【点睛】方法点睛：函数零点求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则构造两个函数，将问题转化为两个函数图象的交点问题求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.17. 求值：（1）211log 3443(3)(0.008)2+2lg 5lg 4π+--++（2）已知13x x -+=，求1122x x -+的值．【答案】（1）10π+；（25【解析】【分析】（1）根据指数幂与对数的运算法则，即可求解；（2）由2112112()2x x x x--=+++，代入即可求解.【详解】（1211log 3443(3)(0.008)2+2lg 5lg 4π+--++2log 313522+2(lg 5lg 2)π=-++⋅+3523+210ππ=-++⨯=+.（2）因为13x x -+=，可得1122112111122)2(25x x x x x xx x ----=++⋅+++==，又由112200,x x->>，所以1122x x -+=18. 已知11sin(2)cos()cos cos 22()cos(2)9sin(3)cos sin 22f πππαπααααπαπππααα⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()f α=，求11sin cos αα+的值.【答案】（1）sin cos αα+；（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简()fα；（2）结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值. 【详解】（1）sin()(cos )sin (sin )()cos sin cos sin (sin )cos f ααααααααααα-⋅-⋅⋅-=+=+⋅-⋅（2）()sin cos 5f ααα=+=两边平方并化简得112sin cos 5αα+=， 2sin cos 5αα∴=-11sin cos 52sin cos sin cos 25αααααα+∴+===--. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题.19. 函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的一段图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间，并指出()f x 的最大值取到最大值时x 的集合．【答案】（1）()13sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）函数的增区间为34,422k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；取到最大值时x 的集合为34,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【解析】【分析】（1）根据函数图象结合()()sin f x A x =+ωϕ的性质求解即可；（2）利用整体换元思想计算即可得答案. 【详解】解：（1）由函数的图象可得3A =，33274422T πππω=⨯=-，解得12ω=．再根据待定系数法得1222k πϕπ⨯+=，k Z ∈，由2πϕ<，则令0k =，得4πϕ=-，∴()13sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）令1222242k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，解得34422k x k ππππ-≤≤+，故函数的增区间为34,422k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．所以函数的最大值为3，此时2242x k πππ-=+，即342x k ππ=+，k Z ∈，即()f x 的最大值为3，取到最大值时x 的集合为34,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查利用三角函数图象求函数解析式，函数的单调区间与最值，考查运算能力，是中档题. 20. 已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =. （1）若35c =，且//a c ，求c ；（2）若2b =，且()()2a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角的余弦值.【答案】（1）()3,6c =或()3,6c =--；（2）. 【解析】【分析】（1）设(),c x y=，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x =⎧= （2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-=，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=-，最后由cos ,a b a b a b⋅=⋅即可得解.【详解】（1）设(),c x y =，因()1,2a =，//ac ，35c =，所以2y xx y =⎧+=⎪⎩36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩，所以()3,6c =或()3,6c =--；（2）因为()1,2a =，所以14a =+ 又()()2a b a b +⊥-，2b =，所以()()22225220a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=，所以1a b ⋅=-，所以cos ,105a b a b a b⋅===-⨯⋅.【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于21. 已知函数()()2sin cos cos 21f x x x x =++-（1）求f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间[,44ππ-]上的最大值和最小值. 【答案】（1）π；（2，最小值1-. 【解析】【分析】（1）化简函数得())4f x x π=+，从而可得周期；（2）由[,]44x ππ∈-，得32[,]444x πππ+∈-，从而可得最值. 【详解】函数()()2sin cos cos 21sin 2cos 2)4f x x x x xx x π=++-=+=+.（1）最小正周期为22ππ=；（2）由[,]44x ππ∈-，得32[,]444x πππ+∈-，当242x ππ+=，即8x π=时，f (x )；当244x ππ+=-，即4πx =-时，f (x )取最小值1-.【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性和最值，涉及辅助角公式，属于基础题.22. 已知向量()2sin ,cos a x x =，()3cos ,2cos b x x =，定义函数()1f x a b =⋅-.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间. （2）求使不等式()f x x 的取值集合；（3）先将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的26π个单位，得到函数()h x 的图象，若不等式()21cos 03h x x m +->在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）π；()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,124x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（3）13m ≤. 【解析】（1）化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即得函数的最小正周期，解不等式3222262k x k πππππ+≤+≤+即得函数的单调递减区间；（2）解不等式sin 26x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即得解集；（3）先求出()2h x x=，再转化得到原不等式等价于2111232t t m -++>在0,1上恒成立，求得()()113g t g >=，即得解.【详解】()212cos 2cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭（1）所以函数的最小正周期22T ππ==，令3222262k x k πππππ+≤+≤+，则()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()f x 的单调递减区间为，()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题得sin 262x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以22+22+363k x k k Z πππππ≤+≤∈，，所以,124k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以不等式的解集为,124xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（3）先将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到2sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，纵坐标缩短到原来的4得到y sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；再向右平移6π个单位，得到函数()2h x x =的图象，∴()222111111cos sin cos cos cos 323232hx x x x x x +=+=++ 设cos t x =，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得()0,1t ∈则原不等式等价于2111232t t m -++>在0,1上恒成立. 设()2111232g t t t =-++，()0,1t ∈，则()()113g t g >=，所以13m ≤.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的图象变换和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

第三关以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)

专题一压轴选择题第三关以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一四面体的外接球问题典例1．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若ABC 的面积为,ABC S OBC 的面积为,OBC S PBC 的面积为PBC S ，满足2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，当,,PAB PBC PAC 的面积之和的最大值为8时，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（）A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π 【来源】山西省晋中市2022届高三上学期1月适应性调研数学（理）试题【举一反三】在四边形ABCD 中（如图1所示），AB AD =，45ABD ∠=，2BC BD CD ===，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '（如图2所示），使得90A BC ∠='，E ，F ，G 分别为棱BC ，A D '，A B '的中点，连接EF ，CG ，则下列结论错误的是（）．A ．A C BD '⊥B ．直线EF 与CG 45C ．C ，E ，F ，G 四点不共面D ．四面体A BCD '外接球的表面积为8π【来源】陕西省2022届高三上学期元月联考理科数学试题类型二三棱柱的外接球问题典例2．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底边长为a ，高为h ，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（） A ．482 B ．242 C ．962 D ．122【来源】内蒙古包头市2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题【举一反三】在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，12BB π=，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P 在三棱柱内部或表面上运动，且2PA PM =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（）A ．12B ．13C ．14D ．15【来源】贵州省贵阳市2021届高三适应性考试数学（理）试题（一）类型三四棱锥的外接球问题典例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，PB ⊥底面ABCD .若1PB AB CD AD ====， 2BC =，则这个四棱锥的外接球表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三下学期入学考试文科数学试题【举一反三】已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -82π，则该四棱锥的表面积为（） A ．3B ．63C ．83D ．103【来源】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（理）试题类型四几何体的内切球问题典例4．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（）A ．3B 153C 153D 153【来源】江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科数学试题【举一反三】由棱长都为1的4个正四面体和1个正八面体，组合成一个正四面体，再将此正四面体削切、打磨成最大的球，则该球体积为（）A 6B 6C ．354D 646 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期5月质量检测文科数学试题【精选名校模拟】1．已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（）A ．128πB ．132πC ．144πD ．156π【来源】湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三上学期1月质量检测数学试题2．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，其底面ABCD 是平行四边形，外接球体积为36π，若1AC BD ⊥，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为（）A ．8πB ．24310πC ．8110πD ．6π【来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题3．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，PA a =，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．343aB ．23a πC ．332a πD ．212a【来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题4．在三棱锥P ABC -中，22AB AC ==，120BAC ∠=，26PB PC ==，25PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学（理）试题5．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，23AB =，D 是侧面11BCC B 的中心，球O 与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD 被球O 截得的弦长为（）A ．1010B ．105C ．31010D ．31056．如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且22CB =，6AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（）A 510B ．10πC ．9πD ．(423π+7．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OB PBC C S S S ⋅=，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（）A ．8B ．10C ．18D ．22【来源】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（理）试题8．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为233，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（）A ．5πB ．8πC ．16πD ．20π【来源】河南省河南大学附属中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学文科试题9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（）A ．45π2B 455πC ．30πD ．45π【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（文）期末试题10．在菱形ABCD 中，3A π=，3AB =△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面角P BD C--的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（） A ．23πB ．27πC ．72πD ．112π 【来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学（文）试题多选题11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào ）.如图，三棱锥D ABC -为一个鳖臑，其中DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2DA AB BC ===，AM DC ⊥，M 为垂足，则（）A ．AM ⊥平面BCDB ．DC 为三棱锥D ABC -的外接球的直径C ．三棱锥M ABD -的外接球体积为43πD ．三棱锥M ABC -的外接球体积与三棱锥M ABD -的外接球体积相等【来源】河北省张家口市2022届高三上学期期末数学试题12．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38a C ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(1483)a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '3 【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题。

【精准解析】山东省实验中学2020-2021学年上学期期中考试高一数学试卷

山东省实验中学2020~2021学年第一学期期中高一数学试题2020.11第Ⅰ卷一、单项选择题1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5A =，{}1,3,6B =，则()UA B =（）A. {}4B. ∅C. {}1,2,4,5,6D.{}1,2,3,5,6【答案】C 【解析】【分析】先利用交集的运算求得AB ，再利用补集运算求解.【详解】因为{}2,3,5A =，{}1,3,6B =，所以{}3A B ⋂=，又全集{}1,2,3,4,5,6U =，所以()UA B ={}1,2,4,5,6,故选：C2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. ()2f x x =，()22x g x x =B. ()f x x =，()g x =C. ()211x f x x -=-，()1g x x =+D. ()f x =()g x =【答案】B 【解析】【分析】根据同一函数的判定方法，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，()2f x x =的定义域为R ，()22x g x x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，定义域不同，不是同一函数； B 选项，()f x x =和()2g x x =的定义域都为R ，且()2g x x x ==，对应关系一致，所以是同一函数；C 选项，()211x f x x -=-的定义域为()(),11,-∞+∞，()1g x x =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数； D 选项，()11f x x x =+⋅-的定义域为[)1,+∞，()21g x x =-的定义域为(][),11,-∞-+∞，定义域不同，不是同一函数.故选：B.3. 命题：“30,0x x x ∀≥+≥”的否定是（） A. 30,0x x x ∀<+< B. 30,0x x x ∀<+≥ C. 30,0x x x ∃≥+< D. 30,0x x x ∃≥+≥【答案】C 【解析】【分析】利用全称命题的否定可得出结果.【详解】命题“30,0x x x ∀≥+≥”为全称命题，该命题的否定为“30,0x x x ∃≥+<”. 故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定改写，注意量词与结论的变化，属于基础题. 4. 在同一坐标系中，函数()1f x ax a=+与()2g x ax =的图像可能是（） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】分0a >和0a <两种情况，根据一次函数和二次函数的图象和性质判断. 【详解】因为当0a >时，()1f x ax a=+是增函数，与y 轴的交点在正半轴上，()2g x ax =的开口向上；当0a <时，()1f x ax a=+是减函数，与y 轴的交点在负半轴上，()2g x ax =的开口向下；所以只有A 中的图象符合，故选：A5. 已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元.设1枝郁金香的价格为A 元，1枝丁香的价格为B 元，则A ，B 的大小关系为（） A. A B > B. A B =C. A B <D. 不确定【答案】A 【解析】【分析】本题先根据题意建立不等式组，再解不等式组判断A ，B 的大小关系即可.【详解】解：由题意：45226324A B A B +<⎧⎨+>⎩，解得10B A -<-<，则A B >故选：A【点睛】本题考查不等关系的大小比较、不等式的性质，是基础题.6. 若函数()y f x =为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，又()30f =，则不等式()()02f x f x x+-<的解集为（）A. ()3,3-B. ()(),33,-∞-+∞C. ()(),30,3-∞-D. ()()3,03,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据函数奇偶性，将所求不等式化为()0f x x<；再由函数单调性，以及(3)0f =，即可求出结果.【详解】∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，∴()()02f x f x x+-<可转化为()0f x x <．而()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(3)0f =，故当3x >时，()0f x <；当30x -<<时，()0f x >．故()0f x x<的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞．故选：D7. 若正实数a ，b 满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（）A.193B. C. 5D. 【答案】C 【解析】【分析】根据1a b +=，将33b a b +，变形为33333333b b a b b a a b a b a b++=+=++，利用基本不等式求解.【详解】因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以3333335333b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=，当且仅当334b a ==时，取等号，所以33b a b+的最小值为5 故选：C8. 定义域是R 的函数()f x 满足()()f x f x =--，当(]0,2x ∈时，()(](]2,0,1,1,1,2,x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩若[)2,0x ∈-时，()142t f x t ≥-有解，则实数t 的取值范围是（）A. (),22⎡-∞-⋃-+∞⎣B. ((,20,2-∞-⋃+C. ((,20,2-∞-⋃-+D. ((,-∞⋃【答案】B 【解析】【分析】先由(]0,2x ∈时的解析式，求出对应的最小值，根据函数奇偶性，得到()f x 在[)2,0x ∈-时的最大值，由()max 142t f x t≥-求解，即可得出结果. 【详解】因为(]0,2x ∈时，()(](]2,0,11,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，当(]0,1x ∈时，由二次函数的性质，易得()22111,0244f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当(]1,2x ∈时，()[)11,0f x x =-+∈-，所以(]0,2x ∈时，()[]1,0f x ∈-；又定义域是R 的函数()f x 满足()()f x f x =--，即函数()f x 是奇函数，关于原点对称，所以[)2,0x ∈-时，()[]0,1f x ∈，因为[)2,0x ∈-时，()142t f x t≥-有解，所以只需()max 142t f x t ≥-，即1142t t ≥-，整理得24204t t t --≤，所以24200t t t ⎧--≤⎨>⎩或24200t t t ⎧--≥⎨<⎩，解得02t <≤+2t ≤故选：B.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据已知区间的分段函数求出对应的值域，结合函数奇偶性，得出()f x 在[)2,0x ∈-时的最大值，即可求解.二、多项选择题9. 满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,M a a a a a =的集合M 可能是（）A. {}12,a aB. {}123,,a a aC. {}124,,a a aD.{}1234,,,a a a a【答案】AC 【解析】【分析】由交集的结果知集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，由此可判断．【详解】∵{}{}12312,,,Ma a a a a =，∴集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，∴12{,}M a a =或124{,,}M a a a =．故选：AC ．【点睛】本题考查由集合的交集求参数，掌握交集的定义是解题基础． 10. 设函数()f x 定义域()1,1-，且满足：①()1,0x ∈-时，()0f x >；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，(),1,1x y ∈-则下列说法正确的是（） A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是偶函数C. ()f x 在定义域上是减函数D. ()f x 在定义域上是增函数【答案】AC 【解析】【分析】由条件②，令0x y ==，可得(0)0f =，再令y x =-，即可得到()()0f x f x +-=，从而可得函数的奇偶性，判断选项A ，B ；利用函数单调性的定义，结合条件①可得函数()f x 的单调性，从而判断选项C ，D ．【详解】()()()1x yf x f y f xy++=+，令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f +=，所以(0)0f =，令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，又因为(1,1)x ∈-，所以()f x 为奇函数，故A 对，B 错；任取1210x x -<<<，所以12121212()()()()()1x x f x f x f x f x f x x --=+-=-，因为1210x x -<<<，所以120x x -<，1201x x <<，所以1210x x ->，所以121201x x x x -<-，因为12121212(1)(1)1011x x x x x x x x -+++=>--，所以121211x xx x ->--，所以1212101x x x x --<<-，由条件①得1212()01x x f x x ->-，所以12())0(f x f x ->，所以()f x 在(1,0)-上单调递减，所以()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 对，D 错．故选：AC【点睛】方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.11. 若a ，b ，c 为实数，下列说法正确的是（） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若0a b <<，则22a ab b >>C. “关于x 的不等式20ax bx c ++≥恒成立”的充要条件是“0a >，240b ac -≤”D. “1a <”是“关于x 的方程20x x a ++=有两个异号的实根”的必要不充分条件【答案】BD 【解析】【分析】若0c，则A 选项不成立；根据不等式的性质，可判断B 正确；根据充要条件的概念，可判断C 错；根据充分条件和必要条件的概念，结合方程根的个数，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a b >，0c，则22ac bc =，A 错；B 选项，若0a b <<，则2a ab >，2ab b >，即22a ab b >>，B 正确；C 选项，不等式20ax bx c ++≥不一定是一元二次不等式，所以不能推出0a >；由0a >，240b ac -≤，可得出不等式20ax bx c ++≥恒成立，所以“关于x的不等式20ax bx c ++≥恒成立”的充要条件不是“0a >，240b ac -≤”，C 错；D 选项，若关于x 的方程20x x a ++=有两个异号的实根，则0140a a <⎧⎨=->⎩，即0a <，因此“1a <”是“关于x 的方程20x x a ++=有两个异号的实根”的必要不充分条件，D 正确. 故选：BD.12. 对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（） A. 若()f x 是奇函数，则()1f x -的图象关于点（1，0）对称B. 若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图象关于直线1x =对称C. 若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D. 若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图象关于点（1，1）对称【答案】AC【解析】【分析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，故错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +-=+=，()()()()312,422f f f f +=+=，()f x 的图象不关于（1，1）对称，错误.故选：AC.【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质综合应用，考查分析问题、解决问题的能力，是易错题.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13. 幂函数()2312235m m y m m x --=+-的图像分布在第一、二象限，则实数m 的值为______．【答案】3 【解析】【分析】先根据函数是幂函数，由251m m +-=，求得m ，再根据其图像分布在第一、二象限确定m 的值；【详解】因为函数是幂函数，所以251m m +-=，解得2m =或3m =-，当2m =时，23y x =，其图像分布在第一、二象限；当3m =-时，796y x =，其图像分布在第一象限；所以2m = 故答案为：214. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为________元（用数字作答）．【答案】148.4 【解析】【分析】本题首先可以结合表中数据计算出高峰时间段的电费，然后计算出低谷时间段的电费，最后两者相加，即可得出结果.【详解】高峰时间段的电费：500.5681500.598118.1⨯+⨯=（元），低谷时间段的电费：500.288500.31830.3⨯+⨯=（元），所以该家庭本月应付的电费为118.130.3148.4+=（元），故答案为：148.4.【点睛】本题考查从材料中提取信息解决实际问题，能否从材料中准确的找出关系式是解决本题的关键，考查学生处理信息的能力，是简单题.15. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．若{|[][2][3],01}A y y x x x x ==++≤≤，则A 中所有元素的和为_______．【答案】12 【解析】【分析】分103x ≤<，1132x ≤<，1223x ≤<，213x ≤<，1x =，5种情况讨论2,3x x 的范围，计算函数值，并求元素的和. 【详解】①当103x ≤<时， 220,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)30,1x ∈，∴ [][][]230x x x ===，[][][]230x x x ++= ；②当1132x ≤<时，22,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，331,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ， [][]20,x x ∴==[]31x =， [][][]231x x x ∴++=；③当1223x ≤<时，[)21,2x ∈ ，33,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[]0x ∴=，[]21x = ，[]31x = ， [][][]232x x x ∴++=；④213x ≤<时，42,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)32,3x ∈ []0x ∴=，[]21x =，[]32x =，[][][]233x x x ∴++=；⑤当1x =时[]1x =，[]22x =，[]33x = ，[][][]236x x x ∴++= {}0,1,2,3,6A ∴=，则A 中所有元素的和为0123612++++=. 故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型，需读懂题意，并能理解，应用，分类讨论解决问题，本题的难点是分类较多，不要遗漏每种情况四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 已知关于x 的不等式2520ax x +->的解集是M ．（1）若3a =，求解集M ；（2）若122M xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，解关于x 的不等式22510ax x a -+->．【答案】（1）123M x x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭或；（2）132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求得结果；（2）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系，利用韦达定理可构造方程求得a ，根据一元二次不等式的解法可直接求得结果. 【详解】（1）3a =，∴不等式为：23520x x +->，即()()3120x x -+>，解得：2x <-或13x >，123M x x x ⎧⎫∴=-⎨⎬⎩⎭或.（2）122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，12∴和2是方程2520ax x +-=的两个根，由韦达定理得：15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得：2a =-，∴不等式22510ax x a -+->即为22530x x --+>，即22530x x +-<，即()()2130x x -+<，解得：132x -<<. ∴不等式的解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．17. 已知函数f (x )＝1－2x. （1）若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；（2）试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明. 【答案】（1）1；（2）为增函数，证明见解析. 【解析】【分析】（1）由函数()g x 是奇函数，得g (－x )＝－g (x )，代入可求得a .（2）由函数的单调的定义进行证明，设0<x 1<x 2，作差f (x 1)－f (x 2)，判断符号，可得证. 【详解】（1）由已知g (x )＝f (x )－a ，得g (x )＝1－a －2x，因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即1－a －2()x -＝－21a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得a ＝1.（2）函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数.证明如下：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－12x －221x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝()12122x x x x -，.因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，从而()12122x x x x -<0，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在(0，＋∞)内是增函数.【点睛】本题考查函数的奇偶性和函数的单调性的定义，属于基础题.18. 已知函数()()()()5,133,125,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩．（1）解不等式()1f x >；（2）若()0f x t +<对任意实数x 都成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）4,43⎛⎫⎪⎝⎭；（2）3t <-．【解析】【分析】（1）根据1x <-，12x -≤≤，2x >进行分类讨论，将求解出的结果取并集即可得到不等式解集；（2）将问题转化为“()t f x <-对任意实数x 都成立”，根据已知条件先求解出()f x 的取值范围，然后可求解出()f x -的取值范围，则t 的取值范围可求.【详解】（1）由题意()5,133,125,2x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩，①1x <-时，()51f x x =->，不等式无解；②12x -≤≤时，331x ->，解得423x <≤； ③2x >时，51x -+>，解得24x <<；综上不等式的解集为4,43⎛⎫⎪⎝⎭．（2）①1x <-时，()56f x x =-<-；②12x -≤≤时，6333x -≤-≤，所以()63f x -≤≤； ③2x >时，()53f x x =-+<；所以()3f x ≤所以()3f x -≥-，因为()t f x <-对任意实数x 都成立所以3t <-．【点睛】思路点睛：已知()f x 为分段函数，求解形如()f x a >的不等式解集的思路：（1）分别考虑每一段定义域下()f x a >的解集，同时注意前提条件；（2）将每一段定义域下()f x a >的解集取并集即可得到不等式()f x a >的解集. 19. 已知函数()()2210f x ax ax b a =-++>．（1）若1a b ==，求()f x 在[],1t t +上的最大值；（2）若()f x 在区间[]2,4上的最大值为9，且最小值为1，求实数a ，b 的值．【答案】（1）12t ≤时，最大值为222t t -+；12t >时，最大值为21t +；（2）10a b =⎧⎨=⎩．【解析】【分析】（1）根据题中条件，分别讨论112t +≤，112t +>两种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）根据二次函数的性质，由函数在给定区间的最值，得到()()2114819f b f a b ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，求解，即可得出结果.【详解】（1）()222f x x x =-+，[],1x t t ∈+因为对称轴1x =，而1122t t t ++=+，所以 ①112t +≤即12t ≤时，最大值()222f t t t =-+；②112t +>即12t >时，最大值()211f t t +=+；综上，12t ≤时，最大值为222t t -+；12t >时，最大值为21t +；（2）因为函数()f x 图像的开口方向向上，且对称轴方程为1x =，所以，函数()y f x =在区间[]2,4上为增函数，又因为函数()y f x =在区间[]2,4上的最大值为9，最小值为1，可得()()2114819f b f a b ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩．【点睛】思路点睛：求解二次函数在给定区间的最值问题时，通常需要根据二次函数的性质（开口方向、对称轴、单调性），由分类讨论的方法进行求解.20. 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产．某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到x 元．公司拟投入()216006x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【答案】（1）40；（2）10.2，30元．【解析】【分析】（1）根据条件列出关于t 的一元二次不等式，求解出解集即可确定出定价最多时对应的数值；（2）明年的销售收入等于销量a 乘以单价x ，原收入和总投入之和为()2112585060065x x ⨯++-+，由此列出不等式，根据不等式有解结合基本不等式求解出a 的最小值，同时计算出x 的值. 【详解】（1）设每件定价为t 元，依题意得2580.22581t t -⎛⎫-⨯≥⨯⎪⎝⎭，整理得26510000t t -+≤，解得2540t ≤≤所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（2）依题意知当25x >时，不等式()2112585060065ax x x ≥⨯++-+成立等价于25x >时，1501165a x x ≥++有解，由于1501150121066x x x x +≥⨯=，当且仅当1506xx =，即30x =时等号成立，所以10.2a ≥当该商品改革后销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【点睛】关键点点睛：本题中的第二问，解答的关键有两点：（1）根据条件列出满足的不等式并对不等式进行参变分离；（2）使用基本不等式求解出最值. 21. 已知函数2()43()52f x x x a g x mx m =-++=+-，（1）当时，求方程()()0f x g x -=的解；（2）若方程()0f x =在[]11-，上有实数根，求实数a 的取值范围；（3）当0a =时，若对任意的[]114x ∈，，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）15x x =-=或；（2） [－8，0]；（3）(,3][6,)-∞-+∞．【解析】【详解】（1）当时，方程为2()()450f x g x x x -=--=，解得15x x =-=或（2）因为函数()f x ＝x 2－4x ＋a ＋3的对称轴是x ＝2，所以()f x 在区间[－1，1]上是减函数，因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：(1)0{(1)0f f ≤-≥即0{80a a ≤+≥，解得80a ≤≤－，故所求实数a的取值范围为[－8，0] ．（3）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，只需函数y＝f （x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．()f x＝x2－4x＋3，x∈[1，4]的值域为[－1，3]，下求g（x）＝mx＋5－2m的值域．①当m＝0时，g（x）＝5－2m为常数，不符合题意舍去；②当m＞0时，g（x）的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3]⊆[5－m，5＋2m]，需51{523mm-≤-+≥，解得m≥6；③当m＜0时，g（x）的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3]⊆[5＋2m，5－m]，需521{53mm+≤--≥，解得m≤－3；综上，m的取值范围为(,3][6,)-∞-+∞．。

哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题-含答案

哈尔滨市第九中学2020--2021学年度.上学期期末学业阶段性评价考试高二学年数学学科(理)试卷(考试时间:120分钟满分:150分共2页第I 卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是A.x -y+3=0B.x+y+1=0C.x -y -1=0D.x+y -3=02.双曲线221169y x -=的虚半轴长是 A.3 B.4 C.6 D.83.直线x+y=0被圆22|6240x y x y +-++=截得的弦长等于A.4B.2 .C .D 4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221,x y +≤若将军从点A(4,-3)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马"的最短总路程为A.8B.7C.6D.55.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,满足|AB|=6,则线段AB 的中点的横坐标为A.2B.4C.5D.66.直线kx -y+2k+1=0与x+2y -4=0的交点在第四象限,则k 的取值范围为A.(-6,-2) 1.(,0)6B - 11.(,)26C -- 11.(,)62D -- 7.设12,F F 分别为双曲线22134x y -=的左,右焦点,点P 为双曲线上的一点.若12120,F PF ︒∠=则点P 到x 轴的距离为.A .B .C .D 8.已知点A(-2,3)在抛物线C 2:2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为1.2A2.3B3.4C4.3D 9.已知点(x,y)满足:221,,0x y x y +=≥,则x+y 的取值范围是.[A B.[-1,1] .C .D10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB 的面积为32.15A 34.15B 17.5C 19.5D 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF ⊥BF,设∠ABF=α,且[,]64ππα∈则该椭圆的离心率e 的取值范围是.A .1]B .C .D12.如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点,已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于1.2A B.1.C.D 第II 卷(非选择题共90分)二､填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为___.14.若三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上,则双曲线C 的渐近线方程为___. 15.椭圆221123x y +=的焦点分别是12,F F 点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的___倍.16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且A,B 两点在准线上的射影分别为M,N ，,,MFN BFN AFM MFN S S S S λμ∆∆∆==则λμ=___. 三､解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y -2=0上,③圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(-1,2),B(6,3)且___;(1)求圆E 的方程;(2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.18.(本题满分12分)已知抛物线C:22(0)y px p =>,焦点为F,准线为1,抛物线C 上一点M 的横坐标为3,且点M 到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)设过点P(6,0)的直线'l 与抛物线交于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过点F,求直线'l 的方程.19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2acosθ(a>0),且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)设A,B 为曲线C.上的两点,且,3AOB π∠=求|OA|+|OB|的最大值.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2:4cos .C ρθ=(1)求曲线2C 的直角坐标方程;(2)若点A(1,0),且1C 和2C 的交点分别为点M,N,求11||||AM AN +的取值范围.21.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(F F 且过点1).2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆的上顶点为B,过点(-2,-1)作直线交椭圆于M,N 两点,记直线MB,NB 的斜率分别为,,MB NB k k 试判断MB NB k k +是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.22.(本题满分12分)已知点F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,过点F 的直线l 交椭圆于M,N 两点,当直线l 过C 的下顶点时,l当直线l垂直于C的长轴时,△OMN的面积为3 . 2(1)求椭圆C的标准方程;(2)当|MF|=2|FN|时,求直线l的方程;(3)若直线l上存在点P满足|PM|,|PF|,|PN|成等比数列,且点P在椭圆外,证明:点P在定直线上.。

黑龙江省齐齐哈尔市2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题理含解析

某某省某某市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6}B．{x|3＜x＜6}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x≤2}2．已知命题p：∀x∈（0，+∞），sin x＜x，则（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），sin x≥xB．￢p：∃x0∈（0，+∞），sin x0≥x0C．￢p：∀x∈（﹣∞，0]，sin x≥xD．￢p：∃x0∈（﹣∞，0]，sin x0≥x03．已知2z+＝6+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+i D．1﹣i4．（x2﹣）5展开式中的常数项为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣405．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y＝a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y＝（）x是指数函数，所以y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都可能6．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（75，16），则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在（79，83]内的个数约为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545．A．134B．136C．817D．8197．若函数y＝2cos x+ax在上单调递增，则实数a的取值X围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）8．设a＝5，b＝（）﹣，c＝log0.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b9．由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种10．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x+11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A．240B．320C．180D．12012．已知a＞0，b＞0，且e a+lnb＞a+b，则下列结论一定正确的是（）A．a＞b B．a＞lnb C．e a＜b D．a+lnb＞0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．13．已知tanα＝3，则sin2α﹣2sinαcosα＝．14．已知向量，且，则|＝．15．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，按此规律，＝（n≥3，n∈N*）．16．给出下列命题：①以模型y＝ce kx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程zx+5，则c＝e5，k＝0.6；②若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为；③若随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（X）＝16；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为．其中所有正确命题的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．已知{a n}是单调递增的等比数列，其前n项和为S n，a1＝2，且2a2，a4，3a3成等差数列．（1）求a n和S n；（2）设b n＝log2（S n+2），＝，求数列{}的前n项和T n．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：BC⊥平面ABC1；（2）求直线AC与平面AEB1所成角的正弦值．19．已知函数f（x）＝lnx+﹣2x，（a＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．20．2021年是我党建党100周年，为了铭记历史、不忘初心、牢记使命，向党的百年华诞献礼，市总工会组织了一场党史知识竞赛，共有2000位市民报名参加，其中35周岁以上（含35周岁）的市民1200人，现采取分层抽样的方法从参赛的市民中随机抽取100位市民进行调查，结果显示：分数分布在450～950分之间据．此绘制的频率分布直方图如图所示．并规定将分数不低于750分的得分者称为“党史学习之星”．（1）求a的值，并估计所有参赛的市民中有多少人获得了“党史学习之星”的荣誉；（2）现采用分层抽样的方式从分数在[550，650）、[750，850）内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中获得“党史学习之星”的市民人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（3）若样本中获得“党史学习之星”的35周岁以下的市民有15人，请完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关？获得“党史学习之星”未获得“党史学习之合计星”35周岁以上35周岁以下合计（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）k021．已知函数f（x）＝﹣lnx，（a∈Z）．（1）当a＝1时，求f（x）的极值；（2）若不等式f（x）≥（1﹣a）x+1恒成立，求a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若P的直角坐标为（2，0），曲线C2与曲线C1交于A、B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）（1）某某数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，某某数a的取值X围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6}B．{x|3＜x＜6}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x≤2}解：∵集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x＜6}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：C．2．已知命题p：∀x∈（0，+∞），sin x＜x，则（）A．￢p：∀x∈（0，+∞），sin x≥xB．￢p：∃x0∈（0，+∞），sin x0≥x0C．￢p：∀x∈（﹣∞，0]，sin x≥xD．￢p：∃x0∈（﹣∞，0]，sin x0≥x0解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈（0，+∞），sin x＜x，则￢p：∃x0∈（0，+∞），sin x0≥x0．故选：B．3．已知2z+＝6+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+i D．1﹣i解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵2z+＝6+i，∴2（a+bi）+（a﹣bi）＝3a+bi＝6+i，即，解得，∴z＝2+i．故选：A．4．（x2﹣）5展开式中的常数项为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣40解：设（）5展开式中的通项为T r+1，则T r+1＝•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r＝（﹣2）r••x10﹣5r，令10﹣5r＝0得r＝2，∴（）5展开式中的常数项为（﹣2）2×＝4×10＝40．故选：C．5．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y＝a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y＝（）x是指数函数，所以y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都可能解：该演绎推理的大前提是：指数函数y＝a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，小前提是：y＝（）x是指数函数，结论是：y＝（）x在（0，+∞）上是增函数．其中，大前提是错误的，因为0＜a＜1时，函数y＝a x在（0，+∞）上是减函数，致使得出的结论错误．故选：A．6．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（75，16），则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在（79，83]内的个数约为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545．A．134B．136C．817D．819解：由题意，μ＝75，σ＝4，则P（79＜X≤83）＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ+σ＜X≤μ+σ）]＝﹣0.6827）＝0.1359．×≈136．故选：B．7．若函数y＝2cos x+ax在上单调递增，则实数a的取值X围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）解：∵y＝2cos x+ax在上单调递增，∴y′＝﹣2sin x+a≥0，即a≥2sin x在上恒成立，∵g（x）＝2sin x在上单调递增，∴g（x）max＝g（）＝1，∴a≥1，故选：D．8．设a＝5，b＝（）﹣，c＝log0.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝5＜b＝（）﹣＝5，而c＝log0.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．9．由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种解：三人排成一排，有种排法，三人排好后有四个位置可以插入空座位，∵恰有两个空座位相邻，∴三个空座位在种插入方法，∴恰有两个空座位相邻的不同坐法有＝72种．故选：C．10．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x+解：直线l与圆x2+y2＝相切，那么圆心（0，0）到直线的距离等于半径，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：y＝2x+1与y＝联立，可得2x﹣+1＝0，此时无解；对于D选项：y＝x+与y＝联立，可得x﹣+＝0，此时解得x＝1；∴直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，方程为y＝x+，故选：D．11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A．240B．320C．180D．120解：因为若要求每组至少3人，所以有3，5和4，4两种，若人数为3，5，则有（﹣1）•＝110种；人数为4，4，则有种；共有110+70＝180，故选：C．12．已知a＞0，b＞0，且e a+lnb＞a+b，则下列结论一定正确的是（）A．a＞b B．a＞lnb C．e a＜b D．a+lnb＞0解：令f（x）＝e x﹣x，则当x＞0时，f′（x）＝e x﹣1＞0，∴f（x）＝e x﹣x在（0，+∞）单调递增．又a＞0，b＞0，且e a+lnb＞a+b，即e a﹣a＞e lnb﹣lnb，即f（a）＞f（lnb），若lnb≤0，则a＞0＞lnb；若lnb＞0，则a＞lnb＞0；∴a＞lnb，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上．13．已知tanα＝3，则sin2α﹣2sinαcosα＝．解：因为tanα＝3，所以sin2α﹣2sinαcosα＝＝＝＝．故答案为：．14．已知向量，且，则|＝5．解：由∥，得2m＝（﹣1）×4，解得m＝﹣2，所以+2＝（10，﹣5），故|+2|＝＝5．故答案为：5．15．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，按此规律，＝（n≥3，n∈N*）．解：由＝+，＝+，＝+，可推理出：＝，故答案为：．16．给出下列命题：①以模型y＝ce kx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程zx+5，则c＝e5，k＝0.6；②若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为；③若随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（X）＝16；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为．其中所有正确命题的序号是①②③．解：对于①，以模型y＝ce kx（e为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求回归方程，设z＝lny，两边取对数：lny＝ln（ce kx），＝lnc+kx，令z＝lny，可得：z＝lnc+kx，由于zx+5，所以lnc＝5，k＝0.6，将其变换后得到线性方程zx+5，则c＝e5，k＝0.6；故①正确对于②，若某种产品的合格率是，合格品中的一等品率是，则这种产品的一等品率为＝，故②正确；③若随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则100p＝20，解得p＝，则D（X）＝np（1﹣p）＝100×＝16，故③正确；④根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，不感染此病毒的概率为．感染此病毒的概率为，若有4人接种了这种疫苗，则至多有1人被感染的概率为，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．已知{a n}是单调递增的等比数列，其前n项和为S n，a1＝2，且2a2，a4，3a3成等差数列．（1）求a n和S n；（2）设b n＝log2（S n+2），＝，求数列{}的前n项和T n．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），由2a2，a4，3a3成等差数列，得2a4＝2a2+3a3，即2a1q3＝2a1q+3a1q2，又a1＝2，所以2q2﹣3q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣（舍去），所以a n＝2n；S n＝＝2n+1﹣2．（2）由（1）可知S n＝2n+1﹣2，所以b n＝log2（S n+2）＝log22n+1＝n+1，所以＝＝＝﹣，则T n＝c1+c2+…+＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：BC⊥平面ABC1；（2）求直线AC与平面AEB1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵∠BCC1＝，BC＝1，C1C＝2，∴由余弦定理知，＝BC2+﹣2BC•CC1cos∠BCC1＝1+4﹣2×1×2×cos＝3，∴BC1＝，∴BC2+＝，即BC⊥BC1，∵AB⊥侧面BB1C1C，且BC⊂面BB1C1C，∴AB⊥BC，又AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，∴BC⊥平面ABC1．（2）解：由（1）知，以B为坐标原点，BC，BC1，BA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，2），C（1，0，0），E（，，0），B1（﹣1，，0），∴＝（﹣，﹣，2），＝（﹣，，0），＝（1，0，﹣2），设平面AEB1的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝1，∴＝（1，，1），设AC与平面AEB1所成角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线AC与平面AEB1所成角的正弦值为．19．已知函数f（x）＝lnx+﹣2x，（a＞0）．（1）当a＝2时，求f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx+x2﹣2x，f′（x）＝，f′（1）＝1，又f（1）＝﹣1，∴切点为（1，﹣1），∴f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣（﹣1）＝x﹣1，即y＝x﹣2．（2）由题意：f（x）的定义城为（0，+∞），f′（x）＝+ax﹣2＝（a＞0），①当△＝（﹣2）2﹣4a≤0，即a≥1时，ax2﹣2x+1≥0，即f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间；②当△＝（﹣2）2﹣4a＞0，即0＜a＜1时，令f′（x）＝0，则ax2﹣2x+1＝0，解得：x1＝，x2＝，且0＜x1＜x2，当f′（x）＞0，得0＜x＜或x＞，∴f（x）的递增区间为（0，），（，+∞），当f′（x）＜0，得＜x＜，∴f（x）的减区间为（，），综上所述，当a≥1时，f（x）的增区间为（0，+∞），无递减区间；当0＜a＜1时，f （x）的增区间为（0，），（，+∞），减区间为（，）．20．2021年是我党建党100周年，为了铭记历史、不忘初心、牢记使命，向党的百年华诞献礼，市总工会组织了一场党史知识竞赛，共有2000位市民报名参加，其中35周岁以上（含35周岁）的市民1200人，现采取分层抽样的方法从参赛的市民中随机抽取100位市民进行调查，结果显示：分数分布在450～950分之间据．此绘制的频率分布直方图如图所示．并规定将分数不低于750分的得分者称为“党史学习之星”．（1）求a的值，并估计所有参赛的市民中有多少人获得了“党史学习之星”的荣誉；（2）现采用分层抽样的方式从分数在[550，650）、[750，850）内的两组市民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中获得“党史学习之星”的市民人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（3）若样本中获得“党史学习之星”的35周岁以下的市民有15人，请完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关？获得“党史学习之星”未获得“党史学习之合计星”35周岁以上35周岁以下合计（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）k0解：（1）由题意知：100×（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）＝1，解得a＝0.0035，则所有参赛市民中获得“党史学习之星”的有，（0.0015+0.001）×100×2000＝500（人）．（2）由题意可得，从[550，650）中抽取7人，从[750，850）中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，（k＝0，1，2，3），故随机变量X的分布列为：X0 1 2 3P随机变量X的数学期望．（3）由题可知，样本中35周岁以上60人，35周岁以下40人，获得“党史学习之星”的25人，其中35周岁以下15人，得出以2×2列联表：合计获得“党史学习之星”未获得“党史学习之星”35周岁以上10 50 6035周岁以下15 25 40 合计25 70 100 K2＝＝≈5.556＞5.024，故有97.5%的把握认为该市市民获得“党史学习之星”与年龄有关．21．已知函数f（x）＝﹣lnx，（a∈Z）．（1）当a＝1时，求f（x）的极值；（2）若不等式f（x）≥（1﹣a）x+1恒成立，求a的最小值．解：（1）当a＝1时，f′（x）＝（x＞0），令f′（x）＝0，得x＝1（或x＝﹣1舍去），∵当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）极小值＝f（1）＝，无极大值．（2）f（x）≥（1﹣a）x+1，即ax2﹣lnx≥（1﹣a）x+1，即a（x2+2x）≥2lnx+2x+2，∴x＞0，即x2+2x＞0，∴原问题等价于a≥在（0，+∞）上恒成立，设g（x）＝，x∈（0，+∞），则只需a≥g（x）max，由g′（x）＝﹣，令h（x）＝x+2lnx，∵h′（x）＝1+＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∵h（1）＝1＞0，h（）＝+2ln＝﹣2ln2＝ln﹣ln4＜0，∴存在唯一的x0∈（，1），使得h（x0）＝x0+2lnx0＝0，∵当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，则g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（x0）＝＝＝，∴a≥即可，∴x0∈（，1），∴∈（1，2），故整数a的最小值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若P的直角坐标为（2，0），曲线C2与曲线C1交于A、B两点，求的值．解：（1）将曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得：．曲线C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0．（2）把直线x+y﹣2＝0，转换为参数方程为，代入，得到，故，t1t2＝﹣1，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）（1）某某数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，某某数a的取值X围．解：（1）∵f（x）＝m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m＝2且m+1＝4，解得：m＝3；（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，即关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立．可得：|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立即|a﹣3|≥3恒成立，解得：a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，即a≥6或a≤0．故实数a的取值X围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）．。

黑龙江省哈尔滨市第九中学2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题理含解析

黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．命题“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，C．∃x0∈R，D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞02．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜2）＝0.8，则P（0＜ξ＜1）的值为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.63．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则常数c为（）X0 1P9c2﹣c 3﹣8cA．B．C．或D．4．每年新春佳节时，我国许多地区的人们有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．如图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色部分的面积，将窗花图案放置在边长为20cm的正方形内，在该正方形内随机生成1000个点，恰有535个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为（）A．168cm2B．214cm2C．248cm2D．336cm25．设条件p：a＞0，条件q：a2+a＞0；那么p就是q的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件6．掷一枚硬币两次，记事件A＝“第一次出现正面”，B＝“第二次出现反面”，下列结论正确的为（）A．P（AB）＝B．P（A∪B）＝P（A）+P（B）C．A与B互斥D．A与B相互独立7．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词搜索指数变化的走势图．据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的搜索指数稳定性小于11月份的搜索指数稳定性，故去年10月份的方差小于11月份的方差8．二项式（x2﹣）5展开式中，x4的系数是（）A．﹣40 B．10 C．40 D．﹣109．某工厂对一批新研发产品的长度（单位：mm）进行测量，将所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，据此图估计这批产品长度的中位数是（）A．23.25mm B．22.50mm C．21.75mm D．21.25mm10．若函数f（x）＝lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，1]11．育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种12．已知函数f（x）＝e x﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是（）A．a＞eB．x1+x2＞2C．x1x2＞1D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上。

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A.7
B.5
C.3
D.2
【答案】A
【详解】
令 u f x ，先解方程 f u 1.
（1）当 u 1时，则 f u 2u 1 1，得 u1 1 ；
（2）当 u
1时，则
f
u
ln u
1
1
，即
ln
u
1
1，解得 u2
1
1 e
， u3
1 e
.
如下图所示：
3
直线 u
1，u
1 1 e
，u
1 e 与函数 u
【答案】C
【详解】：设 ABC 三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B,C ，
D． cos 2A cos 2B
由 A B ，则 a b, ∴ sin A sin B 0 ， A 正确；
由余弦函数性质知 cos A cos B ，B 正确；
sin 2A 2sin Acos A ， sin 2B 2 sin B cos B ，
在
0,
2
至多有
2
个极大值点
【答案】B 【详解】
由题,因为
f
x 在
0,
2
有且仅有
2
个极小值点,所以
3T 2
2
5T 2
,即
5
T
3
,
2 因为 T ,所以 6 10 ,故 A 正确；
T
T
因为 5
3 ,所以 10 2 6 ,
因为
f
T
x 在 2
,T
单调递增,只有当
T 2
Hale Waihona Puke 可得以PC[x 为直径的圆的方程为
(2
m )]2 2
(y
m )2 2
(2
m )2 2
( m )2 2
，①
2
又圆 C 的方程为： x2 y2 1 ，②，
① ②，得 (4 m)x my 1 0 ，
即
m(
y
x)
4x
1
0
，则该直线必过点
1 4
,
1 4
，
7、现有 3 名男医生 3 名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少两人，女医生不能全
f
x 的交点个数为 3 、 2 、 2 ，
所以，方程
f
f
x
1
的根的个数为
3
2
2
7 ，故选：A.
9、设函数
f
x
cos x
0
，已知
f
x
在
0,
2
有且仅有
2
个极小值点，下述选项错误
的是（）
A．的取值范围是 6,10
B．
f
x
在
6
,
4
单调递增
C．
f
x在
0,
12
单调递减
D．
f
x
③若 A 山区派遣 4 名医生，等同 B 山区派遣 2 名医生，则共有 C31C31 9 种不同的派遣方法，
综合①②③得：则不同的派遣方法有 9 18 9 36 ，
2x 1, x 1 8、已知函数 f (x) | ln(x 1) , x 1，则方程 f ( f (x)) 1的根的个数为（）
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】：因为 a 0 ， b 0 ，所以 2
ab
a
b
1 ，所以
0
ab
1 4
，
1 4
a b 1
所以 ab （当且仅当
2 时取等号），
112 所以 a b
1 2 ab
44
a b 1
（当且仅当
2 时取等号）.
所以“
a
b
1”是“
1 a
1 b
4
”的充分条件.
1
（） A．6 【答案】C
B．10
C．7
D．9
【详解】因为公差不为零的等差数列的前 n 项和 sn 是关于 n 的二次函数， s5 s9 ，所以对称
轴为 n 7 ，又开口向下，所以当 n 7 时， sn 有最大值，故选 C.
5、设
a
0
，
b
0
，则“
a
b
1”是“
1 a
1 b
4
”的（
）
A．充分而不必要条件 C．充要条件【答案】A
在同一组(女医生不能单独分组)，则不同的派遣方法有（）
A．24
B．54
C．36
D．60
【答案】C
【详解】
设两个山区为 A ， B ，
①若 A 山区派遣 2 名医生，则共有 C31C31 9 种不同的派遣方法，
②若 A 山区派遣 3 名医生，则共有 C31C32 C32C31 18 种不同的派遣方法，
B． (0, 3)
C． (2,3)
D． (1, 4)
【答案】C
A x |x 1
【详解】集合
2 x| 1
x 3, B x|log2x 1 x
x
2 ，
所以 A B x|2 x 3 2,3 .
2、已知复数
z
1
1
i
，命题
p
：复数
z
的虚部为
1 2
，命题
q
：复数
z
的模为
1.下列命题为真
反之，当
a
1 3
，
b
1时
1 a
1 b
4
，但是
a
b
1，所以“
a
b
1”是“
1 a
1 b
4
”的
不必要条件.
6、已知圆 C : x2 y2 1 ，点 P 为直线 l : x y 4 0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线
PA , PB ， A, B 为切点，则直线 AB 经过定点（）
A．
当 A 为钝角时就有 sin 2 A sin 2B ，C 错误，；
cos 2A 1 2sin2 A ， cos 2B 1 2sin2 B ，∴ cos 2A cos 2B ，D 正确． 4、设 sn 是公差不为零的等差数列{an} 的前 n 项和，且 a1 0 ，若 s5 s9 ，则当 sn 最大时，n =
命题的是（）
A． p q
B． p q
C． p q
D． p q
【答案】D 【详解】
z
1 1
i
1i 2
1 2
1 2
i
，所以
z
的虚部为
1 2
，模为
1 2 2
1 2
2
2 2，
所以命题 p ， q均为假命题.
故选：D.
3、在 ABC 中，若 A B ，则下列结论错误的是（）
A． sin A sin B B． cos A cos B C． sin 2A sin 2B
1 2
,
1 2
B．
1 4
,
1 2
C．
1 4
,
1 4
D．
0,
1 4
【答案】C
【详解】：根据题意，点 P 为直线 x y 4 0 上一动点，则设 P(4 m, m) ，
PA ， PB 是圆 C 的切线，
CA PA ， CB PB ，
AB 是圆 C 与以 PC 为直径的两圆的公共弦，
齐齐哈尔市实验中学 2020---2021 学年度上学期期末考试高三数学（理科）试题答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。4 个选项只有一项符合题目要求。
1、已知集合 A {x |x 1 2}， B {x | log2 x 1} ，则 A B （
）
A． (1,3)
6
时
f
x 在 6
, 4
单调递增才成立,故
B
错
误；
因为
f
x
在
0,
T 2
单调递减,所以
f
x
在
0,
12
上单调递减,故
C
正确；
因为
x
0,
2
,两端点取不到,且
3T 2
2
5T 2
,所以