《19.1.1 变量与函数》教案、同步练习
第19章《19.1.1变量与函数》
第19章《19.1.1变量与函数》
售票数量x取定一个值时,票房收入y就随之确定一个值.例如早场x=150,则y=1500;?日场x=205,则y=2050;晚场x=310,则y=3100.
问题(2)中,通过试验可以看出:每当重物质量m确定一个值时,弹簧长度L?就随之确定一个值.如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长
0.5cm.当m=10时,则L=15,当m=20时,则L=20.
[师]很好,他说得非常正确.谢谢你.我们再来回顾活动二中的两个问题.看看它们中的变量又怎样呢?
[生]活动二中的两个问题也都分别有两个变量.
问题(1)中,很容易算出,当S=10cm2时,r=1.78cm;当S=20cm2时,r=2.52cm.?
每当S取定一个值时,r随之确定一个值,它们的关系为r=S
.
问题(2)中,我们可以根据题意,每确定一个矩形的一边长,?即可得出另一边长,再计算出矩形的面积.如:当x=1cm时,则S=1×(5-1)=4cm2,当x=2cm时,则S=2×(5-2)=6cm2……它们之间存在关系S=x(5-x)
=5x-x2.因此可知,?每当矩形长度x取定一个值时,面积S就随之确定一个值.
[师]谢谢你,大家为他鼓掌.
由以上回顾我们可以归纳这样的结论:
上面每个问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.
其实,在一些用图或表格表达的问题中,也能看到两个变量间的关系.我们来看下面两个问题,通过观察、思考、讨论后回答:
(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y?表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?
(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,?对于表中每个确定的年份(x),都对应着个确定的人口数(y)吗?
中国人口数统计表
年份人口数/亿
1984 10.34
1989 11.06
1994 11.76
1999 12.52
[生]我们通过观察不难发现在问题(1)的心电图中,对于x的每个确定值,y?都有唯一确定的值与其对应;在问题(2)中,对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.
[师]一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x?的每个确定的值,y?都有唯一确定的值与其对应,?那么我们就说x?是自变量(independentvariable),y是x的函数(function).如果当x=a时,y=b,那么b?叫做当自变量的值为a时的函数值.
据此我们可以认为:上节情景问题中时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时的函数值s=60,t=2时的函数值s=120,t=2.5时的函数值s=150,…,同样地,在以上心电图问题中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数;人口数统计表中,?年份x是自变量,人口数y是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52亿.
从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系.
[活动一]
活动内容设计:
1.在计算器上按照下面的程序进行操作:
填表:
x 1 3 -4 0 101
y
显示的数y是输入的数x的函数吗?为什么?
2.在计算器上按照下面的程序进行操作.
下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果:
x 1 2 3 0 -1
y 3 5 7 2 -1
所按的第三、四两个键是哪两个键?y是x的函数吗?如果是,写出它的表达式(用含有x的式子表示y).
设计意图:
通过在计算器上操作及填表分析,进一步认识函数意义,经过对表中数据分析推理验证以至最后确定按键、写表达式逐步掌握列函数式的方法.
教师活动:
引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据,确定按键及函数关系式.学生活动:
在教师引导下,1.经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程,更加深刻理解函数意义.2.通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程,进一步掌握建立函数关系式的办法.
活动结论:
1.从计算结果完全可以看出,每输入一个x的值,操作后都有一个唯五的y值与其对应,所以在这两个变量中,x是自变量、y是x的函数.
2.从表中两行数据中不难看出第三、四按键是1
这两个键,且每个x?的值都有唯一一个y值与其对应,所以在这两个变量中,x是自变量,y是x的函数.关系式是:y=2x+1
《19.1.1变量与函数》同步练习
一、单选题(共15题;共30分)
1、物体从足够高的地方做自由落体运动,下降的高度h与时间t满足关系式h=gt2则3秒后物体下落的高度是(g取10)()
A、15米
B、30米
C、45米
D、60米
2、下列关系式中,变量x=-1时,变量y=6的是()
A、y=3x+3
B、y=-3x+3
C、y=3x–3
D、y=-3x–3
3、如图,矩形的长和宽分别为8cm和4cm,截去一个宽为x的小矩形(阴影部分)后余下另一个矩形的面积S与x之间的关系可表示为().
A、S=4x
B、S=4(8-x)
C、S=8(4-x)
D、S=8x
4、要画一个面积为20cm2的长方形,其长为xcm,宽为ycm,在这一变化过程中,常量与变量分别为( )。
A、常量为20,变量为x,y
B、常量为20、y,变量为x
C、常量为20、x,变量为y
D、常量为x、y,变量为20
5、当x=2时,函数y=2x-1的值是().
A、0
B、-3
C、3
D、4
6、已知函数y=3x-1,当x=3时,y的值是().
A、6
B、7
C、8
D、9
7、在函数y= 中,自变量x的取值范围是().
A、x≠-2
B、x>2
C、x<2
D、x≠2
8、某种签字笔的单价为2元,购买这种签字笔x支的总价为y元.则y与x之间的函数关系式为()
A、y=- x
B、y= x
C、y=-2x
D、y=2x
9、在关系式y=3x+5中,下列说法:①x是自变量,y是因变量;②x的数值可以任意选择;③y是变量,它的值与x无关;④用关系式表示的不能用图象表示;⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示,其中说法正确的是()
A、①②⑤
B、①②④
C、①③⑤
D、①④⑤
10、一名老师带领x名学生到动物园参观,已知成人票每张30元,学生票每张10元.设门票的总费用为y元,则y与x的函数关系为()
A、y=10x+30
B、y=40x
C、y=10+30x
D、y=20x
11、某种型号的计算器单价为40元,商家为了扩大销售量,现按八折销售,如果卖出x台这种计算器,共卖得y元,则用x表示y的关系式为()
A、y=40x
B、y=32x
C、y=8x
D、y=48x
12、某地的地面温度为21℃,如果高度每升高1千米,气温下降3℃,则气温T(℃)与高度h(千米)之间的表达式为()
A、T=21-3h
B、T=3h-21
C、T=21+3h
D、T=(21-3)h
13、在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里的水温随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是()
A、太阳光强弱
B、水的温度
C、所晒时间
D、热水器
14、某种签字笔的单价为2元,购买这种签字笔x支的总价为y元.则y
与x之间的函数关系式为()
A、
B、
C、y=-2x
D、y=2x
15、若y与x的关系式为y=30x﹣6,当x=时,y的值为()
A、5
B、10
C、4
D、-4
二、填空题(共5题;共6分)
16、“早穿皮袄,午穿纱,围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国新疆地区一天中,温度随时间变化而变化,其中自变量是________,因变量是________.
17、小强想给爷爷买双鞋,爷爷说他自己的脚长25.5cm,若用x(cm)表示脚长,用y(码)表示鞋码,则有2x-y=10,根据上述关系式,小强应给爷爷买________码的鞋.
18、一列火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)是所用时间t(时)的函数,这个函数关系式可表示为 ________ .
19、林老师骑摩托车到加油站加油,发现每个加油器上都有三个量,其中一个表示“元/升”其数值固定不变的,另外两个量分别表示“数量”、“金额”,数值一直在变化,在这三个量当中元/升是常量,________是变量。
20、下列变量间的关系是函数关系的有________(填序号)
①正方形的周长与边长;②圆的面积与半径;
③ ;④商场中某种商品的单价为a元,销售总额与销售数量
三、解答题(共5题;共25分)
21、海水受日月的引力而产生潮汐现象.早晨海水上涨叫做潮,黄昏海水上涨叫做汐,合称潮汐.潮汐与人类的生活有着密切的联系.某港口某天从0时到12时的水深情况如下表,其中T表示时刻,h表示水深.
T(时)0 3 6 9 12
h(米)5 7.4 5.1 2.6 4.5
上述问题中,字母T,h表示的是变量还是常量,简述你的理由.
22、根据下列情境编制一个实际问题,说出其中的常量与变量,小王春节骑车去看望爷爷,小王家与爷爷家相距10千米,小王骑车的速度为每小时12千米。
23、齿轮每分钟120转,如果n表示转数,t表示转动时间.(1)用n的代数式表示t;
(2)说出其中的变量与常量.
24、已知x无论取何正值,y
1=-3x+7都比y
2
=kx+5大,求k的取值范围.
25、根据下列情境编制一个实际问题,说出其中的常量与变量,并说明变量的取值范围:
小王春节骑车去看望爷爷,小王家与爷爷家相距10千米,小王骑车的速度为每小时12千米.
答案解析部分
一、单选题
1、
【答案】C
【考点】函数值
【解析】【分析】直接把t=3代入函数关系式h=gt2中即可得的答案.【解答】把t=3代入函数关系式得:
h=×10×32=45,
故选:C.
【点评】此题主要考查了待定系数法求函数值,题目比较基础,关键是正确代入.
2、
【答案】B
【考点】函数值
【解析】【分析】把x=-1分别代入各项,看y的值是否是6即可判断。
【解答】A、当x=-1时,y=-3+3=0,故本选项错误;
B、当x=-1时,y=3+3=6,故本选项正确;
C、当x=-1时,y=-3-3=-6,故本选项错误;
D、当x=-1时,y=3-3=0,故本选项错误;
故选B.
【点评】解答本题的关键是掌握好求函数值的基本方法。
3、
【答案】B
【考点】函数关系式
【解析】【分析】观察图形可知:阴影部分面积=大矩形的面积-小矩形的面积.
【解答】由题意得,S与x之间的关系可表示为S=4×8-4x=4(8-x),
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的面积公式,准确把握图形的特征。
4、
【答案】A
【考点】常量与变量
【解析】【分析】根据常量与变量的定义即可判断。
由题意得,常量为20,变量为x,y,故选A。
【点评】解答本题的关键是熟记常量是指不变的量,变量是指变化的量。
5、
【答案】C
【考点】函数值
【解析】【解答】x=2时,y=2×2-1=4-1=3
选:C.
【分析】把x=2代入函数解析式计算即可得解.
6、
【答案】C
【考点】函数值
【解析】【解答】x=3时,y=3×3-1=8选:C.
【分析】把x=3代入函数关系式进行计算
7、
【答案】D
【考点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】根据题意,有x-2≠0,解可得x≠2
选:D.
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0;分析原函数式可得关系式x-2≠0,解可得自变量x的取值范围.
8、
【答案】D
【考点】函数关系式
【解析】【解答】依题意有:y=2x
选:D.
【分析】根据总价=单价×数量得出y与x之间的函数关系式
9、
【答案】A
【考点】函数关系式
【解析】【解答】①x是自变量,y是因变量;正确;②x的数值可以任意选择;正确;
③y是变量,它的值与x无关;而y随x的变化而变化;错误;
④用关系式表示的不能用图象表示;错误;
⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示,正确
选:A.
【分析】根据一次函数的定义可知,x为自变量,y为函数,也叫因变量;x 取全体实数;y随x的变化而变化;可以用三种形式来表示函数:解析法、列表法和图象法.
10、
【答案】A
【考点】函数关系式
【解析】【解答】一名老师带领x名学生到动物园参观,已知成人票每张30元,学生票每张10元.设门票的总费用为y元,则y与x的函数关系为y=10x+30选:A.
【分析】根据师生的总费用,可得函数关系式
11、
【答案】B
【考点】函数关系式
【解析】【解答】依题意得y=40×80%×x=32x .选:B.
【分析】等量关系是:总价=单价×80%×数量.
12、
【答案】A
【考点】函数关系式
【解析】【解答】∵当高度为h时,降低3h ,∴气温T℃与高度h(千米)之间的关系式为T=21-3h
选:A.
【分析】气温=地面温度-降低的气温,把相关数值代入
13、
【答案】B
【考点】常量与变量
【解析】【解答】解:根据函数的定义可知,水温是随着所晒时间的长短而变化,可知水温是因变量,所晒时间为自变量.故选:B .
【分析】函数的定义:设在某变化过程中有两个变量x、y ,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一的值与它对应,那么称y是x的函数,x叫自变量.函数关系式中,某特定的数会随另一个(或另几个)会变动的数的变动而变动,就称为因变量.
14、
【答案】D
【考点】函数关系式
【解析】【解答】依题意有:y=2x ,故选:D
【分析】根据总价=单价×数量得出y与x之间的函数关系式即可.
15、
【答案】C
【考点】函数值
【解析】【解答】解:由题意得:
y=30×﹣6=4.
故选:C.
【分析】将x=代入函数解析式可得出y的值.
二、填空题
16、
【答案】时间;温度
【考点】常量与变量
【解析】【解答】
“早穿皮袄,午穿纱,围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国新疆地区一天中,温度随时间变化而变化,其中自变量是:时间,因变量是:温度.【分析】根据在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量
17、
【答案】41
【考点】函数值
【解析】【解答】∵用x表示脚长,用y表示鞋码,
则有2x-y=10,而x=25.5,
则51-y=10,
解得:y=41
【分析】由于已知用x表示脚长,用y表示鞋码,则有2x-y=10,而爷爷只告诉他自己的脚长25.5cm,代入公式即可求出小强该买多少码的鞋
18、
【答案】s=60t
【考点】函数关系式
【解析】【解答】s与t的函数关系式为:s=60t ,
故答案为:s=60t .
【分析】根据路程=速度×时间即可求解.
【答案】数量、金额
【考点】常量与变量
【解析】【解答】在这三个量当中元/升是常量,数量、金额是变量
【分析】常量就是在变化过程中不变的量,变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量
20、
【答案】①②④
【考点】函数的概念
【解析】【解答】在一个变化过程中,有两个变量x和y ,对于x的每一个确定值,y都有唯一的值与之对应,则称y是x的函数.在③中,当x取一个值时,对应的y值有两个,故不是函数。
【分析】函数要满足两个条件,一是有两个变量,二是对于自变量每取一个确定的值,因变量有且仅有一个值与之对应
三、解答题
21、
【答案】解:字母T,h表示的是变量.因为水深h随着时间T的变化而变化
【考点】常量与变量
【解析】【分析】根据变量和常量的定义:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量可得x、y是变量.
22、
【答案】解答: 设小王与爷爷家的距离为s ,出发时间为t ,则
s=-12t+10,
-12与10是常量,s与t是变量
【考点】常量与变量
【解析】【分析】根据函数的定义,需要有两个变量,可以从小王与爷爷家的距离和时间考虑求解
【答案】解:(1)由题意得:
120t=n,
t=;
(2)变量:t,n 常量:120.
【考点】常量与变量
【解析】【分析】(1)根据题意可得:转数=每分钟120转×时间;
(2)根据变量和常量的定义:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量可得x、y是变量.
24、
【答案】解答: 由题意得,-3x+7>kx+5,
所以(k+3)x<2,
∵x无论取何正值,y
1=-3x+7都比y
2
=kx+5大,
∴k+3≤0,
解得k≤-3
【考点】函数值
【解析】【分析】根据函数值列出不等式,再根据对任意正数x不等式都成立列出关于k的不等式,然后求解
25、
【答案】解:设小王与爷爷家的距离为s,出发时间为t,
则s=﹣12t+10,
﹣12与10是常量,s与t是变量,
∵s≥0,即﹣12t+10≥0,
∴t≤,
t的取值范围是0≤t≤,
s的取值范围是0≤s≤10.
【考点】常量与变量
【解析】【分析】根据函数的定义,需要有两个变量,可以从小王与爷爷家