人教版高中数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
数学选修2-1空间向量与立体几何练习题含答案
24.已知向量 ， ，若向量 与 共线，则 ________；若 ，则 ________．
25.在正方体 中：
（1）分别给出直线 ， 的一个方向向量；
（2）分别给出平面 ，平面 ，平面 的一个法向量．
26.如图，边长为 的正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点， .将 ， 分别沿着 ， 折起，使 ， 重合于点 ，且二面角 为直二面角.
B
【考点】
平面的法向量
向量方法证明线、面的位置关系定理
直线的方向向量
【解析】
由已知可得： ，因此 ，再利用线面垂直的判定即可得出．
【解答】
解：∵直线 的方向向量为 ，
平面 的法向量 ， ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
11.
【答案】
【考点】
空间直线的向量参数方程
直线的方向向量
【解析】
设直线 的一个方向向量为 ，运用向量垂直的条件：数量积为 ，化简可得所求向量．
【解答】
解：设直线 的一个方向向量为 ，
由两平面 与 分别以 与 为其法向量，
可得 ， ，
可得 ， ，
可设 ，则 ， ，
可得 ．
故答案为： .
16.
【答案】
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
数学选修2-1空间向量与立体几何练习题含答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1.已知 是空间的一组单位正交基底，而 是空间的另一组基底．若向量 在基底 下的坐标为 ，则向量 在基底 下的坐标为（）
高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算一、学习任务1. 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程．2. 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；理解空间向量的正交分解及其坐标表示．3. 理解空间向量的线性运算及其性质；理解空间向量的坐标运算．4. 理解空间向量的夹角的概念；理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直．二、知识清单空间向量的概念与表示空间向量的坐标运算三、知识讲解1.空间向量的概念与表示空间向量的概念及表示方法与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），向量的大小叫做向量的长度或模（modulus）．向量可以用有向线段来表示，也可用 ， 等表示，还可以用有向线段的起点与终点字母表示，如 ．长度为 的向量叫做零向量（zero vector），记为 ．模为 的向量称为单位向量（unitvector）．与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector）．空间向量的加减运算①空间向量的加减运算满足三角形法则和平行四边形法则；②空间向量的加 减运算满足交换律及结合律：，．空间向量的数乘运算与平面向量一样，实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vector by scalar）．当 时， 与向量 方向相同；当 时， 与向量 方向相反； 的长度是 的长度的 倍．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：，结合律：．空间向量基本定理（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）．a →b →AB −→−00→1a →a →−a →+=+a →b →b →a →(+)+=+(+)a →b →c →a →b →c →λa →λa →λ>0λa →a →λ<0λa →a →λa →a →|λ|λ(+)=λ+λa →b→a →b →λ(μ)=(λμ)a →a →vector）．（1）；（2）；（3）AP N A 1，则 ∠BA =∠DA =A 1A 16013−−√23−−√高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.3 含解析
第3课时 用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A.120° B.60°C.30°D.以上均错l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2设四边形ABCD ,ABEF 都是边长为1的正方形,FA ⊥平面ABCD ,则异面直线AC 与BF 所成的角等于 ( )A.45°B.30°C.90°D.60°,则A (0,0,0),F (0,0,1),B (0,1,0),C (1,1,0), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =-1. 设异面直线AC 与BF 所成的角为θ, ∴cos θ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12. 又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.3若a =(λ,1,2)与b =(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为( ) A.λ<52B.λ<52,且λ≠-2C.λ≥52,且λ≠4D.λ≥52,得a ·b =2λ+(-1)-4<0,即λ<52.而|a |=√5+λ2,|b |=3,又<a ,b >为钝角,∴3√5+λ≠-1,即λ≠-2.4若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB 与平面α所成角为( ) A.π6 B.π3C.23πD.56πAB 与平面α所成角为θ,由题意知cos θ=12,则AB 与平面α所成角为π3.5若平面α的一个法向量为n =(4,1,1),直线l 的一个方向向量为a =(-2,-3,3),则l 与α所成角的余弦值为 ( )A.-√11B.√11C.-√110D.√913<a ,n >=√4+9+9√16+1+1=3√11=-4√1133, 故l 与α所成角的余弦值为√1-(-4√1133)2=√91333.6在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,二面角A-BD 1-B 1的大小为 .,以点C 为原点建立空间直角坐标系.设正方体的边长为a ,则A (a ,a ,0),B (a ,0,0),D 1(0,a ,a ),B 1(a ,0,a ), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,a ),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a ). 设平面ABD 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,a ,0)=ay=0, n ·BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,a )=-ax+ay+az=0. ∵a ≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n =(1,0,1),同理,求得平面B 1BD 1的法向量m =(1,1,0),∴cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=12,∴<n ,m >=60°.而二面角A-BD 1-B 1为钝角,故为120°.°7在正四棱锥P-ABCD 中,高为1,底面边长为2,E 为BC 的中点,则异面直线PE 与DB 所成的角为 .,则B (1,1,0),D (-1,-1,0),E (0,1,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1). ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√8×√2=12.∴<DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π.∴PE 与DB 所成的角为π.8在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知DA=DC=4,DD 1=3,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为 .9如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°,试确定此时动点E 的位置.DA 所在直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系.设E (1,t ,0)(0≤t ≤2),则A (1,0,0),D (0,0,0),D 1(0,0,1),C (0,2,0),D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t-2,0), 根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0=√2×√1+(t -2)2·cos 60°, 所以t=1.所以点E 的位置是AB 的中点. 10如图,在四棱锥P-ABCD 中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).因为AD ⊥平面PAB ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0).因为PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2).设平面PCD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即{x +y -2z =0,2y -2z =0. 令y=1,解得z=1,x=1.所以m =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量.从而cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |=√33,所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为√33.能力提升1已知E ,F 分别是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1的中点,则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( ) A.23B.√23C.√53D.2√33D 为坐标原点,以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A (1,0,0),E (12,1,0),F (0,1,12),D 1(0,0,1),∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,1,0). 设平面AEFD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 {n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-x +z =0,-x 2+y =0,∴x=2y=z. 取y=1,则n =(2,1,2),而平面ABCD 的一个法向量为u =(0,0,1),∴cos <n ,u >=2,∴sin <n ,u >=√5.2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是A 1B 1,BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )A.√32B.√1010C.35D.25,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),M (1,12,1),C (0,1,0),N (1,1,12),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1),CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,12).∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52. ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1252×52=25.3在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,则EF 与BD 1所成的角是( ) A.90°B.60°C.30°D.0°,以D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a ,则A 1(a ,0,a ),D (0,0,0),A (a ,0,0),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),D 1(0,0,a ), ∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,a ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,-a ,a ). ∵EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z ), ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(a ,0,a )=ax+az=0, EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,0)=-ax+ay=0.∵a ≠0,∴x=y=-z (x ≠0).∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,x ,-x ).∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aEF ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BD 1∥EF. 故EF 与BD 1所成的角是0°.4二面角α-l-β内有一点P ,若点P 到平面α,β的距离分别是5,8,且点P 在平面α,β内的射影间的距离为7,则二面角的度数是( ) A.30°B.60°C.120°D.150°,PA ⊥α,PB ⊥β,∠ADB 为二面角α-l-β的平面角.由题意知PA=5,PB=8,AB=7, 由余弦定理,可得cos ∠APB=52+82-72=1,则∠APB=60°,故∠ADB=120°.5在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a>0),若平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a= .6在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 .,可知∠CB 1C 1=60°,∠DC 1D 1=45°.设B 1C 1=1,则CC 1=√3=DD 1.∴C 1D 1=√3,则有B 1(√3,0,0),C (√3,1,√3),C 1(√3,1,0),D (0,1,√3).∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3). ∴cos <B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√64.7如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=PC=BC ,且∠BAC=π2,则PA 与底面ABC 所成角的大小为 .,∵PA=PB=PC ,∴P 在底面上的射影O 是△ABC 的外心.又∠BAC=π2,∴O 在BC 上且为BC 的中点.∴AO 为PA 在底面上的射影,∠PAO 即为所求的角.在△PAO 中,PO=√32PB=√32PA ,∴sin ∠PAO=PO =√3.∴∠PAO=π3.8在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值是 .,设棱长为1,则B (1,1,0),C 1(0,1,1),A 1(1,0,1),D (0,0,0). BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0). 设平面A 1BD 的一个法向量为n =(1,x ,y ),设BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ,n ⊥A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{-1-y =0,-1-x =0,解得{x =-1,y =-1.所以n =(1,-1,-1),则cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=-√63,所以sin θ=√63.所以cos θ=√1-(√63)2=√33.9如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=BC=AB=2,AB ⊥BC ,求二面角B 1-A 1C-C 1的大小.,则A (2,0,0),C (0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C 1(0,2,2).设AC 的中点为M ,连接BM.∵BM ⊥AC ,BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面AA 1C 1C ,即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)是平面AA 1C 1C 的一个法向量.设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x ,y ,z ).A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),∴n ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x=0,n ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n =(0,1,1).设法向量n 与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为φ,二面角B 1-A 1C-C 1为θ,显然θ为锐角.∴cos θ=|cos φ|=|n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,解得θ=π3.∴二面角B 1-A 1C-C 1的大小为π3.★10四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD=AB=AA 1=2BC ,E 为DD 1的中点,F 为A 1D 的中点. (1)求证:EF ∥平面A 1BC ;(2)求直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值.E ,F 分别是DD 1,DA 1的中点,∴EF ∥A 1D 1.又A 1D 1∥B 1C 1∥BC ,∴EF ∥BC ,且EF ⊄平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC , ∴EF ∥平面A 1BC.AB ,AD ,AA 1两两垂直,以AB 所在直线为x 轴,以AD 所在直线为y 轴,以AA 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图.设BC=1,则A (0,0,0),A 1(0,0,2),C (2,1,0),D (0,2,0),D 1(0,2,2),F (0,1,1),E (0,2,1), 故FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0). 设平面A 1CD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,2,-2)=2y -2z =0,n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-2,1,0)=-2x +y =0.取n =(1,2,2),则sin θ=|cos <n ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√1+4+4·√0+1+0|=23,故直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值等于23.。
高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14.【答案】 D3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD→与AB → D.P A →与CD→ 【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD→＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.【答案】 A4.如图3-1-25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )图3-1-25A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG→·AC → D ．2EF→·CB → 【解析】 2BA→·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错；2FG→·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确． 【答案】 C5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中正确命题的个数是( ) 【导学号：18490091】 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°.【答案】 B 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________． 【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】617．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，（a ＋λb ）·（λa －2b ）≠－|a ＋λb ||λa －2b | 得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.【答案】 (－1－3，－1＋3)8.如图3-1-26，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3-1-26【解析】 不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】 90° 三、解答题9．如图3-1-27，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .图3-1-27【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.而A 1O →＝A 1A →＋AO → ＝A 1A →＋12(AB →＋AD →) ＝c ＋12(a ＋b )， BD→＝AD →－AB →＝b －a ， OG→＝OC →＋CG → ＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→ ＝12(a ＋b )＋12c .∴A 1O →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. 【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB→）＋AD → ＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C.【答案】 C2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【解析】 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD→＝CD →2＝1. cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB→，CD →〉＝60°. 【答案】 B3．已知正三棱柱ABC -DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF ＝________. 【导学号：18490092】【解析】 设CN CF ＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →，MN →＝12BC →＋mAD →，又AE→·MN →＝0， 得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4m ＝0，解得m ＝116. 【答案】 1164.如图3-1-28，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图3-1-28【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝（AB →＋AD →＋AA 1→）2＝ AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2（AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→）. ∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→| ＝1＋4＋9＋2（1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°） ＝23.。
高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角 线面角 二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体 中，求：（1）异面直线 与 所成的角；（2） 与 所成的角．解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角．又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线 与 平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；（2）求二面角 的平面角的正切值．解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．而 ，所以 ．又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．所以 ，所以 ， ，故．而 ，所以 ．（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．由（1）知 ，又 ，所以 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。
2021高中数学人教A版选修2-1(第三章+空间向量与立体几何)章节练习试题(含详细解析)
2021年09月30日试卷一、单选题(共25题；共0分)1、(0分)如图，已知二面角 α－ PQ － β的大小为60°，点 C 为棱 PQ 上一点， A ∈ β ， AC ＝2，∠ ACP ＝30°，则点 A 到平面 α的距离为( )A. 1B. 12C.√32D. 322、(0分)在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1中，若AB=2, AA 1=1,则点A 到平面 A 1BC 的距离为（ ）A.√34B.√32C.3√34D. √33、(0分)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( )A.√23B.√33C. 23D.√634、(0分)已知m 、n 、l 是三条不同的直线， α、 β、 γ是三个不同的平面，给出以下命题：①若 m ⊂α,n ∥α ， 则 m ∥n ； ②若 m ⊂α,n ⊂β,α⊥β,α∩β=l,m ⊥l ， 则 m ⊥n ；③若 n ∥m ， m ⊂α ， 则 n ∥α；④若 α∥γ,β∥γ ， 则 α∥β 其中正确命题的序号是（ ）A. ②④B. ②③C. ③④D. ①③5、(0分)下列各组向量不平行的是（ ） A. a →=(1,0,0),b →=(−3,0,0) B. a →=(0,1,0),b →=(1,0,1)C. a →=(0,1,−1),b →=(0,−1,1)D. a →=(1,0,0),b →=(0,0,0)6、(0分)若平面α，β的法向量分别为n 1=(2，-3，5)，n 2=(-3，1，-4)，则( ). A. α∥βB. α⊥βC. α，β相交但不垂直D. 以上均不正确7、(0分)如图,半径为√3的扇形AOB 的圆心角为120∘,点C 在AB 上,且∠COB =30∘,若OC →=λOA →+μOB →,则λ+μ=( )A. √3B.√33C.4√33D. 2√38、(0分)已知a=(cos θ，1，sin θ)，b=(sin θ，1，cos θ)，则向量a+b 与a-b 的夹角是( ).A. 0°B. 30°C. 60°D. 90°9、(0分)正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在A 1C 上运动（包括端点），则BP 与AD 1所成角的取值范围是（ ）A. [π4,π3]B. [π4,π2]C. [π6,π2]D. [π6,π3]10、(0分)点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的底面 ABCD 上一点，则 PA →⋅PC 1→的取值范围是 ( )A. [−1,−14] B. [−12,−14]C. [−1,0]D. [−12,0]11、(0分)在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1中，若AB=2， AA 1=1则点A 到平面 A 1BC 的距离为（ ）A.√34B.√32C.3√34D. √312、(0分)已知平面向量a 、b ，|a|＝1，|b|＝ √3 ， 且|2a ＋b|＝ √7 ， 则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A. π2B. π3C. π6D. π13、(0分)设 α、 β是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题：①若 l ⊥α ， α⊥β ， 则 l ⊂β；②若 l ∥α ， α∥β ， 则 l ⊂β； ③若 l ⊥α ， α∥β ， 则 l ⊥β；④若 l ∥α ， α⊥β ， 则 l ⊥β。
人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何练习题及答案
第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §.1.2空间向量的数乘运算1.下列命题中不正确的命题个数是 （）①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 AB +BC + CD +DA =0 ；A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .4r 4 * r 4 t 44.已知四边形 ABCD 中，AB =a — 2C , CD =5 a +6 b — 8C ，对角线AC 、BD 的中点分别为 E 、F ，则EF = __________5.已知矩形 ABCD , P 为平面ABCD 外一点，且 PA 丄平面 ABCD , M 、N 分别为 PC 、PD 上的点，且 M N 分PD 成定比1，求满足 MN =xAB - yAD - zAP 的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱 ABCD-ABC 1D 1中，AA = 2AB , E 为AA 重点，则异面直线BE 与C0所形成角的(x , y , z ) 为（)A . ( 1,1 1)B . ( 3 ,-,-)C .( 1 1I ) D .(2 ,2 2) 4 444 4 43 3333 3T T T3 •在平行六面ABC D—EFGHAG 二 xAC yAFzAH , 则x + y + z =2.设OABC 是四面体，G i 是厶ABC 的重心，G 是OG i 上一点，且OG=3GG i,若 10 A . 10 13.10 B . C . 5 10 3 D .52•如图，设 A , B , C , D 是空间不共面的四点， 且满足 丿 ABR ,余弦值为（） ②对空间任意点0与不共线的三点A 、B 、C ,若 OP =x OA +y OB +z OC（其中 x 、y 、z € R ）,则 P 、OG =x OA +y OB +z OC ,分PC 成定比2,NACAD.0 , ABAD =0,则厶BCD 的形状是（）A .钝角三角形B •锐角三角形C •直角三角形D .不确定的 3.已知ABCD — A 1B 1C 1D 1为正方体，则下列命题中错误的命题为I F I Q F Q①(A 1A+A 1 D 1+A 1B 1)2 =3(A 1 B )2;②AC (A|B _AiA)=O;③向量AD 与向量A |B 勺夹角为60 ; ④立方体ABCD-/AB 1C 1D 1的体积为|ABAA AD4. 如图，已知：平行六面体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且/ CQB = / C 1CD= / BCD=60 °（1）证明：C 1C 丄 BD ;CD（2）当2CD 的值为多少时,CC 15.如图，正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1的底边长为a ,侧棱长为.2 a .建立适1 .已知向量 OA = (2 ,§.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示OB = （x , 1 -y , 4z ）, -2, 3), 且平行四边形OACB 的对角线的中点31坐标为M (0, ,)，则(X ,2 2 A . (-2,-4, -1)B . (-2,一4, 1) C. (-2, 4,-1)D . (2, -4, -1)2 .已知 a = (2, - 2, 4) , b = (1,-1, 2), c = (-6.6,-12)，则向量 a 、b> c ()A •可构成直角三角形 C •可构成钝角三角形B •可构成锐角三角形D .不能构成三角形3 .若两点的坐标是 A （3cos a3sin a 1), B (2cos 0 2sin,01）,则| AB |的取值范围是（） A . [0, 5] B . [1 , 5]4.设点 C (2a+1 , a+1 , 2)在点 的值为 ________________ . C . (1 , 5)P (2, 0, 0)、A (1 , — 3,D . [1 , 25]2 )、B ( 8, -1, 4）确定的平面上，则 a能使 A i C 丄平面C i BD ?请给出证明.当的坐标系，⑴写出A, B, A1, B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角.B13.2立体几何中的向量方法1到一定点(1 , 0, 1)的距离小于或等于 2的点的集合为()A • {(x,y,z)|(x —1)2y 2 (z —1)2 乞4}B - {(x,y,z)|(x-1)2 y 2 (z-1)2 =4}C • {(x,y,z)|(x —1)2 y 2 (z —1)2 乞 2}D • {(x,y,z)|(x-1)2y 2 (z_1)2 =2}2. 正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面4 二3 .3 3 "2"3. 已知斜三棱柱 ABC-A 1B 1C 1,BCA=90* , AC 二 BC = 2 , A在底面ABC 上的射影恰为 AC 的中点D ，又知BA — AC 1.(1) 求证：AG _平面ABC ; (2) 求C 1到平面A,AB 的距离；4.如图，在直三棱柱 ABC-ABG 中，AB=1 , AC 二 AA =、3 , / ABC=60 °(1)证明：AB_AC ;(2)求二面角A — AC — B 的大小.5.如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱SD 上的点.A 1BD 所成角的余弦值为()(3)求二面角A - AB - C 余弦值的大小.BC1C(1)求证：AC丄SD;(2)若SD丄平面PAC,求二面角P-AC-D的大小(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E, 使得BE //平面PAC.若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由.FDCD2(2)设x, CD =2,则 CC=,CC 1 x』2寸・彳*彳24 2.A 〔C GD = (a b c) (a - c)二 a a b - b c - c 5 6 ,x x4 2 2 2 令飞6=0，则 3x 「x -2 € ,解得 x = 1，或 x = -一x 2 x3（舍去），CD 1时，能使AQ _平面GBD. CC f§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 §3.1.5空间向量运算的 坐标表示参考答案第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §.1.2空间向量的数乘运算 3 4 4 1. A 2.A 3. 4.3a +3b — 5C25.如图所示，取 PC 的中点E ,连结NE ,则MN =EN —EM . 1 i i h••• EN 二 CD 二 BA= — AB ,2 2 2 21 1 _1 EN =PM _PE = _PC PC PC ,连结A C ,则^ _P C A C_ A P1(AB AD —AP) 621 1 …x , y , z .366§3.1.3空间向量的数量积运算 T 彳 T 彳 —H 轉 叫 呻1.C2.B3.③④4. (1)设 CB = a, CD = b,CC 〔 =c ，贝V |a|=|b| ,BD=CD —CB 绪二，所以BDCC^(b -a)c =b c —a c =|b||c|cos60 -|a||c|cos60 =0, BD _ CG 即 BD _ CC 1 ;BD _A 〔C , 只须求 x 满足：AC GD =0 ,A BADBD 一 面AA1C C ,■A A = a, AD =b, DC =c, A|C =ab21. A2.D3.B4.165. (1 )建系如图，贝U A (0, 0, 0) B ( 0, a , 0)(2)解法一：在所建的坐标系中，取 a *-于是 M (0, _, J2a ),连结 AM , MC 12则有2,0,0) AB=(0,a,0), 胃=(0,0、、2a),2二 MQ AB = 0, MC 1 AA =0, 所以，M6丄平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是 AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法 新课标第一网3.取 AB 的中点E ，贝U DE // BC ,以DE, DC,DA 1为x, y,z 轴建立空间坐标系, 则 A 0, -1,0，C 0,1,0，B 2,1,0 ,A 0,0,t , C 0,2,t ,R -HA i ( 0, 0,■… 2 a), C 1|,Z )A iB i 的中点M ,ACi =( 亍,2，池,)爲“j,忌),9a 2.AC 1 AM，而 || AC4AC 1 AM -3| AG ||AM 「2 ,由 cos< AC 1, AM >= < AC 1, AM >=30 °••• AC 1与侧面 ABB 1A 1所成的角为30°1 .A 2. C (1)如右图,所以DE _ AC ，又AD _平面ABC ，AG=(0,3,t ), BA=(-2,-1,t ),T > TCB 二2,0,0 ，由AC CB = 0，知AC — CB ,又BA丄AG,从而AC1丄平面ABC.(2)由AC1 BA = -3 + t2设平面 AAB 的法向量为 n= x, y,z , A A^ = 0,1,3 , "AB 二 2,2,0，所以•竺二y 、3z =o ，设乙=i ，则 n 二；3, _、、3,1，n AB' = 2x 2y = 0(3)再设平面 A|BC 的法向量为m= x, y, z ， CA , 所以m CA = -y ^3z = 0，设 z =1，则 m = 0, ■. 3,1 ，m CB = 2x = 0故 cos ：：：m, n 1 二二，根据法向量的方向,7可知二面角A-AB-C 的余弦值大小为 -74. (1) T 三棱柱ABC-AB iG 为直三棱柱,二 AB 丄 AA , AC 丄 AA ，Rt ：ABC ，AB =1, AC 二，3, ABC = 60， 由正弦定理/ACB= 300. . BAC =90° 即 AB _ AC如右图，建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0B, (1,0,0) (0^3,小，(0,0, 3).A^ = (1,0,0), AC = (0^.3/. 3)， AB _ AC .I⑵ 如图可取m =AB =(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量,设平面A 1BC 的法向量为n =(l,m, n)， 则B C n =0, AC n =0,又 BC =( —1,73,0)，所以点G 到平面AAB 的距离d 二AC 1n2.21-1八 3 , CB 二 2,0,0 ,=1 0 0 .3 0 (一、、3)=0，丨 J 、、3m = 0_ _ . ^ </3m, n =m. 3m - x 3 n = 0不妨取m =1,则门=(13,1,1)，m ncos £ m, n >= ----- :—=m ，n,3 11 01 0 .15I 2 12 12 J 2 02 025j 15 二面角 A _AC -BD 的大小为arccos .'P55. ( 1)连结BD ，设AC 交于BD 于O ， 由题意知SO _平面ABCD .以O 为坐标原点,OB,OC,OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立坐标系O -xyz 如右图.D设底面边长为a ，则高SO 二—2a .于是 S(0,0,6a),D( 2a,0,0)，C(0^-2 a,0)2 2 2OC =(0仝a,0)，SD -( 2a,0, 6a)，OC S ^-0 2 2 2 ，故OC 丄SD 从而AC 丄SD .7 ■2 • 6 ⑵由题设知，平面PAC 的一个法向量DS=( a,0, a)，平面DAC 的一个法向量 2 2 OS =(0,0,6a )，设所求二面角为6，则cos 日=笃笛=庚，得所求二面角的大小为 30 ° 2 |OS||DS| 2 ,6a 2 (3)在棱 SC 上存在一点E 使BE//平面PAC .由(2 )知DS 是平面PAC 的一个法向量，且f a)丘® -予,予).设 CE =tCS,____ ______________________________ if Q / Q jf O则 BE = BC CE =BC tCS =(— a,二 a(1 -1),2—at)，而2 2 2t 二1 .即当 SE: EC =2:1 时，BE _ DS .而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE// 平面 PAC . 3作 者于华东 责任编辑庞保军。
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 Word版含答案
3.1.3 空间向量的数量积运算课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法范围,想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b .(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝________ 交换律 a·b ＝______分配律 a·(b ＋c )＝____________(3)两个向 量数量 积的 性质①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔__________. ②若a 与b 同向，则a·b ＝________；若反向，则a·b ＝________.特别地：a·a ＝|a |2或|a |＝a·a .③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝______④|a·b |≤|a|·|b |.一、选择题1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·a )·c －(c ·a )·b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④2．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )A.7B.10C.13 D ．44.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE ·CF →等于( )A ．0 B.12 C ．－34 D ．－125.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．1446．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( )A ．m ∥nB ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能二、填空题7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________．8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________. 9．在△ABC 中，有下列命题：①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA ＝0；③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的是________．(填写正确的序号)三、解答题10.如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .11．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M 、N 分别是棱AB 、CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.能力提升 12.平面式O,A.B 三点不共线，设OA →＝a ，OB ＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2B.|a |2|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 13.如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且AB ＝7，AC ＝BD＝24，线段BD 与α所成的角为30°，求CD 的长．3．1.3 空间向量的数量积运算知识梳理1．〈a ，b 〉 [0，π]2．(2)λ(a·b ) b·a a·b ＋a·c(3)①a·b ＝0 ②|a|·|b | －|a|·|b |③a·b |a||b |作业设计1．D [①错；②正确，可以利用三角形法则作出a －b ，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b ·a ＝c·b ＝0时，(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．]2．A [a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．]3．C [|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a ＋3b |＝13.]4．D [AE →·CF →＝12(AB →＋AC →)·12AD AC ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14AB →·AD →＋14AC →·AD →－12AB →·AC →－12|AC →|2 ＝14cos 60°＋14cos 60°－12cos 60°－12＝－12.] 5．C [∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →，∴|PC →|2＝(PA →＋AB →＋BC →)2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2PA →·AB →＋2PA →·BC →＋2AB →·BC →＝108＋2×6×6×12＝144，∴|PC →|＝12.] 6．B [由题意m ⊥a ，m ⊥b ，则有m·a ＝0，m·b ＝0，m·n ＝m (λa ＋μb )＝λm·a ＋μm·b ＝0，∴m ⊥n .]7．60°解析 由|a －b |＝7，得(a －b )2＝7，即|a |2－2a·b ＋|b |2＝7，∴2a·b ＝6，∴|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.即a 与b 的夹角为60°. 8.7解析 |a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×2×12＋4＝7. 9．②③解析 ①错，AB →－AC →＝CB →；②正确；③正确，|AB →|＝|AC →|；④错，△ABC 不一定是锐角三角形．10．证明 ∵OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，∴△OAC ≌△OAB .∴∠AOC ＝∠AOB .∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝0，∴OA ⊥BC .11．解如图所示，|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝a ，把题中所用到的量都用向量AB →、AC →、AD →表示，于是MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →. 又AD →·AB →＝AB →·AC →＝AC →·AD →＝|AD →|2cos 60°＝12|AD →|2＝12a 2， ∴MN →·MN →＝112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭· 112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|MN →|MN MN ∙＝53a ，即|MN |＝53a . 12.C [如图所示，S △OAB ＝12|a ||b |·sin 〈a ，b 〉 ＝12|a ||b |1－〈a ，b 〉2＝12|a ||b | 1－a ·b |a ||b |2＝12|a ||b | |a |2|b |2－a ·b 2|a |2|b |2 ＝12|a |2|b |2－a ·b 2.] 13.解 由AC ⊥α，可知AC ⊥AB ，过点D 作DD 1⊥α，D 1为垂足，连结BD 1，则∠DBD 1为BD 与α所成的角，即∠DBD 1＝30°， ∴∠BDD 1＝60°，∵AC ⊥α，DD 1⊥α，∴AC ∥DD 1，∴〈CA →，DB →〉＝60°，∴〈CA →，BD →〉＝120°.又CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ， ∴BD →·AB →＝0，AC →·AB →＝0.故|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD →＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，∴|CD →|＝25.。
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第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC yAF zAH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB yAD zAP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A.10 B . 15 C.10D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，_ _ D_ A_ P_ N _B_ M0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)-- 2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.C 1 B 1 A 1B A3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42B ．32C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥. （1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，1AC AA ==∠ABC =60°. (1)证明：1AB AC ⊥； （2）求二面角A —1AC —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ _ A_S_ F_B参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-. ∵1122EN CD BA ===12AB -，EN PM PE =-=211326PC PC PC -=， 连结AC ，则P C A C A P A B A D =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos60||||cos600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x A C C D ∴⋅= 只须求满足，设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去）， 111,.A C C BD ∴=⊥1CD 时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示_ _ D_ A_P_ N _ B_ M _ EA1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0） A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a )(2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有1(,0,0)MC =-(0,,0)AB a =，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.1(,)2aAC =-，(0,)2a AM =，∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==， 由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法 新 课 标 第 一网1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1ACCB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得t =设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA=，()2,2,0AB =，所以10220n AA y n AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,n =-，所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==7. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,mx y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y m CB x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()m =，故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅ 可知二面角1A A B C --. 4.（1）三棱柱111ABCA B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB∠=.90BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系， 则 1(0,0,0),(1,0,(0,3,(0,0,3)A B C A1(1,0,0),AB AC ∴==， 11000(0AB AC ⋅=⨯+⨯=， 1AB AC ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AAC 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（），,ll n m⎧-=⎪∴∴==-=.不妨取1,,1)m n==则，cos,m nm nm n⋅<>===⋅.1A AC BD∴--二面角的大小为.5.（1）连结BD，设AC交于BD于O，由题意知SO ABCD⊥平面.以O为坐标原点，OB OC OS，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O xyz-如右图.设底面边长为a，则高2SO=.于是(0,0,),(,0,0)22S a D a-，(0,,0)2C a，(0,,0)2OC a=，(,0,)2SD a=-，0OC SD⋅=，故OC SD⊥.从而AC SD⊥.(2)由题设知，平面PAC的一个法向量)DS=，平面DAC的一个法向量00OS =（，设所求二面角为θ，则cosOS DSOS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°.（3）在棱SC上存在一点E使//BE PAC平面.由（2）知DS是平面PAC的一个法向量，且),(0,)DS a CS==.设,CE tCS=则(,(1),)222BE BC CE BC tCS a a t at=+=+=--，而13BE DC t⋅=⇔=.即当:2:1SE EC=时，BE DS⊥.而BE不在平面PAC内，故//BE PAC平面.作者于华东责任编辑庞保军。