数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)65959
数学建模案例分析--线性代数建模案例（20例）
数学建模案例分析--线性代数建模案例（20例）数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)线性代数建模案例汇编目录案例一. 交通网络流量分析问题 0案例二. 配方问题 (3)案例三. 投入产出问题 (4)案例四. 平板的稳态温度分布问题 (6)案例五. CT图像的代数重建问题 (9)案例六. 平衡结构的梁受力计算 (11)案例七. 化学方程式配平问题 (14)案例八. 互付工资问题 (15)案例十. 电路设计问题 (18)案例十一. 平面图形的几何变换 (20)案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (21)案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (22)(屏幕制造商需要调整矩阵元素一适应其RGB屏幕.) 求将电视台发送的数据转换成电视机屏幕所要求数据的方程. (26)案例十五. 人员流动问题 (26)案例十六. 金融公司支付基金的流动 (28)案例十七. 选举问题 (30)案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。
根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计?(3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2 ①400 + x 1 = x 4 + 300②x 2 + x 3 = 100 + 200③x 4 = x 3 + 300 ④【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=??-=-??+=??-+=?其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300?? ?-- ? ? ?-?→初等行变换10011000101600001130000000--?? ? ?-- ? ??由此可得 142434100600300x x x x x x -=-??+=??-=-?即142434100600300x x x x x x =-??=-+??=-?.为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可.当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-??=-+??=-?可得213141500200100x x x x x x =-+??=-??=+?, 123242500300600x x x x x x =-+??=-+??=-+?, 132343200300300x x x x x x =+??=-+??=+?, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x y x y x y x y +=??+=?+=?+=?【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A , b ) =214327113125?? ? ? ? →初等行变换101012000000?? ? ? ? ???, 可见{1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ?+=++=++=++=+?? (*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型.这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了1973年的Nobel 经济学奖.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.。
线性代数数学建模案例教学研究
学术研讨123线性代数数学建模案例教学研究◊宿迁学院文理学院周克元赵士银本文对线性代数融入数学建模进行分析研究，列举相关数学建模案例，使抽象的线性代数具体化、形象化，训练和培养学生数学建模、分析问题、解决问题的能力。
线性代数主要以线性方程组求解为基础，研究线性空间中线性关系和线性映射，具有较强的抽象性，对于普通应用型院校学生来说理解难度比较大。
很多学生认为线性代数没有任何用处，不想学也不愿学，教师往往感觉是在唱独角戏，久而久之，容易造成恶性循环。
造成这样困境的原因是多方面的，数学知识本身严谨性和逻辑性的特点是一个原因，但更重要的原因是长期以来割裂了数学和其他学科的联系，对线性代数进行孤立的教学，使学生很难认识到它的重要应用价值％线性代数难学的主要原因在于线性代数中有许多从天而降许多抽象的概念，抽象的各种概念和知识点有什么意义什么应用基本没有介绍％传统的线性代数教材偏重于理论推导，而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难于理解，且学生感受不到线性代数理论体系存在％学生难以理解学习各种概念的目的意义，学习线性方程组求解、线性空间、线性映射等知识点有什么作用。
目前一个比较好的解决方法是将数学建模融入线性代数中问，线性代数广泛应用在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域，在教学中补充讲解线性代数知识在生活工程中的各种应用，让学生理解线性代数各个知识的背景来源，理解学习线性代数在生活工程中的巨大应用，激发学生的学习兴趣，培养学生使用线性代数解决实际问题的能力。
本文介绍一些在实际教学过程中使用的一些数学建模案例。
1行列式应用案例各类线性代数教材旳中，对于行列式的介绍主要为，对于二元三元线性方程组，其解用二阶三阶行列式表示更方便，进而给出n阶行列式的概念、行列式性质、求解方法以及Crammer法则，对于行列式其他应用基本没有介绍。
学生在学习过线性代数后面知识后，认为用逆矩阵或初等变换方法求解线性方程组更方便，对于学习行列式有什么作用产生怀疑。
线性代数建模案例
有下面的线性方程组
5 x1 + 4 x2 + 7 x3 + 10 x4 = 100 20 x1 + 25 x2 + 10 x3 + 5 x4 = 200 2 x + 2 x + 10 x + 6 x = 50 2 3 4
15
【模型求解】
• 对该 线 性方 程 组的增 广矩阵 进行初 等行变 换 ，
1 2 1 r2 × 5 r1 ↔ r3 r3 ×
使之变为行阶梯型矩阵。
5 4 7 10 100 4 → 20 25 10 5 200 5 2 2 10 6 50
r2 − r1 × 4 r3 − r1 ×5
1 1 5 5 2
25 40 4 7 10 100 3 1
200m比赛后各个队的得分与奖金表为
9 5 6 A100 B + A200 B = 8 7 1 120 8 120 17 240 70 8 110 13 180 100 7 90 13 190 + = 110 4 60 12 170 90 9 120 16 210 0 0 1 10 10
电厂 36505.96 2808.15 2808.15 42122.27
案例3 案例3 最佳食谱
• 一个兽医推荐狗的每天食谱中应该包含100个单位的 蛋白质，200个单位的卡路里，50个单位的脂肪。一个商 店的宠物食物部有四钟食品A,B,C,D。每1kg的这四种食品 所包含的蛋白质、卡路里和脂肪的量（单位）如下。
4
200m成绩对应的矩阵为
A200
线性代数方法建模4投入产出分析--数学建模案例分析
§4 投入产出分析在一个国家或区域的经济系统中，各部门（或企业）既有消耗又有生产，或说既有投入又有产出，生产的产品供给系统内部各部门和系统以外的需求，同时也消耗系统内各部门所提供的产品。
消耗的目的是为了生产，生产的结果又必然要创造新价值，以支付工资和获取利润。
对每一部门，物质消耗和新创造的价值等于它生产的总产值，这就是投入和产出之间的平衡关系。
美国经济学家、哈佛大学教授W.Leontief 于20世纪30年代首先提出并成功建立了国民经济的投入产出数学模型，并数次制定主持美国的国民经济投入产出表，这一方法即投入产出法以其重要的应用价值迅速为世界各国经济学界和决策部门所采纳，因此他获得1973年的Nobel 经济学奖。
设有n 个经济部门组成的经济系统，假设1、部门i 仅生产一种产品i ，称为部门i 的产出，不同部门的产品不能相互替代；2、部门i 在生产过程中至少需要消耗另一部门 j 的产品，称为部门 j 对部门i 的投入，并且消耗的各部门产品的投入量与该部门的总产出量成正比。
记i x —部门i 的总产出 ),,2,1(n i =ij x —部门i 分配给部门j 的产品量),,2,1,(n j i =ij a —部门 j 的单位产品对部门i 产品的消耗),,2,1,(n j i =，显然j ij ij x a x =i y —外部对部门i 的需求),,2,1(n i =j z —部门j 新创造的价值),,2,1(n j =利用统计资料，可以编制下面的投入产出表。
投入产出模型按计量单位的不同，分为价值型和实物型，在价值型模型中，各部门的投入、产出均以货币单位表示；在实物型模型中，则按各产品的实物单位（如吨、米等）为单位。
我们在这里仅讨论价值型模型，至于实物型模型，可以证明相应的直接消耗系数矩阵与货币型模型的直接消耗系数矩阵相似，因此模型的结论是一致的。
一、平衡方程组对每一部门，作为系统内部各部门的消耗＋外部需求＝总产品即 ),,2,1(1n i x y x a i i j ij nj ==+∑= （1）(1) 称为分配平衡方程组。
2）线性代数在数学建模中的应用例举
2）线性代数在数学建模中的应用例举第一篇：2)线性代数在数学建模中的应用例举8015985.docAct3 总复习【Arrangement】1）模拟题2）线性代数在数学建模中的应用例举3）线性代数在考研中的地位和重要性【Content】模拟题一、填空题（每题4分，共20分）：1、n阶方阵A的行列式，则行列式。
2、若向量组线性相关，则t=。
3、若可逆方阵A有特征值2，则必有一个特征值为。
4、若n阶方阵A满足，则＝。
5、行列式＝。
二、（12分）已知 ,解下列方程式8015985.doc三、(14分)设非齐次线性方程组，t取何值时，此方程组无解；t 取何值时，此方程组有解，并在有解时求出该方程组的全部解。
四、(14分)设求：（1）与与的值；（2）满足相似，的可逆阵。
五、（14分）求下列矩阵A的特征值和特征向量。
A=六、（14分）设二次型1．写出f的矩阵表达式；2．用配方法求一可逆线性变换，化f为标准形。
七、证明题（本题12分）设向量组相关性。
线性无关，讨论向量组线性线性代数在数学建模中的应用例举1、森林管理森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。
为使这片森林不被耗尽而且每年都有所收获，每当砍伐一棵时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木总量保持不变。
被出售的树木，其价值取决于树木的高度。
最初，森林中树木有着不同的高度。
我们希望找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济效益？2、遗传模型8015985.doc随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。
无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对确定了后代所表现的特征。
根据亲体基因遗传给后代的方式，建立矩阵模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体的基因型的分布。
线性代数在考研中的地位和重要性1、报考工学、经济学、管理学各学科、专业都要考线性代数；2、数学一考试科目试卷结构数学二考试科目数学三考试科目试卷结构数学四考试科目试卷结构高等数学、线性代数、概率论与数理统计1）题分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
线性代数方法建模Hill密码的数学模型数学建模案例分析
§3 Hill 密码的数学模型Hill 密码是一种传统的密码体系，它的加密过程可以描述如下：明文→加密器→密文→普通信道→解密器→明文在这个过程中，运用的手段是矩阵运算，具体步骤如下：一、加密1、根据明文字母的表值，将明文信息用数字表示，设明文信息只需要26个英文字母A —Z （也可以不只26个，如还有数字、标点符号等），通信双方给出这26个字母表值（见下表）。
2、选择一个二阶可逆整数方阵，称为Hill 密码的加密矩阵，它是这个加密体制的“密钥”（是加密的关键，仅通信双方掌握）。
3、将明文字母依次逐对分组。
Hill 密码的加密矩阵为二阶矩阵，则明文字母2个一组（可以扩充至每n 个明文字母为一组）。
若最后一组只有一个字母，则补充一个没有实际意义的哑字母，这样使得每一组都由2个明文字母组成。
查出每个明文字母的表值，构成一个二维列向量α。
4、A 乘以α，得到一个新的二维列向量αβA =，由β的两个分量反查字母表值得到的两个字母即为密文字母。
以上4步即为Hill 密码的加密过程。
例 明文为YI CHU FA 。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3021A ，求这段明文的Hill 密码。
将明文相邻2个字母分为一组：YI CH UF AA 。
最后一个字母是哑字母，它是为使最后一组的字母数为2而添加的，无实际意义。
查出每对字母的表值，并构造2维列向量：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11,621,83,925（1） 将上述4个列向量左乘矩阵A ，得到4个新的列向量：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,1833,2419,2743 （2）在反查这4个向量对应的字母时，遇到了问题：第1个向量与第三个向量中的43与33不是表值，处理的办法是加减26的整数倍，使其化为0—25之间的一个整数，这称为模26运算，记为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛187)26(mod 1833,117)26(mod 2743 （3） 这样，这4个新的二维列向量对应的字母为：QA SX GR CC 。
数学建模案例线性代数教学研究
数学建模案例线性代数教学研究随着科技发展，数学与其它学科的交叉越来越紧密，数学建模成为一种重要的工具。
而线性代数是数学建模中的重要基础，其在各种实际问题中都有广泛应用。
因此，本文通过一个数学建模案例来探讨线性代数在教学中的重要性。
案例背景某大学数学系的一位教授希望在线性代数教学中加入数学建模的元素，提高学生的动手实践能力。
于是，他选取了一个与学生生活密切相关的问题为案例，希望通过该案例来引导学生掌握线性代数的基本理论和实际应用。
具体问题如下：问题描述某班级有N个学生，每个学生都参加了不同的课程，且每个学生的课程选择不同。
现在需要将课程分配到P个教室中，每个教室应选取不同的课程，且每个学生应在每个教室只上一门课程，同时每个教室的课程门数应尽量均衡。
设计一种方案使得每个学生都上一门课程，并且每个教室的课程门数尽量均衡。
解决方案通过对该问题进行建模，可以将其表示为一个线性方程组。
具体的，假设p个教室中第i个教室上的第j门课的编号为xij，则如下建立线性方程：∑xij=1，j=1，2，…，N，i=1，2，…，Pxij∈{0，1}，j=1，2，…，N，i=1，2，…，P其中∑xij=1表示第i个教室上应该有且只有一门课程。
另外，由于每个学生只应该在每个教室上上一门课程，因此要满足：xij+xkj≤1(i≠k)，j=1，2，…，N，i,k=1，2，…，P该约束条件使得每个学生只能上同一教室中的一门课程。
而为了实现每个教室的课程门数尽量均衡，还需要增加以下约束条件：│{xij}|xij=1的数量（教室i中上的课程门数）-│{xik}|xik=1的数量（教室k中上的课程门数）│≤1，i≠k，i=1，2，…，P该约束条件使得每个教室中的课程门数差异不应过大。
经过对该问题的建模，得到了一个线性方程组，该方程组可以通过求解线性规划问题得到最优解。
同时，该问题的解决方案可以通过矩阵运算实现。
结论通过该数学建模案例，我们可以看出线性代数在实际问题中的广泛应用。
线性代数在数学建模中的应用
第六章 线性代数模型§6.1 Matlab 求解线性代数工具简介１．矩阵的秩.rref 或 rrefmovie格式 R = rref(A) %用高斯—约当消元法和行主元法求 A 的行最简行矩阵R.rrefmovie(A) %给出每一步化简的过程.２．方阵的行列式：det(A) ３．逆矩阵：inv(A)指令inv(A)给出方阵A 的逆矩阵，如果A 不可逆，则inv(A)给出的矩阵的元素都是Inf ．利用初等变换也可以求出逆矩阵，构造n 行2n 列的矩阵(A E)，并进行行初等变换，当把A 变为单位矩阵时，E 就变成了A 的逆矩阵．利用matlab 命令rref 可以求出矩阵的行简化阶梯形．输入命令： D=[A,eye(3)] D =1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1 rref(D) ans =1.0000 0 0 1.0000 3.0000 -2.0000 0 1.0000 0 -1.5000 -3.0000 2.5000 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 n m ⨯线性方程组B AX =的求解是用矩阵除来完成的,B A X \=，当n m =且A 可逆时，给出唯一解．这时矩阵除B A \相当于B A inv *)(；当m n >时，矩阵除给出方程的最小二乘解；当m n <时，矩阵除给出方程的最小范数解．例6.1：解方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++=+-+=++-12121243132143214321x x x x x x x x x x x x x x 解：输入命令：a=[1 -1 1 2;1 1 -2 1;1 1 1 0;1 0 1 -1]; b=[1;1;2;1]; x=a\b x =0.8333 0.7500 0.4167 0.2500输入命令： z=inv(a)*b z =0.8333 0.7500 0.41670.2500例6.2：解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-++-=--++8343242222543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x解：方程的个数和未知数不相等，用消去法，将增广矩阵化为行简化阶梯形，如果系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，则方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有解，方程组的解就是行简化阶梯形所对应的方程组的解．输入命令：a=[2 1 1 -1 -2 2;1 -1 2 1 -1 4;2 -3 4 3 -1 8]; rref(a) ans =1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 -1 0 0 0 1 0 -1 2由结果看出，4x ,5x 为自由未知量，方程组的解为： 01=x542x x x += 532x x +=例６：解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=--=-+-=+--0320030432142143214321x x x x x x x x x x x x x x x解：输入命令：a=[1 -1 -1 1;1 -1 1 -3;1 -1 0 -1;1 -1 -2 3]; rref(a)ans =1 -1 0 -1 0 0 1 -2 0 0 0 00 0 0 0由结果看出，2x ,4x 为自由未知量，方程组的解为： 421x x x += 432x x =§6.3 交通流量模型城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。
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图 2 某城市单行线示意图 【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按 箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).
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线性代数建模案例汇编
400
500 1
x1
2 300
x2 100 3
200
x x4
3
4 300
图 3 某城市单行线车流量 (1) 建立确定每条道路流量的线性方程组. (2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当 x4 = 350 时, 确定 x1, x2, x3 的值. (4) 若 x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?
0 1 0
1 1 0
600
300 0
由此可得
x1 x4 100
x2
x4
600
x3
x4
300
即
x1 x4 100
x2
x4
600
.
x3 x4 300
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线性代数建模案例汇编
为了唯一确定未知流量, 只要增添 x4 统计的值即可. 当 x4 = 350 时, 确定 x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50. 若 x4 = 200, 则 x1 = 100, x2 = 400, x3 = 100 < 0. 这表明单行线“③ ④”应该改为“③ ④”才合理.
线性代数建模案例汇编
线性代数建模案例汇编
张小向 东南大学数学系
2012 年 6 月
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目
录
案例一. 交通网络流量分析问题 ...................................1 案例二. 配方问题................................................ 4 案例三. 投入产出问题............................................ 6 案例四. 平板的稳态温度分布问题..................................8 案例五. CT 图像的代数重建问题 ..................................10 案例六. 平衡结构的梁受力计算...................................12 案例七. 化学方程式配平问题.....................................14 案例八. 互付工资问题........................................... 16 案例九. 平衡价格问题........................................... 19 案例十. 电路设计问题........................................... 21 案例十一. 平面图形的几何变换...................................23 案例十二. 太空探测器轨道数据问题............................... 25 案例十三. 应用矩阵编制 Hill 密码................................26 案例十四. 显示器色彩制式转换问题............................... 28 案例十五. 人员流动问题......................................... 30 案例十六. 金融公司支付基金的流动............................... 32 案例十七. 选举问题............................................. 34 案例十八. 简单的种群增长问题...................................35 案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解...................37 案例二十. 最值问题............................................. 39 附录 数学实验报告模板.......................................... 40
页脚内容1
线性代数建模案例汇编
这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这 些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概 念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到 了.
案例一. 交通网络流量分析问题
城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善 城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置 单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
【模型分析】(1) 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程 是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.
(2)
由
x1 x2
x4 x4
100 600
可
得
x2 x3
x1 500 x1 200
,
x1 x3
x2 x2
500 300
,
【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的 车辆数目相等.
【模型建立】 根据图 3 和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆
数目分别满足
500 = x1 + x2
①
400 + x1 = x4 + 300
②
x2 + x3 = 100 + 200
③
x4 = x3 + 300
x3
x4
300
x4
x1
100
x4
x2
600
x1 x3 200
x2
x3 300 ,
这就是说 x1,
x2,
x3,
x4 这四个未知量中,
任意一个未知量的值
x4
x3
300
统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.
④
【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组
其增广矩阵
x1 x2
500
x1
x4 100
x2 x3
300
x3 x4 300
1 1 0 0 500
1 0 0 1 100
(A,
b)
=
1 0 0
0 1 0
0 1 1
1 0 1
100
300 300
初等行变换
0
0 0
1 0 0