中考平面几何证明方法以及添加辅助线方法
初中几何添辅助线方法
初中几何添辅助线方法
1.画角分线：对于一个角，画出它的角分线可以将角分成两个相
等的角，简化计算。
2.画中线：对于三角形，画出它的三条中线能够形成一个重心，
重心位于三角形平衡点的位置，可以帮助我们计算三角形的面积或者
各个部分的长度。
3.画高线：对于三角形，画出它的一条高线可以将三角形分成两
个直角三角形，这样就可以应用勾股定理计算出三角形边长或者面积。
4.画角平分线：对于一个三角形，画出它的三个角平分线可以将
三角形分成六个角相等的三角形，简化计算。
5.画对角线：对于一个四边形，画出它的两条对角线，这样可以
将四边形分成两个相等的三角形，帮助我们计算相邻边的长度或者面积。
几何中的证明技巧：中考数学辅助线的添加与应用
几何中的证明技巧：中考数学辅助线的添加与应用在几何学中，证明技巧是学习数学的重要组成部分之一。
在中考数学中，辅助线的添加与应用是解决几何问题的关键之一。
本文将探讨几何中的证明技巧，重点介绍中考数学中辅助线的添加与应用。
一、辅助线的作用辅助线在几何证明中起着辅助作用，能够帮助我们更容易地理解和证明一些几何性质。
通过添加适当的辅助线，我们可以将原来复杂的几何图形转化为更简单、更易于处理的形式，从而更好地解决问题。
二、辅助线的添加技巧1. **平行线与角平分线**当我们需要证明一些角相等或线段平行的性质时，可以通过添加平行线或角平分线来辅助证明。
例如，证明两条线段平行时，可以添加一条平行于这两条线段的辅助线，从而构造出一组对应角相等的情况，进而得到结论。
2. **垂线与垂足**在证明垂直关系或直角三角形性质时，可以通过添加垂线和垂足来辅助证明。
例如，证明两条线段垂直时，可以通过在它们的交点处添加垂线，并证明所得的相邻角为直角，从而得到结论。
3. **三角形中的辅助线**在证明三角形性质时，常常需要添加一些辅助线来简化问题。
例如，证明三角形的内心、外心、重心等特殊点时，可以通过添加角平分线、中线、高线等辅助线来辅助证明。
三、辅助线的应用案例1. **证明三角形相似**当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加一些辅助线来简化证明过程。
例如，证明两个三角形的三个对应角相等时，可以添加一条平行于其中一条边的辅助线，从而构造出一组对应角相等的情况。
2. **证明三角形的重心性质**当我们需要证明三角形的重心性质时，可以通过添加一些辅助线来简化问题。
例如，证明三角形的重心到各顶点的距离相等时，可以添加中线并利用三角形的性质来证明。
3. **证明四边形的性质**在证明四边形的性质时，常常需要添加一些辅助线来简化问题。
例如，证明一个四边形是平行四边形时，可以添加一条对角线，并利用平行线性质来证明。
四、结语几何中的证明技巧是中考数学中的重要内容之一。
中考数学复习：平面几何添加辅助线的技巧
中考数学复习：平面几何添加辅助线的技巧摘要：近两年，中考数学试卷中降低了对平面几何的要求，但就此认为对于学生的思维训练可以放松，那就错了。
数学始终应包含其特有的知识、思想与方法、活动应用、知识审美等四个层面，而培养一名学生严密的逻辑思维能力和推理论证能力更是一刻不离地贯穿其中的中考数学复习：平面几何添加辅助线的技巧近两年，中考数学试卷中降低了对平面几何的要求，但就此认为对于学生的思维训练可以放松，那就错了。
数学始终应包含其特有的知识、思想与方法、活动应用、知识审美等四个层面，而培养一名学生严密的逻辑思维能力和推理论证能力更是一刻不离地贯穿其中的。
不少初中生感到平面几何比较难学，特别是遇到需要添加辅助线的习题，有时会感到无从下手。
在此，我们对初中几何中添加辅助线的思路从以下几个方面进行了总结，希望能帮助参加中考的学生有效复习备考。
揭示图形中隐含的性质（扩大原题的已知）当题目的题设和结论之间的逻辑关系不太明朗、甚至彼此孤立时，可以通过添加适当的辅助线，把题设条件中隐含的有关性质充分显现出来，扩大了已知条件，从而有利于迅速找到题目的最近切入口，进而推导出题目的结论。
[例题1]如图1，D是⊿ABC的边AC的中点，延长BC到点E，使CE=BC，ED的延长线交AB于点F，求ED∶EF。
分析：思路一：过C作AB的平行线交DE于G，由D是AC的中点可得FD=DG，由CE=BC可得FG=GE，从而得ED∶EF=3∶4。
思路二：过D作BE的平行线交AB于I，类似法一得ID∶BC=1∶2，ID∶BE=1∶4，从而得ED∶EF=3∶4。
思路三：过D作AB的平行线交BE于H，易得BH=HC=1/4BE，得ED∶EF=3∶4。
说明：本题三种思路所添加的三条平行线，均是为了充分利用D是⊿ABC的边AC的中点这一条件，使本来感觉比较薄弱的一个条件，在平行线的作用下变得内涵丰富，既有另外一边的中点出现，又可以利用三角形的中位线定理，这样使用起来就更加得心应手。
初中平面几何常见添加辅助线的方法
初中平面几何常见添加辅助线的方法平面几何是数学中的一个重要分支，通过在平面上描述和研究几何图形之间的关系和性质。
在解决平面几何问题中，添加辅助线是一种常见且有效的方法，可以帮助我们更好地理解和分析问题。
下面是初中平面几何常见的添加辅助线的方法：1.使用垂直辅助线：垂直辅助线是指与已知线段垂直的辅助线，可以用来分割和构造几何图形。
比如，在矩形中，可以通过连接矩形的对角线来构造一条垂直辅助线，从而将矩形分割为两个等腰直角三角形。
2.使用平行辅助线：平行辅助线是指与已知线段平行的辅助线，可以用来帮助构造平行线段和证明平行性质。
例如，在平行四边形中，可以通过连接相邻顶点和平行线段的端点来构造平行辅助线，从而证明平行四边形的对边相等。
3.使用角平分线：角平分线是指将一个角平分为两个等角的辅助线。
在解决涉及角的等分、相等或相似性质问题时，添加角平分线是非常有用的方法。
例如，在等腰三角形中，可以通过连结底边中点和顶角顶点的直线来构造角平分线，从而证明等腰三角形的顶角相等。
4.使用中线：中线是指连接一个几何图形的两边中点的辅助线。
在解决涉及几何图形的中点、平行四边形和三角形性质问题时，添加中线是一种常见的方法。
例如，在四边形中，可以通过连接相对边的中点来构造中线，从而证明中线互相平分。
5.使用高线：高线是指从多边形的一个顶点向对边所引的垂线。
在解决多边形的高、重心、垂心和外心问题时，添加高线是非常有用的方法。
例如，在三角形中，可以通过从一个顶点向对边引垂线来构造高线，从而证明高线汇聚于三角形的垂心。
6.使用辅助图形：有时，我们可以通过在平面上添加一些辅助图形来辅助解决几何问题。
例如，在求解平行四边形的面积时，可以通过添加一个垂直边和一个三角形来将平行四边形划分为两个高度相等的矩形，从而方便计算面积。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求来灵活地选择合适的辅助线方法。
添加辅助线不仅可以帮助我们更好地理解和分析问题，还可以提高解题效率和准确性。
初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全
人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人们从来就就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这就是解决问题常用的策略。
一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。
举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
初中数学常用辅助线添加技巧
初中数学常用辅助线添加技巧人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一.添辅助线有二种情况：1 按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2 按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形; 当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
万唯中考数学几何辅助线方法
万唯中考数学几何辅助线方法
万唯中考数学几何辅助线方法主要涉及以下几种：
1. 构造法：通过添加一些辅助线，将复杂的几何图形转化为简单的图形，便于分析和求解。
例如，在三角形中添加高线、中线、角平分线等。
2. 反证法：通过假设某个命题不成立，然后利用已知条件进行推理，得出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
这种方法常用于证明一些难以直接证明的命题。
3. 代数法：通过将几何问题转化为代数问题，利用代数方法求解。
这种方法需要一定的代数基础，例如，利用方程组、不等式等求解。
4. 坐标法：通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，利用代数方法求解。
这种方法需要一定的代数和解析几何基础，例如，利用函数、方程、向量等求解。
5. 面积法：通过利用面积关系证明或求解几何问题。
这种方法需要掌握一些基本的面积公式和性质，例如，三角形面积公式、平行四边形面积公式等。
以上是万唯中考数学几何辅助线方法的一些主要方法，具体应用要根据实际情况而定。
几何证明例题及常见的添加辅助线方法
几何证明例题及常见的添加辅助线方法几何证明是数学中的一个重要分支，通过使用几何定理和性质，以及一些常见的辅助线方法，来证明几何命题的正确性。
下面将提供几个几何证明的例题，并介绍一些常见的添加辅助线方法：1.证明等边三角形的高线与垂直平分线重合。
添加辅助线方法：连接等边三角形的顶点与底边的中点，将三角形分为两个等腰三角形。
然后，通过利用等腰三角形的性质，可以证明三角形的高线与垂直平分线重合。
2.证明等腰梯形的对角线垂直。
添加辅助线方法：在等腰梯形的两个腰上各取一个点，使得这两个点与梯形的底边相连，形成两个等边三角形。
通过证明这两个等边三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线垂直的结论。
3.证明一个四边形是平行四边形的充要条件是其对角线互相垂直。
添加辅助线方法：对四边形的两个对角线进行延长，连接延长线的交点与四边形的两个相邻顶点，形成两个三角形。
通过证明这两个三角形是直角三角形，可以得出对角线互相垂直的结论。
4.证明正方形的对角线互相垂直。
添加辅助线方法：连接正方形的相邻顶点，形成两个等腰三角形。
通过证明这两个等腰三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线互相垂直的结论。
5.证明一个三角形的内心到三边的距离和边长的乘积是相等的。
添加辅助线方法：通过从三角形的顶点向内切圆引垂线，连接垂足与内心，形成三个小三角形。
通过证明这三个小三角形是相似三角形，可以得出内心到三边的距离和边长的乘积相等的结论。
以上是几个常见的几何证明例题及其对应的添加辅助线方法。
在几何证明中，添加辅助线是一种常用的方法，可以将原始图形分解成更简单的图形，以便于应用几何定理和性质进行证明。
但需要注意的是，添加辅助线时应选择合适的位置和方式，以确保辅助线的添加不会引入其他不必要的情况，更好地辅助证明目标命题的正确性。
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平面几何证明题型和方法一、证明与三角形相关的题型：1.证明三角形全等△ABC ≌△DEF（方法一）全等三角形的五个公理：（1）边角边公理(S.A.S) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（2）角边角公理(A.S.A) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）推论(A.A.S) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）边边边公理(S.S.S) 有三边对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边、直角边公理(H.L)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（方法二）关于某条直线对称的两个图形是全等形（方法三）关于中心对称的两个图形是全等的（方法四）图形旋转后，形状和大小都不变。
旋转前后的图形全等。
2.证明三角形相似△ABC ∽△DEF（方法一）相似三角形的四个判定定理：（1）相似三角形的判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（AA）。
（2）相似三角形的判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（S’AS’）（3）相似三角形的判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（S’S’S’）（4）相似三角形的判定定理4 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(H’L’)。
（方法二）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3.证明中位线DE是△ABC的中位线（方法一）经过△ABC的边AB的中点D与另一边平行的直线，与第三边交于点E，那么DE是△ABC的中位线。
（方法二）△ABC的边AB的中点D，边AC的中点E，那么线段DE是△ABC 的中位线。
4.证明垂直平分线DE是△ABC的BC边的垂直平分线（方法一）证明DE垂直BC，而且DE平分BC。
（方法二）和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
证明DB = DC，EB = EC。
（方法三）如果两图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线（对称轴是①对应点连线的垂直平分线②两对对应点中点的连线）。
（方法四）垂径定理的推论1③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（方法五）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
二、证明与线段相关的题型：1.证明线段相等AB = CD；证明中点；证明中线；证明（互相）平分（方法一）证明三角形全等△ABE ≌△CDF，对应线段相等AB = CD。
（方法二）等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
（方法三）（三线合一）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
（方法四）三角形的角平分线，垂直平分线：（1）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
（方法五）平行四边形的性质：（1）平行四边形性质定理1平行四边形的对边相等。
（2）平行四边形性质定理1推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分。
（4）矩形性质定理3矩形的对角线相等。
（5）菱形性质定理2菱形的四条边都相等。
（6）正方形性质定理1正方形的四条边都相等。
（7）正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分。
（方法六）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（对称中心是两对对称点连线的交点）。
（方法七）关于圆的定理：（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论1③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。
（3）切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等。
（方法八）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。
中点公式：点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的中点M的坐标是M2.证明线段成倍数AB = nCD，（n是正整数）；证明三等分点；四等分点（方法一）直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半。
（方法二）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
（方法三）平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的正向延长线/反向延长线），所得的对应线段成比例。
（方法四）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半。
（方法五）“截长补短法”截长：在AB边上取n等分点A1，A2……A n-1，证明其中一段A k A k+1 = CD即可。
补短：延长CD至H，使得DH = (n－1)CD，证明CH = AB即可。
（方法六）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。
3.证明线段成比例AB/CD = AE/CF，AB/BC = AD/DE，AB/AC = AD/AE，BC/AC = DE/AE（方法一）证明三角形相似△ABE ∽△CDF，对应边成比例AB/CD = AE/CF。
（方法二）平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的正向延长线/反向延长线），所得的对应线段成比例。
（方法三）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
相交弦定理推论如果弦与直径垂直相交，那么弦长的一半是它分直径所成的两条线段长度的比例中项。
（方法四）切割线定理（圆幂定理）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点与割线和圆的两个交点所成的两条线段长度的比例中项（方法五）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。
4.证明多条线段的长度等量关系AB + CD = EF（方法一）梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（方法二）圆的外切四边形的两组对边的和相等。
（方法三）“截长补短法”截长：在EF边上截取EG = AB，证明GF = CD即可。
补短：延长AB至H，使得BH = CD，证明AH = EF即可。
（方法四）勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即。
（方法五）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。
5.证明线段不相等AB > CD（方法一）把边AB和CD通过等长的线段转化为同一个三角形的两条边。
根据“大角对大边”来证明。
（方法二）三角形两边的和大于第三边。
（方法三）三角形两边的差小于第三边。
（方法四）如果图形中有直角（角的始边和终边是横线和竖线），可以建立平面直角坐标系，求出各点坐标，用两点之间的距离公式计算线段的长度。
三、证明与角相关的题型：1.证明角相等∠A = ∠B；证明角平分线（方法一）同角或等角：（1）同角或等角的补角相等。
（2）同角或等角的余角相等。
（方法二）直线平行和角的关系：（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（方法三）证明三角形全等△ACE ≌△BDF，对应角相等∠A = ∠B。
（方法四）证明三角形相似△ACE ∽△BDF，对应角相等∠A = ∠B。
（方法五）等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(等边对等角）。
（方法六）（三线合一）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
（方法七）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（方法八）平行四边形的性质：（1）平行四边形性质定理2平行四边形的对角相等。
（2）菱形性质定理3菱形的每一条对角线平分一组内角/对角。
（3）正方形性质定理2正方形的每条对角线平分一组内角/对角。
（方法九）锐角三角比：如果两个锐角的三角比（正弦值，余弦值，正切值，余切值）相等，那么这两个锐角相等。
[应用1] 先证明对应角相等，再证明三角形全等，三角形相似。
[应用2]“动点问题”求解：把某条边长设为未知数，利用三角比用这个未知数来表示其它边长。
最终求出所求的边长－边长，面积－边长的函数关系式。
注意要准确求出符合题意的未知数的取值范围。
（方法十）关于圆的定理：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。
（2）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
（3）切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
（4）弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
2.证明角成倍数∠A = n∠B，（n是正整数）（方法一）圆的一条弧/弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（方法二）“割补法”分割：作出∠A 的n等分线AP1，AP2……AP n-1，证明其中一个n等分角∠P k AP k+1 = ∠B即可。
特例：对于∠A = 2∠B，可以把∠A作为外角，在∠A外部作出一个等腰三角形。
补形：以∠B的一条边为边，在∠B的外部作出和∠B相等的角，同理重复作出n－1个和∠B相等的角，证明∠B和所作的角之和等于∠A。
3.证明多个角的大小关系∠1和∠2互补；∠1和∠2互余；∠1 + ∠2 = ∠3 （方法一）两直线平行，同旁内角互补。
（方法二）圆的内接四边形的对角互补。
（方法三）锐角三角比证明互余：（1）如果一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值，那么这两个锐角互余。
（2）如果一个锐角的余弦值等于另一个锐角的正弦值，那么这两个锐角互余。
（3）如果一个锐角的正切值等于另一个锐角的余切值，那么这两个锐角互余。
（4）如果一个锐角的余切值等于另一个锐角的正切值，那么这两个锐角互余。
（方法四）“割补法”分割：以∠3的一条边为边，在∠3的内部作出和∠1相等的角，证明∠3和∠1非公共部分等于∠2。
补形：以∠1的一条边为边，在∠1的外部作出和∠2相等的角，证明∠1和所作的角之和等于∠3。
4.证明角不相等∠1 > ∠2（方法一）把∠1和∠2通过等角转化为同一个三角形的两个内角。
根据“大边对大角”来证明。
（方法二）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
（方法三）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（方法四）锐角三角比：（1）如果∠1的正弦值大于∠2的正弦值，那么∠1 > ∠2。
（同方向）（2）如果∠1的余弦值大于∠2的余弦值，那么∠1 < ∠2。