《三 排序不等式》教案新部编本
《排序不等式》教学设计
§3.3 排序不等式学习目标：知识目标：1、了解排序不等式的基本形式；2、了解特殊到一般的数学思想。
方法目标：1、会运用排序不等式分析解决一些简单问题；2、掌握“发现规律---归纳、猜想----证明”的数学定理发现方法；情感目标：1、体会运用经典不等式的一般思想方法；2、了解排序不等式在现实生活中的应用，做到学以致用。
重难点：1、理解并掌握排序不等式；2、如何利用排序不等式解决生活中的实际问题和证明一些不等式。
学情分析：学生已经学习了一些不等式以及排列组合的知识，了解不等式的基本证明方法，并且有一定的生活常识和数学计算能力，为本节课的学习奠定了基础。
由于学生的数学基础一般，因此排序不等式定理的证明过程在理解上可能存在困难，故本节课不涉及定理的证明。
有兴趣的同学进行自学，不懂的地方可以问老师。
教学过程1.情境引入：国庆节长假期间，达瓦和父母一起报名参加“雪山连北京”旅行团去首都北京旅游。
在旅游即将结束的时候，达瓦想用自己的零花钱给自己的爷爷、两个姨妈和三个好朋友分别买一样纪念品。
达瓦看中了三样纪念品：鸟巢明信片（10元/张）、天坛模型（15元/个）和长城纪念册（25元/本）。
在父母的建议下，达瓦决定采取以下的买纪念品方案：1、不同辈分的纪念品不同；2、相同辈分的纪念品相同。
达瓦如何买纪念品花钱最少？如何买花钱最多？分析：这个实际生活问题可以转化为一个数学问题：已知两组数1，2，3和10,15,25,将10，15，25分别填入下面的空格中，1×+2×+3×=则所得的结果最大值是,最小值是.计算过程：1×10+2×15+3×25=115 1×10+2×25+3×15=1051×15+2×10+3×25=110 1×15+2×25+3×10=951×25+2×10+3×15=90 1×25+2×15+3×10=85本题通过计算可知共有个不同的和数。
高中数学第三讲三排序不等式学案含解析新人教A版选修4_5
三排序不等式考纲定位重难突破1.了解排序不等式的数学思想和背景．2.了解排序不等式的结构与基本原理．3.理解排序不等式的简单应用.重点：排序不等式的结构与基本原理.难点：排序不等式的简单应用.授课提示：对应学生用书第32页[自主梳理]一、顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…a n b n为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和．二、排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．[双基自测]1．已知a，b，c∈R＋，则a5＋b5＋c5与a3b2＋b3c2＋c3a2的大小关系是()A．a5＋b5＋c5>a3b2＋b3c2＋c3a2B．a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2C．a5＋b5＋c5<a3b2＋b3c2＋c3a2D．a5＋b5＋c5≤a3b2＋b3c2＋c3a2解析：取两组数a3，b3，c3和a2，b2，c2，由排序不等式，得a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2.答案：B2．设两组数1,2,3,4和4,5,6,7的顺序和为A，反序和为B，则A＝________，B＝________.解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60.B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50.答案：60503．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________ s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：41授课提示：对应学生用书第32页探究一 利用排序不等式证明不等式[例1] 设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[证明] 由题意不妨设a ≥b ≥c >0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知 ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c，即所证不等式bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c 成立．1．利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．2．若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等关系来解题．1．设a ，b ，c 为正数，求证：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.证明：不妨设a ≥b ≥c >0，则a 12≥b 12≥c 12， 1bc ≥1ac ≥1ab>0， ∴由顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ac ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a .①又∵a 11≥b 11≥c 11，1c ≥1b ≥1a ，∴由乱序和≥反序和，得a 11b ＋b 11c ＋c 11a ≥a 11a ＋b 11b ＋c 11c ＝a 10＋b 10＋c 10，②由①②两式得：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.探究二 利用排序不等式求最值[例2] 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．[解析] 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式得，ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b 上述两式相加得： 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， 即ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时， ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 取最小值32.利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和及反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．2．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解析：令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得：1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋abc (a ＋b )·bc＝ca (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋abc (a ＋b )·ac＝ba (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )，两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.探究三 利用排序不等式解决实际问题[例3] 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[解析] 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．利用排序不等式解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造排序不等式的模型．3．某座大楼共有n 层，在每层有一个办公室，每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为v 1，v 2，…，v n (他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排？(假设每两层楼的楼梯长都一样)解析：设两层楼间的楼梯长为s ，则第一层需要走的路程为s ，第二层需要走的路程为2s ，…，第n 层需要走的路程为ns .不妨设v ′1>v ′2>…>v ′n 为v 1，v 2，…，v n 从大到小的排列，显然1v ′1<1v ′2<…<1v ′n ，由排序不等式，可得ns 1v ′1＋(n －1)s 1v ′2＋…＋s 1v ′n的和最小，所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使上下楼的时间最短．在运用排序不等式时不能准确找到相应有序数组致误[典例] 一般地，对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，几何平均数G n ＝na 1a 2…a n ，算术平均数A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，利用排序不等式可以判断G n ，A n 的大小关系为________．[解析] 令b i ＝a iG n (i ＝1,2，…，n )，则b 1b 2…b n ＝1，故可取x 1≥x 2≥…≥x n >0，使得b 1＝x 1x 2，b 2＝x 2x 3，…，b n －1＝x n －1x n ，b n ＝x nx 1.由排序不等式有：b 1＋b 2＋…＋b n ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1≥x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n＝n ，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取等号，所以a 1G n ＋a 2G n ＋…＋a nG n ≥n ，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥G n ，即A n ≥G n . [答案] A n ≥G n[规律探究] (1)利用排序不等式的关键是正确地寻找两组有序实数组，构造的恰当是正确解题的前提，如本例中构造的两组数，恰好能够解决反序和为n ，使得问题得以解决．(2)利用排序不等式求解完成后，一定要说明等号成立的条件，若取不到等号也应该说明原因，使得解题更加清晰和准确．(3)运用排序不等式的解题步骤是①构造两组有序数组使之满足排序不等式的条件；②运用排序不等式得到不等关系；③找出等号成立的条件并以此得出证明的结论.[随堂训练] 对应学生用书第34页1．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：设a 1≥a 2≥a 3>0，则1a 3≥1a 2≥1a 1>0，由排列不等式可知a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3. 当且仅当a ′1＝a 1，a ′2＝a 2，a ′3＝a 3时等号成立． 答案：A2．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E <F B ．E ≥F C ．E ＝FD ．E ≤F解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2＝a 3＋a 1＋a 2，即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F . 答案：B3．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a >1b ，x >y ，则x x ＋a ________yy ＋b (填“>”或“<”)．解析：∵1a >1b ，a >0，b >0，∴b >a >0，又x >y >0，∵bx >ay ， ∴bx －ay >0， 又x ＋a >0，y ＋b >0，∴x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0， 即xx ＋a >y y ＋b . 答案：>。
《三 排序不等式》教案
《三 排序不等式》教案教学目标1.了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题2.体会运用经典不等式的一般思想方法教学重、难点重点：应用排序不等式证明不等式难点：排序不等式的证明思路教学过程一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ (柯西不等式、三角不等式)2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课：1.教学排序不等式：①看书：P 41~P 44.如图3.3-1(课本第41页)，设∠AOB =α，自点O 沿OA 边依次取n 个点12,,,n A A A OB 边依次取n 个点12,,,n B B B ，在OA 边取某个点i A 与OB 边某个点j B 连接，得到△A i OB j ，这样一一搭配，一共可得到n 个三角形.显然，不同的搭配方法，得到的△A i OB j不同，问：OA 边上的点与OB 边上的点如何搭配，才能使n 个三角形的面积和最大(或最小)？设,(,1,2,)i i i i OA a OB b i j n ===，由已知条件，得123123,n n a a a a b b b b <<<<<<因为△A i OB j 的面积是1sin 2i i a b α，而1sin 2α是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为代数问题：设12,,,n c c c 是数组12,,,n b b b 的任意一个排列，则112233n n S a c a c a c a c =+++何时取最大(或最小)值？我们把112233n n S a c a c a c a c =+++叫做数组(12,,,n a a a )与(12,,,n b b b )的乱序和.其中，1121321n n n n S a b a b a b a b --=+++称为反序和.2112233n n S a b a b a b a b =+++称为顺序和.这样的三个和大小关系如何？(老师引导学生完成证明过程)归纳，得定理 (排序不等式，又称排序原理)设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤；12b b ≤≤···n b ≤，12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列，则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和)1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和)121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和)当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和.(要点：理解其思想，记住其形式)三、应用举例：例1 有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i (i =1，2，…，10)个人的水桶需要t i 分，假定这些t i 各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？例2 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 四、巩固练习：已知,,a b c 为正数，求证3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.五、课堂小结：排序不等式的基本形式.。
三 排序不等式
所以，按这个顺序，10人都接满水所需的 等待总时间（分）是10t1+9t2+…+2t9+t10.
现要考虑t1,t2,…t10满足什么条件时这个和 数最小.
解：
等待总时间（分）是10t1+9t2+…+2t9+t10.
根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10 时， 总时间取最小值.这就是说，按水桶的大小由 小到大依次接水，10人等候的总时间最少， 这个最少的总时间是10t1+9t2+…+2t9+t10.
例1 有10人各拿一只水桶接水，设水龙头 t 注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要分，i ti 假定这些 相同.问只有一个水龙头时，应 如何安排10人的顺序，使他们等候的总时 间最少？这个最少的总时间等于多少？
分析 首先转化为数学问题.若第一接水的人需 要t1分，接这桶水时10人所需等候的总时间是 10t1分；第二接水的人需要t2分，接这桶水时 9人所需等候的总时间是9t2 分；如此继续下 去，到第10人接水时，只有他一人在等，需 要t10分.
课堂小结
1.排序不等式: 设a1≤a2≤…≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn为两组 实数，c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列， 则a1bn+a2bn-1+…+anb1 ≤a1c1+a2c2+…+anbn ≤a1b1+a2b2+…+anbn.当且仅当a1=a2=…=an或 b1=b2=…=bn时，反序和等于顺序和.
按相同顺序相乘所得积得和 S2=a1b1+a2b2+…+ancn称为顺序和.
高中数学新人教版A版精品教案《三 排序不等式》5
§《排序不等式》教学设计一、教材分析排序不等式作为本讲的第三部分，教材对它的讨论篇幅不多首先通过“探究”引导学生考虑三角形面积大小的比较问题，由这个问题可以归结出关于排序不等式的猜想——反序和≤乱序和≤顺序和，又通过另一个“探究”引导学生对猜想进行尝试性检验，使其进一步感到猜想的正确性在此基础上，教材又引导学生进行了一般性的证明和排序不等式中等号成立的条件的证明，最后是应用排序不等式解决数学问题教材展示了一个“探究—猜想—证明—应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用教学中应注意引导学生从整体上认识教材内容，把握教材的编写意图，培养由特殊事物发现一般规律并进而证明一般规律的能力二、学情分析学生之前已经学习了均值不等式和柯西不等式，对不等式有了一定的了解我班学生属于中等偏上程度，因此通过导学案的自习，大多数学生都能够初步了解排序不等式的数学意义，可以自主完成结论的“猜想”和“验证”，但对于定理的一般性证明存在一定困难，不一定能理解本节的学习意图——“探究--猜想—证明—应用”因此，本节的教学重点放在定理的研究过程上，使学生理解“逐步调整法”的证明思路，并会应用排序不等式解决一些简单的问题，避免进行枯燥的不等式证明，使学生对本节学习有浓厚的兴趣三、教学目标1通过学习者参与排序不等式猜想、验证的过程，使学习者对排序原理形成初步认识，为定理的证明奠定良好的基础；2通过对排序不等式的一般性证明，使学习者体会逐步调整法比较大小的思路，并准确记忆排序不等式的基本形式；3通过学习例1和应用练习，使学习者能够使用排序不等式解决简单的数学问题，巩固定理的理解和应用；4通过本节内容的学习，使学习者体会和理解逐步调整法的思路，培养学习者的探索能力和由特殊事物发现一般规律并进而证明一般规律的能力四、教学重、难点学习重点：运用逐步调整法推导排序不等式和简单应用学习难点：排序不等式的推导五、评价任务1通过小组提问，检测对概念的预习效果，达成目标1；2通过教师引导进行思考、证明和学生参与证明，达成目标2；3通过学生参与解决例1和练习，达成目标3；4通过提问、小组活动等活动达成目标4六、教学方法与教具教学方法：自学和引导探究、小组合作教 具：多媒体七、教学过程（一）导入创设情景：展示图片师：有秩序的排队可以提高接水的速度，但大家是否知道不同的排队顺序会影响到大家等待的时间？师：问题1“这9个人全部接完水，等待的时间总和是多少呢？”师：先给一些研究的条件我们把第1个人到最后一人各自接完水的时间分别记作9321,,,t t t t 师：当第一个人接完水时，9人共等待了19t 分钟，第二个人接完水时，这8人共等待了28t 分钟，……，直到最后一个人接完水用时9t 分钟我们把这些时间相加，就得到了9人全部接完水共需等待的时间总和， 师：问题2：“怎样排队才能使所有人等待的时间总和最少呢？即这个和式值最小？”师：今天学习的排序不等式就可以帮助解决。
19-20版 第3讲 3 排序不等式
三排序不等式学习目标：1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．(重点、难点)教材整理1顺序和、乱序和、反序和的概念阅读教材P41～P42“探究”以上部分，完成下列问题．设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1称为反序和．教材整理2排序不等式阅读教材P42～P44，完成下列问题．设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b2＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和.(1)1bc≥1ca≥1ab；(2)a2b2c2＋b2c2a2＋c2a2b2≥1a2＋1b2＋1c2.[精彩点拨]由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．[自主解答](1)∵a≥b>0，于是1a≤1b.又c>0，∴1c>0，从而1bc≥1ca，同理，∵b≥c>0，于是1b≤1c，∴a>0，∴1a>0，于是得1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.(2)由(1)知1bc≥1ca≥1ab>0且a≥b≥c>0，∴1b2c2≥1c2a2≥1a2b2，a2≥b2≥c2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得a2b2c2＋b2c2a2＋c2a2b2≥b2b2c2＋c2c2a2＋a2a2b2＝1c2＋1a2＋1b2＝1a2＋1b2＋1c2，故a2b2c2＋b2c2a2＋c2a2b2≥1a2＋1b2＋1c2.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．本例题中条件不变，求证：a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥c2a3＋a2b3＋b2c3.[证明]∵a≥b≥c≥0，∴a5≥b5≥c5，1 c≥1b≥1a＞0.∴1bc≥1ac≥1ba，∴1b3c3≥1a3c3≥1b3a3，由顺序和≥乱序和得a5b3c3＋b5a3c3＋c5b3a3≥b5b3c3＋c5a3c3＋a5b3a3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3，∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c 3.【例2】 设a ，b ，c 为正数，求证：2c ＋2a ＋2b ≤a bc ＋b ca ＋c ab . [精彩点拨] (1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．[自主解答] 不妨设0<a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3， 0<1bc ≤1ca ≤1ab ，由排序原理：乱序和≤顺序和，得 a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ， a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab . 将上面两式相加得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ， 将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab .在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．2．设a1，a2，…，a n为正数，求证：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1a n＋a2na1≥a1＋a2＋…＋a n.[证明]不妨设0＜a1≤a2≤…≤a n，则a21≤a22≤…≤a2n，1a1≥1a2≥…≥1a n.由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以a21 a2＋a22a3＋…＋a2n－1a n＋a2na1≥a21·1a1＋a22·1a2＋…＋a2n·1a n，即a21 a2＋a22a3＋…＋a2n－1a n＋a2na1≥a1＋a2＋…＋a n.aA＋bB＋cCa＋b＋c的最小值(A，B，C用弧度制表示)．[精彩点拨]不妨设a≥b≥c＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．[自主解答]不妨设a≥b≥c，则A≥B≥C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，将以上三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，当且仅当A＝B＝C＝π3时，等号成立．∴aA＋bB＋cCa＋b＋c≥π3，即aA＋bB＋cCa＋b＋c的最小值为π3.1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．3．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x 的最小值． [解] 不妨设x ≥y ≥z >0，则x 2≥y 2≥z 2，1z ≥1y ≥1x .由排序不等式，乱序和≥反序和． x 2y ＋y 2z ＋z 2x ≥x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ＝x ＋y ＋z . 又x ＋y ＋z ＝1，x 2y ＋y 2z ＋z 2x ≥1， 当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立． 故t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x 的最小值为1.min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[精彩点拨]这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t1 min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1 min，依此类推，等候的总时间为3t1＋2t2＋t3 min，求其最小值即可．[自主解答]设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min，10 min，5 min，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？[解]根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min依次等水，等待的总时间最少．1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是() A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤NB[由排序不等式，知M≥N.]2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是()A．P>Q B．P≥QC ．P <QD ．P ≤QB [不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2≥c 2>0，由排序不等式得：a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a .∴P ≥Q .]3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．[解析] 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28. [答案] 32 284．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．[解析] 取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.所以最少花费为19元，最多花费为25元． [答案] 19 255．设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2.[证明] ∵12＜22＜32＜…＜n 2， ∴112＞122＞…＞1n 2.设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列，即c 1＜c 2＜c 3＜…＜c n ，根据排序原理中，反序和≤乱序和， 得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2， 而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1,2，…，n ， ∴c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≥1＋222＋332＋…＋n n 2 ＝1＋12＋…＋1n ，∴1＋12＋13＋…＋1n≤a1＋a222＋…＋a nn2.课时分层作业(十一)排序不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设a≥b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是() A．P>Q B．P≥QC．P<Q D．P≤QB[∵a≥b>0，∴a2≥b2>0.因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，则P≥Q.]2．设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为()A．反序和≥乱序和≥顺序和B．反序和＝乱序和＝顺序和C．反序和≤乱序和≤顺序和D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定[答案] C3．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则a1a′1＋a2a′2＋a3a′3的最小值为()A．3 B．6C．9 D．12A[设a1≥a2≥a3＞0，则1a3≥1a2≥1a1＞0，由乱序和不小于反序和知，a1 a′1＋a2a′2＋a3a′3≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，∴a1a′1＋a2a′2＋a3a′3的最小值为3，故选A.]4．若A＝x21＋x22＋…＋x2n，B＝x1x2＋x2x3＋…＋x n－1x n＋x n x1，其中x1，x2，…，x n都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞B B．A＜BC．A≥B D．A≤BC[依序列{x n}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤x n，则x2，x3，…，x n，x1为序列{x n}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋x n x n≥x1x2＋x2x3＋…＋x n x1，即x21＋x22＋…＋x2n≥x1x2＋x2x3＋…＋x n x1.故选C.]5．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是()A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零B[设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.]二、填空题6．若a，b，c∈R＋，则bca＋cab＋abc________a＋b＋c.[解析]不妨设a≥b≥c＞0，则bc≤ca≤ab，1a≤1b≤1c，∴bca＋cab＋abc≥acc＋aba＋bcb＝a＋b＋c.[答案]≥7．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.[解析]等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．[答案]418．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，则a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值为________．[解析]不妨设a3>a1>a2>0，则1a3<1a1<1a2，所以a1a2<a2a3<a3a1.设乱序和S＝a1a3a3＋a1a2a1＋a3a2a2＝a1＋a2＋a3＝1，顺序和S′＝a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2.由排序不等式得a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2≥a1＋a2＋a3＝1，所以a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值为1.[答案] 1三、解答题9．设a，b，c大于0，求证：(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；(2)1a3＋b3＋abc＋1b3＋c3＋abc＋1c3＋a3＋abc≤1abc.[证明](1)不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0，∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，∴a3＋b3≥ab(a＋b)．(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，所以1a3＋b3＋abc＋1b3＋c3＋abc＋1c3＋a3＋abc≤1ab(a＋b)＋abc＋1bc(b＋c)＋abc＋1ac(a＋c)＋abc＝1a＋b＋c⎝⎛⎭⎪⎫1ab＋1bc＋1ca＝1a＋b＋c·c＋a＋babc＝1abc.故原不等式得证．10．已知a，b，c都是正数，求ab＋c＋bc＋a＋ca＋b的最小值．[解]由对称性，不妨设0＜c≤b≤a，则有a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以0＜1a ＋b ≤1a ＋c ≤1b ＋c. 由排序不等式得 a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥a a ＋c ＋b a ＋b ＋c b ＋c，① a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥c a ＋c ＋a a ＋b ＋b b ＋c . ②由①②知2⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b取最小值32. [能力提升练]1．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定C [不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ≥R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝a ＋b ＋c2＝P .]2．已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c 为正数，则1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b的最小值是________．[解析] 不妨设a ≥b ≥c ，∴1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b， ① a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b ， ②①＋②得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b≥32， ∴1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b≥92. [答案] 923．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．[解析] 不妨设a ≥b ＞0， 则A ≥B ＞0，由排序不等式⎭⎬⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B ) ＝π2(a ＋b )，∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． [答案] aA ＋bB ≥π4(a ＋b )4．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．[证明] ∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. 根据排序不等式得：乱序和>反序和． ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．故原不等式得证．。
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三 排序不等式学习目标 1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用．知识点 排序不等式思考1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案． (2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多； 5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少． 思考 2 如图，∠POQ ＝60°，比较112233A OB A OB A OB S SS++与132231A OB A OB A OB SSS++的大小．答案 112233132231.A OB A OB A OB A OB A OB A OB SSSSSS++>++梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组：a 1≤a 2≤…≤a n ；b 1≤b 2≤…≤b n ，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任意一个排列．①乱序和：S ＝a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n . ②反序和：S 1＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1. ③顺序和：S 2＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . (2)排序不等式(排序原理)设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和．类型一 利用排序不等式证明不等式 命题角度1 字母已定序问题例1 已知a ，b ，c 为正数，且a ≥b ≥c ，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.证明 ∵a ≥b ＞0，于是1a ≤1b，又c ＞0，从而1bc ≥1ca，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b3 ＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c.∴原不等式成立．反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组． 跟踪训练1 已知0＜a ≤b ≤c ，求证：c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.证明 因为0＜a ≤b ≤c ，所以0＜a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ， 所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c＞0， 又0＜a 2≤b 2≤c 2， 所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a成立．命题角度2 字母大小顺序不定问题 例2 已知a ，b ，c 均为正数，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．证明 由不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0， 所以a 2≥b 2≥c 2，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由顺序和≥乱序和得到两个不等式：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ＋c 2b ＋c ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b， 注意到b 2＋c 2b ＋c ≥12(b ＋c )，c 2＋a 2c ＋a ≥12(c ＋a )，a 2＋b 2a ＋b ≥12(a ＋b )， 所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(b ＋c )＋12(c ＋a )＋12(a ＋b ) ＝a ＋b ＋c . 故a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据．跟踪训练2 设a ，b ，c ∈R ＋，利用排序不等式证明：a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.证明 不妨设0＜a ≤b ≤c ， 则a 5≤b 5≤c 5，1c 2≤1b 2≤1a2，所以由排序不等式可得a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5c 2＋b 5a 2＋c 5b2，a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5b 2＋b 5c 2＋c 5a2，所以a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.类型二 利用排序不等式求最值 例3 设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．解 由于a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ， 1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ， 由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值． 跟踪训练3 设0＜a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解 令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋abc (a ＋b )·bc＝c a (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋abc (a ＋b )·ac＝b a (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )，两式相加，得2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.1．设a ，b ，c 均为正数，且P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ≥Q C ．P ＜Q D ．P ≤Q 答案 B解析 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2＞0.由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，所以P ≥Q .2．已知a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11.将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值是( ) A ．324 B ．314 C ．304 D ．212答案 C解析 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5 ＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.3．n 个正数与这n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________． 答案 n解析 设0＜a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ， 则0＜a －1n ≤a －1n －1≤…≤a －11，则由排序不等式得，反序和≤乱序和≤顺序和． 故最小值为反序和a 1·a －11＋a 2·a －12＋…＋a n ·a －1n ＝n .4．设a ，b 都是正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥a b ＋b a.证明 由题意不妨设a ≥b ＞0. 则a 2≥b 2，1b ≥1a ，所以a 2b ≥b2a.根据排序不等式知，a 2b ·1b ＋b 2a ·1a≥a 2b ·1a ＋b 2a ·1b， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥a b ＋b a.1．对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了． 2．排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小． 3．排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝b 3＝…＝b n . 4．排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．一、选择题1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析 根据排序原理，反序和最小，即az ＋by ＋cx 最小．2．已知a ，b ，c ＞0，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( ) A ．大于零 B ．大于零或等于零C ．小于零D ．小于零或等于零答案 B解析 当a ＝b ＝c ＝1时，a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )＝0，当a ＝1，b ＝2，c ＝3时，a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )＝62.3．设a ，b ，c 都是正数，则式子M ＝a 5＋b 5＋c 5－a 3bc －b 3ac －c 3ab 与0的大小关系是( ) A ．M ≥0 B ．M ≤0C ．M 与0的大小关系与a ，b ，c 的大小有关D ．不能确定 答案 A解析 不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则a 3≥b 3≥c 3，且a 4≥b 4≥c 4， 则a 5＋b 5＋c 5＝a ·a 4＋b ·b 4＋c ·c 4≥a ·c 4＋b ·a 4＋c ·b 4. ∵a 3≥b 3≥c 3， 且ab ≥ac ≥bc ，∴a 4b ＋b 4c ＋c 4a ＝a 3·ab ＋b 3·bc ＋c 3·ca ≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab .∴a 5＋b 5＋c 5≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab . ∴M ≥0.4．在锐角三角形ABC 中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P ≥Q B ．P ＝Q C ．P ≤Q D ．不能确定答案 C解析 不妨设A ≥B ≥C ， 则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥b cos A ＋c cos B ＋a cos C＝R (2sin B cos A ＋2sin C cos B ＋2sin A cos C )， 上面两式相加，得Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥12R (2sin A cos B ＋2sin B cos A ＋2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋2sin C cos A ＋2sin A cos C ) ＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.5．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E ＜F B ．E ≥F C ．E ＝F D ．E ≤F 答案 B解析 不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0， 则1a 1≤1a 2≤1a 3且a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，∴a 1a 2a 3＋a 1a 3a 2＋a 2a 3a 1≥1a 1·a 1a 2＋1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1 ＝a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F .6．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋xy 3，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 答案 B 解析 ∵x ≥y ， ∴x 3≥y 3.∴M ＝x ·x 3＋y ·y 3≥x 3·y ＋y 3·x ＝x 3y ＋y 3x ＝N . 二、填空题7．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________． 答案 32 28解析 由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.8．5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min ，10min ，5min ，统筹安排这5个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为________min. 答案 84解析 5个人按接水时间为4 min,5 min,6 min,8 min ，10 min 的顺序进行接水时等待的总时间最少，为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．9．在Rt△ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________． 答案 aA ＋bB ≥π4(a ＋b )解析 不妨设a ≥b ＞0， 则A ≥B ＞0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )．10．设a 1，a 2，…，a n 为正数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝5，则a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1的最小值为________． 答案 5解析 由所求代数式的对称性， 不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ， 所以a 21≤a 22≤…≤a 2n ， 1a 1≥1a 2≥…≥1a n，而1a 2，1a 3，…，1a n ，1a 1为1a 1，1a 2，1a 3，…，1a n 的一个排列，由乱序和≥反序和，得a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n ＝5.三、解答题11．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，利用排序不等式证明：a 2a b 2b c 2c≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b.证明 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则lg a ≥lg b ≥lg c ， 所以a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ，a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，所以2a lg a ＋2b lg b ＋2c lg c ≥(b ＋c )lg a ＋(a ＋c )lg b ＋(a ＋b )lg c ， 所以lg(a 2a·b 2b·c 2c)≥lg(a b ＋c·ba ＋c·ca ＋b)，故a 2a b 2b c 2c≥ab ＋c b c ＋a c a ＋b.12．设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数，求证： 1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n2. 证明 设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且满足b 1＜b 2＜…＜b n . 因为b 1，b 2，…，b n 是互不相等的正整数， 故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n . 又因为1＞122＞132＞…＞1n 2，故由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2≥b 1＋b 222＋b 332＋…＋b nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n.13．已知0＜α＜β＜γ＜π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明 ∵0＜α＜β＜γ＜π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0＜sin α＜sin β＜sin γ，cos α＞cos β＞cos γ＞0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)． 四、探究与拓展14．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.证明 由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0＜x ≤y ≤z ， 于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x，由反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y，试卷+教案+习题试卷+教案+习题 x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x， 将上面两式相加得 2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y， 于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y. 15．设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .证明 (1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n .由排序原理知，1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥x n ·1＋xn －1·x ＋…＋1·x n ， 所以1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .① 又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n 的一个排序，于是由排序原理得1·x ＋x ·x2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1， 所以x ＋x 3＋…＋x2n －1≥nx n .② ①＋②，得 1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .(2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n ，同理可得结论．综合(1)与(2)可知，当x ＞0时，1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n.。
第三讲三排序不等式
变式训练 2 设 a1，a2，…，an 为 1,2，…，n 的一 个排列． 证明：12＋23＋…＋n－n 1≤aa21＋aa23＋…＋aan－n 1. 证明：设 b1，b2，…，bn－1 是 a1，a2，…，an－1 的一 个排列，且 b1<b2<…<bn－1. c1，c2，…，cn－1 为 a2，a3，…，an 的一个排列，且 c1<c2<…<cn－1， 于是c11>c12>…>cn1－1.
思考感悟 排序不等式除教材上的证明方法外，还有其他证 明方法吗？ 提示：排序不等式的证明方法比较灵活，还有其 他证明方法．
课堂互动讲练
考点突破
用排序不等式求最值 例1 设 a、b、c 为正数，求b＋a c＋c＋b a＋a＋c b的 最小值． 【思路点拨】 先不妨设定大小顺序，再找b＋1 c， c＋1 a，a＋1 b的大小顺序，用排序不等式证明．
【名师点评】 对于(2)要利用(1)的不等式，结合题设 条件 a≥b≥c 构造 a2≥b2≥c2 和c13≥b13≥a13而证之．
变式训练 3 已知 a，b，c 为正数，用排序不等式证明 a2b2＋a＋b2bc＋2＋c c2a2≥abc.
证明：不妨设 b≥a≥c， ∴ab≥bc≥ac.a＋b＋c>0， ∴a＋abb＋c≥a＋bbc＋c≥a＋abc＋c.
由排序不等式可得 a＋abb＋2 c＋a＋bbc＋2 c＋a＋abc＋2 c ≥a＋abb·b＋c c＋a＋bcb·a＋c c＋a＋acb·a＋b c＝abca＋a＋b＋b＋c c， ∴a2b2＋a＋b2bc＋2＋c a2c2≥abc.
误区警示
例 设 ak(k＝1,2，…，n)为实数，ci∈{a1，a2，…， an}(i＝1,2，…，n)，
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教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
《三 排序不等式》教案
教学目标
1.了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题
2.体会运用经典不等式的一般思想方法
教学重、难点
重点：应用排序不等式证明不等式
难点：排序不等式的证明思路
教学过程
一、复习准备：
1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ (柯西不等式、三角不等式)
2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例.
二、讲授新课：
1.教学排序不等式：
①看书：P 41~P 44.
如图3.3-1(课本第41页)，设∠AOB =α，自点O 沿OA 边依次取n 个点12,,,n A A A OB L 边依次取n 个点12,,,n B B B L ，在OA 边取某个点i A 与OB 边某个点j B 连接，得到△A i OB j ，这样一一搭配，一共可得到n 个三角形.显然，不同的搭配方法，得到的△A i OB j
不同，问：OA 边上的点与OB 边上的点如何搭配，才能使n 个三角形的面积和最大(或最小)？
设,(,1,2,)i i i i OA a OB b i j n ===L ，由已知条件，得
123123,n n a a a a b b b b <<<<<<L L
因为△A i OB j 的面积是
1sin 2i i a b α，而1sin 2
α是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为
代数问题：设12,,,n c c c L 是数组12,,,n b b b L 的任意一个排列，则112233n n S a c a c a c a c =+++L
何时取最大(或最小)值？
我们把112233n n S a c a c a c a c =+++L 叫做数组(12,,,n a a a L )与(12,,,n b b b L )的乱序和.
其中，1121321n n n n S a b a b a b a b --=+++L 称为反序和.
2112233n n S a b a b a b a b =+++L 称为顺序和.这样的三个和大小关系如何？
(老师引导学生完成证明过程)
归纳，得
定理 (排序不等式，又称排序原理)设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤；12b b ≤≤···n b ≤，12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列，则有
1122a b a b ++···+n n a b (同序和)1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和)121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和)
当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和.
(要点：理解其思想，记住其形式)
三、应用举例：
例1 有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i (i =1，2，…，10)个人的水桶需要t i 分，假定这些t i 各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
例2 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：
321222
11112323n a a a a n n +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 四、巩固练习：
已知,,a b c 为正数，求证
3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.
五、课堂小结：排序不等式的基本形式.。