专题七数学思想方法
人教版七下数学第07讲 实数中蕴含的数学思想及实数大小比较技巧(学生版)
第07讲 实数中蕴含的数学思想及实数大小比较技巧（原卷版） 第一部分 专题典例剖析+针对训练专题1特殊到一般的思想专题解读：各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想、归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形．例如我们通过研究一些正数、0、负数的平方根或立方根，从而归纳、总结出平方根、立方根的性质．典例1 请你观察下列计算过程：因为112=121，所以121=11；用样，因为1112=12321，所以12321=111；…；由此猜想76543211234567898=________．针对训练11．观察下面的式子：√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15⋯请你将猜想到的规律用含正整数n （n ＞1）的式子表示出来是 ．专题2 转化思想专题解读：转化思想就是将一个待解决的问题A ，转化为另一个较容易解决或已经解决的问题B ，从而获得问题A 的答案．转化思想是数学中的核心思想．如：求一个负数的立方根转化为求一个正数立方根的相反数，求无理数的混合运算可以通过取近似数转化为有理数的运算，比较两个同次根无理数的大小可以转化为比较两个有理数的大小．典例2 （2021秋•信都区期中）比较大小：−√13和−√25．针对训练22．（2021秋•榆阳区校级月考）通过估算比较√6+12与32的大小？专题3 分类思想专题解读：当一个问题包含有多种情形时，需要逐一讨论，然后汇总得出问题的答案．如在本章中对实数进行分类时，如果按不同的标准，就有不同的分类方法．实数⎩⎨⎧无理数有理数， 实数⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数0．典例3 求方程(21x －3)2＝9中x 的值．针对训练33．求x 的值：4（x ﹣1）2＝25．专题4 数形结合思想专题解读：“数”与“形”是对立统一的，借助于数轴，可以把抽象的无理数或实数直观地表示出来，达到“以形启数”、“以数助形”的目的．典例4 实数a 、b 在数轴上的位置如图6－1所示，请化简|a ＋b|＋2)(a b -．图6－1针对训练44．（2021秋•福田区校级期末）a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则：（1）用“＜、＞、＝”填空：﹣b ＞ 0，b ﹣a ＞ 0，a ﹣c ＜ 0；（2）化简：|﹣b |﹣|b ﹣a |+|a ﹣c |．5．（2021春•崇川区校级月考）已知点A 、B 、C 在数轴上表示的数a 、b 、c 的位置如图所示： 化简：√b 33−√a 2−|b +c |+√(a −b −c)2．专题5 实数的大小比较在比较两个实数大小时候，要根据题目的特点，选用不同的方法，下面给出几种常见的比较方法． 方法一、绝对值比较法典例5 比较－6与－3的大小．典例6 当0＜x ＜1时，x 2,x ,x1从小到大的顺序是 .方法三、取近似值法 典例7 比较－417和3π-的大小． 方法四、平方法典例8 比较35和8的大小方法五、放缩法典例9 比较27+与257-的大小．针对训练56．（2021秋•双牌县期末）比较大小：6√3 7√2（填＞，＜，＝）．7．（2021秋•南京期末）比较大小：√3 √2+1．（填“＞”、“＜”或“＝”）．8．（2021秋•鼓楼区期末）比较大小：√13−1 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．9．（2012春•淮北校级月考）规定一种新运算：a △b ＝a •b ﹣a +1，如3△4＝3×4﹣3+1，请比较﹣3△√2与√2△（﹣3）的大小．。
翼教版七年级数学下册7微专题数学思想方法在整式乘法中的应用
7．微专题：数学思想方法在整式乘法中的应用◆类型一利用转化思想比较大小一、作差法1．设M＝(x－2)(x－6)，N＝(x－1)(x－7)，则M与N的大小关系为________．二、指数或底数比较法2．(1)用“＞”、“＜”、“＝”填空：35________36，53________63；(2)比较下列各组中三个数的大小，并用“＜”连接：①410，86，164；②255，344，433.◆类型二运用整体思想化简求值3．先化简，再求值：(1)(x－1)2－x(x－3)＋(x＋2)(x－2)，其中x2＋x－2018＝0；(2)(a－1)2＋b(2a＋b)＋2a，其中a＋b＝－1.◆类型三 利用数形结合思想证明整式乘法中的公式4．如图①是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀把这个长方形平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②)．(1)图②中的阴影部分的面积为________；(2)观察图②请你写出(a ＋b )2，(a －b )2，ab 之间的等量关系是__________________；(3)根据(2)中的结论，若x ＋y ＝4，xy ＝94，则(x －y )2＝________； (4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图③，你发现的等式是____________________．◆类型四 从特殊到一般的思想5．在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律．(1)计算：(x＋1)(x＋2)＝____________；(x＋3)(x－1)＝____________；(2)猜想：(x＋a)(x＋b)＝x2＋________x＋________；(3)运用(2)中猜想的结论，直接写出计算结果：(x＋2)(x＋m)＝____________．6．观察以下等式：(x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1，(x＋3)(x2－3x＋9)＝x3＋27，(x＋6)(x2－6x＋36)＝x3＋216，……(1)按以上等式的规律，填空：(a＋b)( __________________)＝a3＋b3；(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的等式成立；(3)利用(1)中的公式化简：(x＋y)(x2－xy＋y2)－(x＋2y)(x2－2xy＋4y2)．参考答案与解析1．M＞N2．解：(1)＜＜(2)①∵164＝(42)4＝48，86＝(23)6＝218＝(22)9＝49，而48＜49＜410，∴164＜86＜410.②∵255＝(25)11＝3211，344＝(34)11＝8111，433＝(43)11＝6411，又32＜64＜81，∴255＜433＜344.3．解：(1)原式＝x2－2x＋1－x2＋3x＋x2－4＝x2＋x－3.∵x2＋x－2018＝0，∴x2＋x＝2018，∴原式＝2018－3＝2015.(2)原式＝a2－2a＋1＋2ab＋b2＋2a＝a2＋2ab＋b2＋1＝(a＋b)2＋1.∵a＋b＝－1，∴原式＝1＋1＝2.4．解：(1)(b－a)2(2)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab(3)7(4)(a＋b)(3a＋b)＝3a2＋4ab＋b25．解：(1)x2＋3x＋2 x2＋2x－3(2)(a＋b) ab(3)x2＋(2＋m)x＋2m6．解：(1)a2－ab＋b2(2)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋ba2－ab2＋b3＝a3＋b3.(3)原式＝(x3＋y3)－(x3＋8y3)＝－7y3.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是（ ）9．(安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。
2012高考数学二轮专题辅导7数形结合思想
专题七 数形结合思想【考试要求】1．数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略,它包括两个方面:“以形助数”和“以数助形”．“以形助数”即是借助形的生动性和直观性 来阐明数之间的联系，它是以“形”为手段，以“数”为目的，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质，应用数轴直观表达不等式组的解集．“以数助形”是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，它是以“数”为手段，以“形”为目的，如二分法确认方程根的分布，曲线方程可以精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合，是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法，也是一种智慧的解题技巧，它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，繁琐的问题条理化，从而，便于找到简捷的解题思路，使问题得到解决． 3．在运用数形结合思想解题时，还必须关注以下几个方面：（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础． （2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势．“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用．4．数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．切 莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离”．可见，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌握，熟练应用． 例1、已知奇函数f （x ）的定义域是{x|x ≠0,x ∈R}，且在（0,+∞）上单调递增，若f （1）=0,满足x ·f （x ）<0的x 的取值范围是 ． 分析：函数f （x ）比较抽象，欲解出目标不等式是不可能的，注意到x ·f（x ）<0表明自变量与函数值异号，故可作出f （x ）的图象加以解决． 解析：作出符合条件的一个函数图象（草图即可），可知：x ·f （x ）<0的x取值范围是（-1，0）∪（0，1）．探究拓展：函数图象是函数对应关系的一种表现方式，它具有直观、形象、简明的特点．通过绘出函数图象，依图象确定相关不等式的解集的方法，称作“图象法解不等式”． 变式训练1：设奇函数y=f （x ）（x ≠0）,当x ∈（0,+∞）时，f （x ）=x-1，则不等式f （x-1）<0的解集是 ．解析：常规方法是分x-1>0,x-1<0讨论，分别得到不等式，并解之．如果能根据已知条件作出y=f （x ）的图象（奇函数图象关于原点对称），则可直观地得到f （x ）<0的解为x<-1或0<x<1（见图）．从而f （x-1）<0的解为x-1<-1或0<x-1<1,即x<0或1<x<2． 答案 {x|x<0或1<x<2}例2．求函数的值域。
人教版七年级下册：数学思想方法专题练习
七年级下册数学思想方法专题练习目录一、转化思想...................................... 错误!未定义书签。
1.“新知识”向“旧知识”转化.................... 错误!未定义书签。
a.将三元一次方程组转化为二元一次方程组. .......... 错误!未定义书签。
b.将新定义转化为所学知识解题............................. 错误!未定义书签。
c.多项式乘多项式转化为单项式乘多项式............... 错误!未定义书签。
2.“未知”向“已知”转化........................ 错误!未定义书签。
a.将判断线段相等或角相等问题转化为判定三角形全等问题错误!未定义书签。
b.添加辅助线应用平行线的性质解题............ 错误!未定义书签。
3.“复杂”向“简单”转化........................ 错误!未定义书签。
a.利用平移的性质进行平移转化................ 错误!未定义书签。
b.将不规则图形面积转化为规则图形的面积...... 错误!未定义书签。
二、分类讨论思想.................................. 错误!未定义书签。
1.对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论........ 错误!未定义书签。
2.对图形的位置、类型的分类讨论.................. 错误!未定义书签。
3.对问题的题设条件需分类讨论.................... 错误!未定义书签。
4.从图象中获取信息进行分类讨论 (9)5.对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论.... 错误!未定义书签。
三、数形结合思想................................. 错误!未定义书签。
1.数转化为形.................................... 错误!未定义书签。
七年级数学培优专题：整体思想
目 录
• 整体思想概述 • 整体思想的基本概念 • 整体思想在解题中的应用 • 整体思想的培养与提高 • 整体思想在数学竞赛中的应用 • 总结与展望
01
整体思想概述
整体思想的定义
01
整体思想是指从整体的角度出发 ，将多个部分或要素视为一个整 体，对其进行全面、系统的分析 和处理。
促进知识整合
整体思想有助于学生将所 学知识进行整合，形成完 整的知识体系，加深对数 学本质的理解。
整体思想在数学中的应用
代数问题
在代数问题中，整体思想常用于因式 分解、方程组的求解等，通过将问题 看作一个整体，简化计算过程。
几何问题
函数问题
在函数问题中，整体思想常用于分析 函数的性质和图像，通过从整体角度 把握函数的规律，更好地理解函数的 本质。
03
整体思想在解题中的应 用
代数题中的应用
代数方程组的求解
通过将方程组视为一个整 体，利用消元法或代入法 求解，避免了逐一解每个 方程的繁琐过程。
代数式的化简
将复杂的代数式视为一个 整体，运用合并同类项、 提取公因式等技巧进行化 简，简化了解题过程。
代数式的变形
通过观察代数式的整体结 构，运用整体代换、整体 约简等方法，快速找到解 题思路。
06
总结与展望
总结整体思想的内容与意义
整体思想概述
整体思想是一种重要的数学思维方式 ，它强调从整体的角度看待问题，通 过全面分析、综合运用知识点，寻找 解题的突破口。
整体思想的意义
整体思想有助于培养学生的逻辑思维 、创新思维和问题解决能力，对于提 高学生的数学素养和应对复杂问题的 能力具有重要意义。
对未来学习的展望
高考数学：专题七 第一讲 函数与方程思想配套限时规范训练
A．{a|1<a≤2}B．{a|a≥2}
C．{a|2≤a≤3}D．{2,3}
3．(2012·浙江)设a>0，b>0，则下列命题正确的是()
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b
所以x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1，
所以2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
由即(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
又直线与椭圆相交于两点，所以Δ＝(－2a2)2－4(a2＋b2)·a2(1－b2)＞0，整理得a2b2(a2＋b2－1)＞0，即a2＋b2＞1.
12．若数列{an}的通项公式为an＝×n－3×n＋n(其中n∈N*)，且该数列中最大的项为am，则m＝______.
三、解答题
13．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，若椭圆的离心率e∈，求a的最大值．
14．(2012·山东)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
A.B．2C．4D．8
6．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，f＝0，则满足f(logx)>0的x的取值范围是()
A．(0，＋∞)B．(0，)∪(2，＋∞)
C．(0，)∪(，2)D.
7．设函数f(x)＝x3＋sinx，若0≤θ≤时，f(mcosθ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是()
A．(0,1)B．(－∞，0)
C．(－∞，1)D.
冀教版七年级数学下册第七章 专题训练“相交线与平行线”中的思想方法
“相交线与平行线”中的思想方法类型之一方程思想1．如图2－ZT－1，直线a，b相交，∠2＝3∠1，则∠3＝________°.图2－ZT－12．如图2－ZT－2，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE, ∠AOD∶∠BOE＝4∶1.求∠EOF的度数．图2－ZT－2类型之二转化思想3．如图2－ZT－3所示，已知∠BED＝∠B＋∠D.试说明AB与CD的位置关系．图2－ZT－34．如图2－ZT－4，AB∥EF，BC⊥CD于点C，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，求∠CDE的度数．图2－ZT－45．如图2－ZT－5，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DF与EF分别交BC于点M，N，∠FMN＝∠C，∠FNM＝∠B.试说明：∠A＝∠F.图2－ZT－5类型之三分类思想6．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，求∠BOD的度数．7．已知直线a，b，c，a∥b，b∥c，且a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为3，求a与c之间的距离．类型之四建模思想8．[2018·广安]一大门栏杆的平面示意图如图2－ZT－6所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE.若∠BCD＝150°，则∠ABC＝______°.图2－ZT－6 图2－ZT－79．[2018·通辽]如图2－ZT－7，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB 边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB 的度数是________(提示：∠ODE＝∠ADC)．10．如图2－ZT－8，桌面上的木条AB，OC固定，木条DE在桌面上绕点O旋转n°(0＜n＜90)后与AB平行，则n的大小是多少？图2－ZT－8类型之五从特殊到一般的思想11．如图2－ZT－9①，AB∥CD，EO和FO交于点O.(1)试猜想∠1，∠2，∠3的数量关系，并说明理由；(2)如图②，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E.若∠1＝30°，则∠B＝________；(3)如图③，AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，…，∠(2n－1)，∠(2n)(n为正整数)之间有什么关系？图2－ZT－912．我们知道相交的两条直线的交点个数是1；两条平行线的交点个数是0；平面内三条平行线的交点个数是0，经过同一点的三条直线的交点个数是1；依此类推……(1)请你画图说明平面内五条直线最多有几个交点．(2)平面内五条直线可以有4个交点吗？如果可以，请你画出符合条件的所有图形；如果不可以，请说明理由．(3)在平面内画出10条直线，使交点个数恰好是31.教师详解详析1．45 [解析] 设∠1＝x°，则∠2＝3x°.由图知∠1＋∠2＝180°，所以x°＋3x°＝180°，即x＝45.又∠1＝∠3，所以∠3＝45°.2．解：设∠AOD＝4x°，∠BOE＝x°.∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝2x°.∵∠BOD＋∠AOD＝180°，∴2x＋4x＝180，解得x＝30，∴∠BOE＝∠DOE＝30°.∵∠DOE＋∠COE＝180°，∴∠COE＝150°.∵OF平分∠COE，∴∠EOF＝12∠COE＝75°.3．解：AB∥CD.理由如下：如图，过点E作∠BEF＝∠B，则AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．∵∠BED＝∠BEF＋∠FED＝∠B＋∠D，∴∠FED＝∠D，∴CD∥EF(内错角相等，两直线平行)，∴AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)．4．解：如图，过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB.∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF.∵AB∥CM，∴∠BCM＝∠ABC＝30°.∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠MCD＝∠BCD－∠BCM＝90°－30°＝60°.∵CM∥DN，∴∠1＝∠MCD＝60°.∵DN∥EF，∴∠2＝∠DEF＝45°，∴∠CDE＝∠1＋∠2＝60°＋45°＝105°.5．解：∵∠FMN＝∠C，∴DF∥AC，∴∠BDF＝∠A.又∵∠FNM＝∠B，∴AB∥EF，∴∠BDF＝∠F，∴∠A＝∠F.6．解：当OC，OD在直线AB的同侧时，如图①.∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°.∵∠AOC＝30°，∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝30°＋90°＝120°，∴∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°.当OC，OD在直线AB的异侧时，如图②.∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°.∵∠AOC＝30°，∴∠AOD＝90°－∠AOC＝60°，∴∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－60°＝120°.综上所述，∠BOD的度数为60°或120°.7．解：①当b在a，c之间时，a与c之间的距离为5＋3＝8；②当c在b，a之间时，a与c之间的距离为5－3＝2.所以a与c之间的距离是8或2.8.120 [解析] 如图，过点B作BF∥CD.∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1＋∠BCD＝180°，∠2＋∠BAE＝180°.∵∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，∴∠1＝30°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1＋∠2＝120°.9．75.5°[解析] ∵CD∥OB，∴∠ADC＝∠AOB.∵∠ODE＝∠ADC，∴∠ODE＝∠AOB＝37°45′，∴∠CDE＝180°－∠ODE－∠ADC＝104°30′.∵CD∥OB，∴∠DEB＝180°－∠CDE＝75°30′＝75.5°.10．解：要使DE∥AB，则∠DOC＝∠BCO＝70°.∵未转动时∠DOC＝100°，∴n°＝100°－70°＝30°，即n＝30.11．解：(1)猜想：∠2＝∠1＋∠3.理由：如图①，过点O作MN∥AB.∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD，∴∠1＝∠EON，∠3＝∠NOF，∴∠1＋∠3＝∠EON＋∠NOF＝∠EOF，即∠2＝∠1＋∠3.(2)120°(3)∠1＋∠3＋…＋∠(2n－1)＝∠2＋∠4＋…＋∠(2n)．理由：如图②，过点E作EF∥AB，则∠1＝∠α，过点G作GH∥EF，则∠θ＝∠β.∵AB∥CD，∴CD∥GH，∴∠γ＝∠4，∴∠1＋∠θ＋∠γ＝∠α＋∠β＋∠4，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4，∴∠1＋∠3＋…＋∠(2n－1)＝∠2＋∠4＋…＋∠(2n)．12．解：(1)平面内五条直线的交点最多有10个，如图①.(2)五条直线可以有4个交点，如图②(a∥b∥c∥d)，图③(AD∥BC，AB∥DC)，图④(a∥b)．(3)答案不唯一，如图，a∥b∥c∥d∥e，f∥g∥h，l∥m.。
专题七数形结合思想【人教版】七年级数学(上册)-【完整版】
A. 文具店
B. 玩具店
C. 文具店西40米
D. 玩具店东-60米
专题七 数形结合思想人教版七年级数学上册 -精品 课件ppt (实用 版)
3. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式 正确的是（ A ）
A. a+b>0
B. ab>0
C. |a|+b<0
D. a-b>0
4. 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单
14. 回答下列问题. （1）如图所示，点A，B所代表的数分别为-1，2，在数 轴上画出与A，B两点的距离和为5的点（并标上字母）. （2）若数轴上点A，B所代表的数分别为a，b，则A，B 两点之间的距离可表示为AB=|a-b|，那么，当|x+1|+ |x-2|=7时，x的值为多少？当|x+1|+|x-2|>5时，x所对 应的点在数轴上的什么位置？
（1）求A，B两点所对应的数； （2）数轴上点A以每秒1个单位长度出发向左运动，同 时点B以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C处追 上了点A，求点C对应的数； （3）已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为每 秒1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为 每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P，在运动的过 程中线段PO-AM的值是否变化？若不变，求其值；若变 化，请说明理由.
专题七 数形结合思想人教版七年级数学上册 -精品 课件ppt (实用 版)
专题七 数形结合思想人教版七年级数学上册 -精品 课件ppt (实用 版)
15. 已知数轴上有A，B，C三点，分别代表-24，-10， 10，甲、乙两只电子蚂蚁分别从A，C两点同时 相向而行，甲的速度为每秒4个单位.
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专题七 数学思想方法
第22讲 函数与方程思想和数形结合思想 第23讲 分类与整合思想和方法
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专题七 │ 知识网络构建
知识网络构建
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3
专题七 │ 考情分析预测
考情分析预测
考向预测
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考 查时必须要与数学知识相结合，高考命题是通过数学知识的考查，来反映对数学思 想方法的理解和掌握程度．四种数学思想方法是每年高考的必考内容，是高考考查 的重点，各种题型都有，难度中等偏上．
(1)与函数和方程思想有关的常见题型有：①与不等式、方程有关的最值问题； ②建立目标函数，求最值或最优解问题；③在含有多个变量的问题中，选择合适的 自变量构造函数解题；④实际应用问题，建立函数关系，利用函数性质、导数、不 等式性质等知识解答；⑤利用函数思想解决数列中的问题．
(2)与数形结合思想有关的常见题型：①集合间关系利用韦恩图求解；②以数 学公式、数学概念的几何意义、函数图象为载体的综合题，如截距、斜率、距离、 导数的几何意义，借助图象求解．
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知过焦点的直线方程为 y＝ x－p2，联立有yy2＝＝x2－pxp2，， 消元后得 x2－3px＋p42＝0.又|AB|＝x1＋x2
＋p＝8，解得 p＝2.
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第22讲 │ 要点热点探究
► 探究点二 使用函数方法解决非函数问题
【分析】 (1)根据数列中的基本量方法，列方程组求数列 的首项和公差；(2)根据弦长公式建立关于 p 的方程．
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第22讲 │ 要点热点探究
(1)C (2)2 【解析】 (1)由 a24＝a3a7 得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋ 6d)，得 2a1＋3d＝0，再由 S8＝8a1＋526d＝32 得 2a1＋7d＝8，则 d＝2， a1＝－3，所以 S10＝10a1＋920d＝60.故选 C.
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第22讲 │ 主干知识整合
2．数形结合思想 (1)根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化 来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形” 两个方面； (2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结 合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽 象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题 思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程； (3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、 填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中 有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．
(3)分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．利用 好分类与整合思想可以优化解题思路，降低问题难度．复习中要养成分类与整合的习惯， 常见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形变动型．
(4)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法，它无处不在．比 如：解不等式时，将分式不等式转化为整式不等式；处理立体几何问题时，将空间的问题 转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题；复 数问题化归为实数问题等．
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专题七 │ 考情分析预测
备考策略
二轮复习时，要有效地掌握以下几个方面： 数学思想与方法是通过数学知识体现的，在复习中，要养成利用数学思想分析问题、思考 问题、解答问题的习惯意识．
(1)对于函数与方程思想，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析 式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键．
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第22讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 列方程（组）解题
例 1 (1)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a4
是 a3 与 a7 的等比中项，S8＝32，则 S10 等于( )
A．18
B．24
C．60
D．90
(2)过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛 物线于 A，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p＝________.
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第22讲 函数与方程思想和数形结合思想
第22讲 函数与方程思想和 数形结合思想
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第22讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．函数与方程思想 (1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用 联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各 变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关 性质，使问题得到解决； (2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表 示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)， 通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决； (3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的， 是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程 思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系．
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专题七 │ 考情分析预测
(3)与分类与整合思想有关的常见题型：①含有参数的函数性质问 题、交点问题；②对由数学概念引起的分类讨论问题，如对指数函数、 对数函数的底数的讨论，对一元二次不等式的二次项系数的讨论；③由 公式定理引起的讨论问题，如绝对值、等比数列前n项和的计算问题．
(4)与转化与化归思想有关的常见题型：①未知转化为已知(复杂转 化为简单)；②函数与方程的相互转化；③正与反、一般与特殊的转化， 即正难则反、特殊化原则；④空间与平面的相互转化；⑤常量与变量的 转化；⑥数与形的转化；⑦相等与不等的相互转化；⑧实际问题与数学 模型的转化．