2021年中考数学专题复习：一次函数的解答题

2021年中考数学专题复习：一次函数的解答题1．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA．（1）求B点坐标为；线段OA的长为；（2）确定直线CD解析式，求出点D坐标；（3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明；②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积．2．水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量w（L）与滴水时间t（h）的关系可以用显示水量的容器做如图1试验，并根据实验数据绘制出如图2的函数图象．结合图象解答下列问题：（1）容器内原有水多少升？（2）求w和t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升．3．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）求k、b的值；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，每次向上移动2个单位长度或向右移动2个单位长度（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点A从点O出发，移动1次后，2次后，3次后可能达到的点，并把相应点的坐标填写在表格中，A从点O出发移动次数可能达到的点的坐标1次（0，2）；（2，0）2次（0，4）；（2，2）；（4，0）3次……（2）任意一次移动，点A可能达到的点在我们学过的一种函数的图象上①移动1次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式②移动2次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式③移动3次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式…由此我们猜测：移动n次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式（3）探索运用：点A从点O出发经过n次移动后，到达直线y＝x上的点B，且平移的总路径长为40，写出点B的坐标为．5．某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．①求m的取值范围．②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式（每件销售利润＝售价﹣进价﹣销售成本）．6．如图，已知：直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD：y＝x+b 分别与x轴、y轴交于点C、D，直线AB与CD相交于点P，S△ABD＝2．求：（1）b的值和点P的坐标；（2）求△ADP的面积．7．定义：点P、点Q分别为两个图形G1、G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为图形G1和G2的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为图形G1和G2的“远距离”．请你在理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，4），B（﹣3，﹣4），C（3，﹣4），D（3，4）．（1）直接写出线段AB与线段CD的“近距离”是，“远距离”是；（2）设⊙O半径为1，直接写出⊙O与四边形ABCD的“近距离”是，“远距离”是；（3）若⊙M的半径为，且圆心M在射线y＝x（x≥0）上移动，当⊙M与四边形ABCD的“近距离”不大于时，求⊙M与四边形ABCD的“远距离”d的取值范围．8．如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣与x轴相交于B，与y轴相交于点A．直线l2：y＝经过原点，并且与直线l1相交于C点．（1）求△OBC的面积；（2）如图2，在x轴上有一动点E，连接CE．问CE是否有最小值，如果有，求出相应的点E的坐标及CE的最小值；如果没有，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，以CE为一边作等边△CDE，D点正好落在x轴上．将△DCE绕点D顺时针旋转，旋转角度为α（0°≤α≤360°），记旋转后的三角形为△DC′E′，点C，E的对称点分别为C′，E′．在旋转过程中，设C′E′所在的直线与直线l2相交于点M，与x轴正半轴相交于点N．当△OMN为等腰三角形时，求线段ON的长？10．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点D在直线AB上，点D的纵坐标为6，点C在x轴上且位于原点右侧，连接CD，且AD＝CD．（1）如图1，求直线CD的解析式；（2）如图2，点P在线段AB上（点P不与点A，B重合），过点P作PQ∥x轴，交CD于点Q，点E是PQ的中点，设P点的横坐标为t，EQ的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，以CQ为斜边作等腰直角△CQM，且点M在直线CD 的右侧，连接OE，OM，当∠BOE+∠OMQ＝∠ACD时，求点M的坐标．参考答案1．解：（1）∵直线y＝﹣x+4交坐标轴于A、B两点，∴当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝4，∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），∴OA＝3；故答案为：（0，4），3；（2）∵过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA，∴OC＝4，OC＝OB，OE＝OA，∵点A（3，0），∴OA＝3，∴OE＝3，∴点E的坐标为（0，3），设过点C（﹣4，0），点E（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，，得，∴直线CE的解析式为y＝x+3，即直线CD的解析式为y＝x+3，由，得，即点D的坐标为（，）；（3）①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变，证明：∵△COE≌△BOA，∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN，∵∠BOA＝90°，ON⊥OM，∴∠MON＝∠BOA＝90°，∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA，∴∠MOE＝∠NOA，在△MOE和△NOA中，，∴△MOE≌△NOA（SAS），∴OM＝ON，即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变；②由①知OM＝ON，∵OM⊥ON，∴△OMN面积是：＝，∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，∵OC＝4，OE＝3，∠COE＝90°，∴CE＝5，∵当OM⊥CE时，OM取得最小值，∴，∴，解得，OM＝，∴△OMN面积取得最小值是：＝，当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为（a，a+3），∴＝，解得，a＝﹣，∴a+3＝，∴点M的坐标为（，），由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是（，）和△OMN面积是2．解：（1）由图象可知，容器内原有水0.3升；（2）设w和t之间的函数关系式是w＝kt+b，，得，即w和t之间的函数关系式是w＝0.4t+0.3，当t＝24时，0.4t＝0.4×24＝9.6，答：w和t之间的函数关系式是w＝0.4t+0.3，在这种滴水状态下一天的滴水量是9.6升．3．解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，∴，解得：k＝﹣1，b＝4；（2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P ＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，∴S △BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；②如图所示：当P在x轴的负半轴时，由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S △BOP＝OB•OP＝＝8+8；（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4，∴P（4+4，0）；③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4，∴P（4﹣4，0）；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时P（﹣4，0）；综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）．4．解：（1）如图所示，从点O出发移动3次数可能到达的点的坐标为（0，6）；（2，4）；（4，2）（6，0）；（2）观察发现：①移动1次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式为：y＝﹣x+2；②移动2次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式为：y＝﹣x+4；③移动3次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式为：y＝﹣x+6；由此我们猜测：移动n次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式为：y＝﹣x+2n．故答案为：y＝﹣x+2；y＝﹣x+4；y＝﹣x+6；y＝﹣x+2n．（3）A从点O出发经过n次移动后，到达直线y＝x上的点B，且平移的总路径长为40，设点B的坐标为（x，y），依题意有，解这个方程组，得到点B的坐标为（n，n）．∵平移的路径长为x+y＝40，∴n+n＝40，∴n＝20，∴点B的坐标为（20，20）．故答案为：（20，20）．5．解：（1）设B型丝绸的进价为x元，则A型丝绸的进价为（x+100）元根据题意得：解得x＝400经检验，x＝400为原方程的解∴x+100＝500答：一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元．（2）①根据题意得：∴m的取值范围为：16≤m≤25且为整数．②设销售这批丝绸的利润为y根据题意得：y＝（800﹣500﹣2n）m+（600﹣400﹣n）•（50﹣m）＝（100﹣n）m+10000﹣50n∵50≤n≤150∴（Ⅰ）当50≤n＜100时，100﹣n＞0m＝25时，销售这批丝绸的最大利润w＝25（100﹣n）+10000﹣50n＝﹣75n+12500 （Ⅱ）当n＝100时，100﹣n＝0，销售这批丝绸的最大利润w＝5000（Ⅲ）当100＜n≤150时，100﹣n＜0当m＝16时，销售这批丝绸的最大利润w＝﹣66n+11600．综上所述：w＝．6．解：（1）∵直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，令y＝0则x＝﹣2，A（﹣2，0），令x＝0则y＝1∴B（0，1），又∵S△ABD＝2∴|BD|•|OA|＝2而|OA|＝2∴|BD|＝2，又B（0，1），∴D（0，﹣1）∴b＝﹣1；（4分）∵直线AB与CD相交于点P，联立两方程得：，解得x＝4，y＝3，∴P（4，3）；（6分）（2）由图象坐标可知：S△ADP＝S△ABD+S△BDP＝2+|x P|＝6或S△ADP＝S△PAC+S△DAC＝|y P|）＝×3×（1+3）＝6．（9分）7．解：（1）观察图象可知，线段AB与线段CD的“近距离”是6，“远距离”是10．故答案为6，10．（2）由图1可知，⊙O与四边形ABCD的“近距离”是2，“远距离”是6，故答案为2，6．（3）如图2中，当M1（2，1）和M2（4，2）时，⊙M与四边形ABCD的近距离恰为由于，，可知此时：⊙M1与四边形ABCD的远距离为⊙M2与四边形ABCD的远距离为∴≤d≤．8．解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）（2）由折叠知：CD＝AD．设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2解得：此时，AD＝，（2分）设直线CD为y＝kx+4，把代入得（1分）解得：∴直线CD解析式为（1分）（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）②当点P在第一象限时，如图，由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，在Rt△ADP中，AD＝，PD＝BD＝＝，AP＝BC＝2由AD×PQ＝DP×AP得：∴∴，把代入得此时（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）③当点P在第二象限时，如图同理可求得：∴此时综合得，满足条件的点P有三个，分别为：P1（0，0）；；．9．解：（1）如图1，易求点B（9，0），解方程组得：；故点C（，），∴S△OBC＝＝．（2）如图2，作点C关于x轴的对称点P，作射线BP，过点E作EH⊥BP于点H，取BE中点I，连接HI．易知：∠BOC＝∠OBC＝∠OBP＝30°，∠BHE＝90°，∵IE＝IB，∴IH＝IE＝IB∵∠BEH＝60°，∴△EIH是等边三角形，∴EH＝EI＝，∴当C、E、H三点共线且CH⊥BP时，CH的长度最小，即有最小值；∵OC＝CB＝，∠BCH＝30°，∠BHC＝90°，∴BH＝BC＝∴CH＝＝＝故有最小值为．在Rt△BEH中，∵∠EBH＝30°，∴EH＝BE，∵BE2﹣EH2＝BH2∴BE＝3∴E（6，0）．（3）△OMN为等腰三角形，分三种情况：①当∠OMN＝∠ONM时，∵∠MON＝30°，∴∠OMN＝∠ONM＝75°如图3，当∠OMN＝∠ONM＝75°时，∠C′DN＝45°，∠DC′N＝60°，∴∠CDC′＝α＝15°，过点N作NG⊥DC′于G，可求得GC′＝，DG＝，DN＝，∴如图4，当∠OMN＝∠ONM＝75°时，∠C′DN＝45°，旋转角α＝195°过点N作NG⊥DC′于G，可求得DN＝，∴ON＝3﹣，②如图5，当∠OMN＝∠MON＝30°时，∠ONM＝120°，此时旋转角α＝60°，易得ON＝6③如图6，图7，当∠ONM＝∠NOM＝30°时，∴∠OMN＝120°，∵∠DE′C′＝60°，α＝150°或330°，∴DE′∥OM，过点E′作E′G⊥x轴于G，可求得DN＝，∴（舍弃）或综上所述，或3﹣或6或．10．解：（1）如图1，直线y＝2x+4经过点A，D，当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），当y＝6时，x＝1，∴D（1，6），过点D作DL⊥x轴于点L，∴L（1，0），∴AL＝3，∵AD＝CD，∴AL＝CL＝3，∴OC＝1+3＝4，∴C（4，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，将C（4，0），D（1，6）代入得，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+8．（2）如图2，过点P，Q分别作PF⊥x轴于点F，QG⊥x轴于点G，PQ交y轴于点T，∵点P在直线y＝2x+4上且点P的横坐标为t，∴点P的坐标为（t，2t+4），∵PQ∥z轴，∴∠OTQ＝∠AOT＝90°，∴PQ⊥y轴，∴OT＝2t+4，∴点Q的纵坐标为2t+4，点Q在直线y＝﹣2x+8上，当y＝2t+4时，2t+4＝﹣2x+8，解得x＝﹣2t+2，∴点Q的坐标为（﹣t+2，2t+4），∵∠PFC＝∠QGC＝90°∴PF∥QG又∵PQ∥FG∴四边形PFGQ为平行四边形∴PQ＝FG＝（﹣t+2）﹣t＝﹣2t+2∵E为PQ的中点∴EP＝EQ＝PQ＝（﹣2t+2）＝﹣t+1∴d＝﹣t+1 （﹣1＜t＜0）．（3）如图3，过点M作x轴的垂线，垂足为R，交PQ的延长线于点S，∵∠CMQ＝90°，CM＝MQ∴∠QCM＝45°在△OCM中，∠COM+∠OMC+∠OCM＝180°∴（90°﹣∠BCE﹣∠ECM）+（90°﹣∠OMQ）+（∠ACD+45°）＝180°又∵∠BOE+∠OMQ＝∠ACD∴∠EOM＝45°令CR＝m，∵∠OTS＝∠TOR＝∠ORS＝90°∴四边形ORST是矩形∴RS＝OT＝2t+4，TS＝OR＝m+4∴QS＝m+4﹣（﹣t+2）＝m+t+2∵CM＝QM，∠CRM＝∠MSQ＝90°，∠MCR＝90°﹣∠CMR＝∠QMS∴△QMS≌△MCR∴MS＝CR＝m MR＝QS＝m+t+2∵MS+MR＝RS∴m+m+t+2＝2t+4∴m＝t+1∴MR＝t+3，OR＝t+5在TQ上截取TF＝OT＝2t+4，连接OF，过点E作EH⊥OF于点H，则∠COF＝∠TFO＝45°，OF＝OT＝（2t+4），EF＝FT﹣ET＝2t+4﹣（﹣t+1+t）＝2t+3EH＝FH＝EF＝（2t+3），∴OH＝OF﹣FH＝（2t+4）﹣（2t+3）＝（2t+5），∵∠MOR＝45°﹣∠FOM＝∠EOH∴tan∠MOR＝tan∠EOH在Rt△MOR中，tan∠MOR＝，在Rt△OEH中，tan∠EOH＝，∴∴MR•OH＝OR•EH∴（t+3）•（2t+5）＝（t+5）•（2t+3）解得t1＝﹣1，t2＝0（舍去）∴MR＝+3＝，OR＝+5＝过点M作MK⊥y轴于点K，可证四边形ORMK是矩形∴OK＝MR＝∴点M的坐标为（，）．。