2021年中考数学专题复习：一次函数的解答题

2021年中考数学专题复习：一次函数的解答题

1．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA．

（1）求B点坐标为；线段OA的长为；

（2）确定直线CD解析式，求出点D坐标；

（3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．

①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明；

②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积．

2．水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量w（L）与滴水时间t（h）的关系可以用显示水量的容器做如图1试验，并根据实验数据绘制出如图2的函数图象．结合图象解答下列问题：

（1）容器内原有水多少升？

（2）求w和t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升．

3．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．

（1）求k、b的值；

（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；

（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，每次向上移动2个单位长度或向右移动2个单位长度

（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点A从点O出发，移动1次后，2次后，3次后可能达到的点，并把相应点的坐标填写在表格中，

A从点O出发移动次数可能达到的点的坐标

1次（0，2）；（2，0）

2次（0，4）；（2，2）；（4，0）

3次

……

（2）任意一次移动，点A可能达到的点在我们学过的一种函数的图象上

①移动1次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式

②移动2次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式

③移动3次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式

…

由此我们猜测：移动n次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式

（3）探索运用：点A从点O出发经过n次移动后，到达直线y＝x上的点B，且平移的总路径长为40，写出点B的坐标为．

5．某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？

（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．

①求m的取值范围．

②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式（每件销售利润＝售价﹣进价﹣销售成本）．

6．如图，已知：直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD：y＝x+b 分别与x轴、y轴交于点C、D，直线AB与CD相交于点P，S△ABD＝2．求：

（1）b的值和点P的坐标；

（2）求△ADP的面积．

7．定义：点P、点Q分别为两个图形G1、G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为图形G1和G2的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为图形G1和G2的“远距离”．

请你在理解上述定义的基础上，解决下面问题：

在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，4），B（﹣3，﹣4），C（3，﹣4），D（3，4）．

（1）直接写出线段AB与线段CD的“近距离”是，“远距离”是；（2）设⊙O半径为1，直接写出⊙O与四边形ABCD的“近距离”是，“远距离”是；

（3）若⊙M的半径为，且圆心M在射线y＝x（x≥0）上移动，当⊙M与四边形ABCD的“近距离”不大于时，求⊙M与四边形ABCD的“远距离”d的取值范围．

8．如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．

（1）求点A、C的坐标；

（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；

（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣与x轴相交于B，与y轴相交于点A．直线l2：y＝经过原点，并且与直线l1相交于C点．

（1）求△OBC的面积；

（2）如图2，在x轴上有一动点E，连接CE．问CE是否有最小值，如果有，求出相应的点E的坐标及CE的最小值；如果没有，请说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，以CE为一边作等边△CDE，D点正好落在x轴上．将△DCE绕点D顺时针旋转，旋转角度为α（0°≤α≤360°），记旋转后的三角形为△DC′E′，点C，E的对称点分别为C′，E′．在旋转过程中，设C′E′所在的直线与直线l2相交于点M，与x轴正半轴相交于点N．当△OMN为等腰三角形时，求线段ON的长？

10．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点D在直线AB上，点D的纵坐标为6，点C在x轴上且位于原点右侧，连接CD，且AD＝CD．

（1）如图1，求直线CD的解析式；

（2）如图2，点P在线段AB上（点P不与点A，B重合），过点P作PQ∥x轴，交CD于点Q，点E是PQ的中点，设P点的横坐标为t，EQ的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）如图3，在（2）的条件下，以CQ为斜边作等腰直角△CQM，且点M在直线CD 的右侧，连接OE，OM，当∠BOE+∠OMQ＝∠ACD时，求点M的坐标．

参考答案

1．解：（1）∵直线y＝﹣x+4交坐标轴于A、B两点，

∴当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝4，

∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），

∴OA＝3；

故答案为：（0，4），3；

（2）∵过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA，∴OC＝4，OC＝OB，OE＝OA，

∵点A（3，0），

∴OA＝3，

∴OE＝3，

∴点E的坐标为（0，3），

设过点C（﹣4，0），点E（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，

，得，

∴直线CE的解析式为y＝x+3，

即直线CD的解析式为y＝x+3，

由，得，

即点D的坐标为（，）；

（3）①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变，

证明：∵△COE≌△BOA，

∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN，

∵∠BOA＝90°，ON⊥OM，

∴∠MON＝∠BOA＝90°，

∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA，

∴∠MOE＝∠NOA，

在△MOE和△NOA中，

，

∴△MOE≌△NOA（SAS），

∴OM＝ON，

即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变；

②由①知OM＝ON，

∵OM⊥ON，

∴△OMN面积是：＝，

∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，

∵OC＝4，OE＝3，∠COE＝90°，

∴CE＝5，

∵当OM⊥CE时，OM取得最小值，

∴，

∴，

解得，OM＝，

∴△OMN面积取得最小值是：＝，

当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为（a，a+3），

∴＝，

解得，a＝﹣，

∴a+3＝，

∴点M的坐标为（，），

由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是（，）和△OMN面积是2．解：（1）由图象可知，

容器内原有水0.3升；

（2）设w和t之间的函数关系式是w＝kt+b，

，得，

即w和t之间的函数关系式是w＝0.4t+0.3，

当t＝24时，0.4t＝0.4×24＝9.6，

答：w和t之间的函数关系式是w＝0.4t+0.3，在这种滴水状态下一天的滴水量是9.6升．3．解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，

∴，

解得：k＝﹣1，b＝4；

（2）存在两种情况：

①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P ＝∠BOP＝90°，

∵OB＝OA＝4，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴AB＝4，∠OAB＝45°，

由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，

∴△OBP≌△O'BP（AAS），

∴O'B＝OB＝4，

∴AO'＝4﹣4，

Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，

∴S △BOP＝OB?OP＝＝8﹣8；

②如图所示：当P在x轴的负半轴时，

由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，

∵∠BAO＝45°，

∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，

∴S △BOP＝OB?OP＝＝8+8；

（3）分4种情况：

①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；

②当BP＝PQ时，如图3，

∵∠BPC＝45°，

∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，

∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，

∴∠APB＝22.5°，

∴∠ABP＝∠APB，

∴AP＝AB＝4，

∴OP＝4+4，

∴P（4+4，0）；

③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，

∵∠BPC＝45°，

∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，

△PCA中，∠APC＝22.5°，

∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，

∴∠ABP＝∠APB，

∴AB＝AP＝4，

∴OP＝4﹣4，

∴P（4﹣4，0）；

④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，

∴此时P（﹣4，0）；

综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）．

4．解：（1）如图所示，从点O出发移动3次数可能到达的点的坐标为（0，6）；（2，4）；

（4，2）（6，0）；

（2）观察发现：

①移动1次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式为：y＝﹣x+2；

②移动2次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式为：y＝﹣x+4；

③移动3次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式为：y＝﹣x+6；

由此我们猜测：

移动n次后点A可能到达的点所在图象的函数表达式为：y＝﹣x+2n．

故答案为：y＝﹣x+2；y＝﹣x+4；y＝﹣x+6；y＝﹣x+2n．

（3）A从点O出发经过n次移动后，到达直线y＝x上的点B，且平移的总路径长为40，

设点B的坐标为（x，y），依题意有，

解这个方程组，得到点B的坐标为（n，n）．

∵平移的路径长为x+y＝40，

∴n+n＝40，

∴n＝20，

∴点B的坐标为（20，20）．

故答案为：（20，20）．

5．解：（1）设B型丝绸的进价为x元，则A型丝绸的进价为（x+100）元根据题意得：

解得x＝400

经检验，x＝400为原方程的解

∴x+100＝500

答：一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元．

（2）①根据题意得：

∴m的取值范围为：16≤m≤25且为整数．

②设销售这批丝绸的利润为y

根据题意得：

y＝（800﹣500﹣2n）m+（600﹣400﹣n）?（50﹣m）

＝（100﹣n）m+10000﹣50n

∵50≤n≤150

∴（Ⅰ）当50≤n＜100时，100﹣n＞0

m＝25时，

销售这批丝绸的最大利润w＝25（100﹣n）+10000﹣50n＝﹣75n+12500 （Ⅱ）当n＝100时，100﹣n＝0，

销售这批丝绸的最大利润w＝5000

（Ⅲ）当100＜n≤150时，100﹣n＜0

当m＝16时，

销售这批丝绸的最大利润w＝﹣66n+11600．

综上所述：w＝．

6．解：（1）∵直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，

令y＝0则x＝﹣2，A（﹣2，0），

令x＝0则y＝1∴B（0，1），

又∵S△ABD＝2

∴|BD|?|OA|＝2而|OA|＝2

∴|BD|＝2，

又B（0，1），

∴D（0，﹣1）

∴b＝﹣1；（4分）

∵直线AB与CD相交于点P，联立两方程得：，

解得x＝4，y＝3，

∴P（4，3）；（6分）

（2）由图象坐标可知：S△ADP＝S△ABD+S△BDP＝2+|x P|＝6

或S△ADP＝S△PAC+S△DAC＝|y P|）＝×3×（1+3）＝6．（9分）7．解：（1）观察图象可知，线段AB与线段CD的“近距离”是6，“远距离”是10．

故答案为6，10．

（2）由图1可知，⊙O与四边形ABCD的“近距离”是2，“远距离”是6，故答案为2，6．

（3）如图2中，

当M1（2，1）和M2（4，2）时，⊙M与四边形ABCD的近距离恰为

由于，，

可知此时：⊙M1与四边形ABCD的远距离为

⊙M2与四边形ABCD的远距离为

∴≤d≤．

8．解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）

（2）由折叠知：CD＝AD．设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，

根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2解得：

此时，AD＝，（2分）

设直线CD为y＝kx+4，把代入得（1分）

解得：

∴直线CD解析式为（1分）

（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）

②当点P在第一象限时，如图，

由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，

则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，

在Rt△ADP中，

AD＝，PD＝BD＝＝，AP＝BC＝2

由AD×PQ＝DP×AP得：

∴

∴，把代入得

此时

（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）③当点P在第二象限时，如图

同理可求得：

∴

此时

综合得，满足条件的点P有三个，

分别为：P1（0，0）；；．

9．解：（1）如图1，易求点B（9，0），解方程组得：；故点C（，），

∴S△OBC＝＝．

（2）如图2，作点C关于x轴的对称点P，作射线BP，过点E作EH⊥BP于点H，取BE中点I，连接HI．

易知：∠BOC＝∠OBC＝∠OBP＝30°，∠BHE＝90°，

∵IE＝IB，

∴IH＝IE＝IB

∵∠BEH＝60°，

∴△EIH是等边三角形，

∴EH＝EI＝，

∴当C、E、H三点共线且CH⊥BP时，CH的长度最小，即有最小值；

∵OC＝CB＝，∠BCH＝30°，∠BHC＝90°，

∴BH＝BC＝

∴CH＝

＝

＝

故有最小值为．

在Rt△BEH中，∵∠EBH＝30°，

∴EH＝BE，

∵BE2﹣EH2＝BH2

∴BE＝3

∴E（6，0）．

（3）△OMN为等腰三角形，分三种情况：

①当∠OMN＝∠ONM时，

∵∠MON＝30°，

∴∠OMN＝∠ONM＝75°

如图3，当∠OMN＝∠ONM＝75°时，∠C′DN＝45°，∠DC′N＝60°，∴∠CDC′＝α＝15°，过点N作NG⊥DC′于G，

可求得GC′＝，DG＝，DN＝，

∴

如图4，当∠OMN＝∠ONM＝75°时，∠C′DN＝45°，旋转角α＝195°过点N作NG⊥DC′于G，

可求得DN＝，

∴ON＝3﹣，

②如图5，当∠OMN＝∠MON＝30°时，∠ONM＝120°，

此时旋转角α＝60°，易得ON＝6

③如图6，图7，当∠ONM＝∠NOM＝30°时，

∴∠OMN＝120°，

∵∠DE′C′＝60°，α＝150°或330°，

∴DE′∥OM，

过点E′作E′G⊥x轴于G，可求得DN＝，

∴（舍弃）或

综上所述，或3﹣或6或．

10．解：（1）如图1，

直线y＝2x+4经过点A，D，

当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），

当y＝6时，x＝1，∴D（1，6），

过点D作DL⊥x轴于点L，∴L（1，0），

∴AL＝3，

∵AD＝CD，

∴AL＝CL＝3，

∴OC＝1+3＝4，

∴C（4，0），

设直线CD的解析式为y＝kx+b，将C（4，0），D（1，6）代入得，解得，

∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+8．