高中数学向量的数乘运算及其几何意义

向量的数乘运算及其几何意义
[知识与技能]
1.掌握向量数乘的运算并理解其几何意义，掌握实数与向量的积的运算律；
2.理解两个向量共线的等价条件，会根据条件判断两个向量是否共线；
3．数和向量的乘积，从形式上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中，“万变不改其性〞的哲理. [过程与方法]
数的运算乘法可转化成有几个数相加，向量同样可以有3a=a+a+a ，-3a= -a+〔- a 〕+〔- a 〕，从而引入了数乘.
通过实例观察数乘的结果，分析这个结果和原来向量的关系: 长度和方向都改变了,最后从感性材料中得到：〔1〕实数和向量的乘积还是一个向量，〔2〕此向量和原向量是平行关系，〔3〕方向取决于所乘实数的符号.
一．教学目标
1．理解并掌握实数与向量的积的意义．
2．理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.
二．教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件； 三．教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件； 四．教学过程 ㈠设置情境
我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中表达，如力与加速度的关系f=ma ，位移与速度的关系s=vt ．这些公式都是实数与向量间的关系．
问：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a ++和()()()a a a -+-+-向量，〔向量已作在投影片上〕，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
答：a a a ++的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同，()()()a a a -+-+-的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反．
本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，〔板书课题：实数与向量的乘积〔一〕〕 ㈡探索研究
问：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？可结合教材思考．
答：我想这样规定：实数λ与向量a 的积就是a λ，它还是一个向量． 想法很好．不过我们要对实数λ与向量a 相乘的含义作一番解释才行． ⒈实数与向量的积的定义：
实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：
〔1〕a a λλ=
〔2〕0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时，a λ的方向与a 的方向相反；特别地，当0=λ或0=a 时，0=a λ
⒉下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律：
问：求作向量()a 32和a 6〔a 为非零向量〕并进行比较，向量()b a +2与向量b a 22+相等吗？〔引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较〕
答：()a a 632=，()b a b a +=+222
设a 、b 为任意向量，λ，μ为任意实数，那么有： 〔1〕()()a a λμμλ= 〔2〕()a a a μλμλ+=+ 〔3〕()b a b a λλλ+=+
通常将〔1〕称为结合律，〔2〕〔3〕称为分配律，有时为了区别，也把〔2〕叫第一分配律，〔3〕叫第二分配律．
⒊例题讲解：
[例1]计算：〔1〕()a 43⨯-， 〔2〕()()a b a b a ---+23． 〔3〕()()c b a c b a +---+2332 解：〔1〕原式()a a 1243-=⨯-=
〔2〕原式b a b a b a 52233=-+-+=
〔3〕原式c b a c b a c b a 252332-+-=-+--+=． ⒋下面我们研究共线向量与实乘向量的关系．
问：请同学们观察21e e a -=，2122e e b +-=，有什么关系．
答：因为a b 2-=，所以a 、b 是共线向量．
问：假设a 、b 是共线向量，能否得出a b λ=？为什么，可得出b a λ=吗？为什么？ 答：可以！因为a 、b 共线，它们的方向相同或相反．
由此可得向量共线的充要条件．向量b 与非零向量a 共线的充分必要条件是有且仅有一个实数λ，使得a b λ=〔此即教材中的定理．〕
对此定理的证明，是两层来说明的．
其一，假设存在实数λ，使a b λ=，那么由实数与向量乘积定义中的第〔2〕条知b λ与a 共线，即b 与a 共线．
其二，假设b 与a 共线，且不妨令0≠a ，设μ=a b ：〔这是实数概念〕．接下来看a 、b 方向如何：①a 、b 同向，那么a b μ=，②假设a 、b 反向，那么记a b μ-=，总而言之，存在实数λ〔μλ=或μ-〕使a b λ=．
[例2]如图：AB AD ⋅=3，BC DE 3=，试判断AC 与AE 是否共线． 解：
∵DE AD AE += BC AB ⋅+=33 ()
BC AB +=3 AC ⋅=3 ∴AE 与AC 共线． 练习〔投影仪〕
1.设1e 、2e 是两个不共线向量，已212e e R AB +=，213e e +=CB ，假设A 、B 、C 三点共线，求R 的值．
解：∵A 、B 、C 三点共线．
∴AB 、BC 共线⇔存在实数λ，使BC AB λ= 即()212121332e e e e e e λλλ+=+=+R ∴2=λ，6=R 2.假设O 为
ABCD 的对角线交点，14e =AB ，26e =BC ，那么1223e e -等于〔 B 〕
A ．AO
B ．BO
C ．CO
D ．DO
4．总结提炼
〔1〕λ与a 的积还是向量，λa 与a 是共线的．
〔2〕一维空间向量的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路．该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题．
〔3〕运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项． 五．板书设计 教学目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有
更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

教学过程：
一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模〞与“方向〞两点)
2．三个运算定律〔结合律，第一分配律，第二分配律〕 3．向量共线的充要条件 [例题]
例1 假设3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是向量，求ｍ，ｎ.
分析：此题可把条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ.
解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ① ,ｍ－3ｎ＝ｂ②, 3×②得3ｍ－9ｎ＝3ｂ③ ①－③得11ｎ＝ａ－3ｂ. ∴ｎ＝11
1ａ－11
3ｂ ④
将④代入②有：ｍ＝ｂ＋3ｎ＝
113ａ＋11
2ｂ 评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
例2 凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证EF ＝21
(AB +DC ).
解法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决. 过点C 在平面内作CG ＝AB ，那么四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点.
∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF =DG 21， ∴EF ＝2
1
DG .
而DG ＝DC ＋CG ＝DC ＋AB ，
∴EF ＝2
1
〔AB ＋DC 〕.
解法二：创造相同起点，以建立向量间关系 如图，连EB ，EC ，那么有EB ＝EA ＋AB ，
EC ＝ED ＋DC ，又∵E 是AD 之中点， ∴有EA ＋ED ＝0,即有EB ＋EC ＝AB ＋DC ； 以EB 与EC 为邻边作平行四边形EBGC ，那么由F 是BC 之中点，
可得F 也是EG 之中点.
∴EF ＝21EG ＝21〔EB ＋EC 〕＝21
〔AB ＋DC 〕
例3. 错例分析
判断向量ａ＝－2e 与ｂ＝2e 是否共线? 对此题，有同学解答如下：
解：∵ａ＝－2e ，ｂ＝2e ，∴ｂ＝－ａ，∴ａ与ｂ共线.
分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目，却发现其解答存有问题，这是因为，原题中对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然ａ＝0，ｂ＝0，此时，ａ不符合定理中的条件，且使ｂ＝λａ成立的λ值也不惟一(如λ＝－1，λ＝1，λ＝2等均可使ｂ＝λａ成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e ＝0的情况应另法判断才妥.
综上分析，此题应解答如下：
A E
D B
A
E F
G D C
解：(1)当e ＝0时，那么ａ＝－2e ＝0
由于“零向量与任一向量平行〞且“平行向量也是共线向量〞，所以，此时ａ与ｂ共线. (2) 当e ≠0时，那么ａ＝－2e ≠0，ｂ＝2e ≠0
∴ｂ＝－ａ(这时满足定理中的ａ≠0，及有且只有一个实数λ〔λ＝－1〕，使得ｂ＝
λａ成立),∴ａ与ｂ共线. 综合(1)、(2)可知，ａ与ｂ共线. ●题目答疑
习题(课本P 102)参考答案
1.略;
2. AC =AB 7
5
，BC =AB 7
2
-
; 3. (1)b=2a, (2) b=47- a (3) b=21- a (4) b=98a
4. (1)共线,〔2〕共线;
5. (1)3a -2b (2) -1211a +3
1
b (3) 2ya。