一次函数和二次函数的图像与性质
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数与一次函数的像与性质
二次函数与一次函数的像与性质在数学中，函数是描述不同元素间关系的一种工具。
二次函数和一次函数是两种常见的函数类型，它们在图像形状、性质和应用方面存在着一些明显的差异。
本文将探讨二次函数和一次函数的像与性质，并简要介绍它们在实际生活中的应用。
一、二次函数的像与性质二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向取决于a的正负。
以下是对二次函数的一些重要性质的介绍：1. 零点：二次函数的零点是函数与x轴相交的点，即令y=0时对应的x值。
根据二次函数的定义，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c =0来确定零点的值。
2. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点坐标可以通过急升或求导的方法来找到。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的垂直线，其方程为x = -b/2a。
对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
左侧部分的y值与右侧部分的y值相等，即满足函数关系。
4. 开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
5. 函数值范围：根据二次函数的开口方向，可以确定函数的最小值或最大值。
当a>0时，函数的最小值为顶点的y值；当a<0时，函数的最大值为顶点的y值。
二、一次函数的像与性质一次函数的一般形式为y = mx + b，其中m、b是常数。
一次函数的图像通常是一条直线，其斜率m决定了直线的斜率和方向。
以下是对一次函数的一些重要性质的介绍：1. 斜率：一次函数的斜率表示直线的倾斜程度，可以通过两点间的坐标差值来计算。
如果两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
一次函数与二次函数图像共存及其性质
相关
a、b同号 a、b异号
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
c 0 与y轴交于正半轴
c
与y轴交点的纵坐标c c
0 0
与坐标轴交于原点 与y轴交于负半轴
学以致用：
函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）
的图象可能是（C ）
y
y
y
y
1
x o
× A．
1
ox
× B．
o
x
√C．
1
0 0
从左往右上升 从左往右下降
b
与y轴
交
点
的
纵
坐
标
b b
0 0
与y轴交于正半轴 与坐标轴交于原点
b 0 与y轴交于负半轴
二次函数的一般式：y ax2 bx ca 0
二次函数的图像是一条抛物线
a
抛物线开口方向
a a
0 0
开口向上 开口向下
b
与对称轴x
b 2a
二次项系数a
ox
× D．
{ a>0→一次函数上升 + 二次函数开口向上
a相同 a<0→一次函数下降 + 二次函数开口向下
一次函数中常数项是1 →直线与y轴交于 正半轴(0,1) 二次函数中常数项是1 →抛物线与y轴交于正半轴(0,1)
新人教版初中数学九年级上册第22章《二次函数》 §22.1.4 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图像及性质
一次函数与二次函数 图像及其性质
学校：潮州市高级实验学校 授课者：谢骏
知识回顾：
一次函数的一般形式： y=kx+b (k≠0) 一次函数的图像是一条直线
一次、二次函数图象与性质
x
o
(0,c)
y
y a( x h) k
2
o
x
y
y a( x x1 )( x x2 )
o
x
已知条件…时，宜选用…式
一般式 对称轴 & 与Y轴交点
常见用处
代数分析
顶点式
顶点（对称轴）
图像平移 实际问题
求根 实际问题
交点式
与X轴交点
除非无特殊点（数轴交点，顶点），否则优先考虑顶点式与交点式
平行于 y = k x ,可由它平移而得
当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小.
应 用
(1). 待定系数法;43;b b k
x o
1
k : 斜率 b : Y轴截距
k>0
b>0
k<0 b<0
k+ 0
k-
•
1.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0, 则在直角坐标系内它的大致图象是( A )
一次函数图像与性质
一次函数的概念： 函数y=kx+b (k、b为常数，k ≠0)叫做一次函数。 当b=0时，函数y=kx(k ≠0)叫做正比例函数。
y=k xn +b为一次函数的条件是什么?
一. 指数n=1
二.
系数 k ≠0
解析式
正 比 例 函 数 y = k x ( k≠0 ) k>0 k<0
k>0,b>0
一 次 函 数 ｙ=k x + b（k ≠0） k>0 y o x
k>0,b<0
k<0 y x
一次函数、二次函数
b叫做该直线在y轴上的截距。 轴上的截距 截距。
一次函数又叫做线形函数。 一次函数又叫做线形函数。 线形函数
对k的理解 的理解
在直线y=kx+b上任取两点 P( x1 , y1 ) Q( x2 , y2 ) 上任取两点 则 y1 = kx1 + b ①
b 4ac − b 2 顶点坐标是 (− , ) 2a 4a
在(-∞,− b ]上是增函数 b 2a 在( − ， ∞)上是减函数 +
2a
2a
当x = −
b 4 ac − b 2 时 ， y min = 2a 4a
当x = −
b 4 ac − b 2 时 ， y max = 2a 4a
b = 0时为偶函数b ≠ 0时为非奇非偶函数
y
5
当x取何值时，f ( x) > 0, f ( x) = 0, f ( x) < 0?
o
x
f ( x) > 0
x ≥ −2或x ≤ −6
f ( x) = 0
f ( x) < 0
x = −2或 − 6
-6 ≤ x ≤ -2
1 2 x + 4x + 6 > 0 2 1 2 x + 4x + 6 = 0 2 1 2 x + 4x + 6 < 0 2
1、一次函数的概念
函数y=kx+b（k≠0）叫做一次函数。 （ 函数 ）叫做一次函数。
注意： 注意： （1）若k=0，则函数是常数函数 k=0， （2）x的最高次项为1，否则，就不是一次函数 的最高次项为1 否则， （3）b为任意常数。 为任意常数。
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
高中数学：一次函数、二次函数、指数函数知识点汇总【必考点】
一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数和一次函数是高中数学中的常见函数类型。
本文将从图像、性质和应用三个方面介绍二次函数和一次函数。
一、图像1. 二次函数的图像二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以分为三种情况：情况一：a > 0时，抛物线开口朝上。
此时抛物线的顶点是最小值点。
情况二：a < 0时，抛物线开口朝下。
此时抛物线的顶点是最大值点。
情况三：a = 0时，二次函数退化为一次函数。
2. 一次函数的图像一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为实数且k ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
二、性质1. 二次函数的性质（1）顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
其中f(x)为二次函数。
（2）对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
（3）开口方向：二次函数开口方向由系数a的正负决定。
（4）最值：当抛物线开口朝上时，最小值点为顶点；当抛物线开口朝下时，最大值点为顶点。
2. 一次函数的性质（1）斜率：斜率k表示直线的倾斜程度。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，直线平行于x 轴。
（2）截距：截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，函数值为b。
三、应用1. 二次函数的应用（1）物体抛体运动：考虑到重力的作用，物体在抛体运动中的轨迹可以由二次函数的图像表示。
（2）开口朝上的喷水池：喷水池的喷水高度可以用二次函数来描述，根据喷水池的造型可以确定二次函数的系数。
2. 一次函数的应用（1）成本与效益分析：通常情况下，成本与效益之间呈线性关系，可以用一次函数进行建模与分析。
（2）人口增长预测：根据过去的人口数据可以用一次函数对未来的人口增长进行预测。
综上所述，二次函数和一次函数在数学中具有重要地位。
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一次函数和二次函数的
图像与性质
Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一次函数的图像与性质 练习
1、一次函数y=2x-1的图象大致是（ ）
2、函数y ＝k （x －k ） （k ＜0 )的图象不经过（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
3、若点A （2, 4）在函数y ＝k x －2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A 、（0，－2）
B 、（，0）
C 、（8, 20）
D 、（，）。
4、已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )
A B C D 5、若把一次函数y=2x －3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( ) A y=2x B y=2x －6 C y=5x －3 D y=－x －3 6、已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示,则k 、b 的
符号是( )
(A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0 (C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0
7、直线y=2x+1与y=3x-1的交点P的坐标为____，点P到x轴的距离为
_______，点P到y轴的距离为______。
8、如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的不等式ax+b<0的
解集是
9、点P（a,b）点Q（c,d）是一次函数y=-4x+3图像上的两个点，且a<c，则b 与d的大小关系是____
10、知一次函数图象经过（3,5）和（－4，－9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在函数图象上，求a的值。
二次函数的图像与性质
1、二次函数：形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数称为二次函数，其定义域是R。
2、二次函数的解析式：
①一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
②顶点式：；
③零点式（两根式）：y＝a（x－x
1）（x－x
2
）（a≠0），其中，x
1
、x
2
是
函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点（或是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根）。
3、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线.
4、二次函数的图像的性质：
①开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；
②顶点坐标：；
③对称轴方程：；
④开口大小：a值越大，开口越小；a值越小，开口越大；
⑤单调性：若a>0，单调减区间为（－∞，），单调增区间为
（，＋∞）；若a<0，单调减区间为（，＋∞），单调增区间为（－∞，）；
线是（ ）
A ．y=x 2+3x －5
B ．y=－
12x 2．y=12x 2+3x －5 D ．y=12
x 2 2、若直线y=3x+m 经过第一、三、四象限，则抛物线y=（x －m ）2+1的顶点必在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、已知抛物线的顶点坐标为（1，9），它与x 轴交于A （－2，0），B 两点，则B 点坐标为（ ）
A ．（1，0）
B ．（2，0）
C ．（3，0）
D ．（4，0） 4、抛物线y=2（x+3）（x －1）的对称轴是（ ）
A ．x=1
B ．x=－1
C ．x=1
2
D ．x=－2
5、已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点（a ，－1
4
）和（－a ，y 1），则y 1的值是
_______．
6、如图所示，抛物线y=－x 2+5x+n 经过点A （1，0），与y 轴交于点B ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标．
7、如图已知二次函数图象的顶点为原点， 直线42
1
+=x y 的图象与该二次函数的图象交
于A 点(8,8)，直线与x 轴的交点为C ，与y 轴的交点为B ．
（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A B
，不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范
围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与BOC
△相似若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．。