立体几何五 夹角的计算
立体几何中夹角与距离的计算(绝对精品)
第三节 立体几何中夹角与距离的计算一、求距离：1、点到平面的距离：①直接法：平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离， “一找二证三计算”；②等体积法：三棱锥换顶点等体积法。
2、直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；3、平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
点到平面的距离平面到平面的距离直线到平面的距离⇒⎩⎨⎧ 二、求夹角1、两条异面直线所成的角：求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；2、直线和平面所成的角：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
除特殊位置外，主要是指平面的斜线与它在平面内的射影之间的夹角；3、二面角：通常的作法有：①定义法：在二面角的棱上任取一点O （常指特殊点），过点O 分别在两个半平面内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则∠AOB 即为所求二面角的平面角；②三垂线定理或逆定理：过一个半平面内一点P 向另一个半平面作垂线PA ，过点A 向棱作垂线AB ，连接PB ，则∠PAB 即为所求二面角的平面角；③自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．④射影面积法解之，cos θ＝SS '，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积，θ为斜面与射影面所成的二面角题型一：异面直线的夹角及二面角例1、如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12A(I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； （III ）求二面角A-CD-E 的余弦值题型二：点面距离例2、如题（19）图，在四棱锥S ABCD -中，ADBC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，2,3CE AS ==．求：（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离； （Ⅱ）二面角E CD A --的大小．题型三：线面距离例3、如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离； （Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．题型四：线面夹角例4、如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E.（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A （Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值题型五：点到面的距离例5、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求(1)中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离。
夹角的计算知识点总结
夹角的计算知识点总结一、夹角的概念夹角是指平面上的两个角共同拥有一个公共的边，形成的角。
在几何学中，夹角通常用来描述两条直线或者曲线之间的角度关系。
夹角可分为内夹角和外夹角。
内夹角是两直线夹角的两个角之一；外夹角是两直线交叉所成的四个角中不与内夹角共边的两个角。
二、夹角的性质1. 同位角同位角指的是两条直线被一条直线所切割形成的一对内夹角和一对外夹角的对应角。
同位角的特性是它们的度数相等。
例如：在一条直线上，有两个相邻的内夹角a和b，以及两个相邻的外夹角c和d；如果a的度数等于c的度数，那么b的度数等于d的度数。
2. 互补角和补角互补角指的是两个角的度数之和等于90度的角。
例如，如果两条直线相交，那么相交处的两个内夹角的度数之和等于90度，这两个内夹角就是互补角。
补角指的是两个角的度数之和等于180度的角。
例如，如果两条直线相交，那么相交处的两个外夹角的度数之和等于180度，这两个外夹角就是补角。
3. 角的平分线角的平分线指的是将一个角分成两个度数相等的角的直线。
平分线将一个角分成两个度数相等的角。
例如，一个60度的角，可以使用角的平分线将其平分为两个30度的角。
4. 夹角的性质若两条直线相交于一点O，并且形成4个角(∠AOD,∠BOD,∠BOC,∠AOC)，则：∠AOD+∠BOD=180°，∠BOC+∠AOC=180°。
这意味着两条相交直线所形成的内夹角之和是180度，两条相交直线所形成的外夹角之和也是180度。
三、夹角的计算夹角的计算主要是根据其性质进行计算。
根据同位角、互补角、补角的性质可以计算出夹角的度数。
夹角的计算也常涉及到角的平分线，通过角的平分线可以将一个角分成两个度数相等的角。
夹角的计算过程中需要注意以下几点：1. 角度单位的统一。
在夹角的计算中，需要统一角度的单位，通常使用度数为单位。
2. 利用夹角的性质进行计算。
根据同位角、互补角、补角的性质进行夹角的计算。
立体几何线面夹角的计算
αO A B C αO A B 直线和平面所成的角1. 斜线，垂线,射影⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
⑵斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线.斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。
⑶射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影.直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线。
直线与平面垂直射影是点.斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
2． 射影长相等定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交;射影较长的斜线段也较长。
⑵相等的斜线段射影相等,较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短。
⑴O B =O C ⇒AB =AC O B >O C ⇒AB >AC⑵AB =AC ⇒O B =O CAB >AC ⇒O B >O C⑶O A <AB ，O A <AC3．直线和平面所成角（1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角.一直线垂直于平面，所成的角是直角。
一直线平行于平面或在平面内,所成角为0︒角.直线和平面所成角范围:[0，2π] (2)定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
4．公式:已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角,且a 与α相交成ϕ1角,a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=.1. 如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为√2,底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是＿＿.A BB 1CA 1 C 1ϕ2ϕ1c b a θPαO A B2。
立体几何中的向量方法求夹角
[策略点睛]
[规范作答] 如图所示，取BC中点 O，连结AO.
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.2分 取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
成的角. (2)范围:
(0,
2
]
(3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 a, b ,其夹角
为
,则有
cos
|
cos
|
|
|ab| a||b|
(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的
方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,
应取其补角作为两异面直线所成的角.
例2 Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
3 , 1 , 44
2) 2
DB ( 3 , 3 ,0) z 44
由 C1D m, DB m 得
C1
B1
31 2
C1D m
4
x y 4
2
z 0,
DB m 3 x 3 y 0 44
A1
解得 x 3y 6 z 所以，可取m (3, 3, 6)
30 10
[题后感悟] 如何用坐标法求异面直线所成的 角？
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；
(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向 量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线 所成的角．
立体角计算公式
立体角计算公式立体角，又称夹角、内角、拱角，是指在立体空间内三条曲线汇合成的一种特殊的角，它体现了空间几何学的概念。
它的计算通常使用三角函数和立体几何的相关参数。
立体角的计算都是围绕着一个拱角内三个平面之间的夹角来完成的。
基本计算公式二维平面立体角的计算公式如下：夹角=sin-1[(b x c)/(|b||c|)]其中，b和c是向量，|b|和|c|分别是b和c的模长，x表示叉乘。
三维平面立体角的计算公式如下：夹角=cos-1[(a x b)c/(|a||b||c|)]其中，a、b和c是向量，|a|、|b|和|c|分别是a、b和c的模长，x和表示叉乘和点乘。
立体几何计算公式立体几何的计算公式可以用来表示立体角的特性，以此来计算夹角的大小。
1.体积公式：V＝abc其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，V表示立体角的体积。
2.表面积公式：S＝ab+bc+ca其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，S表示立体角的表面积。
3.距离公式：D＝√(a+b+c)其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，D表示立体角的距离。
4.角平分公式：α/β/γ＝a/b/c其中，α、β和γ是各角的大小，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长。
5.体积中垂线公式：V＝abc sin其中，V表示立体角的体积，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，α表示立体角的内角大小。
立体角的应用立体角计算公式广泛应用于几何学、机械工程、电子学等领域，它可以用来计算空间坐标系的定位，构建复杂的几何体，也可用来测量空间距离、角度、体积等。
比如，在机械结构设计中，立体角的计算公式可以用来计算连接的螺栓的角度、位置和大小，为准备安装和维护机械设备提供依据。
在电子工程中，立体角的计算公式也可以用来计算电子元件之间的位置、距离和角度，这些参数对正确构建电子系统非常重要。
总结立体角是一种有三条曲线汇合而成的特殊角，它体现了空间几何学的概念。
2-5-1~2夹角的计算课件(北师大版选修2-1)
按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量 的知识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作和二面角 的棱垂直的向量，并且两个向量的方向均指向棱或者都从棱指 向外，那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小．如 图所示．
题型一 利用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E1，F1 分别在 A1B1， 1 1 C1D1 上，且 E1B1＝4A1B1，D1F1＝4D1C1，求 BE1 与 DF1 所成的 夹角的余弦值． [思路探索] 几何法，平移直线构造在同一个三角形中，通过解 三角形求解；向量法，可以用基底，也可以建立坐标系，利用 方向向量的夹角求解．
→ |n· | 1 BM ∵cos θ ＝|cos φ |＝ ＝ ， → 2 |n||BM| π 解得 θ＝ ， 3 π ∴二面角 B1A1CC1 的大小为 3 .
题型三 综合问题 【例 3】 (12 分)如下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB＝FB＝1.
题型二
利用空间向量求二面角
【例 2】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中平面 AB1D1 与平面 A1BD 所成的夹角为 θ，求 cos θ 的值．
求点坐标及相 [思路探索] 建立坐标系 → → 关向量的坐标 A1BD 及平面 AB1D1 的法向量 n1， 2→ n
求平面
求|cos 1， 2〉 cos θ 〈n n |→
→ ∵向量AA1＝(0，0，2)与平面 CDE 垂直， 设二面角 CDEC1 的平面角大小为 θ. 由图知所求二面角为锐二面角，(6 分) → n· 1 AA → ∴cos θ ＝cos〈n，AA1〉＝ → |n|· 1| |AA －1×0－1×0＋2×2 6 ＝ ＝3， 1＋1＋4× 0＋0＋4 2 ∴tan θ ＝ .(8 分) 2
立体几何夹角公式
立体几何夹角公式在咱们的数学世界里，立体几何夹角公式那可是个相当重要的家伙！记得我当初上学的时候，一遇到立体几何的题目，就像是在黑暗中摸索，总是找不准方向。
但当我真正搞懂了立体几何夹角公式，就仿佛突然点亮了一盏明灯，眼前的路一下子清晰起来。
咱先来说说线线夹角公式。
想象一下，在一个空间里，有两条直线，它们就像两个调皮的孩子，各自有着自己的脾气和方向。
要算出它们之间夹角的余弦值，就得用向量的点乘除以向量的模长乘积。
这就好比要衡量两个孩子的“亲密度”，得看看他们的行为有多少相似之处，以及他们各自的“能量”有多大。
举个例子，有直线 a 和直线 b，它们的方向向量分别是（1，2，3）和（4，5，6）。
那先算点乘，1×4 + 2×5 + 3×6 = 32。
再算模长乘积，向量（1，2，3）的模长是√(1² + 2² + 3²) = √14，向量（4，5，6）的模长是√(4² + 5² + 6²) = √77 。
最后夹角的余弦值就是32÷(√14×√77) 。
再说说线面夹角公式。
这就像是一条线想要钻进一个平面里，得找好角度。
这个夹角的正弦值等于线的方向向量与平面法向量的点乘的绝对值除以它们的模长乘积。
比如说，有一条直线的方向向量是（2，3，4），平面的法向量是（5，6，7）。
先算点乘，2×5 + 3×6 + 4×7 = 56 ，然后绝对值还是 56 。
直线方向向量的模长是√(2² + 3² + 4²) = √29 ，平面法向量的模长是√(5² + 6² + 7²) = √110 。
那夹角的正弦值就是56÷(√29×√110) 。
面面夹角公式呢，其实和线面夹角有点像。
两个平面就像是两块大板子，它们之间的夹角就得看法向量的关系。
立体几何中的夹角、距离、向量归纳
D BA C α一、空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
（2）求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决（3）具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角 2、直线与平面所成的角（1）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
（2）求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
（3）具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
3、二面角（1）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。
（2）作二面角的平面角常有三种方法图一 图二 图三 ①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； 如图一示②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； 如图二示③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 如图三示1、点到直线的距离：点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。
在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。
例1、在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，求点A 到BC 的距离。
解：作BC AD ⊥，垂足为D ，又 AB=2，BC=3，AC=4， 874322432cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∴BC AC AB BC AC C815)87(1sin 2=-=∴C41538154321sin 4321=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆C S ABC AD BC S ABC ⋅=∆21又 2153415322=⨯==∴∆BCS AD ABC∴点A 到BC 的距离为2152、点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法例2、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。
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空间向量在立体几何中的应用
一：两直线的夹角：
1.当两条直线1l 与2l 共面时，我们把两条直线交角中，范围在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内的角叫
作两直线的夹角．当直线1l 与2l 是异面直线时，在直线1l 上任取一点A 作AB ∥2l ，我们把直线1l 和直线AB 的夹角叫作异面直线1l 与2l 的夹角．
异面直线的夹角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
2. 直线夹角的向量计算方法：
已知空间两条直线a ，b ，且A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上
不同的两点，设直线a ，b 的夹角θ由向量AC BD ，确定，满足||
cos ||||
AC BD AC BD θ⋅=
⋅.
要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.
例1. 如图所示，在四棱锥P ABCD －中，底面是矩形，⊥底面
. 是
的中点，已知，
，
，求异面直线与
所成的角的大小．
【变式2】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =2=，AC BC =，D 为1BB 的中点，若异面直线1AB 与CD 的夹角为
，求AC 的长．
要点二：平面间的夹角
1. 平面间的夹角的定义：平面1π与2π相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面1π上作直线1l ⊥
l ，在平面2π上作直线2l ⊥l ，则1
2l l =R 。
我们把直线
1l 和2l 的夹角叫做平面1π与2π的夹角.
2. 平面间夹角的向量计算方法：
设平面1π与2π的法向量分别为1n 和2n ，平面1π与2π的夹角为θ，则
12
1212cos =cos =
.θ⋅n n n n n n ，
两平面的夹角范围是02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，. 3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念
半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面.
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角--a αβ或--AB αβ.
（2）区别：
平面间的夹角 二面角 构成 面-线-面
半平面-线-半平面
范围 02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， []0π，
表示法
语言叙述
语言叙述或符号表示
例2. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，
AF AB BC FE
====1
2
AD，求平面ACD和平面CDE的夹角的余弦值.
变式：如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD DC
=，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求证：PB⊥平面EFD；
(2)求平面与平面的夹角的大小．
三：直线和平面的夹角
1.斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.
如图，l 是平面α的一条斜线，斜足为O ，OA 是l 在平面α内的射影，POA ∠就是直线l 与平面α的夹角.
（1）直线和平面所成角的范围是02π
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，.
（2）最小角定理：斜线和射影所成的角，是斜线 和这个平面内所有直线所成角中最小的角；
2. 线面角的向量计算方法
设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，
a 与u 的角为ϕ，则有||
sin |cos |||||
θϕ⋅==
⋅a u a u .
例3. 如图，在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角．
变式:四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ABC =∠，2AB =，
22BC =，侧面SBC ⊥底面ABCD ．3SA SB ==． （Ⅰ）证明SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．
D
B
C
A
S
变式:如图，四棱锥P ABCD -中，AB AP =，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，4AB AD +=，CD =
2，
45CDA ∠=︒．若直线PB 与平面PCD 所成的角为
︒30，求线段AB 的长.
习题1：如图，在ABC ∆中，ABC ∠︒=60，90,BAC ∠=︒AD BC 是上的高，沿AD 把
ABD 折起，使0
90BDC ∠=. 设E 为BC 的中点，求AE
与DB 夹角的余弦值.
习题2：如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥AC ，D E 、分别为11AA B C 、的中点，DE ⊥平面1BCC ，若平面ABD 和平面BCD 为60°,求1B C 与平面BCD 的夹角的大小.。