10.2事件的相互独立性
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高一下学期数学人教A版必修第二册10.2事件的相互独立性课件
1 2
,
3 4
,
3 4
，将它们中某两个元件并联后再和第三个
元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率
是_______.
解：记 A “T1 正常工作”， B “T2 正常工作”， C “ T3 正常工作”，
则 P(A) 1 , P(B) P(C) 3 ，
23 60
5 12
9 10
.
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率；
（2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法二：“3 人中至少有 1 人被选中”的对立事件是“3 人都没有被选中”， 所以 3 人中至少有 1 人被选中的概率为
1 3
1 10
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率； （2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法一：3 人中有 2 人被选中的概率为
P2 P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) 2 3 (1 1) 2 (1 3) 1 (1 2) 3 1 23 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60
（1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶. （4）至少有一人中靶.
解：（3）事件“两人都脱靶” AB ，所以 P( AB) P( A)P(B) 0.2 0.1 0.02
（4）方法 1：事件“至少有一人中靶” AB AB AB ，且 AB, AB 与 AB 两两互斥，
数学人教A版必修第二册10.2事件的相互独立性课件
时间内至少1人回老家过节的概率为 （ ）
A. 59
B. 1
C. 3
D. 1
60
2
5
60
题型三事件的独立性与互斥性的关系
【例3】［2019·河北大名一中高二检测］已知A，B，C为三个独立事
件，若事件A发生的概率是 1 ，事件B发生的概率是 2 ，事件C发生
2
3
的概率是 3 ，求下列事件的概率：（1）事件A，B，C只发生两个； 4
小结
1．相互独立事件的定义是用概率公式证明，实际问题中，根据实际问题的 背景确定两个事件是相互独立的也是常用的方法。
2．两个相互独立事件同时产生的概率，满足概率的乘法公式，求解时只需 先求出这两个事件的概率，再求出同时产生的概率。
3．两个事件相互独立与互斥 是两个不同的概念，要注意区分开来，互斥事 件至少一个产生的概率用加法，相互独立事件同时产生的概率用乘法。
常考题型
题型一 相互独立事件的判断
例1.判断下列各对事件是否是相互独立事件. （1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生.现从甲、 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与 “从乙组中选出1名女生”； （2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意 取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取 出的还是白球”； （3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”
∴
P（A）＝
1 2
，P（B）＝
1 2
，P（AB）＝
33 36
＝
1 4
，
∴ P（AB）＝P（A）P（B），∴ 事件A，B相互独立.
题型二 相互独立事件的概率计算
例2. ［2019·四川省雅安中学高二检测］打靶时，甲每打10次可中
A. 59
B. 1
C. 3
D. 1
60
2
5
60
题型三事件的独立性与互斥性的关系
【例3】［2019·河北大名一中高二检测］已知A，B，C为三个独立事
件，若事件A发生的概率是 1 ，事件B发生的概率是 2 ，事件C发生
2
3
的概率是 3 ，求下列事件的概率：（1）事件A，B，C只发生两个； 4
小结
1．相互独立事件的定义是用概率公式证明，实际问题中，根据实际问题的 背景确定两个事件是相互独立的也是常用的方法。
2．两个相互独立事件同时产生的概率，满足概率的乘法公式，求解时只需 先求出这两个事件的概率，再求出同时产生的概率。
3．两个事件相互独立与互斥 是两个不同的概念，要注意区分开来，互斥事 件至少一个产生的概率用加法，相互独立事件同时产生的概率用乘法。
常考题型
题型一 相互独立事件的判断
例1.判断下列各对事件是否是相互独立事件. （1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生.现从甲、 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与 “从乙组中选出1名女生”； （2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意 取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取 出的还是白球”； （3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”
∴
P（A）＝
1 2
，P（B）＝
1 2
，P（AB）＝
33 36
＝
1 4
，
∴ P（AB）＝P（A）P（B），∴ 事件A，B相互独立.
题型二 相互独立事件的概率计算
例2. ［2019·四川省雅安中学高二检测］打靶时，甲每打10次可中
10.2事件的互相独立性 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
解：没有影响。在试验2中，样本空Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}， 包含16个等可能的样本点. A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}， B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}， ∴AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.
解：没有影响。在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表 示硬币“反面朝上”， 则样本空间为
Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4个等可能的样本点 A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)} n( A) 2 1 n() 4 2
P(B) n(B) 2 1 n() 4 2
P( AB) n( AB) 1 n() 4
P(AB) P(A)P(B)
二、探索新知 积事件AB的概率P(AB)也等于P(A)与P(B)的乘积.
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生 与否会影响事件B发生的概率吗?AB的概率与事件A、B的概率有何关 联。试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面 朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外 没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第 一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
P( A) n( A) 8 1 P(B) n(B) 8 1
n() 16 2
n() 16 2
P( AB) n( AB) 1 n() 4
P(AB) P(A)P(B)
二、探索新知
相互独立事件:
10.2事件的相互独立性课件高一下学期数学人教A版必修第二册
P()=0.1.
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
高中数学必修二课件：事件的相互独立性
3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？ 答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B 互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称 A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时 不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B， 则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发 生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．
1．对相互独立事件定义的理解
答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑 球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲 袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记 为事件B，显然A与B相互独立．
思考题1 袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第
一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为 C，那么事件A与B，A与C间的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
课时学案
题型一 相互独立事件的判断
例1 (1)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独 立事件．
①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； ②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}； ③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； ④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．
2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 10.2 事件的相互独立性 课件
（2）事件A，B，C至多发生两个.
【解】 （1）记“事件A，B，C只发生两个”为事件A1，则事件A1包括AB C ，
A B C，A BC三种彼此互斥的情况.为互斥事件概率的加法公式和相互独立事
件的概率乘法公式，得P（A1 ）＝P（AB ）+P（A B C）+P（ A BC）
＝
1 12
+
1 8
+
1 4
B. 12
C. 3
D. 3
25
25
4
5
【解题提示】 判断两个事件是否独立，根据独立事件同时发生
的概率公式进行计算.
【解析】
设甲中靶为事件A，则P（A）＝
8 10
＝
4 5
，设乙中靶为事件B，
则P（B）＝
7 10
.甲、乙两人同时射
击，
他
们相
互没有影响，所以A，B为
相互独立事件，则他们同时中靶为事件AB.
P( AB)
P（AB）＝P（A）P（B）公式变形：P（A）＝ P(B) .
三 相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A（或B）是否发生对事件 B（或A）发生的概率没有影响
符号
相互独立事件A，B同时发生， 记作AB
互斥事件A，B中有一个发 生，记作A∪B（或A+B）
计算 公式
P（AB）＝P（A）·P（B） P（A∪B）＝P（A）+P（B）
常考题型
题型一 相互独立事件的判断
例1.判断下列各对事件是否是相互独立事件. （1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生.现从甲、 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与 “从乙组中选出1名女生”； （2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意 取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取 出的还是白球”； （3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”
10.2事件的互相独立性
公式变形:
P( A)
P( AB) .
P(B)
再见
分别计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现?
课文精讲
显然,对于试验1,因为两枚硬币分别抛 掷,第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的 抛掷结果互相不受影响,所以事件A发生与否 不影响事件B发生的概率.
对于试验2,因为是有放回摸球,第一次 摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影 响,所以事件A发生与否也不影响事件B发生 的概率.
典型例题
解:因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且
m≠n},
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),
B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),
所以P(A)=P(B)= 6 = 1,P(AB)= 2 =1 .
方法2:由于事件“至少有一人中靶”的对立B 事件是“两人都脱靶”,根据对立事件的性质, 得事件“至少有一人中靶”的概率为
1 P( AB) 1 0.02 0.98.
课典文 型精例讲题
1.例（3重:甲点、）乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每 轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮
猜对的概率为3 ，乙每轮猜对的概率为2 .在
A2与B1分别相互独立,所以
P( A) P( A1B2 ) P( A2B1 ) P( A1 )P(B2 ) P( A2 )P(B1 ) 34 9 4 8 9 16 9 5. 12
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率 是 5.
12
本课小结
对 任 意 两 个 事 件 A 与 B, 如 果 P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件 A与事件B相互独立,简称为独 立.
10.2 事件的相互独立性课件ppt
=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9
=0.092.
变式训练3某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是0.96,乙机
床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求:
(1)两件产品都是正品的概率;
(2)恰有一件是正品的概率;
(3)至少有一件是正品的概率.
(2)求甲、乙、丙三人的租车费用和为10元的概率.
解 (1)由题意可得,甲、乙、丙 30 分钟以上且不超过 40 分钟还车的概率分
1 1 1
别为 , , ,
4 2 4
1 1 1 1 1 1 1
甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为 P=2 × 4 × 4 + 4 × 4 × 2 + 4 ×
1 1
生,不会受任何事件是否发生的影响,不可能事件⌀总不会发生,也不受任何
事件是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.(3)对于n个事
件A1,A2,…,An,如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生
的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.
微思考
分别抛掷两枚质地均匀的硬币,事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第
单的相关概率计算问题.(数学运算)
4.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生数学转化与
化归的能力.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
激趣诱思
常言道:“三个臭皮匠顶个诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢?将问题具体化:
假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88,三个臭皮匠甲、乙、丙想出
计谋的概率各为0.6,0.5,0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗?