事件的相互独立性 课件
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高一下学期数学人教A版必修第二册10.2事件的相互独立性课件
1 2
,
3 4
,
3 4
，将它们中某两个元件并联后再和第三个
元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率
是_______.
解：记 A “T1 正常工作”， B “T2 正常工作”， C “ T3 正常工作”，
则 P(A) 1 , P(B) P(C) 3 ，
23 60
5 12
9 10
.
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率；
（2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法二：“3 人中至少有 1 人被选中”的对立事件是“3 人都没有被选中”， 所以 3 人中至少有 1 人被选中的概率为
1 3
1 10
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率； （2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法一：3 人中有 2 人被选中的概率为
P2 P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) 2 3 (1 1) 2 (1 3) 1 (1 2) 3 1 23 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60
（1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶. （4）至少有一人中靶.
解：（3）事件“两人都脱靶” AB ，所以 P( AB) P( A)P(B) 0.2 0.1 0.02
（4）方法 1：事件“至少有一人中靶” AB AB AB ，且 AB, AB 与 AB 两两互斥，
人教A版10.2事件的相互独立性课件(共16张)
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝ P(AC)＝P(“正正”)=0.25=P(A)P(C) P(BC)＝P(“正正”)=0.25=P(B)P(C)
巩固：事件相互独立性的判断
【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有
放回的随机取两次，每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
P(丁) 1 6
C.乙与丙相互独立
P(乙丙) 1 36
P(丙丁) 0
巩固：相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”. 由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立， 且A与B，A与B，A与B都相互独立.
= P(J1)P(Y2)＋P(J2)P(Y1)
巩固：互斥与相互独立的区分
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶数”.
M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝ϕ P(MN)≠P(M)P(N)
M、N 互斥但不相互独立
－－
(3)至少一个地方降雨的概率. (对立事件)P(M)=1－P(AB) =1－0.
事件M
(拆分事件)P(M)=________________________ =
(并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) =－
[变式1]甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为，乙被录取的概率为，两 人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________
巩固：事件相互独立性的判断
【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有
放回的随机取两次，每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
P(丁) 1 6
C.乙与丙相互独立
P(乙丙) 1 36
P(丙丁) 0
巩固：相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”. 由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立， 且A与B，A与B，A与B都相互独立.
= P(J1)P(Y2)＋P(J2)P(Y1)
巩固：互斥与相互独立的区分
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶数”.
M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝ϕ P(MN)≠P(M)P(N)
M、N 互斥但不相互独立
－－
(3)至少一个地方降雨的概率. (对立事件)P(M)=1－P(AB) =1－0.
事件M
(拆分事件)P(M)=________________________ =
(并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) =－
[变式1]甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为，乙被录取的概率为，两 人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________
事件的相互独立性-PPT
27
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
10.2事件的相互独立性课件高一下学期数学人教A版必修第二册
P()=0.1.
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
高中数学必修二课件：事件的相互独立性
3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？ 答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B 互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称 A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时 不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B， 则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发 生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．
1．对相互独立事件定义的理解
答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑 球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲 袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记 为事件B，显然A与B相互独立．
思考题1 袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第
一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为 C，那么事件A与B，A与C间的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
课时学案
题型一 相互独立事件的判断
例1 (1)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独 立事件．
①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； ②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}； ③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； ④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．
高一数学(人教A版)-事件的相互独立性课件
(1,1)
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概 率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级 数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球 （标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概 率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级 数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球 （标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，
10.2事件的相互独立性课件(人教版)
所以AB={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．
所以 P( A) P(B)= 1 , P( AB) 1 .
2
4
于是 P(AB)=P(A)P(B)．
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
从上述两个实验的共性中得到启示，我们引入这种事件关系的一般 定义：
对任意两个事件A与B , 如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与 事件B相互独立,简称为独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙 的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”.解题的关键是利用 A, B, A, B 来 表示相关事件.可以借助树状图来分析.如图所示：
B=“第二次摸出球的标号小于3”
B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}，共6个样本点.
所以AB={(1，2)，(2，1)}．所以 P( A) P(B) 6 1 , P( AB) 2 1 .
12 2
12 6
此时P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A与事件B不独立．
1 P( AB) 1 0.02 0.98．
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙 的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
（4）方法3：事件“至少有一人中靶”可以看成“甲中靶”和“乙中靶”这两个 事件的并事件，根据性质6，可得事件“至少有一人中靶”的概率为
解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”， A “甲脱靶”， B “乙脱靶”
事件的相互独立性课件
【思路启迪】 如果A、B是，所以利用独立事件的概率公 式来解题即可．
【解】 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件 B，则A、B相互独立，从而A与 B 、 A 与B、 A 与 B 均相互独 立．
(1)“两个都能破译”为事件AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
要点二 求相互独立事件的概率
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤是 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌 握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同 时发生．
一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中 任取2个球，取出后再放回，求：
(1)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和 生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}， B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．已知家庭中有三个小孩， 判断A与B的独立性；
(2)判断下列各对事件是否是相互独立事件： 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从 甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1 名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
2．熟记部分符号语言含义：如A，B至少有一个发生的 事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为 (A B )∪( A B)；至多有一个发生的事件记为(A B )∪( A B)∪( A B )．
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率 分别为13和14.
求(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝CC2325·CC2225＝130·110＝1300. 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是 红球的概率是1300.
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事件的独立性
1．定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)P(B) ， 则称事件 A 与事件 B 相互独立．
2．如果 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也 都相互独立．
3．如果 A 与 B 相互独立，那么 P(B|A)＝P(B) ，P(A|B)＝ P(A)．
由于 A、B、C 面试是否合格互不影响，故为相互独立事件．
[解析] 用 A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由
题意知 A、B、C 相互独立，
且 P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.
(1)至少有 1 人面试合格的概率是
1－P(
—
A
—
B
C—)＝1－P( A )P( B )P( C )＝1－(12)3＝78.
[点评] 相互独立事件的特点是：其中一个事件的发生与 否对另一个事件发生的概率没有影响．
下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立吗？ ①抛掷一枚骰子，事件 A＝“出现 1 点”，事件 B＝“出 现 2 点”； ②先后抛掷两枚均匀硬币，事件 A＝“第一枚出现正面”， 事件 B＝“第二枚出现反面”； ③在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一 个小球，观察颜色后放回袋中，事件 A＝“第一次取到绿球”， B＝“第二次取到绿球”．
[分析] 解本题的关键是正确地理解题意，两个事件 A，B， 只有 A 发生，即 A 发生且 B 不发生，即 A－B 发生．
[解析] 只有 A 发生，即 A B 发生；只有 B 发生，即 A B
发生．因为 A，B 相互独立，所以 A 与 B，B 与 A 也相互独立．所
以 P(A B )＝P(A)P( B )＝P(A)[1－P(B)]＝14，P( A B)＝P( A )P(B) ＝P(B)[1－P(A)]＝14，
—
B
—
C)
＝P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C )＋P(A)P( B )P( C )
＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.
P(ξ＝2)＝P( A BC)＝P( A )P(B)P(C)＝18.
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝18.
所以，ξ 的分布列是
ξ0 1 2 3
[解析] ①事件 A 与 B 是互斥事件，故 A 与 B 不是相互独 立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影 响，∴A 与 B 相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件 A 的发生对事件 B 发生的概率没有影响，∴A 与 B 相互独立.
求相互独立事件的概率
设事件 A 与 B 相互独立，两个事件中只有 A 发 生的概率与只有 B 发生的概率都是14，求 P(A)，P(B)．
(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P(
—
AB
C—)＋P(
—
A
B—C)＋P(
—
A
—
B
—
C)
＝P( A )P(B)P( C )＋P( A )P( B )P(C)＋P( A )P( B )P( C )
＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.
P(ξ＝1)＝P(A
B
C)＋P(AB
C
)＋P(A
若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)＝P(F)＝14，则 P(EF)的
值等于( )
A．0
B. 1
16
C.14
D.12
[答案] B
[解析] ∵E 与 F 相互独立，P(E)＝P(F)＝14， ∴P(EF)＝P(E)·P(F)＝116.
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试， 面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙 则约定：两人面试都合格就一同签约．否则两人都不签约．设 每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响，求：
即PPAB－ －PPAAPPBB＝ ＝1414，.
解得PPAB＝ ＝1212.，
[点评] (1)求相互独立事件的概率一般采用以下解题步 骤：①判定各事件是否相互独立；②先求每个事件发生的概率， 再求相互独立事件同时发生的概率．
(2)在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”、 “至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都 不发生”、“不都发生”等词语的含义，以免混淆．
P
3 8
3 8
1 8
1 8
[点评] 本题主要考查了相互独立事件、互斥事件等概率 的计算，以及离散型随机变量的分布列，解题的关键是能正确 领会、把握事件间的关系．解答本题时易错点是(2)中 ξ＝0、1 时的三种情况考虑不全或计算错误．
(1)至少有 1 人面试合格的概率； (2)签约人数 ξ 的分布列．
[分析] (1)“至少有一人面试合格”的对立事件是“三人 面试都不合格”，故可用对立事件概率公式计算．(2)随机变量 ξ 的含义是签约人数，因此 ξ 可能的取值为 0,1,2,3，其中 ξ＝0 的含义是甲面试不合格，乙丙中恰有一人合格或两人都不合 格；ξ＝1 的含义是 B 与 C 至少有一个不合格且 A 合格，ξ＝2 的含义是 B 与 C 都面试合格且 A 不合格．
[分析] 解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生与 否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两事件是否相 互独立．
[解析] (1)“从甲组选出 1 名男生”这一事件是否发生， 对“从乙组选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所 以它们是相互独立事件．
(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若这一事件发生了，则“从剩下பைடு நூலகம் 7 个球中任意取出 1 个， 取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一 事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件 发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
4．互斥事件是不可能 同时发生 的两个事件，而相互 独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率 没有影响 ，二者不能混淆．
相互独立事件的判断
判断下列各对事件是否是相互独立事件： (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生、3 名女生，今 从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球 中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意 取出 1 个，取出的还是白球”．
1．定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)P(B) ， 则称事件 A 与事件 B 相互独立．
2．如果 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也 都相互独立．
3．如果 A 与 B 相互独立，那么 P(B|A)＝P(B) ，P(A|B)＝ P(A)．
由于 A、B、C 面试是否合格互不影响，故为相互独立事件．
[解析] 用 A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由
题意知 A、B、C 相互独立，
且 P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.
(1)至少有 1 人面试合格的概率是
1－P(
—
A
—
B
C—)＝1－P( A )P( B )P( C )＝1－(12)3＝78.
[点评] 相互独立事件的特点是：其中一个事件的发生与 否对另一个事件发生的概率没有影响．
下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立吗？ ①抛掷一枚骰子，事件 A＝“出现 1 点”，事件 B＝“出 现 2 点”； ②先后抛掷两枚均匀硬币，事件 A＝“第一枚出现正面”， 事件 B＝“第二枚出现反面”； ③在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一 个小球，观察颜色后放回袋中，事件 A＝“第一次取到绿球”， B＝“第二次取到绿球”．
[分析] 解本题的关键是正确地理解题意，两个事件 A，B， 只有 A 发生，即 A 发生且 B 不发生，即 A－B 发生．
[解析] 只有 A 发生，即 A B 发生；只有 B 发生，即 A B
发生．因为 A，B 相互独立，所以 A 与 B，B 与 A 也相互独立．所
以 P(A B )＝P(A)P( B )＝P(A)[1－P(B)]＝14，P( A B)＝P( A )P(B) ＝P(B)[1－P(A)]＝14，
—
B
—
C)
＝P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C )＋P(A)P( B )P( C )
＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.
P(ξ＝2)＝P( A BC)＝P( A )P(B)P(C)＝18.
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝18.
所以，ξ 的分布列是
ξ0 1 2 3
[解析] ①事件 A 与 B 是互斥事件，故 A 与 B 不是相互独 立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影 响，∴A 与 B 相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件 A 的发生对事件 B 发生的概率没有影响，∴A 与 B 相互独立.
求相互独立事件的概率
设事件 A 与 B 相互独立，两个事件中只有 A 发 生的概率与只有 B 发生的概率都是14，求 P(A)，P(B)．
(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P(
—
AB
C—)＋P(
—
A
B—C)＋P(
—
A
—
B
—
C)
＝P( A )P(B)P( C )＋P( A )P( B )P(C)＋P( A )P( B )P( C )
＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.
P(ξ＝1)＝P(A
B
C)＋P(AB
C
)＋P(A
若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)＝P(F)＝14，则 P(EF)的
值等于( )
A．0
B. 1
16
C.14
D.12
[答案] B
[解析] ∵E 与 F 相互独立，P(E)＝P(F)＝14， ∴P(EF)＝P(E)·P(F)＝116.
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试， 面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙 则约定：两人面试都合格就一同签约．否则两人都不签约．设 每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响，求：
即PPAB－ －PPAAPPBB＝ ＝1414，.
解得PPAB＝ ＝1212.，
[点评] (1)求相互独立事件的概率一般采用以下解题步 骤：①判定各事件是否相互独立；②先求每个事件发生的概率， 再求相互独立事件同时发生的概率．
(2)在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”、 “至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都 不发生”、“不都发生”等词语的含义，以免混淆．
P
3 8
3 8
1 8
1 8
[点评] 本题主要考查了相互独立事件、互斥事件等概率 的计算，以及离散型随机变量的分布列，解题的关键是能正确 领会、把握事件间的关系．解答本题时易错点是(2)中 ξ＝0、1 时的三种情况考虑不全或计算错误．
(1)至少有 1 人面试合格的概率； (2)签约人数 ξ 的分布列．
[分析] (1)“至少有一人面试合格”的对立事件是“三人 面试都不合格”，故可用对立事件概率公式计算．(2)随机变量 ξ 的含义是签约人数，因此 ξ 可能的取值为 0,1,2,3，其中 ξ＝0 的含义是甲面试不合格，乙丙中恰有一人合格或两人都不合 格；ξ＝1 的含义是 B 与 C 至少有一个不合格且 A 合格，ξ＝2 的含义是 B 与 C 都面试合格且 A 不合格．
[分析] 解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生与 否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两事件是否相 互独立．
[解析] (1)“从甲组选出 1 名男生”这一事件是否发生， 对“从乙组选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所 以它们是相互独立事件．
(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若这一事件发生了，则“从剩下பைடு நூலகம் 7 个球中任意取出 1 个， 取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一 事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件 发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
4．互斥事件是不可能 同时发生 的两个事件，而相互 独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率 没有影响 ，二者不能混淆．
相互独立事件的判断
判断下列各对事件是否是相互独立事件： (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生、3 名女生，今 从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球 中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意 取出 1 个，取出的还是白球”．